Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 201 tahun 2008 nomor 21 sampai 25


Nomor 21
Transpos dari matriks A ditulis A$^t$ . Jika matriks $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -2 & 0 \end{matrix} \right) , B = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right) , $ X
memenuhi A$^t$ = B + X, maka invers dari X adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep invers : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menentukan matriks $X$ :
$\begin{align} A^t & = B + X \\ X & = A^t - B \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right) \\ X & = \left( \begin{matrix} -1 & -1 \\ 4 & -3 \end{matrix} \right) \rightarrow |X| = (-1).(-3)-(-1).4 = 7 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan invers $X$ :
$\begin{align} X^{-1} & = \frac{1}{|X|} \left( \begin{matrix} -3 & -1 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) = \frac{1}{7} \left( \begin{matrix} -3 & -1 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, $ X^{-1} = \frac{1}{7} \left( \begin{matrix} -3 & -1 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) . \heartsuit $
Nomor 22
Pada percobaan melempar dua buah dadu sekaligus, peluang munculnya jumlah mata dadu tidak lebih dari 6 adalah ...
$\clubsuit \, $ Tabel jumlah dua dadu : $n(S) = 6^2=36$
snmptn_matdas_k201_4_2008.png
Artinya : Jumlah 2 ada 1 pasang, jumlah 3 ada 2 pasang, dan seterusnya.
$\clubsuit \, $ Harapannya : Jumlah dadu tidak lebih dari 6
$n(A) = $ jumlah 2 + jumlah 3 + jumlah 4 + jumlah 5 + jumlah 6
$n(A) = $ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
$\clubsuit \, $ Menentukan peluangnnya :
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{15}{36}=\frac{5}{12} $
Jadi, peluangnnya adalah $ \frac{5}{12} . \heartsuit $
Nomor 23
snmptn_matdas_k201_1_2008.png
Dari tabel hasil ujian matematika di atas, jika nilai rata-ratanya 6, maka $x = ...$
$\spadesuit \, $ Rumus dasar rata-rata : $ \overline{x} = \frac{\sum f_i.x_i}{\sum f_i} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $x$
$\begin{align} \overline{x} & = \frac{\sum f_i.x_i}{\sum f_i} \\ 6 & = \frac{20\times 4+40\times 5+70\times 6+8x+10\times 10}{20+40+70+x+10} \\ 6 & = \frac{800+8x}{140+x} \, \, \, \text{(kali silang)} \\ 840 + 6x & = 800 + 8x \\ 2x & = 40 \\ x & = 20 \end{align}$
Jadi, nilai $ x =20 .\heartsuit $
Nomor 24
Persamaan kuadrat $x^2 - 6x+a = 0$ mempunyai akar $x_1$ dan $x_2$ . Jika $x_1$ , $x_2$ , dan $x_1+x_2$ adalah tiga suku pertama deret aritmetika, maka konstanta $a=...$
$\clubsuit \,$ PK $x^2 - 6x+a = 0 $ mempunyai akar $x_1$ dan $x_2$
$x_1+x_2=\frac{-b}{a} = \frac{-(-6)}{1} \rightarrow x_1+x_2 = 6 $ ...pers(i)
$x_1x_2=\frac{c}{a} = \frac{a}{1} \rightarrow x_1x_2 = a $ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika : $x_1$ , $x_2$ , dan $x_1+x_2$
Selisih sama : $x_2-x_1 = (x_1+x_2) - x_2 \rightarrow x_2=2x_1 $
$\clubsuit \, $ Substitusi $x_2=2x_1 $ ke pers(i)
$\begin{align} x_1+x_2 & = 6 \\ x_1+2x_1 & = 6 \\ 3x_1 & = 6 \\ x_1 & = 2 \\ x_2 & = 2x_1 = 2\times 2 = 4 \end{align}$
pers(ii) : $x_1x_2 = a \rightarrow 2\times 4 = a \rightarrow a=8 $
Jadi, nilai $a=8 . \heartsuit $
Nomor 25
Deret geometri tak hingga : $(\log (x-5))^2 + (\log (x-5))^3 + (\log (x-5))^4 + ... $
$\spadesuit \, $ Deret geometri tak hingga, syarat : $ -1 < r < 1 $
