Pembahasan Garis Singgung SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 101

Soal yang Akan Dibahas
Jika garis singgung dari kurva $ y = x^3 + a\sqrt{x} $ di titik $ (1,b) $ adalah $ y = ax - c $ , maka $ a + b + c = .... $
A). $ 10 \, $ B). $ 11 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 14 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $(x_1,y_1)$ memiliki gradien $ m = f^\prime (x_1) $.
*). Gradien garis $ y = ax + b $ adalah $ m = a $.
*). Turunan fungsi : $ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui pada soal :
-). Kurvanya $ y = x^3 + a\sqrt{x} \rightarrow y^\prime = f^\prime (x) = 3x^2 + \frac{a}{2\sqrt{x}} $.
-). Garis singgungnya $ y = ax - c $,
gradie garis singgungnya $ m = a $.
*). Menentukan nilai $ a $ dengan substitusi $ x_1 = 1 $ :
$\begin{align} m & = f^\prime (x_1) \\ a & = f^\prime (1) \\ a & = 3.1^2 + \frac{a}{2\sqrt{1}} \\ a & = 3 + \frac{a}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2a & = 6 + a \\ a & = 6 \end{align} $
Sehingga fungsi kurvanya : $ y = x^3 + 6\sqrt{x} $.
*). Menentukan titik singgungnya $ (1,b) $ ke kurva :
$\begin{align} y & = x^3 + 6\sqrt{x} \\ b & = 1^3 + 6\sqrt{1} \\ b & = 7 \end{align} $
titik singgungnya $ (x_1,y_1)=(1,b) = (1,7) $.
*). Substitusi titik singgung ke garis
$\begin{align} (x_1,y_1)=(1,7) \rightarrow y & = ax - c \\ 7 & = 6.1 - c \\ c & = -1 \end{align} $
Kita peroleh : $ a = 6, b = 7 , c = -1 $.
nilai $ a + b + c = 6 + 7 + (-1) = 12 $.
Jadi, nilai $ a + b + c = 12 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 101

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ f(x) = \sin (\cos ^2 x ) $ , maka $ f^\prime (x) = .... $
A). $ -2\sin x . \cos ( \cos ^2 x) \, $
B). $ -2\sin 2x . \cos ( \cos ^2 x) \, $
C). $ -\sin x . \cos ( \cos ^2 x) \, $
D). $ -\sin 2x . \cos ( \cos ^2 x) \, $
E). $ -\sin ^2 x . \cos ( \cos ^2 x) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \sin g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) \cos g(x) $.
$ y = \cos ^n x \rightarrow y^\prime = -n \sin x . \cos ^{n-1} x $.
*). Rumus sudut ganda :
$ 2\sin x . \cos x = \sin 2x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ g(x) = \cos ^2 x $ , Turunannya :
$ g^\prime (x) = -2.\sin x .\cos x = -\sin 2x $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} f(x) & = \sin (\cos ^2 x ) \\ f(x) & = \sin ( g(x) ) \\ f^\prime (x) & = g^\prime (x) \cos ( g(x) ) \\ f^\prime (x) & = -\sin 2x .\cos (\cos ^2 x) \end{align} $
Jadi, $ f^\prime (x) = -\sin 2x .\cos (\cos ^2 x) . \, \heartsuit $

Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 101

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan dua fungsi rasional $ y = \frac{3x^2-3x+7}{x^2-5x+4} $ dan $ y = \frac{ax^2 - 3x + 2}{bx^2 + 2x -3} $ , $ a > 0 $ . Jika diketahui kedua kurva mempunyai sebuah asimtot tegak yang sama dan asimtot datar keduanya berjarak 4 satuan, maka $ a = ..... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan asimtot mendatar kurva $ y = f(x) $ yaitu $ y = \displaystyle \lim_{x \to \infty } f(x) $ atau $ y = \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) $ dengan hasil limitnya bukan $ \infty $ atau $ -\infty $.
*). Asimtot tegak $ x = a $ dan $ x = b $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to b } f(x) = \infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan dengan $ x = a $ dan $ x = b $ adalah akar-akar dari penyebutnya.
*). Konsep limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{cx^3 + ...}{dx^3 + ... } = \frac{c}{a} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan persamaan asimtot mendatar kedua fungsi :
-). Persamaan pertama : $ y = \frac{3x^2-3x+7}{x^2-5x+4} $
$\begin{align} y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{3x^2-3x+7}{x^2-5x+4} \rightarrow y = \frac{3}{1} \rightarrow y = 3 \end{align} $
-). Persamaan kedua : $ y = \frac{ax^2 - 3x + 2}{bx^2 + 2x -3} $
$\begin{align} y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{ax^2 - 3x + 2}{bx^2 + 2x -3} \rightarrow y = \frac{a}{b} \end{align} $
*). Asimtot datar berjarak $ 4 $ dengan $ a > 0 $ , sehingga :
$\begin{align} \frac{a}{b} - 3 & = 4 \rightarrow \frac{a}{b} = 7 \rightarrow a = 7b \end{align} $
*). Menentukan asimtot tegak :
Asimtot tegak adalah akar-akar dari penyebut fungsinya , sehingga :
-). Persamaan pertama penyebutnya : $ x^2-5x+4 $
$ x^2-5x+4 = 0 \rightarrow (x - 1)(x - 4) = 0 \rightarrow x = 1 \vee x = 4 $
Sehingga persamaan asimtot tegak fungsi pertama adalah $ x = 1 $ dan $ x = 4 $.
-). Persamaan kedua penyebutnya : $ bx^2 + 2x -3 = 0 $,
Karena salah satu asimtot tegak kedua fungsi sama, maka salah satu akar penyebut dari kedua fungsi sama. Kita bagi menjadi dua kasus berdasarkan akar-akar penyebut fungsi pertama, yaitu :
(i). untuk $ x = 1 $, penyebut fungsi kedua
$ bx^2 + 2x -3 = 0 \rightarrow b.1^2 + 2.1 -3 = 0 \rightarrow b = 1 $
(ii). untuk $ x = 4 $, penyebut fungsi kedua
$ bx^2 + 2x -3 = 0 \rightarrow b.4^2 + 2.4 -3 = 0 \rightarrow b = -\frac{5}{16} $
Karena $ a > 0 $ , maka yang memenuhi $ b = 1 $
Sehingg anilai $ a = 7b = 7 . 1 = 7 $.
Jadi, nilai $ a = 7 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Limit TakHingga SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 101

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \csc \frac{1}{x} - \cot \frac{1}{x} = .... $
A). $ -\infty \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ + \infty $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penerapan turunan pada limit (Dalil L'Hospital)
$ \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{f(y)}{g(y)} = \frac{0}{0} \, $ memiliki penyelesaian $ \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{f(y)}{g(y)} = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{f^\prime (y)}{g^\prime (y)} \, $
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ f = \cos y \rightarrow f^\prime = -\sin y $
$ f = \sin y \rightarrow f^\prime = \cos y $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \csc \frac{1}{x} - \cot \frac{1}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \csc y - \cot y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1}{\sin y} - \frac{\cos y}{\sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1 - \cos y}{\sin y} \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\sin y}{\cos y} \\ & = \frac{\sin 0}{\cos 0} = \frac{0}{1} = 0 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 101

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \csc \frac{1}{x} - \cot \frac{1}{x} = .... $
A). $ -\infty \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ + \infty $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{\sin ay}{\sin by} = \frac{a}{b} $
*). Bentuk trigonometri :
$ \cos py = 1 - 2\sin \frac{1}{2}py . \sin \frac{1}{2}py $ ,
sehingga : $ 1 - \cos y = \sin \frac{1}{2}y. \sin \frac{1}{2}y $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \csc \frac{1}{x} - \cot \frac{1}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \csc y - \cot y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1}{\sin y} - \frac{\cos y}{\sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1 - \cos y}{\sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\sin \frac{1}{2}y. \sin \frac{1}{2}y }{\sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\sin \frac{1}{2}y }{\sin y} \times \sin \frac{1}{2}y \\ & = \frac{ \frac{1}{2} }{1} \times \sin \, 0 \\ & = \frac{1}{2} \times 0 = 0 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 101

