Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar tahun 2015 Nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Berikut adalah enam bilangan dari data yang berisi 9 bilangan asli : 9, 8, 9, 7, 5, 3. Nilai terkecil yang mungkin untuk median dari data 9 bilangan asli tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep : Median = nilai tengah data.
$\spadesuit \, $ Data terurut : 3,5,7,8,9,9
$\spadesuit \, $ Agar mediannya terkecil, maka tiga nilai sisanya ($x_1,x_2,x_3$) harus kita letakkan disebelah kiri angka 5.
Urutan yang mungkin :
*). $ x_1, x_2, x_3, 3, 5, 7, 8, 9, 9 $
*). $ x_1, x_2, 3, x_3, 5, 7, 8, 9, 9 $
*). $ x_1, 3, x_2, x_3, 5, 7, 8, 9, 9 $
*). $ 3, x_1, x_2, x_3, 5, 7, 8, 9, 9 $
Dari 4 urutan data yang mungkin, nilai median terkecilnya adalah data ke-5 yaitu 5.
Jadi, median terkecilnya adalah 5. $ \heartsuit $
Nomor 7
Misalkan tiga suku pertama dari barisan aritmatika adalah $ \log a^3b^7, \, \log a^5b^{12}, \, \log a^8b^{15} \, $ dan suku ke-12 adalah $ \log a^mb^n . \, $ Nilai $ 2m + n \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika : $ u_n = u_1 + (n-1)b $
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log bc $
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
$\clubsuit \, $ Menentukan bedanya
$\begin{align} \text{beda } & = u_2 - u_1 \\ & = \log a^5b^{12} - \log a^3b^7 \\ & = \log \frac{a^5b^{12} }{ a^3b^7 } \\ & = \log a^2b^5 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ m \, $ dan $ \, n $
$\begin{align} u_{12} & = \log a^mb^n \\ u_1 + 11 . \text{ beda} & = \log a^mb^n \\ \log a^3b^7 + 11 . \log a^2b^5 & = \log a^mb^n \\ \log a^3b^7 + \log (a^2b^5)^{11} & = \log a^mb^n \\ \log a^3b^7 + \log a^{22}b^{55} & = \log a^mb^n \\ \log ( a^3b^7 . a^{22}b^{55} ) & = \log a^mb^n \\ \log a^{25}b^{62} & = \log a^mb^n \\ a^{25}b^{62} & = a^mb^n \end{align}$
Diperoleh : $ m = 25 \, $ dan $ n = 62 $
Sehingga nilai $ 2m + n = 2. 25 + 62 = 50 + 62 = 112 $
Jadi nilai $ 2m + n = 112 . \heartsuit$
Nomor 8
Diketahui selisih rusuk dari dua kubus adalah 5 dan selisih volumenya adalah 1385. Misalkan $ y $ menyatakan selisih dari kuadrat rusuk-rusuk kedua kubus tersebut dan $ z $ menyatakan kuadrat jumlah dari rusuk-rusuk kedua kubus tersebut, maka $ z - y + 5 = ....$
$\spadesuit \, $ Pemfaktoran : $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $
$\spadesuit \, $ Misalkan rusuk-rusuknya : $ r_1 \, $ dan $ r_2 \, $ dengan $ r_1 > r_2 $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan
*). Selisih kedua rusuk = 5
$ r_1 - r_2 = 5 \rightarrow r_1 = r_2 + 5 \, $ .....pers(i)
*). Selisih volume = 1385
$ r_1^3 - r_2^3 = 1385 \, $ .....pers(ii)
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} r_1^3 - r_2^3 & = 1385 \\ (r_1-r_2)(r_1^2 + r_1r_2+r_2^2) & = 1385 \\ (5)((r_2+5)^2 + (r_2+5)r_2+r_2^2) & = 1385 \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ (r_2^2 +10r_2 + 25 + r_2^2 + 5r_2+r_2^2) & = 277 \\ 3r_2^2 +15r_2 -252 & = 0 \\ (3r_2 - 21)(r_2 + 12) & = 0 \\ r_2 = 7 \vee r_2 & = -12 \end{align}$
Sehingga yang memenuhi $ r_2 = 7 \, $ karena panjang rusuk selalu positif.
nilai $ r_1 = r_2 + 5 = 7 + 5 = 12 $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$ y = r_1^2 - r_2^2 = 12^2 - 7^2 = 95 $
$ z = (r_1+r_2)^2 = (12+7)^2 = 19^2 = 361 $
Nilai $ z - y + 5 = 361 - 95 + 5 = 271 $
Jadi, nilai $ z - y + 5 = 271 . \heartsuit$
Nomor 9
Diketahui $ U_n $ dan $ V_n $ adalah barisan aritmatika dengan $ n > 0 . \, $ Jumlah $ n $ suku pertama dari masing-masing barisan ini adalah $ S_u(n) $ dan $ S_v(n) $ . Jika $ \frac{S_v(n)}{S_u(n)} = \frac{2n+8}{5n+9} \, $ dan $ V_2 = \frac{7}{3} , \, $ maka $ U_4 = .... $
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika
$ U_n = a + (n-1)b \, $ dan $ \, S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
$\clubsuit \, $ Misalkan suku pertama dan beda masing-masing barisan :
*). Barisan $ V_n \, : \, $ suku pertama = $ a_x \, $ dan beda $ = b_x $
$ V_n = a_x + (n-1)b_x \, $ dan $ \, S_v(n) = \frac{n}{2}(2a_x + (n-1)b_x ) $
*). Barisan $ V_n \, : \, $ suku pertama = $ a_y \, $ dan beda $ = b_y $
$ U_n = a_y + (n-1)b_y \, $ dan $ \, S_u(n) = \frac{n}{2}(2a_y + (n-1)b_y ) $
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan :
*). persamaan (i),
$ V_2 = \frac{7}{3} \rightarrow a_x + b_x = \frac{7}{3} \rightarrow b_x = \frac{7}{3} - a_x \, $ ....pers(i)
*). Persamaan (ii) ,
$\begin{align} \frac{S_v(n)}{S_u(n)} & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{\frac{n}{2}(2a_x + (n-1)b_x )}{\frac{n}{2}(2a_y + (n-1)b_y )} & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{2a_x + (n-1)b_x}{2a_y + (n-1)b_y } & = \frac{2n+8}{5n+9} \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi $ n = 1 \, $ ke pers(ii)
$\begin{align} \frac{2a_x + (n-1)b_x}{2a_y + (n-1)b_y } & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{2a_x + (1-1)b_x}{2a_y + (1-1)b_y } & = \frac{2.1+8}{5.1+9} \\ \frac{2a_x + 0.b_x}{2a_y + 0.b_y } & = \frac{10}{14} \\ \frac{2a_x }{2a_y } & = \frac{5}{7} \\ \frac{a_x }{a_y } & = \frac{5}{7} \\ a_x & = \frac{5}{7} a_y \, \, \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi $ n = 3 \, $ ke pers(ii)
$\begin{align} \frac{2a_x + (n-1)b_x}{2a_y + (n-1)b_y } & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{2a_x + (3-1)b_x}{2a_y + (3-1)b_y } & = \frac{2.3+8}{5.3+9} \\ \frac{2a_x + 2b_x}{2a_y + 2b_y } & = \frac{14}{24} \\ \frac{a_x + b_x}{a_y + b_y } & = \frac{7}{12} \\ \frac{\frac{7}{3}}{a_y + b_y } & = \frac{7}{12} \\ a_y + b_y & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \\ b_y & = 4 - a_y \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi $ n = 2 \, $ ke pers(ii)
$\begin{align} \frac{2a_x + (n-1)b_x}{2a_y + (n-1)b_y } & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{2a_x + (2-1)b_x}{2a_y + (2-1)b_y } & = \frac{2.2+8}{5.2+9} \\ \frac{2a_x + b_x}{2a_y + b_y } & = \frac{12}{19} \\ 38a_x + 19b_x & = 24a_y + 12b_y \\ 38a_x + 19(\frac{7}{3} - a_x) & = 24a_y + 12(4-a_y) \\ 38a_x + \frac{133}{3} - 19a_x & = 24a_y + 48 - 12a_y \\ 19a_x + \frac{133}{3} & = 12a_y + 48 \\ 19(\frac{5}{7}a_y) + \frac{133}{3} & = 12a_y + 48 \\ \frac{95}{7}a_y + \frac{133}{3} & = 12a_y + 48 \\ a_y & = \frac{7}{3} \end{align}$
Sehingga, $ b_y = 4 - a_y = 4 - \frac{7}{3} = \frac{5}{3} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ U_4 $
$\begin{align} U_4 & = a_y + 3b_y \\ & = \frac{7}{3} + 3. \frac{5}{3} \\ & = \frac{7}{3} + 5 \\ & = \frac{22}{3} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ U_4 = \frac{22}{3} . \heartsuit $
Nomor 10
Mira memilih secara acak sebuah bilangan bulat positif yang kemudian dia kuadratkan dan dibagi 9. Probabilitas bahwa sisa dari hasil bagi tersebut 4 adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar Teori bilangan,
*). Penyajian bilangan bulat positif (bilangan asli) dapat disajikan dalam kelipatan salah satu bilangan, misalkan ada bilangan $ b $, dapat dinyatakan dari kelipatan bilangan tertentu .
