Pembahasan Integral Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Daerah yang dibatasi oleh garis $ x = 3y $ dan kurva $ y = \sqrt{x} $ pada $ 0 \leq x \leq m $ , $ m > 0 $ terdiri dari dua bagian. Agar kedua bagian daerah tersebut mempunyai luas yang sama, maka $ m = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luasan yang dibatasi oleh fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ yaitu :
Luas $ = \int \limits_a^b [f(x) - g(x)] dx $
dengan kurva $ f(x) $ di atas kurva $ g(x) $
*). RUmus integral fungsi aljabar :
$ \int ax^n dx = a. \frac{1}{n+1} x^{n+1} + c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketaui garis $ x = 3y \rightarrow y = \frac{1}{3}x $ dan kurva $ y = \sqrt{x} $
Ilustrasi gambar untuk interval $ 0 \leq x \leq m $
 

Titik potong kedua kurva :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ \frac{1}{3}x & = \sqrt{x} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \frac{1}{9}x^2 & = x \\ x^2 & = 9x \\ x^2 - 9x & = 0 \\ x(x-9) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 9 \end{align} $
titik potongnya di $ x = 0 $ dan $ x = 9 $
*). Menentukan nilai $ m $ :
$\begin{align} \text{Luas I} & = \text{Luas II} \\ \int \limits_0^9 (\sqrt{x} - \frac{1}{3}x) dx & = \int \limits_9^m (\frac{1}{3}x - \sqrt{x}) dx \\ \int \limits_0^9 (x^\frac{1}{2} - \frac{1}{3}x) dx & = \int \limits_9^m (\frac{1}{3}x - x^\frac{1}{2}) dx \\ [\frac{2}{3}x^\frac{3}{2} - \frac{1}{6}x^2]_0^9 & = [\frac{1}{6}x^2 - \frac{2}{3}x^\frac{3}{2}]_9^m \\ [\frac{2}{3}.9^\frac{3}{2} - \frac{1}{6}.9^2]-0 & = [\frac{1}{6}.m^2 - \frac{2}{3}.m^\frac{3}{2}]- [\frac{1}{6}.9^2 - \frac{2}{3}.9^\frac{3}{2}] \\ \frac{2}{3}.9^\frac{3}{2} - \frac{1}{6}.9^2 & = \frac{1}{6}.m^2 - \frac{2}{3}.m^\frac{3}{2} - \frac{1}{6}.9^2 + \frac{2}{3}.9^\frac{3}{2} \\ 0 & = \frac{1}{6}.m^2 - \frac{2}{3}.m^\frac{3}{2} \, \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 0 & = m^2 - 4m^\frac{3}{2} \\ m^2 & = 4m^\frac{3}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ m^4 & = 16m^3 \\ m & = 16 \end{align} $
Jadi, nilai $ m = 16 . \, \heartsuit $

Pembahasan Teorema Sisa Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Jika suku banyak $ f(x) $ habis dibagi oleh $ (x-1) $ , maka sisa pembagian $ f(x) $ oleh $ (x-1)(x+1) $ adalah .....
A). $ \frac{-f(-1)}{2}(1+x) \, $ B). $ \frac{-f(-1)}{2}(1-x) \, $
C). $ \frac{f(-1)}{2}(1+x) \, $ D). $ \frac{f(-1)}{2}(1-x) \, $
E). $ \frac{f(-1)}{2}(x-1) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema sisa :
$ f(x) \, $ dibagi $ \, (x-a)(x-b) \, $ bersisa $ px + q $
Maka berlaku :
$ f(a) = pa + q $ dan $ f(b) = pb + q $
(substitusi akar-akar pembaginya).
