2009 Pembahasan Peluang UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika sebuah dadu dilempar dua kali, maka peluang untuk mendapat jumlah angka kurang dari lima adalah ....
A). $ \frac{2}{3} \, $ B). $ \frac{4}{9} \, $ C). $ \frac{5}{18} \, $ D). $ \frac{1}{6} \, $ E). $ \frac{1}{12} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Peluang :
*). Rumus peluang kejadian A :
$ \, \, \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A,
$ n(A) = \, $ banyaknya harapan kejadian A,
$ n(S) = \, $ semua kemungkinan yang terjadi (ruang sampel).
*). Banyak anggota ruang sampel dadu : $ n(S) = 6^d$
dengan $ d = \, $ banyak dadu.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Satu Dadu dilempar dua kali sama saja dengan dua dadu, sehingga $ n(S) = 6^2 = 36 $.
*). Kejadian yang diharapkan :
A = Kejadian jumlah angka kedua dadu kurang dari 5,
sehingga jumlah dua dadu yang dimaksud adalah jumlah 2, jumlah 3, dan jumlah 4 yaitu :
$ A =\{(1,1), (1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1) \} $
ada 6 pasang, artinya $ n(A) = 6 $.
*). Peluang Kejadian A :
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $.
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{1}{6} . \, \heartsuit $



2009 Pembahasan Perbandingan Trigonometri UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \sin A = \sqrt{2pq} $ , dan $ \tan A = \frac{\sqrt{2pq}}{p-q} $ , maka $ p^2 + q^2 = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ \frac{1}{4} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Pebandinga Trigonometri :
$ \tan x = \frac{\sin x }{\cos x} $
*). Identitas Trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan Soal :
$\begin{align} \text{Pertama: } \sin A & = \sqrt{2pq} \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \sin ^2 A & = (\sqrt{2pq})^2 = 2pq \\ \text{Kedua: } \tan A & = \frac{\sqrt{2pq}}{p-q} \\ \frac{\sin A}{\cos A} & = \frac{\sqrt{2pq}}{p-q} \\ \frac{\sqrt{2pq}}{\cos A} & = \frac{\sqrt{2pq}}{p-q} \\ \cos A & = p-q \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \cos ^2 A & = (p-q)^2 \\ & = p^2 + q^2 - 2pq \end{align} $
*). Berdasarkan rumus identitas trigonometri :
$ \begin{align} \sin ^2 A + \cos ^2 A & = 1 \\ 2pq + (p^2 + q^2 - 2pq ) & = 1 \\ p^2 + q^2 & = 1 \end{align} $ .
Jadi, nilai $ p^2 + q^2 = 1 . \, \heartsuit $



2009 Cara 2 Pembahasan Persamaan Matriks UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika A matriks berordo $ 2 \times 2 $ sehingga $A \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 \\ 5 \end{matrix} \right) $ dan $A \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 \\ 7 \end{matrix} \right) $ , maka $ A^2 = .... $
A). $ \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} 9 & 0 \\ 0 & 9\end{matrix} \right) \, $
C). $ \left( \begin{matrix} 9 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 9 \end{matrix} \right) \, $
E). $ \left( \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Matriks
*). Invers Matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Sifat Invers Matriks :
$ AB = C \rightarrow A = C.B^{-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Matriks $ A $ :
Diketahui $A \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 \\ 7 \end{matrix} \right) $ dan $A \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 \\ 5 \end{matrix} \right) $ ,
dapat digabungkan menjadi :
$\begin{align} A \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 & -1 \\ 7 & 5 \end{matrix} \right) \\ A & = \left( \begin{matrix} 4 & -1 \\ 7 & 5 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right)^{-1} \\ & = \left( \begin{matrix} 4 & -1 \\ 7 & 5 \end{matrix} \right) . \frac{1}{2.-1 - 1.1} \left( \begin{matrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right)^{-1} \\ & = \left( \begin{matrix} 4 & -1 \\ 7 & 5 \end{matrix} \right) . \frac{1}{-3} \left( \begin{matrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right)^{-1} \\ & = \frac{1}{-3} \left( \begin{matrix} 4 & -1 \\ 7 & 5 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right)^{-1} \\ & = \frac{1}{-3} \left( \begin{matrix} -3 & -6 \\ -12 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan $ A^2 $ :
$ \begin{align} A^2 & = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{matrix} \right) \end{align} $ .
Jadi, kita peroleh $ A^2 = \left( \begin{matrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $



2009 Pembahasan Persamaan Matriks UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika A matriks berordo $ 2 \times 2 $ sehingga $A \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 \\ 5 \end{matrix} \right) $ dan $A \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 \\ 7 \end{matrix} \right) $ , maka $ A^2 = .... $
A). $ \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} 9 & 0 \\ 0 & 9\end{matrix} \right) \, $
C). $ \left( \begin{matrix} 9 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 9 \end{matrix} \right) \, $
E). $ \left( \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Matriks
*). Perkalian Matriks :
Perkalian Matriks = Baris $ \times $ Kolom

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan Matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $ :
*). Menyusun Persamaan :
$\begin{align} \text{Pertama: } A \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a - b \\ c - d \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ a-b & = -1 \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ c-d & = 5 \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \\ \text{Kedua: } A \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 \\ 7 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 \\ 7 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2a+b \\ 2c+d \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 \\ 7 \end{matrix} \right) \\ 2a+b & = 4 \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \\ 2c+d & = 7 \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a, b, c ,d $ :
-). Eliminasi pers(i) dan pers(iii) :
$ \begin{array}{cc} a - b = -1 & \\ 2a + b = 4 & + \\ \hline 3a = 3 & \\ a = 1 & \end{array} $
pers(i) : $ a - b = -1 \rightarrow 1 - b = -1 \rightarrow b = 2 $
-). Eliminasi pers(ii) dan pers(iv) :
$ \begin{array}{cc} c-d = 5 & \\ 2c+d = 7 & + \\ \hline 3c = 12 & \\ c = 4 & \end{array} $
pers(ii) : $ c - d = 5 \rightarrow 4 - d = 5 \rightarrow d =-1 $
Sehingga matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan $ A^2 $ :
$ \begin{align} A^2 & = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{matrix} \right) \end{align} $ .
Jadi, kita peroleh $ A^2 = \left( \begin{matrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $