Nomor 6
Berikut adalah enam bilangan dari data yang berisi 9 bilangan asli : 9, 8, 9, 7, 5, 3. Nilai terkecil yang mungkin
untuk median dari data 9 bilangan asli tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep : Median = nilai tengah data.
$\spadesuit \, $ Data terurut : 3,5,7,8,9,9
$\spadesuit \, $ Agar mediannya terkecil, maka tiga nilai sisanya ($x_1,x_2,x_3$) harus kita letakkan disebelah kiri angka 5.
Urutan yang mungkin :
*). $ x_1, x_2, x_3, 3, 5, 7, 8, 9, 9 $
*). $ x_1, x_2, 3, x_3, 5, 7, 8, 9, 9 $
*). $ x_1, 3, x_2, x_3, 5, 7, 8, 9, 9 $
*). $ 3, x_1, x_2, x_3, 5, 7, 8, 9, 9 $
Dari 4 urutan data yang mungkin, nilai median terkecilnya adalah data ke-5 yaitu 5.
Jadi, median terkecilnya adalah 5. $ \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Data terurut : 3,5,7,8,9,9
$\spadesuit \, $ Agar mediannya terkecil, maka tiga nilai sisanya ($x_1,x_2,x_3$) harus kita letakkan disebelah kiri angka 5.
Urutan yang mungkin :
*). $ x_1, x_2, x_3, 3, 5, 7, 8, 9, 9 $
*). $ x_1, x_2, 3, x_3, 5, 7, 8, 9, 9 $
*). $ x_1, 3, x_2, x_3, 5, 7, 8, 9, 9 $
*). $ 3, x_1, x_2, x_3, 5, 7, 8, 9, 9 $
Dari 4 urutan data yang mungkin, nilai median terkecilnya adalah data ke-5 yaitu 5.
Jadi, median terkecilnya adalah 5. $ \heartsuit $
Nomor 7
Misalkan tiga suku pertama dari barisan aritmatika adalah $ \log a^3b^7, \, \log a^5b^{12}, \, \log a^8b^{15} \, $ dan
suku ke-12 adalah $ \log a^mb^n . \, $ Nilai $ 2m + n \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika : $ u_n = u_1 + (n-1)b $
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log bc $
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
$\clubsuit \, $ Menentukan bedanya
$\begin{align} \text{beda } & = u_2 - u_1 \\ & = \log a^5b^{12} - \log a^3b^7 \\ & = \log \frac{a^5b^{12} }{ a^3b^7 } \\ & = \log a^2b^5 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ m \, $ dan $ \, n $
$\begin{align} u_{12} & = \log a^mb^n \\ u_1 + 11 . \text{ beda} & = \log a^mb^n \\ \log a^3b^7 + 11 . \log a^2b^5 & = \log a^mb^n \\ \log a^3b^7 + \log (a^2b^5)^{11} & = \log a^mb^n \\ \log a^3b^7 + \log a^{22}b^{55} & = \log a^mb^n \\ \log ( a^3b^7 . a^{22}b^{55} ) & = \log a^mb^n \\ \log a^{25}b^{62} & = \log a^mb^n \\ a^{25}b^{62} & = a^mb^n \end{align}$
Diperoleh : $ m = 25 \, $ dan $ n = 62 $
Sehingga nilai $ 2m + n = 2. 25 + 62 = 50 + 62 = 112 $
Jadi nilai $ 2m + n = 112 . \heartsuit$
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log bc $
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
$\clubsuit \, $ Menentukan bedanya
$\begin{align} \text{beda } & = u_2 - u_1 \\ & = \log a^5b^{12} - \log a^3b^7 \\ & = \log \frac{a^5b^{12} }{ a^3b^7 } \\ & = \log a^2b^5 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ m \, $ dan $ \, n $