Barisan : $(\log (x-5))^2 + (\log (x-5))^3 + (\log (x-5))^4 + ... $
$r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{(\log (x-5))^3}{(\log (x-5))^2} = \log (x-5) $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan syarat
$\begin{align} -1 < & r < 1 \\ -1 < & \log (x-5) < 1 \\ \log 10^{-1} < & \log (x-5) < \log 10 \\ 10^{-1} < & (x-5) < 10 \\ \frac{1}{10} < & (x-5) < 10 \\ 0,1 < & (x-5) < 10 \\ 0,1 + 5 < & (x-5) + 5 < 10 + 5 \\ 5,1 < & x < 15 \end{align}$
Jadi, interval $x$ adalah $ 5,1 < x < 15 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 201 tahun 2008 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Jika $^7 \log 2 = a $ dan $^2 \log 3 = b$ , maka $^6 \log 98 = ...$
$\spadesuit \, $ Sifat logaritma :
$^a \log (bc) = {}^a \log a + {}^a \log c $
$^a \log b^n = n. {}^a \log b $
$^a \log b = \frac{{}^p \log b}{{}^p \log a} = \frac{1}{{}^b \log a} $
$\spadesuit \, $ Memodifikasi soal :
$\begin{align} ^6 \log 98 & = \frac{{}^2 \log 98}{{}^2 \log 6} \\ & = \frac{{}^2 \log (7^2.2)}{{}^2 \log (2.3)} = \frac{{}^2 \log 7^2 + {}^2 \log 2 }{{}^2 \log 3 + {}^2 \log 2} \\ & = \frac{2.{}^2 \log 7 + 1 }{b + 1} = \\ & = \frac{2.\frac{1}{a} + 1 }{b + 1} \times \frac{a}{a} \\ & = \frac{2 + a }{a(b + 1)} \end{align}$
Jadi, bentuk ${}^6 \log 98 = \frac{2 + a }{a(b + 1)} . \heartsuit $
Nomor 17
Adi selalu membelanjakan $\frac{1}{3}$ bagian dari uang yang masih dimilikinya dan ia tidak mempunyai penghasilan lagi. Jika pada saat belanja terakhir sisanya kurang dari $\frac{32}{243}$ uang semula, maka Adi paling sedikit sudah membelanjakan uangnya ...
$\clubsuit \, $ Misalkan uang Adi semula sebanyak $x$
$\clubsuit \, $ Selalu dibelanjakan $\frac{1}{3} $ bagian, berarti sisanya $\frac{2}{3} $ bagian.
$\clubsuit \, $ Berikut sisa setiap kali belanja :
Belanja ke-1 $\rightarrow $ sisa1 = $\frac{2}{3}x $
Belanja ke-2 $\rightarrow $ sisa2 = $\frac{2}{3}\times \text{sisa1} = \frac{2}{3}\times \frac{2}{3}x = \left( \frac{2}{3} \right)^2 x $
Belanja ke-3 $\rightarrow $ sisa3 = $\frac{2}{3}\times \text{sisa2} = \frac{2}{3}\times \left( \frac{2}{3} \right)^2 x = \left( \frac{2}{3} \right)^3 x $
.
.
.
Belanja ke-$n$ $\rightarrow $ sisa$n$ $ = \left( \frac{2}{3} \right)^n x $
$\clubsuit \, $ Belanja ke-$n$ dengan sisa kurang dari $\frac{32}{243} x $
$\begin{align} \left( \frac{2}{3} \right)^n x & < \frac{32}{243} x \\ \left( \frac{2}{3} \right)^n x & < \left( \frac{2}{3} \right)^5 x \\ \left( \frac{2}{3} \right)^n & < \left( \frac{2}{3} \right)^5 \\ n > 5 \end{align}$
Jadi, Adi telah belanja minimal 5 kali. $ \heartsuit $
Nomor 18
Jika 2p+q, 6p+q, dan 14p+q adalah tiga suku deret geometri yang berurutan, maka rasio deretnya adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan geometri, rasio sama :
$\begin{align} \frac{U_2}{U_1} & = \frac{U_3}{U_2} \\ U_2^2 & = U_1 . U_3 \\ (6p+q)^2 & = (2p+q)(14p+q) \\ 36p^2 + 12pq + q^2 & = 28p^2 + 16pq + q^2 \\ 8p^2 & = 4pq \\ 2p & = q \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ q=2p $ ke rasio
$r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{ 6p+q}{2p+q} = \frac{ 6p+2p}{2p+2p} = \frac{ 8p}{4p}=2 $
Jadi, rasionya adalah 2. $ \heartsuit $
Nomor 19
Jumlah n suku pertama deret : $^5 \log \frac{1}{a} + ^5 \log \frac{b}{a} + ^5 \log \frac{b^2}{a} + ... $ adalah ...
$\clubsuit \,$ Deret aritmatika : $ S_n = \frac{n}{2} (2a+(n-1)b) $
$\clubsuit \, $ Menentukan bedanya :
$b = U_2-U_1 = {}^5 \log \frac{b}{a} - {}^5 \log \frac{1}{a} = ^5 \log \left( \frac{b}{a} : \frac{1}{a} \right) = {}^5 \log b $
$\clubsuit \, $ Menentukan $S_n$ :
$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2} (2a+(n-1)b) \\ & = \frac{n}{2} \left( 2. {}^5 \log \frac{1}{a} +(n-1). {}^5 \log b \right) \\ & = \frac{n}{2} \left( {}^5 \log \left( \frac{1}{a} \right)^2 + {}^5 \log b^{n-1} \right) \\ & = \frac{n}{2} \left( {}^5 \log \left( \frac{1}{a^2} \times b^{n-1} \right) \right) \\ & = {}^5 \log \left( \frac{b^{n-1} }{a^2} \right)^\frac{n}{2} \\ S_n & = {}^5 \log \left( \frac{\left( b^{n-1} \right)^\frac{n}{2} }{a^n} \right) \, \heartsuit \end{align}$
Nomor 20
Jika $P = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right) $ dan $ I = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $ , maka $-P^4+2P^3+3P^2+4I = ... $
$\spadesuit \, $ Menentukan perkalian matriksnya :
$P^2 = P.P = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$P^3 = P^2.P = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) $
$P^4 = P^2.P^2 = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) .\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & -P^4+2P^3+3P^2+4I \\ & = -\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) + 2\left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right)+3\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)+4\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 & 2 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2 & 2 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right) = -2\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right) = -2P \end{align}$
Jadi, $-P^4+2P^3+3P^2+4I = -2P \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Perkalian identitas matriks : $P.I = I.P = P$
$\spadesuit \, $ Menentukan perkalian matriksnya :
$P^2 = P.P = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)=-I $
$P^3 = P^2.P = -I.P = -P $
$P^4 = P^2.P^2 =-I .-I = I $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal :
$\begin{align} -P^4+2P^3+3P^2+4I & = -I + 2(-P)+3(-I)+4I \\ &= -2P \end{align}$
Jadi, $-P^4+2P^3+3P^2+4I = -2P \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 201 tahun 2008 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1} = ...$
$\spadesuit \, $ Menggunakan turunan
$y=x\sqrt{x} \rightarrow y=x^{\frac{3}{2}} \rightarrow y^\prime = \frac{3}{2}\sqrt{x} $
$y=\sqrt{x} \rightarrow y=x^{\frac{1}{2}} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
$\spadesuit \, $ Menentukan limitnya dengan turunan
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1} & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{3x+x^{\frac{3}{2}} -4}{x^{\frac{1}{2}}-1} \, \, \, \text{(diturunkan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{3+\frac{3}{2}\sqrt{x}-0}{\frac{1}{2\sqrt{x}}-0} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} (6\sqrt{x} + 3 x ) \\ & = 6 \sqrt{1} + 3.1 = 9 \end{align}$
Jadi, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1} = 9. \heartsuit $
Nomor 12
Volume balok terbesar yang luas semua bidang sisinya 96 cm$^2$ dan alasnya persegi adalah ...
