Pembahasan Kedudukan Lingkaran UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan dua buah lingkaran :
$ L_1 \equiv x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0 $ dan $ L_2 \equiv x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0 $
Kedudukan lingkaran $ L_1 $ dan lingkaran $ L_2 $ yang paling tepat adalah ....
A). Tidak berpotongan
B). Berpotongan di dua titik
C). Bersinggungan luar
D). Bersinggungan dalam
E). $ L_1 $ berada di dalam $ L_2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Kedudukan Dua lingkaran :
*). Diketahui persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Titik pusat : $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2} , -\frac{B}{2} \right) $
Jari-jari : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 - C } $
*). Jarak antara dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $ :
$ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } $
*). Kedudukan dua lingkaran :
Misalkan jari-jari $L_1 $ adalah $ r_1 $ dan lingkaran $ L_2 $ adalah $ r_2 $, jarak kedua titik pusat adalah $ d $, kedudukan dua lingkaran yaitu :
1). $ 0 < d < |r_1 - r_2| \, $ : lingkaran kecil ada di dalam lingkaran besar
2). $ d = |r_1 - r_2| \, $ : bersinggungan dalam
3). $ |r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2 \, $ : berpotongan dua titik
4). $ d = r_1 + r_2 \, $ : bersinggungan luar
5). $ d > r_1 + r_2 \, $ : tidak berpotongan

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran :
-). $ L_1 \equiv x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0 $
Pusat : $ (a,b) = ( -\frac{-2}{2} , -\frac{-2}{2} ) = (1 , 1 ) $
Jari-jari : $ r_1 = \sqrt{1^2 + 1^2 - 1 } = \sqrt{1} = 1 $
-). $ L_2 \equiv x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0 $
Pusat : $ (a,b) = ( -\frac{-2}{2} , -\frac{4}{2} ) = (1 , -2) $
Jari-jari : $ r_2 = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - 1 } = \sqrt{4} = 2 $
Sehingga nilai $ r_1 + r_2 = 1 + 2 = 3 $ dan $ |r_1 - r_2 | = 1 $
*). Menentukan jarak kedua titik pusat :
$ \begin{align} d & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } \\ & = \sqrt{(1 - 1)^2 + (-2 - 1)^2 } \\ & = \sqrt{ 0 + (-3)^2 } = \sqrt{ 9 } = 3 \end{align} $
*). Menentukan kedudukan kedua lingkaran berdasarkan syaratnya :
Kita peroleh $ d = 3 $ dan $ r_1 + r_2 = 3 $, artinya $ d = r_1 + r_2 $
Sehingga kedua lingkaran bersinggungan luar.
Jadi, kedua lingkaran bersinggungan luar $. \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ x^2 < |2x-15| $ adalah ....
A). $ -5 < x < -3 \, $
B). $ -5 < x < 0 \, $
C). $ -5 < x < 3 \, $
D). $ -3 < x < 3 \, $
E). $ 0 < x < 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow x^2 & < |2x-15| \\ 0^2 & < |2.0-15| \\ 0 & < | -15| \\ 0 & < 15 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=0$ BENAR, opsi yang salah A, B, dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= -3 \Rightarrow x^2 & < |2x-15| \\ (-3)^2 & < |2.(-3)-15| \\ 9 & < | -6 -15| \\ 9 & < 21 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=-3$ BENAR, opsi yang salah D.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi C (yang tersisia).
Jadi, solusinya adalah $ -5 < x < 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ x^2 < |2x-15| $ adalah ....