$\begin{align} u_{12} & = \log a^mb^n \\ u_1 + 11 . \text{ beda} & = \log a^mb^n \\ \log a^3b^7 + 11 . \log a^2b^5 & = \log a^mb^n \\ \log a^3b^7 + \log (a^2b^5)^{11} & = \log a^mb^n \\ \log a^3b^7 + \log a^{22}b^{55} & = \log a^mb^n \\ \log ( a^3b^7 . a^{22}b^{55} ) & = \log a^mb^n \\ \log a^{25}b^{62} & = \log a^mb^n \\ a^{25}b^{62} & = a^mb^n \end{align}$
Diperoleh : $ m = 25 \, $ dan $ n = 62 $
Sehingga nilai $ 2m + n = 2. 25 + 62 = 50 + 62 = 112 $
Jadi nilai $ 2m + n = 112 . \heartsuit$
Nomor 8
Diketahui selisih rusuk dari dua kubus adalah 5 dan selisih volumenya adalah 1385. Misalkan $ y $ menyatakan selisih dari kuadrat
rusuk-rusuk kedua kubus tersebut dan $ z $ menyatakan kuadrat jumlah dari rusuk-rusuk kedua kubus tersebut, maka $ z - y + 5 = ....$
$\spadesuit \, $ Pemfaktoran : $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $
$\spadesuit \, $ Misalkan rusuk-rusuknya : $ r_1 \, $ dan $ r_2 \, $ dengan $ r_1 > r_2 $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan
*). Selisih kedua rusuk = 5
$ r_1 - r_2 = 5 \rightarrow r_1 = r_2 + 5 \, $ .....pers(i)
*). Selisih volume = 1385
$ r_1^3 - r_2^3 = 1385 \, $ .....pers(ii)
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} r_1^3 - r_2^3 & = 1385 \\ (r_1-r_2)(r_1^2 + r_1r_2+r_2^2) & = 1385 \\ (5)((r_2+5)^2 + (r_2+5)r_2+r_2^2) & = 1385 \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ (r_2^2 +10r_2 + 25 + r_2^2 + 5r_2+r_2^2) & = 277 \\ 3r_2^2 +15r_2 -252 & = 0 \\ (3r_2 - 21)(r_2 + 12) & = 0 \\ r_2 = 7 \vee r_2 & = -12 \end{align}$
Sehingga yang memenuhi $ r_2 = 7 \, $ karena panjang rusuk selalu positif.
nilai $ r_1 = r_2 + 5 = 7 + 5 = 12 $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$ y = r_1^2 - r_2^2 = 12^2 - 7^2 = 95 $
$ z = (r_1+r_2)^2 = (12+7)^2 = 19^2 = 361 $
Nilai $ z - y + 5 = 361 - 95 + 5 = 271 $
Jadi, nilai $ z - y + 5 = 271 . \heartsuit$
$\spadesuit \, $ Misalkan rusuk-rusuknya : $ r_1 \, $ dan $ r_2 \, $ dengan $ r_1 > r_2 $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan
*). Selisih kedua rusuk = 5
$ r_1 - r_2 = 5 \rightarrow r_1 = r_2 + 5 \, $ .....pers(i)
*). Selisih volume = 1385
$ r_1^3 - r_2^3 = 1385 \, $ .....pers(ii)
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} r_1^3 - r_2^3 & = 1385 \\ (r_1-r_2)(r_1^2 + r_1r_2+r_2^2) & = 1385 \\ (5)((r_2+5)^2 + (r_2+5)r_2+r_2^2) & = 1385 \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ (r_2^2 +10r_2 + 25 + r_2^2 + 5r_2+r_2^2) & = 277 \\ 3r_2^2 +15r_2 -252 & = 0 \\ (3r_2 - 21)(r_2 + 12) & = 0 \\ r_2 = 7 \vee r_2 & = -12 \end{align}$
Sehingga yang memenuhi $ r_2 = 7 \, $ karena panjang rusuk selalu positif.
