2010 Pembahasan Persamaan Kuadrat UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Salah satu akar persamaan $ ax^2 - (a+5)x + 8 = 0 $ adalah dua kali akar yang lainnya. Apabila $ a_1 $ dan $ a_2 $ nilai-nilai yang cocok untuk $ a $, maka $ a_1 + a_2 = .... $
A). $ 10 \, $ B). $ 15 \, $ C). $ 19 \, $ D). $ 26 \, $ E). $ 32 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK)
*). PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ mempunyai akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ :
Operasi penjulahan :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ ax^2 - (a+5)x + 8 = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ dengan $ x_1 = 2x_2 $ (salah satu akar adalah dua akar yang lainnya).
*). Menyusun persamaan :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ x_1 + x_2 & = \frac{-[-(a+5)]}{a} \\ x_1 + x_2 & = \frac{a + 5}{a} \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Substitusi $ x_1 = 2x_2 $ ke pers(i) :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{a + 5}{a} \\ 2x_2 + x_2 & = \frac{a + 5}{a} \\ 3x_2 & = \frac{a + 5}{a} \\ x_2 & = \frac{a + 5}{3a} \end{align} $
*). Substitusikan $ x_2 = \frac{a + 5}{3a} $ ke PK :
$ \begin{align} ax^2 - (a+5)x + 8 & = 0 \\ a\left( \frac{a + 5}{3a} \right)^2 - (a+5)\left( \frac{a + 5}{3a} \right) + 8 & = 0 \\ a\left( \frac{a^2 + 10a + 25}{9a^2} \right) - \left( \frac{a^2 + 10a + 25}{3a} \right) + 8 & = 0 \\ \left( \frac{a^2 + 10a + 25}{9a } \right) - \left( \frac{a^2 + 10a + 25}{3a} \right) + 8 & = 0 \\ (a^2 + 10a + 25) - 3(a^2 + 10a + 25) + 8.9a & = 0 \\ -2a^2 + 52a - 50 & = 0 \\ 2a^2 - 52a + 50 & = 0 \end{align} $
*). PK $ 2a^2 - 52a + 50 = 0 $ memiliki akar-akar $ a_1 $ dan $ a_2 $ :
$ \begin{align} a_1 + a_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-52)}{2} = 26 \end{align} $
Jadi, nilai $ a_1 + a_2 = 26 . \, \heartsuit $



2010 Cara 2 Pembahasan Dimensi Tiga UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk $ a $, titik P pada perpanjangan DH sehingga $ DP = 2DH $. Jarak titik F ke bidang PAC adalah ....
A). $ \frac{2a}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2}a\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{1}{2}a\sqrt{3} \, $ D). $ a \, $ E). $ \frac{3a}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema Pythagoras :
Misalkan segitiga siku-siku ABC dengan $ a $ dan $ b $ masing-masing sisi siku-sikunya serta $ c $ adalah sisi miringnya, maka berlaku teorema pythagoras yaitu :
$ c^2 = a^2 + b^2 $.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 :
*). Misalkan ternyata segitiga FPO buka segitiga siku-siku, maka cara pertama (menggunakan perbandingan luas) tidak bisa kita terapkan. Sehingga kita terapkan cara kedua berikut ini.
*). Ilustrasi gambar :
 

Jarak titik F ke bidang PAC sama dengan jarak F ke garis PO yaitu panjang FM.
*). Untuk perhitungan lainnya secara lengkap silahkan teman-teman baca Cara pertama.
