Pembahasan Volume Maksimum SM Unram 2018 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Kotak segi empat dibuat dari selembar karton dengan panjang 24 cm dan lebar 9 cm dengan cara memotong persegi identik pada keempat pojok dan melipat ke atas sisi-sisinya. Maka volume maksimum yang diperoleh adalah ... cm$^3$
A). $ 100 \, $ B). $ 200 \, $ C). $ 225 \, $ D). $ 250 \, $ E). $ 375 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Nilai maksimum atau minimum fungsi $ f(x) $ :
Fungsi $ f(x) $ akan maksimum/minimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
(Turunan pertama = 0 ).
*). Uji nilai maksimum/minimum
Misalkan dari $ f^\prime (x) = 0 $ kita peroleh $ x_1, x_2, ... $
Uji turunan kedua :
jika $ \, f^ {\prime \prime } (x_1) < 0 \rightarrow \, $ maka jenisnya maksimum
jika $ \, f^ {\prime \prime } (x_1) = 0 \rightarrow \, $ maka jenisnya titik belok
jika $ \, f^ {\prime \prime } (x_1) > 0 \rightarrow \, $ maka jenisnya minimum

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya
 

Misalkan ukuran persegi yang di sudut-sudutnya adalah $ x $ cm.
Ukuran kotaknya :
Alas : $ p = 24 - 2x $ dan $ l = 9 - 2x $
tinggi : $ t = x $
*). Menentukan Rumus volume kotaknya :
$\begin{align} V & = p.l.t \\ & = (24-2x).(9-2x).x \\ & =(216 -48x - 18x + 4x^2).x \\ & = (4x^2 - 66x + 216)x \\ & = 4x^3 - 66x^2 + 216x \end{align} $
*). Menentukan turunan fungsi volumenya :
$\begin{align} V & = 4x^3 - 66x^2 + 216x \\ V^\prime & = 12x^2 - 132x + 216 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x $ dengan syarat $ V^\prime = 0 $ :
$\begin{align} V^\prime & = 0 \\ 12x^2 - 132x + 216 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 12)} \\ x^2 - 11x + 18 & = 0 \\ (x -2)(x-9) & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 9 \end{align} $
-). Karena nilai $ p, l, $ dan $ t $ harus positif, maka $ x = 2 $ yang memenuhi. Artinya kota akan maksimum volumenya pada saat $ x = 2 $.
-). Sehingga ukuran kotaknya :
$ p = 24 - 2x = 24 - 2.2 = 20 $
$ l = 9 - 2x = 9 - 2.2 = 5 $
$ t = 2 $.
*). Menentukan maksimumnya :
$\begin{align} V & = p.l.t = 20.5.2 = 200 \end{align} $
Jadi, volume maksimumnya adalah $ 200 $ cm$^3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak SM Unram 2018 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
KPK dari dua suku banyak $ (2x^2 - 3x - 2) $ dan $ (x^3 - 4x^2 + 4) $ adalah ...
A). $ x(x-2)^2 \, $ B). $ x(2x+1) \, $ C). $ (x-2)^2(2x+1) \, $
D). $ (x-2)(2x+1) \, $ E). $ x(x-2)^2(2x+1) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) :
Misalkan terdapat dua bilangan yang sudah dibuat dalam bentuk faktorisasinya yaitu bilangan $ P = a^m.b^n $ dan $ Q = a^x.c^y $, maka KPK dari P dan Q adalah $ a^m.b^n.c^y $ dengan $ m \geq x $.
*). Cara menentukan KPK dua atau lebih bilangan yaitu :
-). Ambil faktor yang sama dengan pangkat tertinggi.
-). Ambil semua faktor yang berbeda.
-). KPK nya adalah hasil perkalian semuanya.
*). KPK bentuk suku banyak caranya sama dengan KPK dari bilangan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui suku banyak $ (2x^2 - 3x - 2) $ dan $ (x^3 - 4x^2 + 4) $
*). Menentukan pemfaktoran masing-masing :
$\begin{align} (2x^2 - 3x - 2) & = (x-2)(2x+1) \\ (x^3 - 4x^2 + 4) & = (x^3 - 4x^2 + 4) \end{align} $
Ternyata bentuk $ (x^3 - 4x^2 + 4) $ tidak bisa difaktorkan lagi.
*). Menentukan KPK nya :
KPK $ = (x-2)(2x+1) (x^3 - 4x^2 + 4) $.

Catatan :
-). Ternyata bentuk $ (x-2)(2x+1) (x^3 - 4x^2 + 4) $ tidak ada pada Optionnya.
-). Menurut kami ada kekurangan atau kesalahan ketik pada soal terutama suku banyak yang kedua. Seharusnya bentuknya adalah $ (x^3 - 4x^2 + 4x) $ sehingga pemfaktorannya :
$\begin{align} (x^3 - 4x^2 + 4x) & = x(x^2 - 4x + 4) \\ & = x(x-2)^2 \end{align} $
-). Bentuk pemfaktoran keduanya yaitu :
$\begin{align} (2x^2 - 3x - 2) & = (x-2)(2x+1) \\ (x^3 - 4x^2 + 4) & = x(x-2)^2 \end{align} $
-). KPKnya yaitu :
KPK $ = x(x-2)^2(2x+1) $
Jadi, KPK nya adalah $ x(x-2)^2(2x+1) . \, \heartsuit $