*). $ f(x) $ habis dibagi $ (x-a) $ artinya sisa = 0
atau bisa kita tulis $ f(a) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pertama : Diketahui suku banyak $ f(x) $
-). $ f(x) $ habis dibagi oleh $ (x-1) $, artinya $ f(1) = 0 $
*). $ f(x) $ dibagi oleh $ (x-1)(x+1) $ , misalkan sisanya $ ax+b $
Pembaginya : $ (x-1)(x+1) \rightarrow x = 1 \vee x = -1 $
Sisa : $ s(x) = ax+b $
-). Akar-akar pembaginya adalah $ 1 $ dan $ -1 $
$\begin{align} x = 1 \rightarrow f\left( 1 \right) & = s\left( 1 \right) \\ 0 & = a.1 + b \\ a & = -b \, \, \, \, \, ....\text{(i)} \\ x = -1 \rightarrow f\left( -1 \right) & = s\left( -1 \right) \\ f(-1) & = a.(-1) + b \\ f(-1) & = -a + b \, \, \, \, \, ....\text{(ii)} \\ \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke (ii) :
$\begin{align} -a + b & = f(-1) \\ -(-b) + b & = f(-1) \\ 2b & = f(-1) \\ b & = \frac{f(-1)}{2} \end{align} $
Pers(i): $ a = -b = - \frac{f(-1)}{2} $
*). Sehingga sisanya :
$\begin{align} s(x) & = ax + b \\ & = -\frac{f(-1)}{2}x + \frac{f(-1)}{2} \\ & = \frac{f(-1)}{2}(-x + 1) \\ & = \frac{f(-1)}{2}(1 - x) \end{align} $
Jadi, sisanya adalah $ \frac{f(-1)}{2}(1 - x) . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Limit Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) = ...$
A). $ \frac{5}{2} \, $ B). $ 2 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } (\sqrt{a_1x^2 +b_1x + c_1} - \sqrt{a_2x^2 +b_2x + c_2} - \sqrt{a_3x^2 +b_3x + c_3} ) $
$ = \frac{b_1}{2\sqrt{a_1}} - \frac{b_2}{2\sqrt{a_2}} - \frac{b_3}{2\sqrt{a_3}} $
Syaratnya adalah $ \sqrt{a_1} = \sqrt{a_2} + \sqrt{a_3} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Soalnya : $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) $
$ a_1 = 4, a_2 = 1, a_3 = 1 $
$ \sqrt{a_1} = \sqrt{a_2} + \sqrt{a_3} \rightarrow \sqrt{4} = \sqrt{1} + \sqrt{1} $
(BENAR memenuhi syarat)
*). Menentukan nilai limitnya dengan mengubah bentuk akarnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \frac{b_1}{2\sqrt{a_1}} - \frac{b_2}{2\sqrt{a_2}} - \frac{b_3}{2\sqrt{a_3}} \\ & = \frac{8}{2\sqrt{4}} - \frac{0}{2\sqrt{1}} - \frac{1}{2\sqrt{1}} \\ & = 2 - 0 - \frac{1}{2 } = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) = ...$
A). $ \frac{5}{2} \, $ B). $ 2 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } (\sqrt{ax^2 +bx + c} - \sqrt{ax^2 + px + q} ) = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
(syaratnya dengan koefisien $ x^2 $ sama).
*). Sifat bentuk akar : $ \sqrt{ab} = \sqrt{a} . \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai limitnya dengan mengubah bentuk akarnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4(x^2+2x)}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4}\sqrt{(x^2+2x)}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( 2\sqrt{(x^2+2x)}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{(x^2+2x)} + \sqrt{(x^2+2x)} -\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left[ ( \sqrt{(x^2+2x)} -\sqrt{x^2+1}) + ( \sqrt{(x^2+2x)} -\sqrt{x^2+x}) \right] \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{2}} + \frac{b-p}{2\sqrt{2}} \\ & = \frac{2-0}{2\sqrt{1}} + \frac{2-1}{2\sqrt{1}} \\ & = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) = 3\sin x + 3\cos x $ yang didefinisikan pada interval $ (0, 2\pi) $ mencapai nilai maksimum untuk $ x = .... $
A). $ \frac{\pi}{6} \, $ B). $ \frac{\pi}{4} \, $ C). $ \frac{\pi}{3} \, $ D). $ \frac{\pi}{2} \, $ E). $ \frac{3\pi}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = a\sin x \rightarrow y^\prime = a\cos x $
$ y = a\cos x \rightarrow y^\prime = -a\sin x $
*). Nilai maksimum/minimum fungsi $ y = f(x) $ dicapai pada saat $ f^\prime (x) = 0 $
(Turunan pertama fungsinya = 0)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dketahui Fungsi $ f(x) = 3\sin x + 3\cos x $
*). Menentukan turunannya :
$\begin{align} f(x) & = 3\sin x + 3\cos x \\ f^\prime (x) & = 3\cos x - 3\sin x \end{align} $
*). Syarat nilai maksimum/minimum : $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 3\cos x - 3\sin x & = 0 \\ 3\cos x & = 3\sin x \\ \cos x & = \sin x \\ \frac{\sin x}{\cos x} & = 1 \\ \tan x & = 1 \\ \end{align} $
*). Nilai $ x $ yang memenuhi $ \tan x = 1 $ yaitu $ x = \frac{\pi}{4} $ dan $ x = \frac{5\pi}{4} $
*). Cek ke fungsi $ f(x) = 3\sin x + 3\cos x $ :
$ \begin{align} x = \frac{\pi}{4} \rightarrow f(\frac{\pi}{4}) & = 3\sin \frac{\pi}{4} + 3\cos \frac{\pi}{4} \\ & = 3.\frac{1}{2}\sqrt{2} + 3.\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = 3\sqrt{2} \, \, \, \, \, \text{(maks)} \\ x = \frac{5\pi}{4} \rightarrow f(\frac{5\pi}{4}) & = 3\sin \frac{5\pi}{4} + 3\cos \frac{5\pi}{4} \\ & = 3.(-\frac{1}{2}\sqrt{2}) + 3.(-\frac{1}{2}\sqrt{2} ) \\ & = -3\sqrt{2} \, \, \, \, \, \text{(min)} \end{align} $
Jika kita cek ke fungsi $ f(x) = 3\sin x + 3\cos x $ , maka nilai maksimumnya pada saat $ x = \frac{\pi}{4} $.
Jadi, nilai $ x $ adalah $ x = \frac{\pi}{4} . \, \heartsuit $