*). Menentukan panjang $ x $ dari $\Delta PFM $ dan $ \Delta OFM $ :
$ \begin{align} FM^2 \, pada \, \Delta PFM & = FM^2 \, pada \, \Delta OFM \\ PF^2 - PM^2 & = FO^2 - MO^2 \\ (a\sqrt{3})^2 - x^2 & = (\frac{1}{2}a\sqrt{6})^2 - (\frac{3}{2}a\sqrt{2} - x)^2 \\ 3a^2 - x^2 & = \frac{6}{4}a^2 -(\frac{18}{4}a^2 - 3ax\sqrt{2} + x^2) \\ 3a^2 - x^2 & = \frac{6}{4}a^2 - \frac{18}{4}a^2 + 3ax\sqrt{2} - x^2 \\ 3a^2 & = - \frac{12}{4}a^2 + 3ax\sqrt{2} \\ 3a^2 & = - 3a^2 + 3ax\sqrt{2} \\ 3ax\sqrt{2} & = 6a^2 \\ x & = \frac{6a^2}{3a\sqrt{2}} = \frac{2a}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2} \end{align} $
*). Menentukan panjang FM dari $\Delta PFM $ :
$ \begin{align} FM^2 & = PF^2 - PM^2 \\ FM & = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 - (a\sqrt{2})^2 } \\ & = \sqrt{3a^2 - 2a^2 } \\ & = \sqrt{a^2 } = a \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ a . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Dimensi Tiga UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk $ a $, titik P pada perpanjangan DH sehingga $ DP = 2DH $. Jarak titik F ke bidang PAC adalah ....
A). $ \frac{2a}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2}a\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{1}{2}a\sqrt{3} \, $ D). $ a \, $ E). $ \frac{3a}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema Pythagoras :
Misalkan segitiga siku-siku ABC dengan $ a $ dan $ b $ masing-masing sisi siku-sikunya serta $ c $ adalah sisi miringnya, maka berlaku teorema pythagoras yaitu :
$ c^2 = a^2 + b^2 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

Jarak titik F ke bidang PAC sama dengan jarak F ke garis PO yaitu panjang FM.
*). Segitiga POD :
$\begin{align} PO & = \sqrt{PD^2 + DO^2} \\ & = \sqrt{(2a)^2 + (\frac{1}{2}a\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{4a^2 + \frac{2}{4}a^2} \\ & = \sqrt{\frac{18}{4}a^2} = \frac{3}{2}a\sqrt{2} \end{align} $
*). Segitiga FBO :
$\begin{align} FO &= \sqrt{FB^2 + BO^2} \\ &= \sqrt{a^2 + (\frac{1}{2}a\sqrt{2})^2} \\ &= \sqrt{a^2 + \frac{2}{4}a^2} \\ &= \sqrt {\frac{6}{4}a^2} = \frac{1}{2}a\sqrt{6} \end{align} $
*). Segitiga FPH :
$ \begin{align} FP & = \sqrt{HP^2 + HF^2} \\ & = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt{3} \end{align} $
*). Perhatikan segitiga FPO, apakah siku-siku di F? kita cek dengan teorema Pythagoras :
$ \begin{align} PO^2 & = PF^2 + FO^2 \\ (\frac{3}{2}a\sqrt{2})^2 & = (a\sqrt{3})^2 + (\frac{1}{2}a\sqrt{6})^2 \\ \frac{18}{4}a^2 & = 3a^2 + \frac{6}{4}a^2 \\ \frac{18}{4}a^2 & = \frac{12}{4}a^2 + \frac{6}{4}a^2 \\ \frac{18}{4}a^2 & = \frac{18}{4}a^2 \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Sehingga segitiga FPO siku-siku di F.
