Soal yang Akan Dibahas
Misalkan vektor $ p = \left( {}^2 \log x^c , \, 2, \, {}^2 \log x^{2c} \right) $
dan $ q = \left( {}^2 \log x, \, 2, \, {}^2 \log x^{2c^2} \right) $ dengan
$ 0 < x < \infty $. Nilai $ c $ yang memenuhi syarat agar $ p $ dan $ q $ membentuk
sudut tumpul berada pada interval .....
A). $ \left(0, \, \frac{4}{3} \right) \, $ B). $ \left(-\frac{4}{3}, \, 0 \right) \, $
C). $ \left(-\frac{4}{3}, \, \frac{4}{3} \right) \, $ D). $ \left(-\frac{1}{3}, \, \frac{4}{3} \right) \, $
E). $ \left(\frac{1}{3}, \, \frac{4}{3} \right) $
A). $ \left(0, \, \frac{4}{3} \right) \, $ B). $ \left(-\frac{4}{3}, \, 0 \right) \, $
C). $ \left(-\frac{4}{3}, \, \frac{4}{3} \right) \, $ D). $ \left(-\frac{1}{3}, \, \frac{4}{3} \right) \, $
E). $ \left(\frac{1}{3}, \, \frac{4}{3} \right) $
$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Vektor
*). Misalkan ada dua vektor
$ p = (p_1, \, p_2, \, p_3) \, $ dan $ q = (q_1, \, q_2, \, q_3 ) $
*). Perkalian dot $ p $ dan $ q $ ($p.q$) :
$ p.q = p_1.q_1 + p_2.q_2 + p_3.q_3 $
juga berlaku :
$ p.q = |p|. |q| \cos \theta $
Sehingga $ \cos \theta = \frac{p.q}{|p|.|q|} $
*). Panjang vektor $ p $ ($|p|$) :
$ |p| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + p_3^2} $
*). Vektor $ p $ dan $ q $ membentuk sudut tumpul jika
$ -1 \leq \cos \theta \leq 0 \, $ atau $ -1 \leq \frac{p.q}{|p|.|q|} \leq 0 $
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log b^n = n {}^a \log b $
$ {}^a \log a = 1 $
*). Misalkan ada dua vektor
$ p = (p_1, \, p_2, \, p_3) \, $ dan $ q = (q_1, \, q_2, \, q_3 ) $
*). Perkalian dot $ p $ dan $ q $ ($p.q$) :
$ p.q = p_1.q_1 + p_2.q_2 + p_3.q_3 $
juga berlaku :
$ p.q = |p|. |q| \cos \theta $
Sehingga $ \cos \theta = \frac{p.q}{|p|.|q|} $
*). Panjang vektor $ p $ ($|p|$) :
$ |p| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + p_3^2} $
*). Vektor $ p $ dan $ q $ membentuk sudut tumpul jika
$ -1 \leq \cos \theta \leq 0 \, $ atau $ -1 \leq \frac{p.q}{|p|.|q|} \leq 0 $
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log b^n = n {}^a \log b $
$ {}^a \log a = 1 $
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Untuk memudahkan dalam penyelesaian, kita pilih $ x = 2 $ yang memenuhi interval $ 0 < x < \infty $ , sehingga vektor $ p $ dan $ q $ menjadi :
$\begin{align} p & = \left( {}^2 \log x^c , \, 2, \, {}^2 \log x^{2c} \right) \\ & = \left( {}^2 \log 2^c , \, 2, \, {}^2 \log 2^{2c} \right) \\ & = \left( c{}^2 \log 2 , \, 2, \, 2c {}^2 \log 2 \right) \\ & = \left( c , \, 2, \, 2c \right) \\ q & = \left( {}^2 \log x, \, 2, \, {}^2 \log x^{2c^2} \right) \\ & = \left( {}^2 \log 2, \, 2, \, {}^2 \log 2^{2c^2} \right) \\ & = \left( 1, \, 2, \, 2c^2 {}^2 \log 2 \right) \\ & = \left( 1, \, 2, \, 2c^2 \right) \end{align} $
*). Menentukan $ p.q $ dan panjangnya
$\begin{align} p.q & = \left( c , \, 2, \, 2c \right). \left( 1, \, 2, \, 2c^2 \right) \\ & = c.1 + 2.2 + 2c. 2c^2 \\ & = 4c^3 + c + 4 \\ |p| & = \sqrt{c^2 + 2^2 + (2c)^2 } = \sqrt{5c^2 + 4 } \\ |q| & = \sqrt{1^2 + 2^2 + (2c^2)^2} = \sqrt{4c^4 + 5} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ c $ agar vektor $ p $ dan $ q $ membentuk sudut tumpul :
$\begin{align} -1 \leq & \frac{p.q}{|p|.|q|} \leq 0 \\ -1 \leq & \frac{4c^3 + c + 4}{\sqrt{5c^2 + 4 }.\sqrt{4c^4 + 5} } \leq 0 \end{align} $
Agar pertidaksamaan ini terpenuhi, maka :
Pertama,
$ 4c^3 + c + 4 \leq 0 \, $ yang akan terpenuhi untuk $ c < 0 $.