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x + x \cos x}{\sin x \cos x} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x + x \cos x}{\sin x \cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(1 + \cos x)}{\sin x \cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} . \frac{1 + \cos x}{\cos x} \\ & = 1 . \frac{1 + \cos 0}{\cos 0} = 1. \frac{1 + 1}{1} \\ & = \frac{2}{1} = 2 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 101

Soal yang Akan Dibahas
Hasil bagi $ p(x) = (a-2b)x^3 + (a+b)x^2 + 1 $ oleh $ x - 1 $ adalah $ q(x) $ dengan sisa 1. Jika $ q(x) $ dibagi oleh $ x + 2 $ bersisa $ -8 $, maka $ a + b = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pembagian Suku Banyak (Polinom) :
$ f(x) = P(x).H(x) + S(x) $.
Keterangan :
$ f(x) = \, $ fungsi yang mau dibagi,
$ P(x) = \, $ pembagi,
$ H(x) = \, $ Hasil bagi,
$ S(x) = \, $ Sisa pembagian.
*). Teorema Sisa :
$ f(x) $ dibagi $ (x-a) $ bersisa $ b $ , artinya $ f(a) = b $ atau juga bisa diartikan sebagai Sisa $ = f(a) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ q(x) $ dibagi oleh $ x + 2 $ bersisa $ -8 $ , artinya $ q(-2) = -8 $.
*). Hasil bagi $ p(x) = (a-2b)x^3 + (a+b)x^2 + 1 $ oleh $ x - 1 $ adalah $ q(x) $ dengan sisa 1, dapat kita tulis :
$ p(x) = (x-1).q(x) + 1 $ atau dapat ditulis
$ (a-2b)x^3 + (a+b)x^2 + 1 = (x-1).q(x) + 1 $ (kurang 1)
$ (a-2b)x^3 + (a+b)x^2 = (x-1).q(x) \, $ .....(i)
*). Substitusi $ x = 1 $ dan $ x = -2 $ ke pers(i) :
-). Untuk $ x = 1 $ ,
$\begin{align} (a-2b)x^3 + (a+b)x^2 & = (x-1).q(x) \\ (a-2b).1^3 + (a+b).1^2 & = (1-1).q(1) \\ (a-2b) + (a+b) & = 0.q(1) \\ 2a - b & = 0 \\ b & = 2a \end{align} $
-). Untuk $ x = -2 $ ,
$\begin{align} (a-2b)x^3 + (a+b)x^2 & = (x-1).q(x) \\ (a-2b).(-2)^3 + (a+b).(-2)^2 & = (-2-1).q(-2) \\ (a-2b).(-8) + (a+b).4 & = (-3).(-8) \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ (a-2b).(-2) + (a+b) & = 6 \\ -2a + 4b + a + b & = 6 \\ -a + 5b & = 6 \end{align} $
*). Substitusi $ b = 2a $ ke pers $ -a + 5b = 6 $ : :
$\begin{align} -a + 5b & = 6 \\ -a + 5(2a) & = 6 \\ -a + 10a & = 6 \\ 9a & = 6 \\ a & = \frac{2}{3} \end{align} $
sehingga $ b = 2a = 2. \frac{2}{3} = \frac{4}{3} $
Nilai $ a + b = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2 $
Jadi, nilai $ a + b = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 101