*). Kelipatan 2 : $ b = 2x \, $ dan $ b = 2x + 1 \, $ dengan bilangan bulat $ \, x \geq 0 \, $ , artinya bilanga asli $ b \, $ dapat dinyatakan dalam dua bentuk (dua kelompok besar ) yaitu $ 2x \, $ dan $ 2x+1 \, $ , dan dijamin dua bentuk tersebut akan membentuk semua bilangan asli $ b $ . Misalkan,
$ x = 0 \rightarrow b = 2x + 1 = 2.0 + 1 = 1 $
$ x = 1 \rightarrow b = 2x = 2. 1 = 2 $
$ x = 1 \rightarrow b = 2x + 1 = 2. 1 + 1 = 3 $
$ x = 2 \rightarrow b = 2x = 2. 2 = 4 $
$ x = 2 \rightarrow b = 2x + 1 = 2. 2 + 1 = 5 $
dan seterusnya sehingga $ b = \{ 1, 2, 3, 4, 5, .... \} \, $ adalah bilangan asli.
Bentuk $ b = 2x \, $ arti lainnya adalah $ b \, $ dibagi 2 memberikan sisa 0.
Bentuk $ b = 2x + 1 \, $ arti lainnya adalah $ b \, $ dibagi 2 memberikan sisa 1.
*). Kelipatan 3 : $ b = 3x , \, b = 3x + 1 , \, b = 3x + 2 \, $ artinya bilangan asli $ b \, $ dibagi menjadi tiga kelompok, penjelasan lainnya mirip dengan di atas.
*). Kita langsung ke bentuk kelipatan 9, yang ada kaitannya dengan soal ini.
Kelipatan 9 : $ b = 9x , \, b = 9x+ 1 , \, b = 9x+2 , \, b = 9x+ 3 $
$ b = 9x+ 4 , \, b = 9x+ 5 , \, b = 9x+ 6 , \, b = 9x+ 7 $
$ b = 9x+ 8 \, \, \, $ yaitu ada 9 kelompok bilangan.
$\spadesuit \, $ Konsep dasar peluang kejadian A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $ .
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A ,
$ n(A) = \, $ harapan kejadian A ,
$ n(S) = \, $ Semua kemungkinan kejadian
$\spadesuit \, $ Misalkan bilangan yang dipilih adalah $ a \, $ . Bilangan ($a$) dikuadratkan ($a^2$) dan dibagi dengan sembilan, artinya bilangan $ a^2 \, $ dapat kita sajikan dengan kelipatan 9 , yaitu :
$ a^2 = 9x , \, a^2 = 9x+ 1 , \, a^2 = 9x+2 , \, a^2 = 9x+ 3 $
$ a^2 = 9x+ 4 , \, a^2 = 9x+ 5 , \, a^2 = 9x+ 6 $
$ a^2 = 9x+ 7 , \, a^2 = 9x+ 8 $
Artinya bilangan $ a^2 \, $ bisa dinyatakan menjadi 9 kelompok bilangan, sehingga $ n(S) = 9 $ .
*). Harapannya adalah dibagi 9 bersisa 4, dan bentuk seperti itu hanya diwakili oleh bentuk $ a^2 = 9x+ 4 \, $ yang hanya ada satu bentuk, sehingga $ n(A) = 1 $.
Bentuk $ a^2 = 9x+ 4 \, $ artinya bilangan $ a^2 \, $ dibagi dengan 9 dan bersisa 4.
