Pembahasan Peluang UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Di dalam sebuah kotak terdapat sembilan bola yang diberi nomor 1 sampai dengan 9. Diambil tiga bola satu-persatu tanpa pengembalian. Peluang bola pertama genap, bola ke-2 ganjil, dan bola ke-3 genap adalah ....
A). $ \frac{7}{252} \, $ B). $ \frac{8}{252} \, $ C). $ \frac{5}{42} \, $ D). $ \frac{6}{41} \, $ E). $ \frac{9}{43} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus peluang kejadian A :
$ \, \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A
$ n(A) = \, $ banyak kejadian yang diharapkan
$ n(S) = \, $ semua kemungkinan terjadi
*). Peluang total kejadian yang semua kejadian harus terjadi yaitu dikalikan semua.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pilihan : 1, 2, 3, ..., 9 (ada 9 pilihan)
genap : 2, 4, 6, 8 (ada 4 pilihan)
ganjil : 1, 3, 5, 7, 9 (ada 5 pilihan)
*). Tidak dikembalikan, sehingga jumlah bola berkurang terus.
*). Menentukan peluangnya :
-). Pengambilan pertama genap, genap ada 4 pilihan, sehingga peluangnya : $ P(I) = \frac{4}{9} $
-). Pengambilan kedua ganjil, ganjil ada 5 pilihan dan genap tersisa 3, sehingga peluangnya $ P(II) = \frac{5}{8} $
-). Pengambilan ketiga genap, genap ada 3 pilihan dan ganjil tersisa 4, sehingga peluangnya $ P(III) = \frac{3}{7} $
-). Peluang total ketiga kejadian :
$\begin{align} \text{Peluang } & = P(I). P(II).P(III) \\ & = \frac{4}{9} . \frac{5}{8} . \frac{3}{7} \\ & = \frac{1}{3} . \frac{5}{2} . \frac{1}{7} \\ & = \frac{5}{42} \end{align} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{5}{42} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 Pembahasan Trigonometri UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \tan x = 2 $ , maka $ \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}=... $
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus dasar perbandingan trigonometri :
$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ \tan x = 2 $
*). Menentukan hasil akhir dengan membagi $ \cos x $ :
$\begin{align} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} & = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} : \frac{\cos x}{\cos x} \\ & = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} }{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\cos x} } \\ & = \frac{\tan x + 1}{\tan x - 1} \\ & = \frac{2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} = 3. \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Trigonometri Dasar UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \tan x = 2 $ , maka $ \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}=... $
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus dasar perbandingan trigonometri :
Pada segitiga siku-siku berlaku :
$ \tan x = \frac{depan}{samping} $ , $ \sin x = \frac{depan}{miring} $ , dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $
*). Pythagoras pada segitiga siku-siku :
$ \, \, \, \, mi^2 = de^2 + sa^2 $
Keterangan :
mi = sisi miring
de = sisi depan
sa = samping

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ \tan x = 2 = \frac{2}{1} = \frac{de}{sa} $
depan = 2 dan samping = 1
dengan pythagoras :
$ miring = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} $
 
Sehingga nilai
$ \sin x = \frac{de}{mi} = \frac{2}{\sqrt{5}} $
$ \cos x = \frac{sa}{mi} = \frac{1}{\sqrt{5}} $
*). Menentukan hasil akhir :
$\begin{align} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} & = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}} }{\frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}} } \\ & = \frac{\frac{3}{\sqrt{5}} }{\frac{1}{\sqrt{5}} } \\ & = \frac{3}{\sqrt{5}} . \frac{\sqrt{5}}{1} = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} = 3. \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Matriks UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) $ , $ B = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) $ , maka determinan dari $ A^TA + BB^T $ adalah ....
A). $ -5 \, $ B). $ -4 $ C). $ 0 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
Transpose matriks A : $ A^T = \left( \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right) $
Determinan matriks A : $ |A| = ad - bc $
*). Operasi perkalian dan penjumlahan :
Penjumlahan dua matriks : jumlahkan unsur-unsur yang seletak
Perkalian dua matriks : Kalikan Baris dan Kolom

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan tranpose matriksnya :
$ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) \rightarrow A^T = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix} \right) $
$ B = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \rightarrow B^T = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan bentuk $ A^TA + BB^T $ :
$\begin{align} A^TA + BB^T & = \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan determinan $ A^TA + BB^T $ :
$\begin{align} A^TA + BB^T & = \left( \begin{matrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{matrix} \right) \\ |A^TA + BB^T | & = 3.10 - 5.5 = 30 - 25 = 5 \end{align} $
Jadi, determinannya adalah $ 5. \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Deret Geometri UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan bilangan real $ r $, dengan $ 0 < r < 1 $. Jika jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 2 dan rasio $ \frac{1}{1+r} $ adalah 8, maka jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 8 dan rasio $ r $ adalah ....
A). $ 10 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 16 \, $ E). $ 18 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus dasar deret geometri tak hingga
$ \, \, \, \, \, \, S_\infty = \frac{U_1}{1-\text{rasio}} $
Keterangan :
$ S_\infty = \, $ jumlah deret geometri tak hingga
$ U_1 = \, $ suku pertamanya

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 2 dan rasio $ \frac{1}{1+r} $ adalah 8 , menentukan nilai $ r $ nya :
$\begin{align} S_\infty & = 8 \\ \frac{U_1}{1-\text{rasio}} & = 8 \\ \frac{2}{1-\frac{1}{1+r}} & = 8 \\ \frac{2}{\frac{1+r}{1+r}-\frac{1}{1+r}} & = 8 \\ \frac{2}{\frac{r}{1+r}} & = 8 \\ \frac{2(1+r)}{r} & = 8 \\ 2 + 2r & = 8r \\ 6r & = 2 \\ r & = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{align} $
*). Menentukan jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 8 dan rasio $ r = \frac{1}{3} $ :
$\begin{align} S_\infty & = \frac{U_1}{1-\text{rasio}} \\ & = \frac{8}{1-\frac{1}{3}} = \frac{8}{\frac{3}{3}-\frac{1}{3}} \\ & = \frac{8}{\frac{2}{3}} = 8 . \frac{3}{2} = 4. 3 = 12 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ 12 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Turunan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Diberika $ f(x) = (ax^2+bx+c)(x^2+x) $ . Jika $ f^\prime (0) = 3 $ dan $ f^\prime (-1) = 10 $ , maka $ f^\prime \left( -\frac{1}{2} \right) = .... $
A). $ -\frac{15}{4} \, $ B). $ -\frac{13}{4} \, $ C). $ -\frac{11}{4} \, $ D). $ -\frac{9}{4} \, $ E). $ -\frac{7}{4} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus dasar turunan :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U . V^\prime $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Turunan :
$\begin{align} f(x) & = (ax^2+bx+c)(x^2+x) = U.V \\ U & = ax^2+bx+c \rightarrow U^\prime = 2ax + b \\ V & = x^2+x \rightarrow V^\prime = 2x + 1 \\ f^\prime (x) & = U^\prime . V + U . V^\prime \\ f^\prime (x) & = (2ax+b)(x^2+x) + (ax^2+bx+c)(2x+1) \end{align} $
*). Bentuk $ f^\prime (0) = 3 $ :
$\begin{align} f^\prime (0) & = 3 \\ (2a.0+b)(0^2+0) + (a.0^2+b.0+c)(2.0+1) & = 3 \\ 0 + c & = 3 \\ c & = 3 \end{align} $
*). Bentuk $ f^\prime (-1) = 10 $
$\begin{align} f^\prime (-1) & = 10 \\ (2a(-1)+b)((-1)^2+(-1)) + \, \, \, & \\ (a(-1)^2+b(-1)+c)(2(-1)+1) & = 10 \\ (-2a+b)(1-1) + (a-b+c)(-2+1) & = 10 \\ (-2a+b)(0) + (a-b+3)(-1) & = 10 \\ 0 -a + b - 3 & = 10 \\ -a + b & = 13 \\ a - b & = -13 \end{align} $
*). Menentukan Nilai $ f^\prime \left( -\frac{1}{2} \right) $ dengan $ c = 3 $ dan $ a - b = -13 $ :
$\begin{align} f^\prime \left( -\frac{1}{2} \right) & = (2a\left( -\frac{1}{2} \right)+b)(\left( -\frac{1}{2} \right)^2+\left( -\frac{1}{2} \right)) \\ & \, \, \, \, \, \, \, \, + (a\left( -\frac{1}{2} \right)^2+b\left( -\frac{1}{2} \right)+c)(2\left( -\frac{1}{2} \right)+1) \\ & = (-a+b)\left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{a}{4} - \frac{b}{2} + 3 \right)(-1+1) \\ & = (-a+b)\left( -\frac{1}{4} \right) + \left( \frac{a}{4} - \frac{b}{2} + 3 \right)(0) \\ & = \frac{a-b}{4} + 0 = \frac{-13}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ f^\prime \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{13}{4} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)