Pembahasan Peluang UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Dari angka 0, 1, 2, ..., 9 disusun bilangan ratusan sehingga tidak ada angka yang muncul berulang. Peluang bilangan yang terbentuk merupakan kelipatan 5 adalah ....
A). $ \frac{19}{81} \, $ B). $ \frac{17}{81} \, $ C). $ \frac{16}{81} \, $ D). $ \frac{13}{81} \, $ E). $ \frac{11}{81} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus peluang kejadian A yaitu $ P(A) $ :
$ \, \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
keterangan :
$ n(A) = \, $ banyak kejadian yang diharapkan
$ n(S) = \, $ semua kejadian yang mungkin (ruang sampel)
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A
*). Suatu bilangan dikatakan sebagai kelipatan 5 jika angka satuannya 0 atau 5.
*). Untuk penyusunan banyak bilangan kita gunakan aturan perkalian (dikalikan). Untuk memudahkan kita buat dalam bentuk kotak saja.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pilihan angkanya : 0, 1, 2, ... , 9 (ada 10 pilihan)
-). akan dibuat bilangan ratusan (tiga digit yaitu ratusan-puluhan-satuan) tidak boleh berulang.
-). Tidak boleh berulang artinya angka yang sudah digunakan tidak boleh dipakai lagi (tidak boleh ada angka yang kembar) atau berkurang satu terus.
*). Menentukan semua kemungkinan ratusan yang terbentuk $ [n(S)] $ :
susunannya : $ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 9 & 9 & 8 \\ \hline \end{array} $
Keterangan :
-). Ratusannya tidak boleh nol (kalau nol maka ratusannya tidak terbaca) ada 9 pilihan yaitu 1, 2, 3, ..., 9
-). Satu angka sudah digunakan untuk ratusan, sehingga tersisa 9 pilihan angka untuk puluhan.
-). dua angka sudah digunakan untuk ratusan dan puluhan, sehingga tersisa 8 pilihan angka untuk satuan.
Sehingga $ n(S) = 9.9.8 = 648 $
*). Menentukan kejadian yang diharapkan $ [n(A)] $
Agar bilangan kelipatan 5, maka satuannya harus 0 atau 5. Kita bagi menjadi dua kasus yaitu :

-). satuannya 0 :
susunannya : $ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 9 & 8 & 1 \\ \hline \end{array} $
cara I = $ 9 . 8 . 1 = 72 $
Keterangan :
-). satuannya harus nol sehingga ada satu pilihan.
-). satu angka sudah dipakai untuk satuan, sehingga sisanya 9 angka untuk ratusan.
-). dua angka sudah dipakai untuk satuan dan ratusan, sehingga sisanya 8 angka untuk puluhan.

-). satuannya 5 :
susunannya : $ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 8 & 8 & 1 \\ \hline \end{array} $
cara II = $ 8 . 8 . 1 = 64 $
Keterangan :
-). satuannya harus 5 sehingga ada satu pilihan.
-). satu angka sudah dipakai untuk satuan, kemudian ratusan tidak boleh 0, sehingga ada 8 pilihan untuk ratusan.
-). dua angka sudah dipakai untuk satuan dan ratusan, sehingga sisanya 8 angka untuk puluhan.

Nilai $ n(A) $ nya yaitu :
$ n(A) = \, \text{cara I } + \text{ cara II } = 72 + 64 = 136 $
*). Menentukan peluangnya :
$\begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{136}{648} = \frac{17}{81} \end{align} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{17}{81} . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \cos \alpha = \frac{1}{3} $ , maka $ \frac{\sin ( \pi + \alpha ) + \sin \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right) } {\tan \alpha} = .... $
A). $ \frac{\sqrt{2}-4}{12} \, $ B). $ \frac{\sqrt{2}-4}{6} \, $ C). $ \frac{\sqrt{2}-4}{3} \, $
D). $ \sqrt{2}-4 \, $ E). $ \sqrt{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Jika diketahui salah satu nilai trigonometri, maka untuk mencari nilai trigonometri yang lainnya cukup dengan membuat segitiga siku-sikunya yang dilengkapi dengan pythagoras.
*). Rumus perbandingan dasar trigonometri pada segitiga siku-siku :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} , \, \cos x = \frac{samping}{miring} , $ dan $ \tan x = \frac{depan}{samping} $
*). Hubungan kuadran :
$ \sin ( \pi + A) = - \sin A $
$ \sin \left( \frac{\pi}{2} + A \right) = \cos A $
-). Nilai cos positif di kuadran I atau IV.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ \cos \alpha = \frac{1}{3} = \frac{samping}{miring} $
$ depan = \sqrt{mi^2 - sa^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
gambar segitiganya :
 

*). Karena nilai $ \cos \alpha $ nya positif, maka $ \alpha $ ada dikuadran I atau IV. Kita coba menghitung untuk $ \alpha $ di kuadran I, pada kuadran I semua nilai trignometri positif :
$ \sin \alpha = \frac{de}{mi} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $
$ \tan \alpha = \frac{de}{sa} = \frac{2\sqrt{2}}{1} = 2\sqrt{2} $
*). Menyelesaikan soalnya :
$\begin{align} & \frac{\sin ( \pi + \alpha ) + \sin \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right) }{\tan \alpha} \\ & = \frac{- \sin \alpha +\cos \alpha }{\tan \alpha} \\ & = \frac{- \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{3} }{ 2\sqrt{2} } \\ & = \frac{- \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{3} }{ 2\sqrt{2} } \times \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} \\ & = \frac{- 4 + \sqrt{2} }{ 12 } \\ & = \frac{\sqrt{2} - 4 }{ 12 } \end{align} $
-). Karena $ \frac{\sqrt{2} - 4 }{ 12 } $ sudah ada dioptionnya, maka untuk $ \alpha $ dikuadran IV tidak perlu kita hitng lagi.
Jadi, hasilnya adalah $ \frac{\sqrt{2} - 4 }{ 12 } . \, \heartsuit $