*). Menentukan panjang FM dengan Luas segitiga :
$ \begin{align} \text{Luas FPO alas PO} & = \text{ Luas FPO alas FO} \\ \frac{1}{2}. PO.FM & = \frac{1}{2}.FO . FP \\ PO.FM & = FO . FP \\ FM & = \frac{FO.FP}{FO} \\ & = \frac{\frac{1}{2}a\sqrt{6}. a\sqrt{3}}{\frac{3}{2}a\sqrt{2}} \\ & = \frac{a\sqrt{18}}{3\sqrt{2}} = \frac{a.3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = a \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ a . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Persamaan Matriks UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui matriks $ X = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] $
dan $ P = \left[ \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 6 \end{matrix} \right] $ , serta $ PX = P^{-1} $. Nilai $ a + b + c + d = .... $
A). $\frac{11}{4} \, $ B). $ 95 \, $ C). $\frac{95}{4} \, $ D). $-\frac{95}{4} \, $ E). $-\frac{11}{4} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Matriks
*). Invers matriks
$ A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] $
*). Persamaan matriks : $ AX=B \rightarrow X = B.A^{-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan invers matriks P :
$\begin{align} P & = \left[ \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 6 \end{matrix} \right] \\ P^{-1} & = \frac{1}{1.6 - 4.2} \left[ \begin{matrix} 6 & -4 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] \\ & = \frac{1}{-2} \left[ \begin{matrix} 6 & -4 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] \end{align} $
*). Menentukan matriks $ X $ :
$\begin{align} PX & = P^{-1} \\ X & = P^{-1} . P^{-1} \\ & = \frac{1}{-2} \left[ \begin{matrix} 6 & -4 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] . \frac{1}{-2} \left[ \begin{matrix} 6 & -4 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] \\ & = \frac{1}{-2} .\frac{1}{-2}\left[ \begin{matrix} 6 & -4 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] . \left[ \begin{matrix} 6 & -4 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] \\ & = \frac{1}{4}\left[ \begin{matrix} 44 & -28 \\ -14 & 9 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} 11 & -7 \\ -\frac{7}{2} & \frac{9}{4} \end{matrix} \right] \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a + b + c + d $ :
$ \begin{align} a + b + c + d & = 11 + (-7) + (-\frac{7}{2}) + \frac{9}{4} \\ & = \frac{44 - 28 - 14 + 9}{4} \\ & = \frac{11}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b + c + d = \frac{11}{4} . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Vektor UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Vektor $\vec{u} = (x, y, 1) $ sejajar $ \vec{v} = (-1,3,z) $. Jika $ \vec{u} $ tegak lurus $ (3,-2,3) $ , maka $ y = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{3} \, $ D). $ -\frac{1}{3} \, $ E). $ -1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Vektor
*). Jika $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ tegak lurus, maka $ \vec{a}.\vec{b} = 0 $
*). Misalkan $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $ dan $ \vec{b} =(b_1,b_2,b_3) $ .
Perkalian dot : $ \vec{a}.\vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3 $
*). Jika $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ sejajar, maka $ \vec{a} = n \vec{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan vektor $ \vec{w} = (3,-2,3) $ yaitu vektor pada soal.
*). $ \vec{u} $ tegak lurus $ \vec{w} $ sehingga :
$\begin{align} \vec{u}.\vec{w} & = 0 \\ x.3+y.(-2)+1.3 & = 0 \\ 3x - 2y + 3 & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). $ \vec{u} $ sejajar $ \vec{v} $ sehingga :
$\begin{align} \vec{u} & = n\vec{v} \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix} \right) & = n \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \\ z \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -n \\ 3n \\ zn \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ x = -n , \, y = 3n \, $ dan $ zn = 1 $.
*). Substitusi $ x = -n , \, y = 3n \, $ ke pers(i) :
$ \begin{align} 3x - 2y + 3 & = 0 \\ 3(-n) - 2.(3n) + 3 & = 0 \\ -3n - 6n + 3 & = 0 \\ -9n + 3 & = 0 \\ -9n & = -3 \\ n & = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3} \end{align} $
Sehingga nilai $ y = 3n = 3 . \frac{1}{3} = 1 $ .