nilai $ r_1 = r_2 + 5 = 7 + 5 = 12 $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$ y = r_1^2 - r_2^2 = 12^2 - 7^2 = 95 $
$ z = (r_1+r_2)^2 = (12+7)^2 = 19^2 = 361 $
Nilai $ z - y + 5 = 361 - 95 + 5 = 271 $
Jadi, nilai $ z - y + 5 = 271 . \heartsuit$
Nomor 9
Diketahui $ U_n $ dan $ V_n $ adalah barisan aritmatika dengan $ n > 0 . \, $ Jumlah $ n $ suku pertama dari masing-masing
barisan ini adalah $ S_u(n) $ dan $ S_v(n) $ . Jika $ \frac{S_v(n)}{S_u(n)} = \frac{2n+8}{5n+9} \, $ dan
$ V_2 = \frac{7}{3} , \, $ maka $ U_4 = .... $
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika
$ U_n = a + (n-1)b \, $ dan $ \, S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
$\clubsuit \, $ Misalkan suku pertama dan beda masing-masing barisan :
*). Barisan $ V_n \, : \, $ suku pertama = $ a_x \, $ dan beda $ = b_x $
$ V_n = a_x + (n-1)b_x \, $ dan $ \, S_v(n) = \frac{n}{2}(2a_x + (n-1)b_x ) $
*). Barisan $ V_n \, : \, $ suku pertama = $ a_y \, $ dan beda $ = b_y $
$ U_n = a_y + (n-1)b_y \, $ dan $ \, S_u(n) = \frac{n}{2}(2a_y + (n-1)b_y ) $
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan :
*). persamaan (i),
$ V_2 = \frac{7}{3} \rightarrow a_x + b_x = \frac{7}{3} \rightarrow b_x = \frac{7}{3} - a_x \, $ ....pers(i)
*). Persamaan (ii) ,
$\begin{align} \frac{S_v(n)}{S_u(n)} & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{\frac{n}{2}(2a_x + (n-1)b_x )}{\frac{n}{2}(2a_y + (n-1)b_y )} & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{2a_x + (n-1)b_x}{2a_y + (n-1)b_y } & = \frac{2n+8}{5n+9} \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi $ n = 1 \, $ ke pers(ii)
$\begin{align} \frac{2a_x + (n-1)b_x}{2a_y + (n-1)b_y } & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{2a_x + (1-1)b_x}{2a_y + (1-1)b_y } & = \frac{2.1+8}{5.1+9} \\ \frac{2a_x + 0.b_x}{2a_y + 0.b_y } & = \frac{10}{14} \\ \frac{2a_x }{2a_y } & = \frac{5}{7} \\ \frac{a_x }{a_y } & = \frac{5}{7} \\ a_x & = \frac{5}{7} a_y \, \, \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi $ n = 3 \, $ ke pers(ii)
$\begin{align} \frac{2a_x + (n-1)b_x}{2a_y + (n-1)b_y } & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{2a_x + (3-1)b_x}{2a_y + (3-1)b_y } & = \frac{2.3+8}{5.3+9} \\ \frac{2a_x + 2b_x}{2a_y + 2b_y } & = \frac{14}{24} \\ \frac{a_x + b_x}{a_y + b_y } & = \frac{7}{12} \\ \frac{\frac{7}{3}}{a_y + b_y } & = \frac{7}{12} \\ a_y + b_y & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \\ b_y & = 4 - a_y \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi $ n = 2 \, $ ke pers(ii)
$\begin{align} \frac{2a_x + (n-1)b_x}{2a_y + (n-1)b_y } & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{2a_x + (2-1)b_x}{2a_y + (2-1)b_y } & = \frac{2.2+8}{5.2+9} \\ \frac{2a_x + b_x}{2a_y + b_y } & = \frac{12}{19} \\ 38a_x + 19b_x & = 24a_y + 12b_y \\ 38a_x + 19(\frac{7}{3} - a_x) & = 24a_y + 12(4-a_y) \\ 38a_x + \frac{133}{3} - 19a_x & = 24a_y + 48 - 12a_y \\ 19a_x + \frac{133}{3} & = 12a_y + 48 \\ 19(\frac{5}{7}a_y) + \frac{133}{3} & = 12a_y + 48 \\ \frac{95}{7}a_y + \frac{133}{3} & = 12a_y + 48 \\ a_y & = \frac{7}{3} \end{align}$
Sehingga, $ b_y = 4 - a_y = 4 - \frac{7}{3} = \frac{5}{3} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ U_4 $
$\begin{align} U_4 & = a_y + 3b_y \\ & = \frac{7}{3} + 3. \frac{5}{3} \\ & = \frac{7}{3} + 5 \\ & = \frac{22}{3} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ U_4 = \frac{22}{3} . \heartsuit $