Kedua,
$\begin{align} 4c^3 + c + 4 & \geq -1 \\ 4c^3 + c + 5 & \geq 0 \, \, \, \, \text{(faktorkan)} \\ (c+1)(4c^2 - 4c + 5) & \geq 0 \end{align} $
terpenuhi untuk $ c \geq -1 $.
*). Sehingga solusinya adalah irisan dari kedua nilai $ c $ yaitu $ c < 0 $ dan $ c \geq -1 $
$\begin{align} \text{HP } & = \{ c \geq -1 \} \cap \{ c < 0 \} \\ & = \{ -1 \leq c < 0 \} \end{align} $
Sehingga nilai $ c $ yang memenuhi adalah $ \{ -1 \leq c < 0 \} $ yang juga ada pada interval $ \left( -\frac{4}{3}, 0 \right) $.
Jadi, Nilai $ c $ agar sudut kedua vekor sudut tumpul yaitu $ \left( -\frac{4}{3}, 0 \right) $ atau $ \{ -\frac{4}{3} < c < 0 \} . \, \heartsuit $
Catatan :
Jika $ x $ tidak diganti dengan nilai tertentu, akan sulit bagi kita untuk menyelesaikan soalnya. Namun teman-teman boleh mencoba tanpa menggantikan nilai $ x $ nya terlebih dahulu, tentu langkah-langkah pengerjaannya sama dengan cara di atas. Selamat mencoba.
*). Untuk memudahkan dalam penyelesaian, kita pilih $ x = 2 $ yang memenuhi interval $ 0 < x < \infty $ , sehingga vektor $ p $ dan $ q $ menjadi :
$\begin{align} p & = \left( {}^2 \log x^c , \, 2, \, {}^2 \log x^{2c} \right) \\ & = \left( {}^2 \log 2^c , \, 2, \, {}^2 \log 2^{2c} \right) \\ & = \left( c{}^2 \log 2 , \, 2, \, 2c {}^2 \log 2 \right) \\ & = \left( c , \, 2, \, 2c \right) \\ q & = \left( {}^2 \log x, \, 2, \, {}^2 \log x^{2c^2} \right) \\ & = \left( {}^2 \log 2, \, 2, \, {}^2 \log 2^{2c^2} \right) \\ & = \left( 1, \, 2, \, 2c^2 {}^2 \log 2 \right) \\ & = \left( 1, \, 2, \, 2c^2 \right) \end{align} $
*). Menentukan $ p.q $ dan panjangnya
$\begin{align} p.q & = \left( c , \, 2, \, 2c \right). \left( 1, \, 2, \, 2c^2 \right) \\ & = c.1 + 2.2 + 2c. 2c^2 \\ & = 4c^3 + c + 4 \\ |p| & = \sqrt{c^2 + 2^2 + (2c)^2 } = \sqrt{5c^2 + 4 } \\ |q| & = \sqrt{1^2 + 2^2 + (2c^2)^2} = \sqrt{4c^4 + 5} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ c $ agar vektor $ p $ dan $ q $ membentuk sudut tumpul :
$\begin{align} -1 \leq & \frac{p.q}{|p|.|q|} \leq 0 \\ -1 \leq & \frac{4c^3 + c + 4}{\sqrt{5c^2 + 4 }.\sqrt{4c^4 + 5} } \leq 0 \end{align} $
Agar pertidaksamaan ini terpenuhi, maka :
Pertama,
$ 4c^3 + c + 4 \leq 0 \, $ yang akan terpenuhi untuk $ c < 0 $.
Kedua,
$\begin{align} 4c^3 + c + 4 & \geq -1 \\ 4c^3 + c + 5 & \geq 0 \, \, \, \, \text{(faktorkan)} \\ (c+1)(4c^2 - 4c + 5) & \geq 0 \end{align} $
terpenuhi untuk $ c \geq -1 $.
*). Sehingga solusinya adalah irisan dari kedua nilai $ c $ yaitu $ c < 0 $ dan $ c \geq -1 $
$\begin{align} \text{HP } & = \{ c \geq -1 \} \cap \{ c < 0 \} \\ & = \{ -1 \leq c < 0 \} \end{align} $
Sehingga nilai $ c $ yang memenuhi adalah $ \{ -1 \leq c < 0 \} $ yang juga ada pada interval $ \left( -\frac{4}{3}, 0 \right) $.
Jadi, Nilai $ c $ agar sudut kedua vekor sudut tumpul yaitu $ \left( -\frac{4}{3}, 0 \right) $ atau $ \{ -\frac{4}{3} < c < 0 \} . \, \heartsuit $
Catatan :
Jika $ x $ tidak diganti dengan nilai tertentu, akan sulit bagi kita untuk menyelesaikan soalnya. Namun teman-teman boleh mencoba tanpa menggantikan nilai $ x $ nya terlebih dahulu, tentu langkah-langkah pengerjaannya sama dengan cara di atas. Selamat mencoba.