A). $ -5 < x < -3 \, $
B). $ -5 < x < 0 \, $
C). $ -5 < x < 3 \, $
D). $ -3 < x < 3 \, $
E). $ 0 < x < 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Menentukan pembuat nol (akar-akar),
2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda (+ atau $ - $),
3). Arsir daerah yang diingikan,
Jika tandanya $ > 0 $ , maka arsir yang positif,
Jika tandanya $ < 0 $ , maka arsir yang negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ - f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $
*). Bentuk $ ax^2 + bx + c $ disebut definit positif jika memenuhi $ a > 0 $ dan $ D < 0 $ , dengan $ D = b^2 - 4ac $. Definit positif artinya nilainya selalu positif untuk semua $ x $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menghilangkan bentuk mutlak berdasarkan definisinya :
$ |2x-15| = \left\{ \begin{array}{cc} 2x - 15 & , \text{ untuk } x \geq \frac{15}{2} \\ - (2x - 15) & , \text{ untuk } x < \frac{15}{2} \end{array} \right. $
Artinya bentuk $ |2x - 15| $ bergantung dari batas $ x $ yaitu $ x \geq \frac{15}{2} $ atau $ x < \frac{15}{2} $.
Cara memperoleh $ x \geq \frac{15}{2} $ yaitu $ 2x - 15 \geq 0 $,
Cara memperoleh $ x < \frac{15}{2} $ yaitu $ 2x - 15 < 0 $,
*). Menyelesaikan pertidaksamaan berdasarkan batas $ x $ nya :
-). Untuk $ x \geq \frac{15}{2} $, bentuk $ |2x - 15| = 2x - 15 $
$ \begin{align} \text{soal : } x^2 & < |2x-15| \\ x^2 & < 2x-15 \\ x^2 -2x + 15 & < 0 \end{align} $
Perhatikan bentuk $ x^2 - 2x + 15 $ adalah definit positif karena $ a = 1 > 0 $ dan $ D = (-2)^2 - 4.1.15 = -54 < 0 $. Sedangkan soalnya meminta $ < 0 $ (negatif), sehingga tidak ada nilai $ x $ yang memenuhi kasus pertama ini.
-). Untuk $ x < \frac{15}{2} $, bentuk $ |2x - 15| = -(2x - 15) $
$ \begin{align} \text{soal : } x^2 & < |2x-15| \\ x^2 & < -(2x-15) \\ x^2 + 2x - 15 & < 0 \\ (x +5)(x - 3) & < 0 \\ x = -5 \vee x & = 3 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Sehingga solusinya $ -5 < x < 3 $.
Jadi, solusinya adalah $ -5 < x < 3. \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ p\left( \frac{x}{2} \right) = x^2 + 2x + 3 $ maka jumlah semua nilai $ x $ yang memenuhi $ p(2x) = 4 $ adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{1}{8} \, $ D). $ -\frac{1}{8} \, $ E). $ -\frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat :
*). Misalkan ada PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $,
*). Operasi akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah fungsinya dengan substitusi $ x = 4y $ :
$ \begin{align} p\left( \frac{x}{2} \right) & = x^2 + 2x + 3 \\ p\left( \frac{4y}{2} \right) & = (4y)^2 + 2.(4y) + 3 \\ p\left( 2y \right) & = 16y^2 + 8y + 3 \end{align} $
artinya kita peroleh :
$ p(2x) = 16x^2 + 8x + 3 $.
*). Menyusun persamaan kuadratnya :
$ \begin{align} p(2x) & = 4 \\ 16x^2 + 8x + 3 & = 4 \\ 16x^2 + 8x - 1 & = 0 \\ a = 16, b = 8 , c & = -1 \end{align} $
*). Menentukan jumlah akar-akarnya :
$ \begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, jumlah akar-akarnya adalah $ - \frac{1}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Eksponen UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan $ a $ dan $ b $ bilangan asli dengan $ a > b $. Jika $ \sqrt{95 + 2\sqrt{2016}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $ , maka nilai $ a - b = .... $
A). $ 25 \, $ B). $ 29 \, $ C). $ 31 \, $ D). $ 32 \, $ E). $ 35 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Eksponen (Akar dalam Akar) :
$ \sqrt{(a+b) + 2\sqrt{a\times b}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $
Contoh sederhana :
1). $ \sqrt{11 + 2\sqrt{28}} = \sqrt{(7+4)+2\sqrt{7\times 4}} = \sqrt{7}+\sqrt{4} = \sqrt{7} + 2 $
2). $ \sqrt{23 + 2\sqrt{132}} = \sqrt{(12 + 11)+2\sqrt{12\times 11}} = \sqrt{12}+\sqrt{11} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$ \begin{align} \sqrt{95 + 2\sqrt{2016}} & = \sqrt{a} + \sqrt{b} \\ \sqrt{(63 + 32) + 2\sqrt{63 \times 32}} & = \sqrt{a} + \sqrt{b} \\ \sqrt{63} + \sqrt{32} & = \sqrt{a} + \sqrt{b} \end{align} $
Artinya nilai $ a = 63 $ dan $ b = 32 $.