$\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya :
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{9} $
Jadi, peluang $ a^2 \, $ dibagi 9 bersisa 4 adalah $ \frac{1}{9} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar tahun 2015


Nomor 1
Nilai minimum dari fungsi $ z = 4x + 3y \, $ pada himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan : $ x \geq 0, \, y \geq 0 , \, 2x + 3y \geq 6 , \, 3x - 2y \leq 9 , \, $ dan $ x + 5y \leq 20 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Gambar daerahnya
I. $ 2x + 3y = 6 \rightarrow (0,2), \, (3,0) $
II. $ 3x - 2y = 9 \rightarrow (0,-\frac{9}{2}), \, (3,0) $
III. $ x + 5y = 20 \rightarrow (0,4), \, (20,0) $
simak_ui_matdas_kd1_1_2015.png
$\clubsuit \, $ Menentukan Titik pojoknya
Menentukan titik B dengan eliminasi pers II dan pers III :
$ \begin{array}{c|c|cc} 3x - 2y = 9 & \times 1 & 3x - 2y = 9 & \\ x + 5y = 20 & \times 3 & 3x + 15y = 27 & - \\ \hline & & -17y = -51 & \\ & & y = 3 & \end{array} $
Pers III : $ x + 5y = 20 \rightarrow x + 5.3 = 20 \rightarrow x = 5 $
Sehingga titik B(5,3)
$\clubsuit \, $ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan $ z = 4x + 3y $
$\begin{align} A(3,0) \rightarrow z & = 4.3 + 3.0 = 12 \\ B(5,3) \rightarrow z & = 4.5 + 3.3 = 29 \\ C(0,4) \rightarrow z & = 4.0 + 3.4 = 12 \\ D(0,2) \rightarrow z & = 4.0 + 3.2 = 6 \end{align}$
Jadi, nilai minimumnya adalah 6. $ \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ (x,y) = (a,b) \, $ adalah penyelesaian dari sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} 2xy - y^2 + 5x + 20 = 0 \\ 3x + 2y - 3 = 0 \end{array} \right. $
maka jumlah semua $ a + b \, $ dimana $ a \, $ dan $ b \, $ bukan bilangan bulat adalah ....
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i)
pers(ii) : $ 3x + 2y - 3 = 0 \rightarrow y = \frac{3-3x}{2} $
$ \begin{align} \text{pers(i) } : \, \, \, 2xy - y^2 + 5x + 20 & = 0 \\ 2x \left( \frac{3-3x}{2} \right) - \left( \frac{3-3x}{2} \right)^2 + 5x + 20 & = 0 \\ 3x - 3x^2 - \left( \frac{9 - 18x + 9x^2}{4} \right) + 5x + 20 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 12x - 12x^2 -9 + 18x - 9x^2 + 20x + 80 & = 0 \\ -21x^2 + 50x + 71 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 21x^2 - 50x - 71 & = 0 \\ (21x-71)(x+1) & = 0 \\ x = \frac{71}{21} \vee x & = -1 \end{align} $
Karena $ x \, $ bukan bulat, maka yang memenuhi adalah $ x = \frac{71}{21} $ .
Sehingga nilai $ y $ :
$ y = \frac{3-3x}{2} = \frac{3}{2}(1-x) = \frac{3}{2}(1-\frac{71}{21}) = - \frac{75}{21} $
Sehingga solusinya : $ (a,b) = (\frac{71}{21}, - \frac{75}{21} ) $ .
Nilai $ a + b = \frac{71}{21}+ ( - \frac{75}{21} ) = - \frac{4}{21} $
Jadi, nilai $ a + b = - \frac{4}{21} . \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui matriks $ A = \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right] \, $ dan $ B \, $ adalah matriks dengan entri-entri bernilai real sedemikian sehingga $ AB = BA \, $ . Nilai terkecil untuk detrminan $ B $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Kosep determinan : $ P = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow Det(P) = ad-bc $
$\clubsuit \, $ Misalkan matriks $ B = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan persamaannya
$ \begin{align} AB & = BA \\ \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right] \\ 2\left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] & = 2\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} a-c & b-d \\ a+c & b+d \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} a+b & -a+b \\ c+d & -c+d \end{matrix} \right] \end{align} $
Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh :
$ a - c = a + b \rightarrow b = -c $
$ a + c = c + d \rightarrow a = d $
Misalkan : $ a = d = x, \, b = y, \, c = -y $
Sehingga matriks B menjadi :
$ B = \left[ \begin{matrix} x & y \\ -y & x \end{matrix} \right] $
Nilai $ Det(B) = x^2 - (-y^2) = x^2 + y^2 $
Karena $ x, y \, $ bilangan real, maka agar Det(B) terkecil, haruslah $ x = 0 \, $ dan $ y = 0 $ , sehingga nilai $ Det(B) = x^2 + y^2 = 0^2 + 0^2 = 0 $
Jadi, nilai terkecil determinan B adalah 0. $ \heartsuit $
Nomor 4
Jika $ a $ dan $ b $ adalah dua bilangan (tidak harus berbeda) yang dipilih secara acak dan dengan pengembalian dari himpunan $ \{ 1,2,3,4,5\} $ , maka probabilitas bahwa $ \frac{a}{b} \, $ merupakan bilangan bulat adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep peluang kejadian A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
$ P(A) = \, $ Peluang kejadian A,
$ n(A) = \, $ Harapan kejadian A,
$ n(S) = \, $ Semua kemungkinan kejadian.