$\clubsuit \, $ gambar :
snmptn_matdas_k201_3_2008.png
$\clubsuit \, $ Luas Permukaan
$L_p = 4xt+2x^2 \rightarrow 96 = 4xt+2x^2 \rightarrow t = \frac{96-2x^2}{4x} $
$\clubsuit \, $ Volume kotak
$V=L_a \times t \rightarrow V = x^2 . t \rightarrow V = x^2 . \frac{96-2x^2}{4x} = \frac{1}{4}(96x-2x^3) $
$\clubsuit \, $ Nilai maks/min , syarat : $V^\prime = 0 $
$V^\prime = 0 \rightarrow \frac{1}{4} ( 96-6x^2 ) = 0 \rightarrow x = 4 $
$V_{\text{maks}} = \frac{1}{4}(96x-2x^3) = \frac{1}{4}(96\times 4-2\times 4^3) = 64 $
Jadi, volume kotak terbesarnya adalah 64. $ \heartsuit $

Cara II :
$\clubsuit \, $ Volume maksimum jika diketahui luas permukaan dan alasnya persegi : $V_{\text{maks}} = \left( \frac{L_p}{6} \right)^{\frac{3}{2}} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai volume maksimum :
$V_{\text{maks}} = \left( \frac{L_p}{6} \right)^{\frac{3}{2}} = \left( \frac{96}{6} \right)^{\frac{3}{2}} = \left( 16 \right)^{\frac{3}{2}} = \left( 4^2 \right)^{\frac{3}{2}} = 4^{\not{2}\times \frac{3}{\not{2}} } = 4^3 = 64 $
Jadi, volume kotak terbesarnya adalah 64. $ \heartsuit $
Nomor 13
Nilai minimum dari fungsi $y=(x-3)\sqrt{x}$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan fungsi
$ y=(x-3)\sqrt{x} \rightarrow y = x\sqrt{x} - 3 \sqrt{x} \rightarrow y = x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} $
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan
$y=x\sqrt{x} \rightarrow y=x^{\frac{3}{2}} \rightarrow y^\prime = \frac{3}{2}\sqrt{x} $
$y=\sqrt{x} \rightarrow y=x^{\frac{1}{2}} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
$\spadesuit \, $ Nilai maks/min , syarat : $y^\prime = 0 $
$\begin{align} y & = x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} \\ y^\prime & = \frac{3}{2}\sqrt{x} - \frac{3}{2\sqrt{x}} \\ y^\prime & = 0 \\ \frac{3}{2}\sqrt{x} - \frac{3}{2\sqrt{x}} & = 0 \\ \frac{3}{2} \left( \frac{x-1}{\sqrt{x}} \right) & = 0 \\ x & = 1 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $x=1$ ke fungsi $y=(x-3)\sqrt{x}$
$\text{Nilai} \, y_\text{min} \, = (x-3)\sqrt{x} = (1-3)\sqrt{1} = -2 $
Jadi, nilai minimumnya adalah -2. $ \heartsuit $
Nomor 14
Turunan pertama dari fungsi $y=\frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}$ adalah ...
$\clubsuit \,$ Rumus dasar : $y=\frac{u}{v} \rightarrow y^\prime = \frac{u^\prime . v - u . v^\prime}{v^2} $
$y=\frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} = \frac{u}{v} $
$u = \cos x - \sin x \rightarrow u^\prime = -\sin x - \cos x $
$v = \cos x + \sin x \rightarrow v^\prime = -\sin x + \cos x $
$\clubsuit \,$ Menentukan turunannya :
$\begin{align} y^\prime & = \frac{u^\prime . v - u . v^\prime}{v^2} \\ & = \frac{(-\sin x - \cos x) . (\cos x + \sin x) - (\cos x - \sin x) . (-\sin x + \cos x)}{(\cos x + \sin x)^2} \\ & = \frac{-2(\sin ^2 x + \cos ^2 x)}{(\cos x + \sin x)^2} \\ & = \frac{-2\times 1}{(\cos x + \sin x)^2} \\ & = \frac{-2}{(\cos x + \sin x)^2} \end{align}$
Jadi, turunan pertamanya adalah $ \frac{-2}{(\cos x + \sin x)^2} . \heartsuit $
Nomor 15
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\frac{\sqrt[3]{4^{5-x}}}{8}=\frac{1}{2^{2x+1}}$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Rumus dasar : $a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
$\sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} , \, (a^m)^n = a^{m.n}, \, \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \, a^{\frac{1}{n} = a^{-n}} $
$\spadesuit \, $ Menyamakan basisnya