Sehingga nilai $ a - b = 63 - 32 = 31 $.
Jadi, nilai $ a - b = 31 . \, \heartsuit $

Pembahasan LogikaMat UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Ingkaran dari "Beberapa murid menganggap matematika tidak sukar" adalah ....
A). Semua murid menganggap matematika sukar
B). Semua murid menganggap matematika tidak sukar
C). Ada murid yang menganggap matematika sukar
D). Tidak ada murid yang menganggap matematika tidak sukar
E). Ada murid tidak menganggap matematika sukar

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logika Matematika
*). Ingkaran atau negasi artinya lawan (kebalikan) dari pernyataan yang ada.
*). Pernyataan berkuantor :
-). Universal (simbol $\forall$) mewakili kata : semua, seluruh, dan lainnya
-). Eksistensial (simbol $\exists$) mewakili kata : beberapa, ada, sebagian, dan lainnya
*). Ingkaran dari eksistensial adalah universal (berlaku sebaliknya)
$ \sim \exists = \forall $
*). Ingkaran dari bentuk :
$\sim (\sim P) = P $ dan
$ \sim (\exists \, \sim P ) = (\sim \exists ) (\sim \sim P ) = \forall P $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Untuk memudahkan, pernyataan yang ada kita misalkan terlebih dahulu :
$\underbrace{\text{Beberapa}}_{\exists} \, \, \, \underbrace{\text{murid menganggap matematika tidak sukar}}_{\sim P} $
Artinya pernyataan pada soal diubah menjadi : $ \exists \, (\sim P) $.
Dengan ingkarannya yaitu :
$ \sim (\exists \, \sim P ) = (\sim \exists) (\sim \sim P ) = \forall P $
yang dapat dibaca menjadi :
Semua murid menganggap matematika sukar.
Jadi, jawabannya adalah "Semua murid menganggap matematika sukar" $ . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UM UNDIP 2016 Matematika Dasar IPA


Nomor 1
Ingkaran dari "Beberapa murid menganggap matematika tidak sukar" adalah ....
A). Semua murid menganggap matematika sukar
B). Semua murid menganggap matematika tidak sukar
C). Ada murid yang menganggap matematika sukar
D). Tidak ada murid yang menganggap matematika tidak sukar
E). Ada murid tidak menganggap matematika sukar
Nomor 2
Diberikan $ a $ dan $ b $ bilangan asli dengan $ a > b $. Jika $ \sqrt{95 + 2\sqrt{2016}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $ , maka nilai $ a - b = .... $
A). $ 25 \, $ B). $ 29 \, $ C). $ 31 \, $ D). $ 32 \, $ E). $ 35 $
Nomor 3
Jika $ p\left( \frac{x}{2} \right) = x^2 + 2x + 3 $ maka jumlah semua nilai $ x $ yang memenuhi $ p(2x) = 4 $ adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{1}{8} \, $ D). $ -\frac{1}{8} \, $ E). $ -\frac{1}{2} $
Nomor 4
Nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ x^2 < |2x-15| $ adalah ....