$\spadesuit \, a \, $ dan $ b $ dipilih dari $ \{ 1,2,3,4,5\} $ , artinya $ a \, $ ada lima pilihan angka, begitu juga $ b $ ada lima pilihan angka. Sehingga $ n(S) = 5.5 = 25 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ n(A) $
A = Kejadian $ \frac{a}{b} \, $ adalah bilangan bulat,
$ b = \{ 1 \} \rightarrow a = \{ 1,2,3,4,5 \} \, $ ada 5 kemungkinan.
$ b = \{ 2 \} \rightarrow a = \{ 2,4 \} \, $ ada 2 kemungkinan.
$ b = \{ 3 \} \rightarrow a = \{ 3 \} \, $ ada 1 kemungkinan.
$ b = \{ 4 \} \rightarrow a = \{ 4 \} \, $ ada 1 kemungkinan.
$ b = \{ 5 \} \rightarrow a = \{ 5 \} \, $ ada 1 kemungkinan.
sehingga $ n(A) = 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ P(A) $
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{10}{25} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{10}{25} . \heartsuit $
Nomor 5
Diketahui $ \log _2 5 = b \, $ dan $ \log _5 3 = c , \, $ maka nilai dari $ \log _8 \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar Akar dalam akar
$ \sqrt{(a+b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $
$ \sqrt{(a+b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \, $ dengan $ a > b $
Sehingga bentuk :
$ \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(3+2) + 2\sqrt{3.2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2} $
$ \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(3+2) - 2\sqrt{3.2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2} $
$\clubsuit \, $ Penulisan logaritma : $ \log _a b = {}^a \log b $
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat logaritma
(i). $ {}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c $
(ii). $ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
(iii). $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
(iv). $ {}^a \log b = \frac{{}^p \log b }{ {}^p \log a} $
Dari soal diketahui :
$ \log _2 5 = b \rightarrow {}^2 \log 5 = b \rightarrow {}^5 \log 2 = \frac{1}{b} $
$ \log _5 3 = c \rightarrow {}^5 \log 3 = c $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal
$ \begin{align} & \log _8 \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) \\ & = {}^8 \log \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) \\ & = {}^8 \log \left( (\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \right) \\ & = {}^8 \log \left( 2\sqrt{2} \right) \\ & = {{}^2 }^3 \log 2^\frac{3}{2} \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat(iii) ) } \\ & = ( \frac{3}{2} : 3 ) \, {}^2 \log 2 \\ & = \frac{1}{2} . 1 \\ & = \frac{1}{2} \end{align} $
Catatan : Tidak ada jawaban pada opsinya, kemungkinan soalnya adalah penjumlahan.
$ \begin{align} & \log _8 \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) \\ & = {}^8 \log \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) \\ & = {}^8 \log \left( (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \right) \\ & = {}^8 \log \left( 2\sqrt{3} \right) \\ & = {{}^2 }^3 \log 2. 3^\frac{1}{2} \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat(iv) ) } \\ & = \frac{{}^5 \log 2. 3^\frac{1}{2} }{ {}^5 \log 2^3 } \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat(i) dan (ii) ) } \\ & = \frac{{}^5 \log 2 + {}^5 \log 3^\frac{1}{2} }{ 3 . \, {}^5 \log 2 } \\ & = \frac{{}^5 \log 2 + \frac{1}{2} . {}^5 \log 3 }{ 3 . \, {}^5 \log 2 } \\ & = \frac{\frac{1}{b} + \frac{1}{2} . c }{ 3 . \frac{1}{b} } \\ & = \frac{\frac{1}{b} + \frac{1}{2} . c }{ 3 . \frac{1}{b} } \times \frac{2b}{2b} \\ & = \frac{2 + b c }{ 6 } \end{align} $
Jadi, diperoleh $ \log _8 \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) = \frac{2 + b c }{ 6 } . \heartsuit $ .
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20