Soal yang Akan Dibahas
Jika hiperbola $ \frac{x^2-2nx+n^2}{25} - \frac{y^2-2my+m^2}{16} = 1 $ memiliki asimtot yang memotong sumbu Y di titik $ (0,1) $ , maka $ 5m - 4n = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Hiperbola
*). Persamaan hiperbola :
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan hiperbolanya :
$\begin{align} \frac{x^2-2nx+n^2}{25} - \frac{y^2-2my+m^2}{16} & = 1 \\ \frac{(x - n)^2}{25} - \frac{(y-m)^2}{16} & = 1 \\ p = n, \, q = m , \, a = 5 , \, b & = 4 \end{align} $
*). Menyusun persamaan asimtotnya :
$\begin{align} y-q & = \pm \frac{b}{a} (x-p) \\ y- m & = \pm \frac{4}{5} (x-n) \end{align} $
persamaan asimtotnya yaitu :
$ y-m = \frac{4}{5} (x-n) $ atau $ y-m = - \frac{4}{5} (x-n)$.
*). Substitusi titik $ (0,1) $ :
Asimtot pertama :
$\begin{align} y-m & = \frac{4}{5} (x-n) \\ 1-m & = \frac{4}{5} (0-n) \\ 1-m & = -\frac{4}{5}n \\ 5 -5m & = -4n \\ 5m - 4n & = 5 \end{align} $
Asimtot Kedua :
$\begin{align} y-m & = - \frac{4}{5} (x-n) \\ 1-m & = - \frac{4}{5} (0-n) \\ 1-m & = \frac{4}{5} n \\ 5 - 5m & = 4n \\ 5m + 4n & = -5 \end{align} $
*). Dari bentuk $ 5m - 4n = 5 $ dan $ 5m + 4n = -5 $ , kita peroleh $ 5m - 4n = 5 $.
Jadi, nilai $ 5m - 4n = 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 101

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x $ memenuhi $ -2\csc x + 2\cot x + 3\sin x = 0 $ untuk $ 0 < x < \pi $ , maka $ \cos x = ..... $
A). $ -\frac{2}{3} \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ -\frac{1}{3} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ \frac{2}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus-rumus dasar trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x $
$ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $ dan $ \csc x = \frac{1}{\sin x} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} -2\csc x + 2\cot x + 3\sin x & = 0 \\ -2. \frac{1}{\sin x} + 2. \frac{\cos x}{\sin x} + 3\sin x & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kalikan } \sin x) \\ -2 + 2 \cos x + 3 \sin ^2 x & = 0 \\ -2 + 2 \cos x + 3 ( 1 - \cos ^2 x ) & = 0 \\ -2 + 2 \cos x + 3 - 3\cos ^2 x & = 0 \\ -3 \cos ^2 x + 2\cos x + 1 & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 3 \cos ^2 x - 2\cos x - 1 & = 0 \\ (3\cos x + 1 )(\cos x - 1 ) & = 0 \\ \cos x = -\frac{1}{3} \vee \cos x & = 1 \end{align} $
*). Karena $ 0 < x < \pi $ , maka $ \cos x = -\frac{1}{3} $ yang memenuhi.
Jadi, nilai $ \cos x = -\frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 101

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a $ dan $ b $ memenuhi
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{2}{2a - b} + \frac{7}{2a + b} = 3 \\ \frac{1}{2a - b} - \frac{7}{2a + b} = 0 \\ \end{array} \right. $
maka $ a^2 + 2b = .... $
A). $ 5 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 7 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan dapat dilakukan dengan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
Misalkan : $ p = \frac{1}{2a - b} $ dan $ q = \frac{1}{2a + b} $
Sistem persamaan pada soal menjadi :
$ \left\{ \begin{array}{c} 2p + 7q = 3 \\ p - 7q = 0 \\ \end{array} \right. $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 2p + 7q = 3 & \\ p - 7q = 0 & + \\ \hline 3p = 3 & \\ p = 1 & \end{array} $
Pers(ii) : $ p - 7q = 0 \rightarrow 1 - 7q = 0 \rightarrow q = \frac{1}{7} $
*). Dari nilai $ p = 1 $ dan $ q = \frac{1}{7} $,
$ p = 1 \rightarrow \frac{1}{2a - b} = 1 \rightarrow 2a - b = 1 $
$ q = \frac{1}{7} \rightarrow \frac{1}{2a + b} = \frac{1}{7} \rightarrow 2a + b = 7 $
*). Eliminasi kedua persamaan baru tersebut :
$ \begin{array}{cc} 2a - b = 1 & \\ 2a + b = 7 & + \\ \hline 4a = 8 & \\ a = 2 & \end{array} $
bentuk $ 2a - b = 1 \rightarrow 2.2 - b = 1 \rightarrow 4 - b = 1 \rightarrow b = 3 $.
*). Mennetukan nilai $ a^2 + 2b $ :
$\begin{align} a^2 + 2b & = 2^2 + 2.3 = 4 + 6 = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2 + 2b = 10 . \, \heartsuit $