Jadi, nilai $ y = 1 . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Trigonometri UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \tan 2\alpha = 4 \sin \alpha \cos \alpha \, $ untuk $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \, $ , maka $ \cos \alpha = .... $
A). $\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ B). $\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $-\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ E). $-\frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Rumus-rumus dasar trigonmetri :
$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
$ \sin 2x = 2\sin x \cos x $
$ \cos 2x = 2\cos ^2 x - 1 $
*). Bentuk pecahan : $ \frac{a}{b} = c \rightarrow b = \frac{a}{c} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan soal :
$\begin{align} \tan 2\alpha & = 4 \sin \alpha \cos \alpha \\ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} & = 4 \sin \alpha \cos \alpha \\ \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha }{2\cos ^2 x - 1} & = 4 \sin \alpha \cos \alpha \\ 2\cos ^2 x - 1 & = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha }{4 \sin \alpha \cos \alpha } \\ 2\cos ^2 x - 1 & = \frac{1}{2} \\ 2\cos ^2 x & = \frac{1}{2} + 1 \\ 2\cos ^2 x & = \frac{3}{2} \\ \cos ^2 x & = \frac{3}{4} \\ \cos x & = \pm \sqrt{\frac{3}{4} } = \pm \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $
*). Karena $ \alpha $ pada interval $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \, $ (kuadran II) , maka nilai $ \cos \alpha \, $ bernilai negatif. Sehingga nilai $ \cos \alpha = - \frac{1}{2}\sqrt{3} $.
Jadi, nilai $ \cos \alpha = - \frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $



2010 Cara 2 Pembahasan Lingkaran UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Syarat agar garis $ ax + y = 0 $ menyinggung lingkaran dengan pusat $(-1,3)$ dan jari-jari 1 adalah $ a = .... $
A). $ \frac{3}{2} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ \frac{3}{4} \, $ D). $ \frac{2}{3} \, $ E). $ \frac{1}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jarak titik $(m,n) $ ke garis $ ax + by + c = 0 $ yaitu :
Jarak $ = \left| \frac{a.m + b.n + c }{\sqrt{a^2 + b^2}} \right| $
*). Lingkaran menyinggung suatu garis, maka jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik pusat ke garis yang disinggung oleh lingkaran.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Lingkaran dengan pusat $(-1,3) $ dan $ r = 1 $ menyinggung garis $ ax + y = 0 $, sehingga :
$\begin{align} \text{Jari-jari } & = \text{ Jarak puat ke garis } ax + y = 0 \\ r & = \left| \frac{a.(-1) + 3}{\sqrt{a^2 + 1^2}} \right| \\ 1 & = \left| \frac{-a + 3}{\sqrt{a^2 + 1 }} \right| \\ \sqrt{a^2 + 1} & = (-a+3) \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{a^2 + 1})^2 & = (-a+3)^2 \\ a^2 + 1 & = a^2 - 6a + 9 \\ 6a & = 8 \\ a & = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = \frac{4}{3} . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Lingkaran UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Syarat agar garis $ ax + y = 0 $ menyinggung lingkaran dengan pusat $(-1,3)$ dan jari-jari 1 adalah $ a = .... $
A). $ \frac{3}{2} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ \frac{3}{4} \, $ D). $ \frac{2}{3} \, $ E). $ \frac{1}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Syarat Garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan lingkaran :
dengan pusat $(a,b) = (-1,3) $ dan $ r = 1 $,
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-(-1))^2 + (y-3)^2 & = 1^2 \\ (x+1)^2 + (y-3)^2 & = 1 \end{align} $
*). Substitusi persamaan garis $ ax + y = 0 \rightarrow y = -ax $ ke persamaan lingkaran :
$ \begin{align} (x+1)^2 + (y-3)^2 & = 1 \\ (x+1)^2 + (-ax-3)^2 & = 1 \\ x^2 + 2x + 1 + a^2x^2 + 6ax + 9 & = 1 \\ (a^2 + 1)x^2 + (6a+2)x + 9 & = 0 \end{align} $ .
*). Syarat bersinggungan : $ D = 0 $
$\begin{align} b^2 - 4ac & = 0 \\ (6a+2)^2 - 4(a^2+1).9 & = 0 \\ 36a^2 + 24a + 4 - 36a^2 - 36 & = 0 \\ 24a - 32 & = 0 \\ 24a & = 32 \\ a & = \frac{32}{24} = \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = \frac{4}{3} . \, \heartsuit $