Soal yang Akan Dibahas
Misalkan vektor p=(2logxc,2,2logx2c)
dan q=(2logx,2,2logx2c2) dengan
0<x<∞. Nilai c yang memenuhi syarat agar p dan q membentuk
sudut tumpul berada pada interval .....
A). (0,43) B). (−43,0)
C). (−43,43) D). (−13,43)
E). (13,43)
A). (0,43) B). (−43,0)
C). (−43,43) D). (−13,43)
E). (13,43)
♠ Konsep Dasar pada Vektor
*). Misalkan ada dua vektor
p=(p1,p2,p3) dan q=(q1,q2,q3)
*). Perkalian dot p dan q (p.q) :
p.q=p1.q1+p2.q2+p3.q3
juga berlaku :
p.q=|p|.|q|cosθ
Sehingga cosθ=p.q|p|.|q|
*). Panjang vektor p (|p|) :
|p|=√p21+p22+p23
*). Vektor p dan q membentuk sudut tumpul jika
−1≤cosθ≤0 atau −1≤p.q|p|.|q|≤0
*). Sifat logaritma :
alogbn=nalogb
aloga=1
*). Misalkan ada dua vektor
p=(p1,p2,p3) dan q=(q1,q2,q3)
*). Perkalian dot p dan q (p.q) :
p.q=p1.q1+p2.q2+p3.q3
juga berlaku :
p.q=|p|.|q|cosθ
Sehingga cosθ=p.q|p|.|q|
*). Panjang vektor p (|p|) :
|p|=√p21+p22+p23
*). Vektor p dan q membentuk sudut tumpul jika
−1≤cosθ≤0 atau −1≤p.q|p|.|q|≤0
*). Sifat logaritma :
alogbn=nalogb
aloga=1
♣ Pembahasan :
*). Untuk memudahkan dalam penyelesaian, kita pilih x=2 yang memenuhi interval 0<x<∞ , sehingga vektor p dan q menjadi :
p=(2logxc,2,2logx2c)=(2log2c,2,2log22c)=(c2log2,2,2c2log2)=(c,2,2c)q=(2logx,2,2logx2c2)=(2log2,2,2log22c2)=(1,2,2c22log2)=(1,2,2c2)
*). Menentukan p.q dan panjangnya
p.q=(c,2,2c).(1,2,2c2)=c.1+2.2+2c.2c2=4c3+c+4|p|=√c2+22+(2c)2=√5c2+4|q|=√12+22+(2c2)2=√4c4+5
*). Menentukan nilai c agar vektor p dan q membentuk sudut tumpul :
−1≤p.q|p|.|q|≤0−1≤4c3+c+4√5c2+4.√4c4+5≤0
Agar pertidaksamaan ini terpenuhi, maka :
Pertama,
4c3+c+4≤0 yang akan terpenuhi untuk c<0.
Kedua,
4c3+c+4≥−14c3+c+5≥0(faktorkan)(c+1)(4c2−4c+5)≥0
terpenuhi untuk c≥−1.
*). Sehingga solusinya adalah irisan dari kedua nilai c yaitu c<0 dan c≥−1
HP ={c≥−1}∩{c<0}={−1≤c<0}
Sehingga nilai c yang memenuhi adalah {−1≤c<0} yang juga ada pada interval (−43,0).
Jadi, Nilai c agar sudut kedua vekor sudut tumpul yaitu (−43,0) atau {−43<c<0}.♡
Catatan :
Jika x tidak diganti dengan nilai tertentu, akan sulit bagi kita untuk menyelesaikan soalnya. Namun teman-teman boleh mencoba tanpa menggantikan nilai x nya terlebih dahulu, tentu langkah-langkah pengerjaannya sama dengan cara di atas. Selamat mencoba.
*). Untuk memudahkan dalam penyelesaian, kita pilih x=2 yang memenuhi interval 0<x<∞ , sehingga vektor p dan q menjadi :
p=(2logxc,2,2logx2c)=(2log2c,2,2log22c)=(c2log2,2,2c2log2)=(c,2,2c)q=(2logx,2,2logx2c2)=(2log2,2,2log22c2)=(1,2,2c22log2)=(1,2,2c2)
*). Menentukan p.q dan panjangnya
p.q=(c,2,2c).(1,2,2c2)=c.1+2.2+2c.2c2=4c3+c+4|p|=√c2+22+(2c)2=√5c2+4|q|=√12+22+(2c2)2=√4c4+5
*). Menentukan nilai c agar vektor p dan q membentuk sudut tumpul :
−1≤p.q|p|.|q|≤0−1≤4c3+c+4√5c2+4.√4c4+5≤0
Agar pertidaksamaan ini terpenuhi, maka :
Pertama,
4c3+c+4≤0 yang akan terpenuhi untuk c<0.
Kedua,
4c3+c+4≥−14c3+c+5≥0(faktorkan)(c+1)(4c2−4c+5)≥0
terpenuhi untuk c≥−1.
*). Sehingga solusinya adalah irisan dari kedua nilai c yaitu c<0 dan c≥−1
HP ={c≥−1}∩{c<0}={−1≤c<0}
Sehingga nilai c yang memenuhi adalah {−1≤c<0} yang juga ada pada interval (−43,0).
Jadi, Nilai c agar sudut kedua vekor sudut tumpul yaitu (−43,0) atau {−43<c<0}.♡
Catatan :
Jika x tidak diganti dengan nilai tertentu, akan sulit bagi kita untuk menyelesaikan soalnya. Namun teman-teman boleh mencoba tanpa menggantikan nilai x nya terlebih dahulu, tentu langkah-langkah pengerjaannya sama dengan cara di atas. Selamat mencoba.
