Kode 381 Pembahasan Jarak Terdekat Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Titik $(a,b) $ pada kurva $ y = x^2 + 2 \, $ dan mempunyai jarak terdekat ke garis $ y = x \, $ , nilai $ a+ b \, $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 2\frac{1}{4} \, $ B). $ 2\frac{1}{2} \, $ C). $ 2\frac{3}{4} \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 3\frac{1}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Jarak dan Turunan
*). Suatu fungsi $f(a) \, $ minimum pada saat $ a \, $ memenuhi $ f^\prime (a) = 0 $.
*). Jarak titik $ (m,n) $ ke garis $ px+qy + c = 0 \, $ adalah
Jarak $ = \left| \frac{p.m + q.n + c}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| $
*). Definisi nilai mutlak :
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x &, x < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

Titik $(a,b)$ terletak pada kurva $ y = x^2 + 2 \, $ , artinya bisa kita substitusikan, sehingga $ b = a^2 + 2 $, ini berarati titik $ A(a,b) = A(a, a^2 + 2) $.
*). Jarak titik $ A(a,a^2+2) \, $ ke garis $ y = x \, $ atau $ x - y = 0 $ :
$\begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{p.m + q.n + c}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| \\ f(a) & = \left| \frac{a - (a^2 + 2)}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \right| \\ f(a) & = \left| \frac{a - a^2 - 2}{\sqrt{2}} \right| \\ f(a) & = \frac{a^2 - a + 2)}{\sqrt{2}} \, \, \, \, \, \text{(turunannya)} \\ f^\prime (a) & = \frac{1)}{\sqrt{2}} (2a - 1) \end{align} $
*). Syarat agar nilai $ f(a) \, $ atau jaraknya minimum :
$\begin{align} f^\prime (a) & = 0 \\ \frac{1)}{\sqrt{2}} (2a - 1) & = 0 \\ a & = \frac{1}{2} \end{align} $
Artinya jaraknya akan minimum pada saat $ a = \frac{1}{2} $.
Sehingga nilai $ b $ :
$ b = a^2 + 2 = (\frac{1}{2})^2 + 2 = \frac{9}{4} $.
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} a + b & = \frac{1}{2} + \frac{9}{4} = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = 2\frac{3}{4} . \, \heartsuit $



Kode 381 Pembahasan Peluang Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya bilangan bulat positif lima angka, dengan angka pertama 1 dan terdapat tepat tiga angka sama adalah ....
A). $ 810 \, $ B). $ 720 \, $ C). $ 120 \, $ D). $ 60 \, $ E). $ 20 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Peluang
*). Penyusunan beberapa unsur berbeda menggunakan permutasi berulang.
Contoh :
total susunan dari angka 23347 jika diacak yaitu $ \frac{5!}{2!} $
Keterangan : total ada 5 angka (2,3,3,4,7) dan ada 2 yang sama (3 dan 3).
*). Pemilihan beberapa unsur dengan urutan tidak diperhatikan, menggunakan kombinasi dengan rumus : $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Terdapat tepat tiga angka yang sama, artinya dua bilangan lain harus berbeda dari lima angka yang terbentuk.
*). Pilihan angka setiap digit ada 10 pilingan angka yaitu {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Kita bagi menjadi dua kasus :
i). Kasus pertama : yang sama angka 1.
 

-). Proses pengacakan 4 kotak/digit terakhir ada
$ \frac{4!}{2!} = 12 \, $ cara.
-). Nilai $ a \, $ dan $ b \, $ tidak boleh angka 1 dan berbeda yang bisa dipilih dari angka-angaka {0,2,3,4,5,6,7,8,9}.
banyak cara pemilihannya = $ C_2^9 = 36 \, $ cara .
Sehingga total cara kemungkinan pertama :
Cara I = $ 12 \times 36 = 432 \, $ cara.

ii). Kasus kedua : yang sama bukan angka 1,
 

-). Proses pengacakan 4 kotak/digit terakhir ada
$ \frac{4!}{3!} = 4 \, $ cara.
-). Nilai $ a \, $ ada 9 pilihan selain angka 1.
-). Nilai $ b \, $ ada 8 pilihan selain 1 dan $ a $.
Sehingga total cara kemungkinan pertama :
Cara II = $ 4 \times 9 \times 8 = 288 \, $ cara.

*). Total kemungkinan banyaknya angka yang terbentuk :
Total = cara I + cara II = 432 + 288 = 720 angka.
Jadi, ada 720 bilangan yang terbentuk.$ \, \heartsuit $



Kode 381 Pembahasan Integral Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$ \int \limits_\frac{1}{2}^1 \left( \sqrt[3]{2x-1} + \sin \pi x \right) \, dx = .... $
A). $ \frac{3\pi - 8}{8\pi} $
B). $ \frac{3\pi - 4}{4\pi} $
C). $ \frac{3\pi + 4}{4\pi} $
D). $ \frac{3\pi + 8}{8\pi} $
E). $ \frac{3}{4} + \pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral
$ \int (ax+b)^n \, dx = \frac{1}{a(n+1)} (ax+b)^{n+1} + c $
$ \int \sin ax \, dx = -\frac{1}{a} \cos ax + c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Integralnya :
$\begin{align} & \int \limits_\frac{1}{2}^1 \left( \sqrt[3]{2x-1} + \sin \pi x \right) \, dx \\ & = \int \limits_\frac{1}{2}^1 \left( (2x-1)^\frac{1}{3} + \sin \pi x \right) \, dx \\ & = \left[ \frac{1}{2} . \frac{3}{4} (2x-1)^\frac{4}{3} - \frac{1}{\pi} \cos \pi x \right]_\frac{1}{2}^1 \\ & = \left[ \frac{3}{8} (2x-1)^\frac{4}{3} - \frac{1}{\pi} \cos \pi x \right]_\frac{1}{2}^1 \\ & = \left[ \frac{3}{8} (2.1-1)^\frac{4}{3} - \frac{1}{\pi} \cos \pi .1 \right] \\ & \, \, \, \, \, - \left[ \frac{3}{8} (2.\frac{1}{2}-1)^\frac{4}{3} - \frac{1}{\pi} \cos \pi . \frac{1}{2} \right] \\ & = \left( \frac{3}{8} + \frac{1}{\pi} \right) - \left( 0 - 0 \right) \\ & = \frac{3}{8} + \frac{1}{\pi} \\ & = \frac{3\pi + 8}{8\pi} \end{align} $
Jadi, hasil integralnya adalah $ \frac{3\pi + 8}{8\pi} . \, \heartsuit $