$\begin{align} \frac{\sqrt[3]{4^{5-x}}}{8} & = \frac{1}{2^{2x+1}} \\ \frac{(2^2)^\frac{5-x}{3}}{2^3} & = 2^{-(2x+1)} \\ \frac{2^\frac{10-2x}{3}}{2^3} & = 2^{-(2x+1)} \\ \not{2}^{\frac{10-2x}{3} - 3 } & = \not{2}^{-(2x+1)} \\ \frac{10-2x}{3} - 3 & = -(2x+1) \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 10-2x-9 & = -6x-3 \\ 4x & = -4 \\ x & = -1 \end{align}$
Jadi, solusinya adalah $ x = -1 .\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 201 tahun 2008 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Nilai maksimum dari $F=2x+3y$ pada daerah $3x+y \geq 9 , \, 3x+2y \leq 12, \, x \geq 0 , \, y \geq 0 $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan titik pojok
$3x+y \geq 9 \rightarrow $ (0,9) , (3,0)
titik (3,0) adalah titik pojok karena memenuhi pertidaksamaan kedua
$3x+2y \leq 12 \rightarrow $ (0,6), (4,0)
titik (4,0) adalah titik pojok karena memenuhi pertidaksamaan pertama
$\spadesuit \, $ Titik potong kedua garis dengan eliminasi
$\begin{array}{cc} 3x+y = 9 & \\ 3x+2y = 12 & - \\ \hline y=3,x=2 \end{array}$
titik pojok ketiga (2,3)
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan : $F=2x+3y$
(3,0) $\rightarrow F = 2\times 3 + 3 \times 0 = 6 $
(4,0) $\rightarrow F = 2\times 4 + 3 \times 0 = 8 $
(2,3) $\rightarrow F = 2\times 2 + 3 \times 3 = 13 $
Jadi, nilai maksimumnya adalah 13. $ \heartsuit $
Nomor 7
Jika garis $g$ menyinggung kurva $y=\sin x + \cos x $ di titik yang absisnya $\frac{1}{2}\pi$ , maka garis $g$ memotong sumbu Y di titik ...
$\clubsuit \, $ Substitusi absis = $\frac{\pi}{2} $ ke kurva
$y=\sin x + \cos x \rightarrow y= \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 0 $
titik singgungnya ($\frac{\pi}{2} , 1 $ ) sebagai ($x_1,y_1$)
$\clubsuit \, $ Gradien garis singgung : $m = f^\prime (x) $
$\begin{align} y & = \sin x + \cos x \\ y^\prime & = \cos x - \sin x \\ m & = f^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right) \\ m & = \cos \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2} = 0 - 1 = -1 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Persamaan garis singgung
$\begin{align} y-y_1 & = m (x-x_1) \\ y-1 & = -1 \left( x- \frac{\pi}{2} \right) \\ y & = -x + \frac{\pi}{2} + 1 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Titik potong sumbu Y, substitusi $x=0$
$y = -x + \frac{\pi}{2} + 1 \rightarrow y = -0 + \frac{\pi}{2} + 1 = 1 + \frac{1}{2}\pi $
Jadi, titik potong sumbu Y adalah $ \left( 0, 1 + \frac{1}{2}\pi \right) \heartsuit$
Nomor 8
Jika $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2} $ , maka $\sin ^3 \theta + \cos ^3 \theta = ... $
$\spadesuit \, $ Rumus dasar (identitas trigonometri) : $\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1 $
$\spadesuit \, $ Kuadratkan persamaan :
$\begin{align*} \left( \sin \theta + \cos \theta \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \\ \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta & = \frac{1}{4} \\ 1 + 2\sin \theta \cos \theta & = \frac{1}{4} \\ \sin \theta \cos \theta & = -\frac{3}{8} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Rumus dasar : $A^3+B^3=(A+B)^3 - 3AB(A+B) $
$\spadesuit \, $ Menentukan $\sin ^3 \theta + \cos ^3 \theta$
$\begin{align*} \sin ^3 \theta + \cos ^3 \theta & = (\sin \theta +\cos \theta )^3 - 3\sin \theta \cos \theta (\sin \theta + \cos \theta ) \\ & = \left( \frac{1}{2} \right)^3 - 3 \times \left( -\frac{3}{8} \right) \times \left( \frac{1}{2} \right) \\ & = \frac{1}{8} + \frac{9}{16} \\ & = \frac{11}{16} \end{align*}$
Jadi, nilai $\sin ^3 \theta + \cos ^3 \theta = \frac{11}{16} . \heartsuit$
Nomor 9
Jika BC = 16, AC = 10, dan luas $\Delta$ABC = 40$\sqrt{3}$ , maka AB = ...