$ U_n = a + (n-1)b \, $ dan $ \, S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
$\clubsuit \, $ Misalkan suku pertama dan beda masing-masing barisan :
*). Barisan $ V_n \, : \, $ suku pertama = $ a_x \, $ dan beda $ = b_x $
$ V_n = a_x + (n-1)b_x \, $ dan $ \, S_v(n) = \frac{n}{2}(2a_x + (n-1)b_x ) $
*). Barisan $ V_n \, : \, $ suku pertama = $ a_y \, $ dan beda $ = b_y $
$ U_n = a_y + (n-1)b_y \, $ dan $ \, S_u(n) = \frac{n}{2}(2a_y + (n-1)b_y ) $
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan :
*). persamaan (i),
$ V_2 = \frac{7}{3} \rightarrow a_x + b_x = \frac{7}{3} \rightarrow b_x = \frac{7}{3} - a_x \, $ ....pers(i)
*). Persamaan (ii) ,
$\begin{align} \frac{S_v(n)}{S_u(n)} & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{\frac{n}{2}(2a_x + (n-1)b_x )}{\frac{n}{2}(2a_y + (n-1)b_y )} & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{2a_x + (n-1)b_x}{2a_y + (n-1)b_y } & = \frac{2n+8}{5n+9} \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi $ n = 1 \, $ ke pers(ii)
$\begin{align} \frac{2a_x + (n-1)b_x}{2a_y + (n-1)b_y } & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{2a_x + (1-1)b_x}{2a_y + (1-1)b_y } & = \frac{2.1+8}{5.1+9} \\ \frac{2a_x + 0.b_x}{2a_y + 0.b_y } & = \frac{10}{14} \\ \frac{2a_x }{2a_y } & = \frac{5}{7} \\ \frac{a_x }{a_y } & = \frac{5}{7} \\ a_x & = \frac{5}{7} a_y \, \, \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi $ n = 3 \, $ ke pers(ii)
$\begin{align} \frac{2a_x + (n-1)b_x}{2a_y + (n-1)b_y } & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{2a_x + (3-1)b_x}{2a_y + (3-1)b_y } & = \frac{2.3+8}{5.3+9} \\ \frac{2a_x + 2b_x}{2a_y + 2b_y } & = \frac{14}{24} \\ \frac{a_x + b_x}{a_y + b_y } & = \frac{7}{12} \\ \frac{\frac{7}{3}}{a_y + b_y } & = \frac{7}{12} \\ a_y + b_y & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \\ b_y & = 4 - a_y \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi $ n = 2 \, $ ke pers(ii)
$\begin{align} \frac{2a_x + (n-1)b_x}{2a_y + (n-1)b_y } & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{2a_x + (2-1)b_x}{2a_y + (2-1)b_y } & = \frac{2.2+8}{5.2+9} \\ \frac{2a_x + b_x}{2a_y + b_y } & = \frac{12}{19} \\ 38a_x + 19b_x & = 24a_y + 12b_y \\ 38a_x + 19(\frac{7}{3} - a_x) & = 24a_y + 12(4-a_y) \\ 38a_x + \frac{133}{3} - 19a_x & = 24a_y + 48 - 12a_y \\ 19a_x + \frac{133}{3} & = 12a_y + 48 \\ 19(\frac{5}{7}a_y) + \frac{133}{3} & = 12a_y + 48 \\ \frac{95}{7}a_y + \frac{133}{3} & = 12a_y + 48 \\ a_y & = \frac{7}{3} \end{align}$
Sehingga, $ b_y = 4 - a_y = 4 - \frac{7}{3} = \frac{5}{3} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ U_4 $
$\begin{align} U_4 & = a_y + 3b_y \\ & = \frac{7}{3} + 3. \frac{5}{3} \\ & = \frac{7}{3} + 5 \\ & = \frac{22}{3} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ U_4 = \frac{22}{3} . \heartsuit $
Nomor 10
Mira memilih secara acak sebuah bilangan bulat positif yang kemudian dia kuadratkan dan dibagi 9. Probabilitas
bahwa sisa dari hasil bagi tersebut 4 adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar Teori bilangan,
*). Penyajian bilangan bulat positif (bilangan asli) dapat disajikan dalam kelipatan salah satu bilangan, misalkan ada bilangan $ b $, dapat dinyatakan dari kelipatan bilangan tertentu .