Kode 381 Pembahasan Turunan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ p $ merupakan bilangan rasional sehingga fungsi $ f(x) = (x-1)^2(3-x^2) \, $ mencapai minimum di $ x = p \, $ , maka $ f(p+1) = .... $
A). $-1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Turunan
*). Nilai maksimum atau minimum
Fungsi $ f(x) \, $ minimum/maksimum pada saat $ x \, $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
*). Turunan perkalian fungsi :
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime.V + U.V^\prime $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya
$\begin{align} f(x) & = (x-1)^2(3-x^2) \\ f^\prime (x) & = U^\prime.V + U.V^\prime \\ f^\prime (x) & =2(x-1).(3-x^2) + (x-1)^2.(-2x) \\ & =(x-1)[2(3-x^2) + (x-1).(-2x)] \\ & =(x-1)[6 - 2x^2 + (-2x^2 + 2x)] \\ & =(x-1)[-4x^2 + 2x + 6] \\ & =(x-1).(-2)[2x^2 - x - 3] \\ & =(x-1).(-2).(2x-3)(x+1) \\ & =-2(x-1)(2x-3)(x+1) \end{align} $
*). Syarat nilai minimum/maksimum :
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ -2(x-1)(2x-3)(x+1) & = 0 \\ x = 1 , \, x = \frac{3}{2} , \, x & = -1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x \, $ yang menyebabkan minimum :
Fungsi $ f(x) = (x-1)^2(3-x^2) $
$\begin{align} x = 1 \rightarrow f(1) & = (1-1)^2(3-1^2) = 0 \\ x = \frac{3}{2} \rightarrow f(\frac{3}{2}) & = (\frac{3}{2}-1)^2(3-(\frac{3}{2})^2) = \frac{3}{16} \\ x = -1\rightarrow f(-1) & = (-1-1)^2(3-(-1)^2) = 8 \end{align} $
Artinya $ f(x) \, $ minimum pada saat $ x = 1 $,
Sehingga $ x = p \, $ dengan $ p = 1 $.
*). Menentukan nilai $ f(p+1) \, $ dengan $ p = 1 $ :
$\begin{align} f(p+1) & = f(1+1) = f(2) \\ & = (2-1)^2(3-2^2) \\ & = 1. (-1) \\ & = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(p+1) = -1 . \, \heartsuit $



Kode 381 Pembahasan Limit Trigonometri Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to -3 } \frac{1 - \cos (x+3)}{(x^2+6x+9)(x-3)} = ..... $
A). $ -\frac{1}{12} \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{1}{12} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Konsep Limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{\sin a f(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} \, $ dengan $ f(k) = 0 $
*). Trogonometri :
$ \cos f(x) = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} f(x) $
Sehingga bentuk :
$ \cos (x+3) = 1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} (x+3) \, $ dan
$ \begin{align} 1 - \cos (x+3) & = 1 - (1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} (x+3) ) \\ & = 2 \sin ^2 \frac{1}{2} (x+3) \\ & = 2 \sin \frac{1}{2} (x+3) \sin \frac{1}{2} (x+3) \end{align} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to -3 } \frac{1 - \cos (x+3)}{(x^2+6x+9)(x-3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -3 } \frac{2 \sin \frac{1}{2} (x+3) \sin \frac{1}{2} (x+3)}{(x+3)(x+3)(x-3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -3 } \frac{2}{(x-3)} . \frac{ \sin \frac{1}{2} (x+3)}{(x+3) } . \frac{ \sin \frac{1}{2} (x+3) }{(x+3)} \\ & = \frac{2}{-3-3} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \\ & = - \frac{1}{12} \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ - \frac{1}{12} . \, \heartsuit $



Kode 381 Pembahasan Barisan Geometri Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a_n \, $ menyatakan suku ke-$n$ barisan geometri dengan rasio $ r , $ mempunyai sifat $ 0 < r \leq 1 , \, a_3 - a_4 = \frac{5}{8} $ , dan $ \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_4} = -\frac{4}{5} $ , maka $ (r-1)^2 = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{1}{4} \, $ D). $ \frac{1}{16} \, $ E). $ 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri
*). Rumus suku ke-$n$ : $ U_n = ar^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
Persamaan pertama, $ a_3 - a_4 = \frac{5}{8} $
$\begin{align} a_3 - a_4 & = \frac{5}{8} \\ ar^2 - ar^3 & = \frac{5}{8} \\ ar^2(1 - r) & = \frac{5}{8} \\ a & = \frac{5}{8r^2(1 - r)} \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
Persamaan kedua, $ \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_4} = -\frac{4}{5} $
$\begin{align} \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_4} & = -\frac{4}{5} \\ \frac{1}{ar^2} - \frac{1}{ar^3} & = -\frac{4}{5} \\ \frac{1 \times r}{ar^2 \times r} - \frac{1}{ar^3} & = -\frac{4}{5} \\ \frac{ r}{ar^3} - \frac{1}{ar^3} & = -\frac{4}{5} \\ \frac{ r - 1 }{ar^3} & = -\frac{4}{5} \\ r-1 & = -\frac{4}{5} ar^3 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} r-1 & = -\frac{4}{5} ar^3 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ r-1 & = -\frac{4}{5} \times \frac{5}{8r^2(1 - r)} \times r^3 \\ r-1 & = - \frac{1}{2(1 - r)} r \\ (r-1) \times 2(1 - r) & = -r \\ -2r^2 + 4r - 2 & = -r \\ 2r^2 - 5r + 2 & = 0 \\ (2r-1)(r-2) & = 0 \\ r = \frac{1}{2} \vee r & = 2 \end{align} $
Karena syarat $ 0 < r \leq 1 $ , maka $ r = \frac{1}{2} \, $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $(r-1)^2 $ :
$(r-1)^2 = (\frac{1}{2} -1)^2 =(-\frac{1}{2} )^2 = \frac{1}{4} $
Jadi, nilai $ (r-1)^2 = \frac{1}{4} . \, \heartsuit $



Kode 381 Pembahasan Barisan Aritmetika Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah semua nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ {}^{(5x+9)} \log (x^2+6x+9) + {}^{(x+3)} \log (5x^2+ 24x + 27) = 4 \, $ adalah ....
A). $ \frac{19}{4} \, $ B). $ 4 \, $ C). $ \frac{15}{4} \, $ D). $ \frac{13}{4} \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Aritmetika
*). Jika diketahui $ S_n \, $ deret aritmetika, maka berlaku $ U_n = S_n - S_{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan suku ke-10 ($U_{10}$) dengan diketahui $ S_n = \frac{1}{2}n(13-3n) $
$\begin{align} U_n & = S_n - S_{n-1} \\ U_{10} & = S_{10} - S_{10-1} \\ & = S_{10} - S_{9} \\ & = \frac{1}{2}.10.(13-3.10) - \frac{1}{2}.9.(13-3.9) \\ & = 5.(13-30) - \frac{1}{2}.9.(13-27) \\ & = 5.(-17) - \frac{1}{2}.9.(-14) \\ & = 5.(-17) - 9.(-7) \\ & = -85 + 63 \\ & = -22 \end{align} $
Jadi, nilai $ U_{10} = -22 . \, \heartsuit $



