Cara 2 Pembahasan Lingkaran UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan lingkaran pada bidang koordinat yang memotong sumbu X di $ (1,0) $ dan $ (3,0) $ . Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu Y, maka titik singgung yang mungkin adalah ...
A). $ (0,1) \, $ B). $ (0,2) \, $ C). $ (0,\sqrt{3}) $ D). $ (0,\sqrt{5}) \, $ E). $ (0,3) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jarak dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $ yaitu :
Jarak $ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $
*). Jika suatu lingkaran melalui suatu titik, maka jari-jarinya sama dengan jarak titik pusat ke titik yang dilaluinya.
*). Misalkan lingkaran berpusat di $ (a,b) $ dan menyinggung sumbu Y, maka jari-jarinya $ r = a $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

*). Misalkan pusat lingkarannya adalah $ (a,b) $. Karena lingkaran menyinggung sumbu Y, maka $ r_1 = a $ dan titik singgung pada sumbu Y nya adalah $ (0,b) $. Selain itu, jari-jari lingkaran juga bisa ditentukan :
$ r_2 = \sqrt{(a-1)^2 + (b-0)^2} = \sqrt{(a-1)^2 + b^2} \, $ (jarak $ (a,b) $ ke $ (1,0) $)
$ r_3 = \sqrt{(a-3)^2 + (b-0)^2} = \sqrt{(a-3)^2 + b^2} \, $ (jarak $ (a,b) $ ke $ (3,0) $)
Dengan $ r_1 = r_2 = r_3 $ (karena ketiganya sama-sama sebagai jari-jari lingkaran).
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} r_2 & = r_3 \\ \sqrt{(a-1)^2 + b^2} & = \sqrt{(a-3)^2 + b^2} \\ (a-1)^2 + b^2 & = (a-3)^2 + b^2 \\ (a-1)^2 & = (a-3)^2 \\ a^2 - 2a + 1 & = a^2 - 6a + 9 \\ 4a & = 8 \\ a & = 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ b $ :
$\begin{align} r_2 & = r_1 \\ \sqrt{(a-1)^2 + b^2} & = a \\ (a-1)^2 + b^2 & = a^2 \\ (2-1)^2 + b^2 & = 2^2 \\ 1 + b^2 & = 4 \\ b^2 & = 3 \\ b & = \pm \sqrt{3} \end{align} $
Artinya titik singgung lingkaran dengan sumbu Y yaitu $ (0, \sqrt{3}) $ atau $ (0,-\sqrt{3}) $
Jadi, salah satu titik singgungnya adalah $ (0,\sqrt{3}) . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan lingkaran pada bidang koordinat yang memotong sumbu X di $ (1,0) $ dan $ (3,0) $ . Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu Y, maka titik singgung yang mungkin adalah ...
A). $ (0,1) \, $ B). $ (0,2) \, $ C). $ (0,\sqrt{3}) $ D). $ (0,\sqrt{5}) \, $ E). $ (0,3) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran dengan pusat $ (a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Lingkaran menyinggung sumbu Y memiliki $ r = a $ dan titik singgungnya adalah $ (0,b) $.
*). Titik yang dilalui oleh suatu kurva bisa disubstitusikan ke persamaannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

*). Misalkan pusat lingkarannya adalah $ (a,b) $. Karena lingkaran menyinggung sumbu Y, maka $ r = a $ dan titik singgung pada sumbu Y nya adalah $ (0,b) $. Sehingga persamaan lingkarannya :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 & = a^2 \\ x^2 + y^2 - 2ax - 2by + b^2 & = 0 \end{align} $
*). Menyusun persamaan dengan substitusi titik yang dilalui oleh lingkaran :
-). Persamaan pertamaan :
$\begin{align} (1,0) \rightarrow x^2 + y^2 - 2ax - 2by + b^2 & = 0 \\ 1^2 + 0^2 - 2a.1 - 2b.0 + b^2 & = 0 \\ 1 + 0 - 2a - 0 + b^2 & = 0 \\ b^2 & = 2a - 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ (3,0) \rightarrow x^2 + y^2 - 2ax - 2by + b^2 & = 0 \\ 3^2 + 0^2 - 2a.3 - 2b.0 + b^2 & = 0 \\ 9 + 0 - 6a - 0 + b^2 & = 0 \\ b^2 - 6a & = -9 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} b^2 - 6a & = -9 \\ (2a-1) - 6a & = -9 \\ -4a & = -8 \\ a & = 2 \end{align} $
Sehingga dari pers(i) :
$ b^2 = 2a - 1 \rightarrow b^2 = 2.2 - 1 \rightarrow b^2 = 3 \rightarrow b = \pm \sqrt{3} $
Artinya titik singgung lingkaran dengan sumbu Y yaitu $ (0, \sqrt{3}) $ atau $ (0,-\sqrt{3}) $
Jadi, salah satu titik singgungnya adalah $ (0,\sqrt{3}) . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Akar-akar persamaan kuadrat $ x^2+px+27=0 $ adalah $ x_1 $ dan $ x_2 $ yang semuanya positif dan $ x_2 > x_1 $. Jika $ x_1, x_2 $ dan $ 5x_1 $ berturut-turut suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga barisan aritmetika, maka suku kesepuluh adalah ...
A). $ 55 \, $ B). $ 57 \, $ C). $ 59 \, $ D). $ 61 \, $ E). $ 63 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2$
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Barisan Aritmetika : $ u_1, u_2, u_3, .... $
-). Memiliki selisih yang sama : $ u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = .... $
-). RUmus suku ke-$n$ : $ U_n = a + (n-1)b $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ b = \, $ beda $ = u_2 - u_1 = .... $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Akar-akar persamaan kuadrat $ x^2+px+27=0 $ adalah $ x_1 $ dan $ x_2 $ :
$ x_1.x_2 = \frac{27}{1} \rightarrow x_1.x_2 = 27 \, $ ....(i)
dengan $ x_1 $ dan $ x_2 $ semuanya positif.
*). Barisan Aritmetika : $ x_1, x_2 $ dan $ 5x_1 $
Selisih suku-sukunya sama :
$\begin{align} x_2 - x_1 & = 5x_1 - x_2 \\ x_2 + x_2 & = 5x_1 + x_1 \\ 2x_2 & = 6x_1 \\ x_2 & = 3x_1 \end{align} $
*). substitusi $ x_2 = 3x_1 $ ke pers(i) :
$\begin{align} x_1.x_2 & = 27 \\ x_1.(3x_1) & = 27 \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ (x_1)^2 & = 9 \\ x_1 & = \pm 3 \end{align} $
Karena $ x_1 > 0 $ , maka $ x_1 = 3 $ yang memenuhi.
sehingga $ x_2 = 3x_1 = 3.3 = 9 $
*). Barisan aritmetikanya :
$ x_1, x_2, 5x_1, .... $
$ 3, 9, 15, .... \rightarrow a = 3 , b = 9 - 3 = 6 $.
*). Menentukan $ U_{10} $ :
$\begin{align} U_n & = a + (n-1)b \\ U_{10} & = 3 + (10-1).6 \\ & = 3 + 54 = 57 \end{align} $
Jadi, nilai $ U_{10} = 57 . \, \heartsuit $