$\clubsuit \, $ gambar
snmptn_matdas_k201_2_2008.png
$\clubsuit \, $ Luas segitiga
$\begin{align*} \text{Luas}\Delta ABC & = \frac{1}{2} .CA.CB.\sin C \\ 40\sqrt{3} & = \frac{1}{2} .10.16.\sin C \\ \sin C & = \frac{1}{2} \sqrt{3} \\ C & = 60 ^o \\ \cos C & = \cos 60^o = \frac{1}{2} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Aturan cosinus untuk AB
$\begin{align*} AB^2 & = CA^2 + CB^2 - 2 . CA . CB \cos C \\ & = 10^2 + 16^2 - 2 \times 10 \times 16 \times \frac{1}{2} \\ & = 100+256-160 \\ AB^2 & = 196 \\ AB & = \sqrt{196}+14 \end{align*}$
Jadi, panjang AB = 14. $\heartsuit $
Nomor 10
$\displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4}\pi} \frac{1-2\sin x \cos x}{\sin x - \cos x} = ...$
$\spadesuit \, $ Rumus dasar (identitas trigonometri) : $\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $
$\begin{align} 1-2\sin x \cos x & = [\sin ^2 x + \cos ^2 x] - 2\sin x \cos x \\ & = \sin ^2 x - 2\sin x \cos x + \cos ^2 x \\ & = ( \sin x - \cos x )^2 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan limitnya :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4}\pi} \frac{1-2\sin x \cos x}{\sin x - \cos x} & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4}\pi} \frac{ ( \sin x - \cos x )^2 }{\sin x - \cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4}\pi} \sin x - \cos x \\ & = \sin \frac{1}{4}\pi - \cos \frac{1}{4}\pi \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} - \frac{1}{2}\sqrt{2} = 0 \end{align}$
Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4}\pi} \frac{1-2\sin x \cos x}{\sin x - \cos x} = 0 . \heartsuit $

Cara II (Menggunakan turunan)
$\spadesuit \, $ Rumus dasar : $\sin 2x = 2 \sin x \cos x $
$ y = \sin 2x \rightarrow y^\prime = 2\cos 2x $
$ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $
$ y = \cos x \rightarrow y^\prime = - \sin x $
$\spadesuit \, $ Konsep limit dengan turunan :
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \rightarrow \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
$\spadesuit \, $ Menentukan limitnya dengan turunan
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4}\pi} \frac{1-2\sin x \cos x}{\sin x - \cos x} & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4}\pi} \frac{ 1- \sin 2x }{\sin x - \cos x} \, \, \, \text{(diturunkan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4}\pi} \frac{ 0- 2 \cos 2x }{\cos x - ( - \sin x )} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4}\pi} \frac{ 2 \cos 2x }{\cos x + \sin x } \\ & = \frac{ 2 \cos ( 2\times \frac{1}{4}\pi ) }{\cos \frac{1}{4}\pi + \sin \frac{1}{4}\pi } \\ & = \frac{0}{\frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\sqrt{2}} = 0 \end{align}$
Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4}\pi} \frac{1-2\sin x \cos x}{\sin x - \cos x} = 0 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 201 tahun 2008


Nomor 1
Dalam bentuk pangkat positif, $\frac{x^{-2}-y^{-2}}{(xy)^{-2}} = ...$
$\clubsuit \, $ Rumus dasar ; $a^{-n}=\frac{1}{a^n} $ dan $(ab)^n=a^n.b^n$
$\begin{align} \frac{x^{-2}-y^{-2}}{(xy)^{-2}} & = \frac{\left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} \right) }{\frac{1}{(xy)^2}} \\ & = \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} \right) . (xy)^2 \\ & = \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} \right) . (x^2y^2) \\ & = \frac{x^2.y^2}{x^2}- \frac{x^2.y^2}{y^2} \\ & = y^2 - x^2 \\ & = -(x^2-y^2) \\ & = -(x-y)(x+y) \end{align}$
Jadi, bentuk pangkat positifnya adalah $-(x-y)(x+y). \heartsuit $
Nomor 2
Jika $\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{5}}} = a + b\sqrt{5}$ , maka $a+b = ...$
$\spadesuit \, $ Merasionalkan penyebutnya :
$\begin{align} a + b\sqrt{5} & = \frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{5}}} \\ & = \frac{\frac{\sqrt{5}-2}{2\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{5}+2}{2\sqrt{5}}} = \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2} \\ & = \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2} \times \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2} \\ & = \frac{5-4\sqrt{5}+4}{5-4} = \frac{9 - 4\sqrt{5}}{1} \\ a + b\sqrt{5} & = 9 - 4\sqrt{5} \end{align}$
Sehingga : $a = 9 $ dan $ b = -4 $
Jadi, nilai $a+b=9+(-4)=5 . \heartsuit $
Nomor 3
Garis $ax+by+c=0$ melalui titik A(1,-2), B(-5,2), dan C(10,-8). Jika $a$ , $b$ , dan $c$ tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1, maka $a+b+c = ...$
$\clubsuit \, $ Persamaan garis melalui dua titik :
A(1,-2) sebagai ($x_1,y_1$) dan B(-5,2) sebagai ($x_2,y_2$)
$\begin{align*} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-(-2)}{2-(-2)} & = \frac{x-1}{-5-1} \\ \frac{y+2}{4} & = \frac{x-1}{-6} \\ -6y-12 & = 4x - 4 \\ 4x + 6y + 8 & = 0 \\ 2x + 3y + 4 & = 0 \, \, \text{(sama dengan)} \\ ax + by + c & = 0 \end{align*}$
Sehingga, $a=2, \, b=3 , \, c= 4$
$a+b+c = 2+3+4 = 9$
Jadi, nilai $ a+b+c = 9. \heartsuit $
Nomor 4
Persamaan garis singgung pada parabola: $y=2x^2-16x+24$ di titik potongnya dengan sumbu Y adalah ...
$\spadesuit \, $ Titik potong sumbu Y, substitusi $x=0$
$y=2x^2-16x+24=2.0^2-16.0+24=24$
titik singgungnya : (0, 24) sebagai ($x_1,y_1$)
$\spadesuit \, $ Gradien garis singgung : $m = f^\prime (x_1) $
$y=2x^2-16x+24 \rightarrow f^\prime (x) = 4x - 16$
$m = f^\prime (x_1) \rightarrow m = f^\prime (0) \rightarrow m = 4.0 - 16 = -16 $
$\spadesuit \, $ Persamaan garis singgung :
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-24 & = -16(x-0) \\ y & = -16x + 24 \end{align}$
Jadi, PGS nya adalah $ y = -16x + 24. \heartsuit $
Nomor 5
Persamaan kuadrat $x^2-ax+1=0$ mempunyai akar $x_1$ dan $x_2$ . Jika persamaan kuadrat $x^2+px+q=0$ mempunyai akar-akar $\frac{x_1^3}{x_2}$ dan $\frac{x_2^3}{x_1}$ , maka $p = ...$
$\clubsuit \, x^2-ax+1=0 \, \, \, $ mempunyai akar $x_1$ dan $x_2$
$x_1+x_2=\frac{-b}{a} = \frac{-(-a)}{1} = a $
$x_1.x_2=\frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1 $
$\begin{align*} x_1^4+x_2^4 & = \left( x_1^2 + x_2^2 \right)^2 - 2 (x_1.x_2)^2 \\ & = \left[ (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 \right]^2 - 2 (x_1.x_2)^2 \\ & = \left[ (a)^2-2\times 1 \right]^2 - 2 (1)^2 \\ & = \left( a^2-2 \right)^2 - 2 \\ x_1^4+x_2^4 & = a^4-4a^2+2 \end{align*}$
$\clubsuit \, x^2+px+q=0\, \, $ mempunyai akar-akar $\frac{x_1^3}{x_2}$ dan $\frac{x_2^3}{x_1}$
$\begin{align*} \frac{x_1^3}{x_2} + \frac{x_2^3}{x_1} & = \frac{-b}{a} \\ \frac{x_1^4+x_2^4}{x_1x_2} & = \frac{-p}{1} \\ \frac{a^4-4a^2+2}{1} & = -p \\ p & = -a^4+4a^2-2 \end{align*}$
Jadi, nilai $ p = -a^4+4a^2-2. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25