Kode 381 Pembahasan Persamaan Logaritma Hasil Jumlah Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah semua nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ {}^{(5x+9)} \log (x^2+6x+9) + {}^{(x+3)} \log (5x^2+ 24x + 27) = 4 \, $ adalah ....
A). $ \frac{19}{4} \, $ B). $ 4 \, $ C). $ \frac{15}{4} \, $ D). $ \frac{13}{4} \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma
*). Definisi Logaritma
${}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan persamaan :
Misalkan $ p = {}^{x+3} \log (5x+9) $
Menyederhanakan persamaan awal :
$\begin{align} {}^{(5x+9)} \log (x^2+6x+9) + {}^{(x+3)} \log (5x^2+ 24x + 27) & = 4 \\ {}^{(5x+9)} \log (x+3)^2 + {}^{(x+3)} \log (5x+9)(x+3) & = 4 \\ 2 \times {}^{(5x+9)} \log (x+3) + {}^{(x+3)} \log (5x+9) + 1 & = 4 \\ 2 \times \frac{1}{{}^{(x+3)} \log (5x+9)} + {}^{(x+3)} \log (5x+9) - 3 & = 0 \\ 2 \times \frac{1}{p} + p - 3 & = 0 \\ \text{(kali p) } \, \, \frac{2}{p} + p - 3 & = 0 \\ 2 + p^2 - 3p & = 0 \\ p^2 - 3p + 2 & = 0 \\ (p - 1)(p - 2) & = 0 \\ p = 1 \vee p & = 2 \end{align} $
*). Kita substitusi nilai $ p \, $ ke bentuk permisalannya ($p = {}^{x+3} \log (5x+9) $) dan menentukan niali $ x \, $ dengan definisi logaritma :
$\begin{align} p = 1 \rightarrow {}^{x+3} \log (5x+9) & = 1 \\ (5x+9) & = (x+3)^ 1 \\ (5x+9) & = x+3 \\ 4x & = - 6 \\ x_1 & = -\frac{6}{4} = - \frac{3}{2} \\ p = 2 \rightarrow {}^{x+3} \log (5x+9) & = 2 \\ (5x+9) & = (x+3)^ 2 \\ (5x+9) & = x^2 + 6x + 9 \\ x^2 + x & = 0 \\ x(x + 1) & = 0 \\ x_2 = 0 \vee x_3 & = -1 \end{align} $
*). Menentukan jumlah akar-akar :
$ x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{3}{2} + 0 + (-1) = -\frac{5}{2} $
Jadi, jumlah semua akar-akar adalah $ -\frac{5}{2} . \, \heartsuit $

Catatan :
Sebenarnya nilai $ x_1 = -\frac{3}{2}, \, x_2 = 0 , \, $ dan $ x_3 = -1 \, $ harus kita cek dulu ke syarat logaritmanya. Silahkan teman-teman cek, semua nilai $ x \, $ di atas memenuhi syarat logaritma.



Kode 381 Pembahasan Persamaan Logaritma Hasil Kali Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Hasil kali semua akar-akar real persamaan $ \sqrt{10}(x^2-x+4)^{\log (x^2 - x + 4)} = (x^2 - x + 4)^\frac{3}{2} \, $ adalah ....
A). $ -18 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 18 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma dan Persamaan Kuadrat
*). Definisi Logaritma
${}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$ {}^a \log b^n = n \times {}^a \log b $
*). Persamaan kuadrat : $ax^2 + bx + c = 0 $
memiliki akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $.
Syarat akar-akar real adalah $ D \geq 0 \, $ dengan $ D = b^2 - 4ac $
Hasil kali akar-akarnya : $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan persamaan :
Misalkan $ p = \log (x^2 - x + 4) $
Kita berikan log kedua ruas :
$\begin{align} \sqrt{10}(x^2-x+4)^{\log (x^2 - x + 4)} & = (x^2 - x + 4)^\frac{3}{2} \\ \log [\sqrt{10}(x^2-x+4)^{\log (x^2 - x + 4)} ] & = \log (x^2 - x + 4)^\frac{3}{2} \\ \log \sqrt{10} + \log (x^2-x+4)^{\log (x^2 - x + 4)} & = \frac{3}{2} \log (x^2 - x + 4) \\ \log 10^\frac{1}{2} + \log (x^2 - x + 4) \times \log (x^2-x+4) & = \frac{3}{2} \log (x^2 - x + 4) \\ \frac{1}{2} \log 10 + p \times p & = \frac{3}{2} p \\ \frac{1}{2} + p^2 & = \frac{3}{2} p \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 1 + 2p^2 & = 3 p \\ 2p^2 - 3p + 1 & = 0 \\ (2p-1)(p-1) & = 0 \\ p = \frac{1}{2} \vee p & = 1 \end{align} $
*). Kita substitusi nilai $ p \, $ ke bentuk permisalannya ($p = \log (x^2 - x + 4)$) dan menentukan hasil kali akar-akar real $( D \geq 0)$ serta menggunakan definisi logaritma :
$\begin{align} p = \frac{1}{2} \rightarrow \log (x^2 - x + 4) & = \frac{1}{2} \\ (x^2 - x + 4) & = 10^\frac{1}{2} \\ x^2 - x + 4 & = \sqrt{10} \\ x^2 - x + 4 - \sqrt{10} & = 0 \\ \text{Cek Nilai } D & = b^2 - 4ac \\ D & = (-1)^2 - 4 . 1 . (4 - \sqrt{10}) \\ & = 1 - 4 (4 - \sqrt{10}) \\ & = 1 - 16 + 4\sqrt{10} \\ & = - 15 + 4\sqrt{10} < 0 \end{align} $
Karena nilai $ D < 0 \, $ , maka akar-akarnya tidak real, sehingga hasil kalinya tidak kita hitung.
$\begin{align} p = 1 \rightarrow \log (x^2 - x + 4) & = 1 \\ (x^2 - x + 4) & = 10^1 \\ x^2 - x + 4 & = 10 \\ x^2 - x -6 & = 0 \\ \text{Cek Nilai } D & = b^2 - 4ac \\ D & = (-1)^2 - 4 . 1 . (-6) \\ & = 1 + 24 \\ & = 25 > 0 \end{align} $
Karena nilai $ D > 0 \, $ maka akar-akarnya real, sehingga kita cari nilai hasil kali akar-akarnya.
$ x^2 - x -6 = 0 \rightarrow x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-6}{1} = -6 $
Jadi, hasil kali semua akar-akar realnya adalah $ -6 . \, \heartsuit $



Kode 381 Pembahasan Suku Banyak Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Sisa pembagian $ x^4 + px^3 + qx^2 - 8 \, $ oleh $ x^2-2x-3 \, $ adalah $ 45x+37$. Nilai $ p $ dan $ q $ adalah .....
A). $ p=2, q=3 \, $ B). $ p=-2, q=-3 \, $
C). $ p=3, q=2 \, $ D). $ p=-3, q=-2 \, $
E). $ p=-3, q=2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Suku Banyak atau polinomial
*). Teorema sisa
$ \frac{f(x)}{x-a} \rightarrow \text{ sisa } = f(a) $
artinya sisanya diperoleh dengan mengganti $ x = a \, $ yaitu akar dari pembaginya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
$P(x) : (x^2-2x-3) \, $ bersisa $(45x+37) $.
dengan $ P(x) = x^4 + px^3 + qx^2 - 8 $
$ \frac{P(x)}{x^2-2x-3} = \frac{P(x)}{(x+1)(x-3)} = \left\{ \begin{array}{c} \text{sisa} = P(-1) \\ \text{sisa} = P(3) \end{array} \right. $
artinya dengan sisa = $ 45x+37 \, $ dan $ P(x) $ , kita peroleh :
Persamaan Pertama :
$\begin{align} \text{sisa} & = P(-1) \\ P(-1) & = \text{sisa} \\ (-1)^4 + p.(-1)^3 + q.(-1)^2 - 8 & = 45 . (-1) + 37 \\ 1 - p + q - 8 & = -8 \\ -p + q & = -1 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
Persamaan Kedua :
$\begin{align} \text{sisa} & = P(3) \\ P(3) & = \text{sisa} \\ (3)^4 + p.(3)^3 + q.(3)^2 - 8 & = 45 . (3) + 37 \\ 81 + 27 p + 9 q - 8 & = 172 \\ 27p + 9q & = 99 \\ 3p + q & = 11 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan (ii) :
$ \begin{array}{cc} -p + q = -1 & \\ 3p + q = 11 & - \\ \hline -4p = -12 & \\ p = 3 & \end{array} $
Pers(i) : $ -p + q = -1 \rightarrow -3 + q = -1 \rightarrow q = 2 $
Jadi, nilai $ p= 3 \, $ dan $ q = 2 . \, \heartsuit $



Kode 381 Pembahasan Pertidaksamaan Mutlak Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Semua bilangan real $ x \, $ yang memenuhi $ |2x+1| < 5 - |2x| \, $ adalah ....
A). $ -\frac{3}{2} < x < 1 \, $ B). $ -\frac{5}{2} < x < 3 \, $
C). $ -\frac{7}{2} < x < 5 \, $ D). $ x < -\frac{3}{2} \vee x > 2 $
E). $ x < -\frac{5}{2} \vee x > 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Bentuk Mutlak
*). Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menjabarkan masing-masing bentuk mutlaknya :
$ |2x+1| = \left\{ \begin{array}{ccc} (2x+1) & , \text{ untuk } 2x + 1 \geq 0 & \rightarrow x \geq -\frac{1}{2} \\ -(2x+1) & , \text{ untuk } 2x+ 1 < 0 & \rightarrow x < -\frac{1}{2} \end{array} \right. $
$ |2x| = \left\{ \begin{array}{ccc} (2x) & , \text{ untuk } 2x \geq 0 & \rightarrow x \geq 0 \\ -2x & , \text{ untuk } 2x < 0 & \rightarrow x < 0 \end{array} \right. $
Sehingga pembatas nilai $ x \, $ dari kedua bentuk mutlak adalah untuk $ x = -\frac{1}{2} \, $ dan $ x = 0 $. Ini artinya terbentuk tiga daerah yaitu :
Daerah I untuk $ x < -\frac{1}{2} $ ,
Daerah II untuk $ -\frac{1}{2} \leq x < 0 $ ,
Daerah III untuk $ x \geq 0 $ ,
*). Menyelesaikan soal berdasarkan daerah dan definisinya :
Soal mula-mula : $ |2x+1| < 5 - |2x| $
-). Daerah I : untuk $ x < -\frac{1}{2} $,
maka $ |2x+1| = -(2x+1) \, $ dan $ |2x| = -2x $
$\begin{align} |2x+1| & < 5 - |2x| \\ -(2x+1) & < 5 - [-2x] \\ -2x-1 & < 5 + 2x \\ - 4x & < 6 \, \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ x & > \frac{6}{-4} \\ x & > -\frac{3}{2} \end{align} $
Karena daerah I untuk $ x < -\frac{1}{2} $, maka solusinya :
HP1 = $ \{ -\frac{3}{2} < x < -\frac{1}{2} \} $
-). Daerah II : untuk $ -\frac{1}{2} \leq x < 0 $,
maka $ |2x+1| = (2x+1) \, $ dan $ |2x| = -2x $
$\begin{align} |2x+1| & < 5 - |2x| \\ (2x+1) & < 5 - [-2x] \\ 2x+1 & < 5 + 2x \\ 1 & < 5 \, \, \, \, \, \text{(Benar)} \end{align} $
Artinya untuk semua $ x \, $ di daerah II benar, sehingga
HP2 = $ \{ -\frac{1}{2} \leq x < 0 \} $
-). Daerah III : untuk $ x \geq 0 $,
maka $ |2x+1| = (2x+1) \, $ dan $ |2x| = 2x $
$\begin{align} |2x+1| & < 5 - |2x| \\ (2x+1) & < 5 - [2x] \\ 4x & < 4 \\ x & < 1 \end{align} $
Karena daerah III untuk $ x \geq 0 $, maka solusinya :
HP3 = $ \{ 0 \leq x < 1 \} $
*). Solusi keseluruhannya :
HP = HP1 $ \cap $ HP2 $ \cap $ HP3
HP = $ \{ -\frac{3}{2} < x < 1 \} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ -\frac{3}{2} < x < 1 \} . \, \heartsuit $

$\clubsuit $ Pembahasan
Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow |2x+1| & < 5 - |2x| \\ |2.0+1| & < 5 - |2.0| \\ 1 & < 5 \\ \text{(Benar)} & \end{align}$
yang ada $x=0$ benar, opsi yang salah adalah D dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow |2x+1| & < 5 - |2x| \\ |2.1+1| & < 5 - |2.1| \\ 3 & < 3 \\ \text{(Salah)} & \end{align}$
yang ada $x=1$ salah, opsi yang salah adalah B dan C.
Sehingga opsi yang tersisa benar adalah opsi A, artinya jawabannya A.
Jadi, solusinya adalah $ \{ -\frac{3}{2} < x < 1 \} . \, \heartsuit $



Kode 381 Pembahasan Dimensi Tiga Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui T.ABCD merupakan limas beraturan dengan alas bujur sangkar. Titik E pada TA dengan $ TE:EA = 2 : 3 $ , titik F pada TB dengan $ TF:FB = 7:3$. Jika bidang yang melalui EF dan sejajar BC memotong TC dan TD berturut-turut di G dan H, maka $ EH : FG = .... $
A). $ \frac{9}{8} \, $ B). $ \frac{5}{8} \, $ C). $ \frac{4}{8} \, $ D). $ \frac{3}{8} \, $ E). $ \frac{1}{8} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Dimensi Tiga
*). Sebuah segitiga ABC dimana salah satu sudutnya $ 60^\circ \, $ dan segitiga tersebut sama kaki, maka pasti segitiga ABC adalah segitiga sama sisi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.
Misalkan panjang rusuk limasnya adalah 10. Panjang semua rusuk sama karena bentuknya limas beraturan, sehingga sisi tegaknya adalah segitiga sama sisi.
 

Agar Bidang EFGH sejajar dengan BC, maka $ TE = TH \, $ dan $ TF = TG$.
*). Menentukan panjang beberapa rusuk.
perbandingan $ TE:EA = 2 : 3 \rightarrow TE = \frac{2}{5} \times TA = \frac{2}{5} \times 10 = 4 $
Panjang $ EA = TA - TE = 10 - 4 = 6 $
perbandingan $ TF:FB = 7:3 \rightarrow TF = \frac{7}{10} \times TB = \frac{7}{10} \times 10 = 7 $
Panjang $ FB = TB - TF = 10 - 7 = 3 $
*). Perhatikan segitiga TEH.
Karena segitiga TAD sama sisi, maka sudut ATD = $ 60^\circ \, $ dan segitiga TEH sama kaki, sehingga segitiga TEH juga sama sisi yang artinya $ EH = 4 $.
*). Perhatikan segitiga TFG.
Karena segitiga TBC sama sisi, maka sudut BTC = $ 60^\circ \, $ dan segitiga TFG sama kaki, sehingga segitiga TFG juga sama sisi yang artinya $ FG = 7 $.
*). Perbandingan EH dan FG .
Perbandingan $ EH : FG = 4 : 7 $.
Jadi, perbandingan EH dan FG adalah $ 4 : 7 . \, \heartsuit $
(Tidak ada jawabannya).

$\clubsuit $ Pembahasan
Cara II : Konsep kesebangunan dua segitiga.
*). Misalkan kita anggap tidak semua rusuknya sama panjang, sehingga hanya rusuk alasnya saja yang sama karena beraturan. Misalkan panjang rusuk alas adalah $ a $.
*). Gambar segitiga TAD dan segitiga TBC
 

*). Perhatikan segitiga TAD, Segitiga TEH sebangun dengan segitiga TAD :
$\begin{align} \frac{EH}{AD} & = \frac{TE}{TA} \\ \frac{EH}{a} & = \frac{2}{5} \\ EH & = \frac{2}{5} a \\ \end{align} $
*). Perhatikan segitiga TBC, Segitiga TFG sebangun dengan segitiga TBC :
$\begin{align} \frac{FG}{BC} & = \frac{TG}{TC} \\ \frac{FG}{a} & = \frac{7}{10} \\ FG & = \frac{7}{10} a \\ \end{align} $
*). Menentukan perbandingan EH dan FG
$\begin{align} \frac{EH}{FG} & = \frac{ \frac{2}{5} a}{\frac{7}{10} a} \\ & = \frac{2}{5} \times \frac{10}{7} \\ & = \frac{4}{7} \end{align} $
Jadi, perbandingan EH dan FG adalah $ 4 : 7 . \, \heartsuit $



Kode 381 Pembahasan Vektor Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ \theta \, $ merupakan sudut yang dibentuk oleh vektor $ \vec{a} \, $ dan $ \vec{b} $, dengan $ \vec{a} = (1, p+1, p-1) \, $ dan $ \vec{b} = (-1,3,-3)$. Jika $ \cos \theta = \frac{5}{19}, \, $ maka $ p^2 = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 16 \, $ E). $ 25 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Vektor
*). Misalkan ada dua vektor yaitu $ \vec{a} = (a_1, a_2,a_3) \, $ dan $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $.
*). Perkalian Dot nya :
$ \vec{a} . \vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3 $
Jika melibatkan sudut, maka rumusnya :
$ \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a} |.|\vec{b}| \cos \theta $
*). Panjang vektor $ \vec{a} \, $ adalah $ |\vec{a} | $ :
$ |\vec{a} | = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ \vec{a} .\vec{b} \, $ dan panjang masing-masing vektor dengan diketahui $ \vec{a} = (1, p+1, p-1) \, $ dan $ \vec{b} = (-1,3,-3)$.
Perkalian dot nya :
$ \begin{align} \vec{a} .\vec{b} & = 1. (-1) + (p+1).3 + (p-1).(-3) \\ & = -1 + 3p + 3 - 3p + 3 \\ & = 5 \end{align} $
Panjang vektor masing-masing :
$ \begin{align} | \vec{a} | & = \sqrt{1^2 + (p+1)^2 + (p-1)^2 } \\ & = \sqrt{1 + p^2 + 2p + 1 + p^2 - 2p + 1 } \\ & = \sqrt{2p^2 + 3 } \\ | \vec{b} | & = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-3)^2 } \\ & = \sqrt{1 + 9 + 9 } \\ & = \sqrt{19} \\ \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p^2 \, $ dengan $ \cos \theta = \frac{5}{19} \, $
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a} |.|\vec{b}| \cos \theta \\ 5 & = \sqrt{2p^2 + 3 } . \sqrt{19} . \frac{5}{19} \\ 5 & = \sqrt{2p^2 + 3 } . \frac{5}{\sqrt{19}} \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ 1 & = \sqrt{2p^2 + 3 } . \frac{1}{\sqrt{19}} \\ \sqrt{2p^2 + 3 } & = \sqrt{19} \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 2p^2 + 3 & = 19 \\ 2p^2 & = 16 \\ p^2 & = 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p^2 = 8 . \, \heartsuit $



Kode 381 Pembahasan Trigonometri Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \frac{1- \sec x}{\tan x} = 5 , \, $ maka $ \frac{1 + \sec x}{\tan x} \, $ adalah .....
A). $ 5 \, $ B). $ \frac{1}{5} \, $ C). $ \frac{1}{25} \, $ D). $ - \frac{1}{5} \, $ E). $ -5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Identitas Trigonometri
$ 1 + \tan ^2 x = \sec ^2 x $
atau $ 1 - \sec ^2 x = - \tan ^2 x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \frac{1 + \sec x}{\tan x} \, $ dengan cara mengalikan yang diketahui yaitu dengan $ \, \frac{1- \sec x}{\tan x} = 5 $
Kita peroleh :
$ \begin{align} \left( \frac{1 + \sec x}{\tan x} \right) \times \left( \frac{1- \sec x}{\tan x} \right) & = \frac{(1 + \sec x)( 1- \sec x)}{\tan x \times \tan x } \\ \left( \frac{1 + \sec x}{\tan x} \right) \times \left( \frac{1- \sec x}{\tan x} \right) & = \frac{1 - \sec ^2 x}{\tan ^2 x} \\ \left( \frac{1 + \sec x}{\tan x} \right) \times 5 & = \frac{- \tan ^2 x}{\tan ^2 x} \\ \left( \frac{1 + \sec x}{\tan x} \right) \times 5 & = -1 \\ \left( \frac{1 + \sec x}{\tan x} \right) & = -\frac{1}{5} \end{align} $
Jadi, nilai $ \begin{align} \frac{1 + \sec x}{\tan x} = -\frac{1}{5} \end{align} . \, \heartsuit $



Kode 381 Pembahasan Lingkaran Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(-1,2)$ dan menyinggung garis $ 2y+3x-14 = 0 \, $ adalah ....
A). $ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 10 \, $
B). $ (x+1)^2 + (y-2)^2 = 10 \, $
C). $ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 13 \, $
D). $ (x+1)^2 + (y-2)^2 = 13 \, $
E). $ (x+1)^2 + (y+2)^2 = 13 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Lingkaran
*). Persamaan lingkaran
Persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b) $ dan jari-jari $ r \, $ adalah
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $.
*). Jarak titik $(x_1,y_1) $ terhadap garis $ mx + ny + c = 0 \, $ adalah
Jarak $ = \left| \frac{m.x_1 + n.y_1 + c}{\sqrt{m^2+n^2}} \right| $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan jari-jari lingakaran $(r)$
Jari-jari lingkarannya adalah jarak titik pusat lingkaran $(-1,2)$ ke garis yang disinggungnya yaitu garis $ 2y+3x-14 = 0 \, $ .
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{m.x_1 + n.y_1 + c}{\sqrt{m^2+n^2}} \right| \\ r & = \left| \frac{2.2+3.(-1)-14}{\sqrt{2^2+3^2}} \right| \\ & = \left| \frac{-13}{\sqrt{13}} \right| \\ & = \left| \frac{-13}{\sqrt{13}} \times \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} \right| \\ & = \left| \frac{-13\sqrt{13}}{13} \right| \\ & = \left| -\sqrt{13} \right| \\ & = \sqrt{13} \end{align} $
Artinya jari-jari lingkarannya adalah $ \sqrt{13} $.
*). Menentukan persamaan lingkaran dengan pusat $(-1,2)$ dan $ r = \sqrt{13} $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-(-1))^2 + (y-2)^2 & = (\sqrt{13})^2 \\ (x+1)^2 + (y-2)^2 & = 13 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ (x+1)^2 + (y-2)^2 = 13 . \, \heartsuit $



Soal dan Pembahasan UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 381


Nomor 1
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(-1,2)$ dan menyinggung garis $ 2y+3x-14 = 0 \, $ adalah ....
A). $ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 10 \, $
B). $ (x+1)^2 + (y-2)^2 = 10 \, $
C). $ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 13 \, $
D). $ (x+1)^2 + (y-2)^2 = 13 \, $
E). $ (x+1)^2 + (y+2)^2 = 13 $
Nomor 2
Jika $ \frac{1- \sec x}{\tan x} = 5 , \, $ maka $ \frac{1 + \sec x}{\tan x} \, $ adalah .....
A). $ 5 \, $ B). $ \frac{1}{5} \, $ C). $ \frac{1}{25} \, $ D). $ - \frac{1}{5} \, $ E). $ -5 $
Nomor 3
Diketahui $ \theta \, $ merupakan sudut yang dibentuk oleh vektor $ \vec{a} \, $ dan $ \vec{b} $, dengan $ \vec{a} = (1, p+1, p-1) \, $ dan $ \vec{b} = (-1,3,-3)$. Jika $ \cos \theta = \frac{5}{19}, \, $ maka $ p^2 = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 16 \, $ E). $ 25 $
Nomor 4
Diketahui T.ABCD merupakan limas beraturan dengan alas bujur sangkar. Titik E pada TA dengan $ TE:EA = 2 : 3 $ , titik F pada TB dengan $ TF:FB = 7:3$. Jika bidang yang melalui EF dan sejajar BC memotong TC dan TD berturut-turut di G dan H, maka $ EH : FG = .... $
A). $ \frac{9}{8} \, $ B). $ \frac{5}{8} \, $ C). $ \frac{4}{8} \, $ D). $ \frac{3}{8} \, $ E). $ \frac{1}{8} $
Nomor 5
Semua bilangan real $ x \, $ yang memenuhi $ |2x+1| < 5 - |2x| \, $ adalah ....
A). $ -\frac{3}{2} < x < 1 \, $ B). $ -\frac{5}{2} < x < 3 \, $
C). $ -\frac{7}{2} < x < 5 \, $ D). $ x < -\frac{3}{2} \vee x > 2 $
E). $ x < -\frac{5}{2} \vee x > 3 $
Nomor 6
Sisa pembagian $ x^4 + px^3 + qx^2 - 8 \, $ oleh $ x^2-2x-3 \, $ adalah $ 45x+37$. Nilai $ p $ dan $ q $ adalah .....
A). $ p=2, q=3 \, $ B). $ p=-2, q=-3 \, $
C). $ p=3, q=2 \, $ D). $ p=-3, q=-2 \, $
E). $ p=-3, q=2 $
Nomor 7
Hasil kali semua akar-akar real persamaan $ \sqrt{10}(x^2-x+4)^{\log (x^2 - x + 4)} = (x^2 - x + 4)^\frac{3}{2} \, $ adalah ....
A). $ -18 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 18 $

Nomor 8
Jumlah semua nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ {}^{(5x+9)} \log (x^2+6x+9) + {}^{(x+3)} \log (5x^2+ 24x + 27) = 4 \, $ adalah ....
A). $ \frac{19}{4} \, $ B). $ 4 \, $ C). $ \frac{15}{4} \, $ D). $ \frac{13}{4} \, $ E). $ 3 $
Nomor 9
Jumlah $ n $ suku pertama barisan artimetika adalah $ S_n = \frac{1}{2}n(13-3n) $ . Suku ke-10 barisan tersebut adalah ....
A). $ -25 \, $ B). $ -22 \, $ C). $ -20 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 22 $
Nomor 10
Jika $ a_n \, $ menyatakan suku ke-$n$ barisan geometri dengan rasio $ r , $ mempunyai sifat $ 0 < r \leq 1 , \, a_3 - a_4 = \frac{5}{8} $ , dan $ \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_4} = -\frac{4}{5} $ , maka $ (r-1)^2 = .... $ A). $ 1 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{1}{4} \, $ D). $ \frac{1}{16} \, $ E). $ 0 $
Nomor 11
$ \displaystyle \lim_{x \to -3 } \frac{1 - \cos (x+3)}{(x^2+6x+9)(x-3)} = ..... $
A). $ -\frac{1}{12} \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{1}{12} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 1 $
Nomor 12
Jika $ p $ merupakan bilangan rasional sehingga fungsi $ f(x) = (x-1)^2(3-x^2) \, $ mencapai minimum di $ x = p \, $ , maka $ f(p+1) = .... $
A). $-1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 16 $
Nomor 13
$ \int \limits_\frac{1}{2}^1 \left( \sqrt[3]{2x-1} + \sin \pi x \right) \, dx = .... $
A). $ \frac{3\pi - 8}{8\pi} $
B). $ \frac{3\pi - 4}{4\pi} $
C). $ \frac{3\pi + 4}{4\pi} $
D). $ \frac{3\pi + 8}{8\pi} $
E). $ \frac{3}{4} + \pi $
Nomor 14
Banyaknya bilangan bulat positif lima angka, dengan angka pertama 1 dan terdapat tepat tiga angka sama adalah ....
A). $ 810 \, $ B). $ 720 \, $ C). $ 120 \, $ D). $ 60 \, $ E). $ 20 $
Nomor 15
Titik $(a,b) $ pada kurva $ y = x^2 + 2 \, $ dan mempunyai jarak terdekat ke garis $ y = x \, $ , nilai $ a+ b \, $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 2\frac{1}{4} \, $ B). $ 2\frac{1}{2} \, $ C). $ 2\frac{3}{4} \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 3\frac{1}{4} $



Pembahasan Sistem Persamaan Trigonometri Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Untuk suatu sudut $ x \, $ dan $ y \, $ berlaku
$ \sin ^2 x + \cos ^2 y = \frac{3}{2}a $
$ \cos ^2 x + \sin ^2 y = \frac{1}{2}a^2 $ .
Jumlah semua nilai $ a \, $ yang mungkin untuk sistem persamaan di atas adalah .....
A). $ -5 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Identitas trigonometri :
$ \cos ^2 A + \sin ^2 A = 1 $
*). Operasi penjumlahan pada persamaan kuadrat :
$ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 $
Penjumlahan akar-akar : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 y = \frac{3}{2}a $
$ \cos ^2 x + \sin ^2 y = \frac{1}{2}a^2 $ .
*). Jumlahkan kedua persamaan :
$ \begin{align} (\sin ^2 x + \cos ^2 y ) + (\cos ^2 x + \sin ^2 y) & = (\frac{3}{2}a) + (\frac{1}{2}a^2 ) \\ (\sin ^2 x + \cos ^2 x ) + (\cos ^2 y + \sin ^2 y) & = \frac{3}{2}a + \frac{1}{2}a^2 \\ (1 ) + (1) & = \frac{3}{2}a + \frac{1}{2}a^2 \\ 2 & = \frac{3}{2}a + \frac{1}{2}a^2 \\ \frac{1}{2}a^2 + \frac{3}{2}a - 2 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ a^2 + 3a - 4 & = 0 \\ (a -1)(a+4) & = 0 \\ a_1 = 1 \vee a_2 & = -4 \end{align} $
Perhatikan bentuk sistem persamaan trigonometrinya di atas terutama ruas kirinya. Ruas kiri kedua persamaan berbentuk kuadrat sehingga hasilnya ruas kanan juga positif, yang artinya nilai $ a \, $ haruslah positif juga. Sehingga yang memenuhi hanyalah $ a = 1 \, $ dan $ a = -4 \, $ tidak memenuhi.

Karena nilai $ a \, $ yang memenuhi hanya $ a = 1 \, $ saja, maka jumlahnya adalah 1.

Jadi, tidak ada jawaban pada pilihannya. $ \, \heartsuit $



Pembahasan Peluang Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Empat siswa laki-laki dan tiga siswa perempuan berdiri di dalam suatu barisan. Banyaknya cara agar ketiga siswa perempuan berdampingan di barisan tersebut adalah ....
A). $ 720 \, $ B). $ 360 \, $ C). $ 144 \, $ D). $ 72 \, $ E). $ 48 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Peluang
*). Ada $ n \, $ orang duduk pada 1 baris, maka ada $ \, n! \, $ cara duduk.
dengan $ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 3 \times 2 \times 1 $.
Contoh : $ 3! = 3 \times 2 \times 1 $ dan $ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 $.