A). $ -5 < x < -3 \, $
B). $ -5 < x < 0 \, $
C). $ -5 < x < 3 \, $
D). $ -3 < x < 3 \, $
E). $ 0 < x < 3 \, $
Nomor 5
Diberikan dua buah lingkaran :
$ L_1 \equiv x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0 $ dan $ L_2 \equiv x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0 $
Kedudukan lingkaran $ L_1 $ dan lingkaran $ L_2 $ yang paling tepat adalah ....
A). Tidak berpotongan
B). Berpotongan di dua titik
C). Bersinggungan luar
D). Bersinggungan dalam
E). $ L_1 $ berada di dalam $ L_2 $

Nomor 6
Diketahui lingkaran $ x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0 $ memotong sumbu-$y$ di titik A dan B. Jika P adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka nilai $ \cos \angle APB = .... $
A). $ -\frac{14}{25} \, $ B). $ -\frac{7}{25} \, $ C). $ \frac{7}{25} \, $ D). $ \frac{12}{25} \, $ E). $ \frac{14}{25} \, $
Nomor 7
Jika $ \alpha , \beta , $ dan $ \gamma $ adalah penyelesaian sistem persmaan linier :
$ \left\{ \begin{array}{c} x + 6y + z = 44 \\ 2y + 3z = 24 \\ x + 5y = 33 \end{array} \right. $
maka $ \alpha + \beta + \gamma = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 7 \, $
D). $ 8 \, $ E). $ 9 $
Nomor 8
Agar fungsi $ f(x,y) = 3x + by $ dengan kendala $ x+y \leq 7 $ , $ x + 2y \leq 10 $ , $ x \geq 0 $ , dan $ y \geq 0 $ mencapai maksimum hanya di titik (4,3), maka nilai $ b $ haruslah ....
A). $ 1 < b < 5 \, $
B). $ 3 < b < 7 \, $
C). $ 3 < b < 9 $
D). $ -9 < b < -3 $
E). $ -5 < b < -3 $
Nomor 9
Nilai maksimum $ z = 10x + 20y $ dengan pembatas $ x - y \geq 0 $ , $ 6x+4y \leq 24 $ , dan $ 4x + 4y \geq 16 $ adalah ....
A). $ 40 \, $ B). $ 60 \, $ C). $ 72 \, $ D). $ 80 \, $ E). $ 96 $
Nomor 10
Jika $ P = Q^3 $ dengan $ Q = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right] $ , maka $ P\left[ \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right] = .... $
A). $ \left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right]\, $ B). $ \left[ \begin{matrix} -1 \\ -3 \end{matrix} \right] $ C). $ \left[ \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix} \right] $
D). $ \left[ \begin{matrix} -3 \\ -1 \end{matrix} \right] $ E). $ \left[ \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right] $

Nomor 11
Diketaui matriks $ A = \left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} 4 & - 2 \\ -6 & 3 \end{matrix} \right]$. Matriks $ X $ yang memenuhi $ XA + B = X $ adalah ....
A). $ \left[ \begin{matrix} -4 & 2 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right] \, $
B). $ \left[ \begin{matrix} -4 & -2 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right] \, $
C). $ \left[ \begin{matrix} -2 & 4 \\ 3 & -6 \end{matrix} \right] \, $
D). $ \left[ \begin{matrix} 2 & 4 \\ -3 & -6 \end{matrix} \right] \, $
E). $ \left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{matrix} \right] \, $
Nomor 12
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ a $, P dan Q masing-masing titik tengah HG dan EH. Sedangkan R titik tengah PQ. Jika BT adalah proyeksi BR pada bidang ABCD, maka jarak T dengan bidang QBP adalah ....
