Pembahasan Luasan UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah yang dibatasi oleh setengah lingkaran atas $ x^2 + y^2 = 4 $ dan parabola $ y = x^2 - 4 $ sama dengan .... satuan luas.
A). $ 2\pi + 10\frac{2}{3} \, $ B). $ 2\pi + 9\frac{2}{3} \, $
C). $ 2\pi + 8\frac{2}{3} \, $ D). $ 2\pi + 7\frac{2}{3} \, $
E). $ 2\pi + 6\frac{2}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran $ x^2+r^2 = r^2 $ berjari-jari $ r $ dengan
luas lingkaran $ = \pi r^2 $
*). Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ yang ada di bawah sumbu X :
Luas $ = -\int \limits_a^b f(x) dx $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

-). Luas daerah arsiran diatas adalah daerah yang mau kita hitung luasnya yang kita bagi menjadi dua yaitu daerah pertama di atas sumbu X berupa setengah lingkaran dan daerah kedua di bawah sumbu X yang dibatasi oleh parabola.
*). Lingkaran $ x^2 + y^2 = 4 $ memiliki jari-jari $ r^2 = 4 \rightarrow r = 2 $ ,
Luas lingkaran $ = \pi r^2 = \pi .2^2 = 4\pi $
-). Luas daerah I $ = \frac{1}{2} \, $ luas lingkaran $ = \frac{1}{2}. 4\pi = 2\pi $
-). Luas daerah II : dibatasai oleh kurva $ y = x^2 - 4 $ dari $ -2 \leq x \leq 2 $
$ \begin{align} \text{Luas II } & = - \int \limits_{-2}^2 (x^2 - 4) dx \\ & = - [\frac{1}{3}x^3 - 4x]_{-2}^2 \\ & = -([\frac{1}{3}.2^3 - 4.2]- [\frac{1}{3}.(-2)^3 - 4.(-2)]) \\ & = -(\frac{8}{3} - 8 + \frac{8}{3} - 8 ) \\ & = -(\frac{16}{3} - \frac{24}{3} - \frac{24}{3} ) \\ & = -(- \frac{32}{3} ) = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \end{align} $
*). Menentukan Luas total :
Luas total = Luas I + Luas II = $ 2\pi + 10\frac{2}{3} $
Jadi, luasnya adalah $ 2\pi + 10\frac{2}{3} . \, \heartsuit $

2 komentar:

  1. Hallo Pak Putu. Pak cara cari titik potong nya selain dengan cara digambar bagaimana ya?

    saya masa hitung jadi aneh.

    persamaaan lingkaran x^2 + y^2 = 4
    maka y= (4-x^2)^1/2

    tipot kurva parabola dan lingkaran

    y=y
    x^2-4 = (4-X^2)^1/2

    kuadratkan kedua ruas

    x^4-8x^2+16 = 4 - x^2
    x^4-7x^2+12=0
    (x^2-4)(x^2-3)=0

    berarti x^2=4 maka x = +-2 dan x^2=3 maka x= +-(3)^1/2

    yang saya bingung kok ada +-(3)^1/2 nya ya Pak? Sedangkan kalau dengan cara digambar lalu dilihat tipot nya ga akan berpotongan di +-(3)^1/2

    Mohon pencerahannya Pak Putu. Terimakasih banyak

    BalasHapus
    Balasan
    1. hallow @bobbi,

      terimakasih untuk kunjungannya ke blog dunia informa.

      jika kita hitung dengan substitusi seperti di atas, maka ada dua titik potongnya yaitu $ x = \pm 2 $ dan $ x = \pm \sqrt{3} $. keduanya adalah benar sebagai titik potong kedua kurva. Namun yang kita pilih adalah perpotongan parabola dengan lingkaran bagian atas saja yaitu untuk $ x = \pm 2 $. Nah itulah penting sekali untuk mensketsa grafik/kurva untuk mengetahui daerahnya dan titik potong mana yang kita pilih. Dan untuk menentukan luas suatu daerah menggunakan integral sebaiknya kita sketsa grafik untuk mengetahui daerah dan batas-batasnya.

      seperti itu penjelasannya.

      semoga bisa membantu.

      Hapus