Untuk contoh lainnya, teman-teman bisa lihat pada artikel "Permutasi pada Peluang dan Contohnya".

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ada 4L (4 laki-laki) dan 3P (3 perempuan), agar ketiga perempuan selalu berdampingan, maka kita blok 3 perempuan tersebut menjadi satu (anggap menjadi satu orang atau satu kesatuan). Sehingga sekarang ada 5 orang ( 4L dan 1 blok perempuan) dengan kemungkinan cara duduk ada sebanyak $ 5! \, $ cara duduk.

*). 3P yang kita blok juga bisa diacak lagi posisi duduknya (diantara ketiga perempuan posisi duduknya bisa ditukar-tukar), dengan kemungkinan cara duduk sebanyak $ 3! \, $ cara duduk.

Total cara duduk $ = 3! \times 5! = 720 $

Jadi, total kemungkinan ada 720 cara duduk$. \, \heartsuit $



Pembahasan Integral Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = 2 \cos x , \, y = 1, \, $ sumbu X dan sumbu Y adalah ....
A). $ \frac{\pi}{6} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
B). $ \frac{\pi}{3} + \int \limits_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
C). $ \frac{\pi}{3} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
D). $ \frac{\pi}{2} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
E). $ \frac{\pi}{2} + \int \limits_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral Luasan
*). Materi yang harus teman-teman kuasai untuk bisa mengerjakan soal Integral Luasan ini yaitu "Grafik Fungsi Trigonometri" dan "Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral". Silahkan teman-teman ikuti linknya untuk mempelajarinya terlebih dulu.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
 

Daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = 2 \cos x , \, y = 1, \, $ sumbu X dan sumbu Y ditunjukkan oleh daerah yang diarsir. Untuk memudahkan dalam menghitung luasnya, kita bagi menjadi dua yaitu daerah A yang membentuk persegi panjang dan daerah B.
*). Titik potong kurva $ y = 2 \cos x \, $ dan $ y = 1 $ :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ 2 \cos x & = 1 \\ \cos x & = \frac{1}{2} \\ x & = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \end{align} $
*). Menentukan luas daerah arsiran
$ \begin{align} \text{Luas } & = L_A + L_B \\ & = p \times l + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} 2 \cos x \, dx \\ & = \frac{\pi}{3} \times 1 + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} 2 \cos x \, dx \\ & = \frac{\pi}{3} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} 2 \cos x \, dx \end{align} $
Jadi, luas daerahnya adalah $ \frac{\pi}{3} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} 2 \cos x \, dx . \, \heartsuit $



Pembahasan Turunan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Jika fungsi $ g(x) = p\sqrt{x^2 - 4} \, $ naik pada $ \{ x \in R | x \leq -2 \} \, $ dan turun pada $ \{ x \in R | x \geq 2 \}$ , maka himpunan semua nilai $ p \, $ yang memenuhi adalah ....
A). $ \emptyset \, $
B). $ \{ p \in R | p \geq 2 \} \, $
C). $ \{ p \in R | p > 0 \} \, $
D). $ \{ p \in R | p < 0 \} \, $
E). $ \{ p \in R | p \leq -2 \} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trurunan
*). Syarat fungsi naik dan fungsi turun:
Fungsi $ f(x) \, $ akan naik pada saat $ f^\prime (x) > 0 \, $ dan turun pada saat $ f^\prime (x) < 0 $.
*). Turunan fungsi bentuk akar :
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ \begin{align} g(x) = p\sqrt{x^2 - 4} \rightarrow g^\prime (x) & = p . \frac{2x}{2\sqrt{x^2-4}} \\ & = \frac{px}{\sqrt{x^2 - 4}} \end{align} $

*). Fungsi $ g(x) = p\sqrt{x^2 - 4} \, $ naik pada $ \{ x \leq -2 \} $ , artinya
$ \begin{align} g^\prime (x) > 0 \rightarrow \frac{px}{\sqrt{x^2 - 4}} > 0 \end{align} $
Agar $ \frac{px}{\sqrt{x^2 - 4}} > 0 \, $ dengan $ x \leq -2 \, $ , maka haruslah nilai $ p \, $ negatif. Sehingga pada kasus fungsi $ g(x) \, $ naik kita peroleh nilai $ p < 0 $ .

*). Fungsi $ g(x) = p\sqrt{x^2 - 4} \, $ turun pada $ \{ x \geq 2 \} $ , artinya
$ \begin{align} g^\prime (x) < 0 \rightarrow \frac{px}{\sqrt{x^2 - 4}} < 0 \end{align} $
Agar $ \frac{px}{\sqrt{x^2 - 4}} < 0 \, $ dengan $ x \geq 2 \, $ , maka haruslah nilai $ p \, $ negatif. Sehingga pada kasus fungsi $ g(x) \, $ turun kita peroleh nilai $ p < 0 $ .

Kesimpulannya, nilai $ p \, $ yang memenuhi kedua kasus di atas adalah $ p < 0 $.
Jadi, nilai $ p $ negatif atau $ \, \{ p \in R | p < 0 \} . \, \heartsuit $



Pembahasan Limit Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x+6) \tan (2x -6)}{x^2 - x - 6} = ..... $
A). $ -\frac{18}{5} \, $ B). $ -\frac{9}{5} \, $ C). $ \frac{9}{5} \, $ D). $ \frac{18}{5} \, $ E). $ \frac{27}{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit
*). Konsep Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\tan af(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} \, $ dengan $ \, f(k) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x+6) \tan (2x -6)}{x^2 - x - 6} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x+6) \tan 2(x -3)}{(x+2)(x-3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x+6) }{(x+2)} \times \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{ \tan 2(x -3)}{(x-3)} \\ & = \frac{(3+6) }{(3+2)} \times \frac{ 2 }{1} \\ & = \frac{9}{5} \times 2 \\ & = \frac{18}{5} \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ \, \frac{18}{5} . \, \heartsuit $



Pembahasan Barisan Aritmatika dan Geometri Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a, \, 4, \, b \, $ adalah tiga suku berurutan dari barisan aritmatika dan $ a, \, 3, \, b \, $ merupakan tiga suku berurutan suatu barisan geometri, maka $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = .... $
A). $ \frac{1}{4} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{3}{4} \, $ D). $ \frac{8}{9} \, $ E). $ \frac{9}{8} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan geometri dan aritmatika
*). Tiga suku $ x, y, z \, $ membentuk barisan geometri, maka rasio (perbandingan) sama. Sehingga kita peroleh $ \frac{y}{x} = \frac{z}{y} \rightarrow y^2 = x.z $
*). Tiga suku $ x, y, z \, $ membentuk barisan aritmatika, maka selisihnya sama. Sehingga kita peroleh $y - x = z - y \rightarrow 2y = x + z $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
barisan aritmatika : $ a, 4, b $
$ \begin{align} 2y & = x + z \\ 2.4 & = a + b \\ a + b & = 8 \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ \end{align} $
barisan geometri : $ a,3,b $
$ \begin{align} y^2 & = x.z \\ 3^2 & = a.b \\ ab & = 9 \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \\ \end{align} $
*). Menentukan hasil $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $ :
$ \begin{align} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} & = \frac{a+b}{ab} \\ & = \frac{8}{9} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{8}{9} . \, \heartsuit $