*). Kelipatan 2 : $ b = 2x \, $ dan $ b = 2x + 1 \, $ dengan bilangan bulat $ \, x \geq 0 \, $ , artinya bilanga asli $ b \, $ dapat dinyatakan dalam dua bentuk (dua kelompok besar ) yaitu $ 2x \, $ dan $ 2x+1 \, $ , dan dijamin dua bentuk tersebut akan membentuk semua bilangan asli $ b $ . Misalkan,
$ x = 0 \rightarrow b = 2x + 1 = 2.0 + 1 = 1 $
$ x = 1 \rightarrow b = 2x = 2. 1 = 2 $
$ x = 1 \rightarrow b = 2x + 1 = 2. 1 + 1 = 3 $
$ x = 2 \rightarrow b = 2x = 2. 2 = 4 $
$ x = 2 \rightarrow b = 2x + 1 = 2. 2 + 1 = 5 $
dan seterusnya sehingga $ b = \{ 1, 2, 3, 4, 5, .... \} \, $ adalah bilangan asli.
Bentuk $ b = 2x \, $ arti lainnya adalah $ b \, $ dibagi 2 memberikan sisa 0.
Bentuk $ b = 2x + 1 \, $ arti lainnya adalah $ b \, $ dibagi 2 memberikan sisa 1.
*). Kelipatan 3 : $ b = 3x , \, b = 3x + 1 , \, b = 3x + 2 \, $ artinya bilangan asli $ b \, $ dibagi menjadi tiga kelompok, penjelasan lainnya mirip dengan di atas.
*). Kita langsung ke bentuk kelipatan 9, yang ada kaitannya dengan soal ini.
Kelipatan 9 : $ b = 9x , \, b = 9x+ 1 , \, b = 9x+2 , \, b = 9x+ 3 $
$ b = 9x+ 4 , \, b = 9x+ 5 , \, b = 9x+ 6 , \, b = 9x+ 7 $
$ b = 9x+ 8 \, \, \, $ yaitu ada 9 kelompok bilangan.
$\spadesuit \, $ Konsep dasar peluang kejadian A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $ .
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A ,
$ n(A) = \, $ harapan kejadian A ,
$ n(S) = \, $ Semua kemungkinan kejadian
$\spadesuit \, $ Misalkan bilangan yang dipilih adalah $ a \, $ . Bilangan ($a$) dikuadratkan ($a^2$) dan dibagi dengan sembilan, artinya bilangan $ a^2 \, $ dapat kita sajikan dengan kelipatan 9 , yaitu :
$ a^2 = 9x , \, a^2 = 9x+ 1 , \, a^2 = 9x+2 , \, a^2 = 9x+ 3 $
$ a^2 = 9x+ 4 , \, a^2 = 9x+ 5 , \, a^2 = 9x+ 6 $
$ a^2 = 9x+ 7 , \, a^2 = 9x+ 8 $
Artinya bilangan $ a^2 \, $ bisa dinyatakan menjadi 9 kelompok bilangan, sehingga $ n(S) = 9 $ .
*). Harapannya adalah dibagi 9 bersisa 4, dan bentuk seperti itu hanya diwakili oleh bentuk $ a^2 = 9x+ 4 \, $ yang hanya ada satu bentuk, sehingga $ n(A) = 1 $.
Bentuk $ a^2 = 9x+ 4 \, $ artinya bilangan $ a^2 \, $ dibagi dengan 9 dan bersisa 4.