A). $ \frac{4a}{17}\sqrt{17} \, $ B). $ \frac{3a}{17}\sqrt{17} \, $ C). $ \frac{2a}{17}\sqrt{17} \, $ D). $ \frac{3a}{13}\sqrt{13}\, $ E). $ \frac{a}{7}\sqrt{7} $
Nomor 13
Jika $ \alpha + \beta = \frac{\pi}{3} , \, \alpha , \beta \, $ sudut-sudut lancip dan $ \tan \alpha = \frac{1}{6}\tan \beta $ , maka $ \sin \alpha + \sin \beta = .... $
A). $ \frac{1}{7}\sqrt{7} + \frac{1}{5}\sqrt{5} \, $
B). $ \frac{1}{10} + \frac{1}{5}\sqrt{5} \, $
C). $ \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\sqrt{5} \, $
D). $ \frac{1}{14}\sqrt{5} + \frac{1}{5}\sqrt{3} \, $
E). $ \frac{1}{14}\sqrt{7} + \frac{1}{5}\sqrt{5} \, $
Nomor 14
$ \displaystyle \lim_{x \to 16 } \frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{2 + \sqrt[4]{x}} - 2} = .... $
A). $ \frac{2}{5} \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 16 $
Nomor 15
Persamaan garis singgung parabola $ y = \sqrt{x} + 1 $ melaui titik $(-8,0) $ adalah ....
A). $ 4y - x - 2 = 0 \, $
B). $ 4y + x - 2 = 0 \, $
C). $ 4y + 3x - 2 = 0 \, $
D). $ 4y - x + 2 = 0 \, $
E). $ 4y - 3x - 2 = 0 $
Nomor 16
$ \int x^5 \left( 2 - x^3 \right) ^\frac{1}{2} \, dx = .... $
A). $ \frac{2}{45}(3x^3+4)(-x^3+2)^\frac{3}{2} + c \, $
B). $ \frac{-2}{5}(3x^3+4)(-x^3+2)^\frac{3}{2} + c \, $
C). $ \frac{2}{5}(3x^3+4)(-x^3+2)^\frac{3}{2} + c \, $
D). $ \frac{-2}{25}(3x^3+4)(-x^3+2)^\frac{3}{2} + c \, $
E). $ \frac{-2}{45}(3x^3+4)(-x^3+2)^\frac{3}{2} + c \, $
Nomor 17
Luas daerah yang dibatasi oleh parabola $ y = \sqrt{x} + 1 $ dan garis-garis singgungnya melalui titik $\left( 0, \frac{3}{2} \right) $ adalah ... satuan luas.
A). $ \frac{2}{3}\sqrt{2} \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{2}{3}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{12} \, $ E). $ \frac{1}{3}\sqrt{2} $
Nomor 18
Volume benda putar jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = \sqrt{x-1} $ dan $ y = x^2 - 2x + 1 $ diputar terhadap garis $ x = 2 $ sama dengan ... satuan volume.
A). $ \frac{3}{10}\pi \, $ B). $ \frac{1}{3}\pi \, $ C). $ \frac{2}{5}\pi \, $ D). $ \frac{11}{30}\pi \, $ E). $ \frac{3}{5}\pi $
Nomor 19
Ujian matematika diberikan kepada tiga kelas berjumlah 100 murid. Nilai rata-rata kelas pertama, kedua, dan ketiga masing-masing adalah 7, $7\frac{1}{2}$, dan 8. Jika banyaknya siswa kelas kedua 10 lebih banyak dari kelas pertama, dan banyaknya siswa kelas ketiga adalah 30 orang, maka nilai rata-rata nilai matematika seluruh siswa adalah ....
A). $ 7\frac{1}{2} \, $ B). $ 7\frac{1}{3} \, $ C). $ 7\frac{1}{4} \, $ D). $ 7\frac{2}{3} \, $ E). $ 7\frac{1}{5} $
Nomor 20
Diketahui 6 siswa dan 3 siswi duduk berdiskusi mengelilingi meja bundar, maka peluang jika tidak ada siswi berdampingan adalah ....
A). $ \frac{1}{4} \, $ B). $ \frac{1}{5} \, $ C). $ \frac{5}{14} \, $ D). $ \frac{2}{5} \, $ E). $ \frac{3}{8} $