Kode 252 Pembahasan Integral dan Turunan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ k $ antara $ 0 $ dan $ \pi $ yang membuat $ \int_0^k \sin ^2 x \cos x dx \, $ maksimum adalah ....
A). $ \frac{\pi}{6} \, $ B). $ \frac{\pi}{5} \, $ C). $ \frac{\pi}{4} \, $ D). $ \frac{\pi}{3} \, $ E). $ \frac{\pi}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Fungsi $ = f(x) $ akan mencapai maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Integral Substitusi :
$ \int [f(x)]^n . g(x) dx = \int [u]^n . g(x) \, \frac{du}{u^\prime} $
dengan $ u^\prime \, $ = turunan dari $ u $.

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menentukan integral dan turunan fungsinya :
Misalkan $ u = \sin x \rightarrow u^\prime = \cos x $
$\begin{align} f(k) & = \int_0^k \sin ^2 x \cos x dx \\ & = \int_0^k (\sin x)^2 \cos x dx \\ & = \int (u)^2 \cos x \, \frac{du}{u^\prime } \\ & = \int (u)^2 \cos x \, \frac{du}{\cos x } \\ & = \int (u)^2 du \\ & = \frac{1}{3}u^3 \\ & = [\frac{1}{3}(\sin x)^3]_0^k \\ & = [\frac{1}{3}(\sin k)^3] - [\frac{1}{3}(\sin 0)^3] \\ & = \frac{1}{3}(\sin k)^3 - 0 \\ f(k) & = \frac{1}{3}(\sin k)^3 \\ f^\prime (k) & = 3.\frac{1}{3}(\sin k)^2 \cos k \\ f^\prime (k) & = (\sin k)^2 \cos k \end{align} $
*). Syarat nilai maksimum : $ f^\prime (k) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (k) & = 0 \\ (\sin k)^2 \cos k & = 0 \\ \sin k = 0 \vee \cos k & = 0 \end{align} $
$ \sin k = 0 \rightarrow k = 0, \, \pi $
$ \cos k = 0 \rightarrow k = \frac{\pi}{2} $
Karena $ k $ antara $ 0 $ dan $ \pi $ , maka $ k = \frac{\pi}{2} $. Artinya fungsi $ f(k) $ akan maksimum pada saat $ k = \frac{\pi}{2} $.
Jadi, Nilai $ k = \frac{\pi}{2} . \, \heartsuit $



Kode 252 Pembahasan Luasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu-Y, daris $ y = 8$, dan kurva $ y = x^3$. Jika garis $ y = k $ membagi dua daerah D sama besar, maka $ k^4 = .... $
A). $ 2^5 \, $ B). $ 2^7 \, $ C). $ 2^8 \, $ D). $ 2^9 \, $ E). $ 2^{10} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $ dan $ \int k \, dx = kx + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ seperti gambar berikut ini :
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas kurang kurva bawah)
*). Sifat Eksponen :
$ (a^m)^n = a^{m.n} $ dan $ a^m.a^n = a^{m+n} $

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Ilustrasi Gambar :
 

*). Titik Potong Kedua Kurva
-). titik potong $ y = 8 $ dan $ y = x^3 $
$ x^3 = 8 \rightarrow x = \sqrt[3]{8} = 2 $
-). titik potong $ y = k $ dan $ y = x^3 $
$ x^3 = k \rightarrow x = k^\frac{1}{3} $
*). Luas daerah C :
$\begin{align} L_C & = \int \limits_0^2 (8 - x^3 ) dx \\ & = [8x - \frac{1}{4}x^4 ]_0^2 \\ & = 8.2 - \frac{1}{4}.2^4 \\ & = 16 - 4 = 12 \end{align} $
*). Karena $ y = k $ membagi daerah C menjadi dua daerah yang sama besar, sehingga $L_A = L_B $ dan $ L_A = \frac{1}{2}L_C $ .
$\begin{align} L_A & = \frac{1}{2}L_C \\ \int \limits_0^{k^\frac{1}{3}} (k - x^3 ) dx & = \frac{1}{2} \times 12 \\ [kx - \frac{1}{4}x^4 ]_0^{k^\frac{1}{3}} & = 6 \\ k.k^\frac{1}{3} - \frac{1}{4}(k^\frac{1}{3})^4 & = 6 \\ k^\frac{4}{3} - \frac{1}{4}.k^\frac{4}{3} & = 6 \\ \frac{4}{4}.k^\frac{4}{3} - \frac{1}{4}.k^\frac{4}{3} & = 6 \\ \frac{3}{4}.k^\frac{4}{3} & = 6 \\ k^\frac{4}{3} & = 6 \times \frac{4}{3} \\ k^\frac{4}{3} & = 8 \\ k^\frac{4}{3} & = 2^3 \, \, \, \, \, \, \text{(pangkatkan 3)} \\ (k^\frac{4}{3})^3 & = (2^3)^3 \\ k^4 & = 2^9 \end{align} $
Jadi, nilai $ k^4 = 2^9 . \, \heartsuit $



Kode 252 Pembahasan Turunan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 2 $ . Jika nilai minimum dan maksimum $ f(x) $ pada selang $ -2 \leq x \leq 2 $ berturut-turut adalah $ m $ dan $M $ , maka $ m + M = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 19 \, $ C). $ 20 \, $ D). $ 83 \, $ E). $ 100 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Minimum/maksimum
*). Nilai minimum suatu fungsi $ f(x) $ diperoleh pada saat $ f^\prime (x) = 0 $ dan untuk $ x $ pada interval batas yang diinginkan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsi dan syarat nilai maks/min :
$\begin{align} f(x) & = 3x^4 - 4x^3 + 2 \\ f^\prime (x) & = 12x^3 - 12x^2 \\ \text{Syarat : } \, f^\prime (x) & = 0 \\ 12x^3 - 12x^2 & = 0 \\ 12x^2(x-1) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 1 \end{align} $
*). Artinya $ f(x) $ mencapai maksimum/minimum saat $ x=0 $ atau $ x = 1 $ serta pada batas interval $ -2 \leq x \leq 2 $ yaitu $ x = -2 $ atau $ x = 2 $. Kita substitusi semua nilai $ x $ tadi ke fungsi $ f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 2 $.
$\begin{align} x = -2 \rightarrow f(-2) & = 3.(-2)^4 - 4.(-2)^3 + 2 = 82 \\ x = 0 \rightarrow f(0) & = 3.(0)^4 - 4.(0)^3 + 2 = 2 \\ x = 1 \rightarrow f(1) & = 3.(1)^4 - 4.(1)^3 + 2 = 1 \\ x = 2 \rightarrow f(2) & = 3.(2)^4 - 4.(2)^3 + 2 = 18 \end{align} $
kita peroleh nilai minimum fungsi $ f(x) $ adalah $ 1 $ dan maksimumnya adalah $ 82 $ sehingga $ m = 1 $ dan $ M = 82$.
Nilai $ m + M = 1 + 82 = 83 $.
Jadi, nilai $ m + M = 83 . \, \heartsuit $