$\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya :
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{9} $
Jadi, peluang $ a^2 \, $ dibagi 9 bersisa 4 adalah $ \frac{1}{9} . \heartsuit $
*). Penyajian bilangan bulat positif (bilangan asli) dapat disajikan dalam kelipatan salah satu bilangan, misalkan ada bilangan $ b $, dapat dinyatakan dari kelipatan bilangan tertentu .
*). Kelipatan 2 : $ b = 2x \, $ dan $ b = 2x + 1 \, $ dengan bilangan bulat $ \, x \geq 0 \, $ , artinya bilanga asli $ b \, $ dapat dinyatakan dalam dua bentuk (dua kelompok besar ) yaitu $ 2x \, $ dan $ 2x+1 \, $ , dan dijamin dua bentuk tersebut akan membentuk semua bilangan asli $ b $ . Misalkan,
$ x = 0 \rightarrow b = 2x + 1 = 2.0 + 1 = 1 $
$ x = 1 \rightarrow b = 2x = 2. 1 = 2 $
$ x = 1 \rightarrow b = 2x + 1 = 2. 1 + 1 = 3 $
$ x = 2 \rightarrow b = 2x = 2. 2 = 4 $
$ x = 2 \rightarrow b = 2x + 1 = 2. 2 + 1 = 5 $
dan seterusnya sehingga $ b = \{ 1, 2, 3, 4, 5, .... \} \, $ adalah bilangan asli.
Bentuk $ b = 2x \, $ arti lainnya adalah $ b \, $ dibagi 2 memberikan sisa 0.
Bentuk $ b = 2x + 1 \, $ arti lainnya adalah $ b \, $ dibagi 2 memberikan sisa 1.
*). Kelipatan 3 : $ b = 3x , \, b = 3x + 1 , \, b = 3x + 2 \, $ artinya bilangan asli $ b \, $ dibagi menjadi tiga kelompok, penjelasan lainnya mirip dengan di atas.
*). Kita langsung ke bentuk kelipatan 9, yang ada kaitannya dengan soal ini.
Kelipatan 9 : $ b = 9x , \, b = 9x+ 1 , \, b = 9x+2 , \, b = 9x+ 3 $
$ b = 9x+ 4 , \, b = 9x+ 5 , \, b = 9x+ 6 , \, b = 9x+ 7 $
$ b = 9x+ 8 \, \, \, $ yaitu ada 9 kelompok bilangan.
$\spadesuit \, $ Konsep dasar peluang kejadian A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $ .
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A ,
$ n(A) = \, $ harapan kejadian A ,
$ n(S) = \, $ Semua kemungkinan kejadian
$\spadesuit \, $ Misalkan bilangan yang dipilih adalah $ a \, $ . Bilangan ($a$) dikuadratkan ($a^2$) dan dibagi dengan sembilan, artinya bilangan $ a^2 \, $ dapat kita sajikan dengan kelipatan 9 , yaitu :
$ a^2 = 9x , \, a^2 = 9x+ 1 , \, a^2 = 9x+2 , \, a^2 = 9x+ 3 $
$ a^2 = 9x+ 4 , \, a^2 = 9x+ 5 , \, a^2 = 9x+ 6 $
$ a^2 = 9x+ 7 , \, a^2 = 9x+ 8 $
Artinya bilangan $ a^2 \, $ bisa dinyatakan menjadi 9 kelompok bilangan, sehingga $ n(S) = 9 $ .
*). Harapannya adalah dibagi 9 bersisa 4, dan bentuk seperti itu hanya diwakili oleh bentuk $ a^2 = 9x+ 4 \, $ yang hanya ada satu bentuk, sehingga $ n(A) = 1 $.
Bentuk $ a^2 = 9x+ 4 \, $ artinya bilangan $ a^2 \, $ dibagi dengan 9 dan bersisa 4.
$\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya :
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{9} $
Jadi, peluang $ a^2 \, $ dibagi 9 bersisa 4 adalah $ \frac{1}{9} . \heartsuit $