Pembahasan Barisan Geometri dan Aritmatika Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ 10, \, x_2, \, x_3, \, x_4 \, $ membentuk barisan geometri. Jika $ x_2 - 10, \, x_3 - 10 \, $ dan $ x_4-x_3-x_2-10 \, $ membentuk barisan aritmatika, maka nilai $ x_4 \, $ adalah ....
A). $ \frac{10}{27} \, $ B). $ \frac{5}{4} \, $ C). $ 80 \, $ D). $ 270 \, $ E). $ 640 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan geometri dan aritmatika
*). Tiga suku $ x, y, z \, $ membentuk barisan geometri, maka rasio (perbandingan) sama. Sehingga kita peroleh $ \frac{y}{x} = \frac{z}{y} \rightarrow y^2 = x.z $
*). Tiga suku $ x, y, z \, $ membentuk barisan aritmatika, maka selisihnya sama. Sehingga kita peroleh $y - x = z - y \rightarrow 2y = x + z $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
Pertama :
barisan aritmatika : $ x_2 - 10, \, x_3 - 10 \, $ dan $ x_4-x_3-x_2-10 $
$ \begin{align} 2y & = x + z \\ 2(x_3 - 10) & = (x_2 - 10) + (x_4-x_3-x_2-10) \\ 2x_3 - 20 & = x_4-x_3 - 20 \\ x_4 & = 3x_3 \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
Kedua :
barisan geometri : $ 10, \, x_2, \, x_3, \, x_4 \, $
$ 10, \, x_2, \, x_3 \rightarrow x_2^2 = 10x_3 \, $ ....(ii)
$ x_2, \, x_3, \, x_4 \rightarrow x_3^2 = x_2.x_4 \, $ ....(iii)
*). Substitusi pers(i) ke (iii) :
$ \begin{align} x_3^2 & = x_2.x_4 \\ x_3^2 & = x_2.(3x_3) \\ x_3 & = 3x_2 \, \, \, \, \, \text{....(iv)} \end{align} $
*). Substitusi pers(iv) ke (ii) :
$ \begin{align} x_2^2 & = 10x_3 \\ x_2^2 & = 10.(3x_2) \\ x_2^2 & = 30x_2 \\ x_2 & = 30 \end{align} $
Sehingga untuk nilai yang lainnya :
pers(iv) : $ x_3 = 3x_2 = 3 . 30 = 90 $
pers(i) : $ x_4 = 3x_3 = 3. 90 = 270 $
Jadi, nilai $ x_4 = 270 . \, \heartsuit $



Pembahasan Persamaan Kuadrat dan Logaritma Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ merupakan akar-akar $ 4x^2-7x + p = 0 \, $ dengan $ x_1 < x_2 $. Jika $ {}^2 \log \left( \frac{1}{3}x_1 \right) = -2 - {}^2 \log x_2 $ , maka $ \, 4x_1 + x_2 = .... $
A). $ \frac{19}{4} \, $ B). $ 4 \, $ C). $ \frac{15}{4} \, $ D). $ \frac{13}{4} \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan kuadrat (PK) dan logaritma
*). Operasi akar-akar PK $ \, ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ 4x^2 - 7x + p = 0 \, $ akar-akarnya $ x_1 \, $ dan $ x_2 $.
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} \rightarrow x_1.x_2 = \frac{p}{4} \, $ ....pers(i)
*). Menyelesaikan logaritmanya untuk menentukan nilai $ p $
$ \begin{align} {}^2 \log (\frac{1}{3}x_1) & = -2 - {}^2 \log x_2 \\ {}^2 \log (\frac{1}{3}x_1) + {}^2 \log x_2 & = -2 \\ {}^2 \log (\frac{1}{3}x_1.x_2) & = -2 \\ (\frac{1}{3}x_1.x_2) & = 2^{-2} \\ (\frac{1}{3}. \frac{p}{4}) & = \frac{1}{4} \\ p & = 3 \end{align} $
Sehingga PK menjadi : $ 4x^2 - 7x + p = 0 \rightarrow 4x^2 - 7x + 3 = 0 $ .
*). Menentukan akar-akarnya dengan pemfaktoran :
$ \begin{align} 4x^2 - 7x + 3 & = 0 \\ (4x-3)(x-1) & = 0 \\ x = \frac{3}{4} \vee x & = 1 \end{align} $
Karena $ x_1 < x_ 2 \, $ maka $ x_1 = \frac{3}{4} \, $ dan $ x_2 = 1 $.
*). Menentukan hasil $ 4x_1 + x_2 $ :
$ 4x_1 + x_2 = 4. \frac{3}{4} + 1 = 3 + 1 = 4 $
Jadi, nilai $ 4x_1 + x_2 = 4 . \, \heartsuit $



Pembahasan Logaritma Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ memenuhi persamaan $ (2\log x - 1) \frac{1}{{}^x \log 10} = \log 10 $ , maka $ x_1x_2 = .... $
A). $ 5\sqrt{10} \, $ B). $ 4\sqrt{10} \, $ C). $ 3\sqrt{10} \, $ D). $ 2\sqrt{10} \, $ E). $ \sqrt{10} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma dan eksponen
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
*). Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
*). sifat eksponen :
$ a^m . a^n = a^{m+n} \, $ dan $ a^\frac{1}{2} = \sqrt{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
Cara I :
*). Misalkan $ p = {}^{10} \log x = \log x $
$ \begin{align} (2\log x - 1) \frac{1}{{}^x \log 10} & = \log 10 \\ (2\, {}^{10} \log x - 1) . {}^{10} \log x & = 1 \\ (2p - 1) .p & = 1 \\ 2p^2 - p - 1 & = 0 \\ (2p +1)(p-1) & = 0 \\ p = -\frac{1}{2} \vee p & = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ p = -\frac{1}{2} \rightarrow {}^{10} \log x = -\frac{1}{2} \rightarrow x_1 = 10^{-\frac{1}{2}} $
$ p = 1 \rightarrow {}^{10} \log x = 1 \rightarrow x_2 = 10^{1} = 10 $
Sehingga nilai :
$ x_1 . x_ 2 = 10^{-\frac{1}{2}} . 10 = 10^{-\frac{1}{2} + 1 } = 10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10} $
Jadi, nilai $ x_1.x_2 = \sqrt{10} . \, \heartsuit $

$\clubsuit $ Pembahasan
Cara II :
*). Bagaimana kalau bentuk $ 2p^2 - p - 1 = 0 \, $ tidak bisa difaktorkan? Kita gunakan alternatif cara kedua ini.
Sifat logaritma : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $.
*). Misalkan akar-akar dari $ 2p^2 - p - 1 = 0 \, $ adalah $ p_1 \, $ dan $ p_2 \, $ dengan $ p_1 = {}^{10} \log x_1 \, $ dan $ p_2 = {}^{10} \log x_2 $.
*). Kita gunakan operasi penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat :
$ 2p^2 - p - 1 = 0 $
$\begin{align} p_1 + p_2 & = \frac{-b}{a} \\ {}^{10} \log x_1 + {}^{10} \log x_2 & = \frac{-(-1)}{2} \\ {}^{10} \log (x_1.x_2) & = \frac{1}{2} \\ (x_1.x_2) & = 10^\frac{1}{2} \\ (x_1.x_2) & = \sqrt{10} \end{align} $
Jadi, nilai $ x_1.x_2 = \sqrt{10} . \, \heartsuit $