Cara 2 Pembahasan Suku Banyak UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika suku banyak $ x^4 - 2x^2 + 1 $ dapat difaktorkan menjadi $ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) $ , maka nilai $ a + b + c + d = ...$
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Konsep kesamaan(ekuivalen) pada suku banyak
Dua bentuk suku banyak dikatakan sama jika setiap koefisien suku-suku sejenis nilainya sama.
Contoh :
$ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = fx^4 + gx^3 + hx^2 + ix + j $
kesamaannya : $ a = f, b = g, c = h, d = i $ dan $ e = j $.
*). Bentuk pemfaktoran :
$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
$ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ x^4 - 2x^2 + 1 $ dapat difaktorkan menjadi $ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) $, artinya :
$ \begin{align} x^4 - 2x^2 + 1 & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ (x^2 - 1)^2 & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ (x^2 - 1)(x^2 - 1) & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ \end{align} $
Kita peroleh kesamaan :
$ x^2 - 1 = x^2 + ax + b \rightarrow a = 0 , b = -1 $
$ x^2 - 1 = x^2 + cx + d \rightarrow c = 0 , d = -1 $
Sehingga nilai $ a + b + c + d = 0 + (-1) + 0 + (-1 ) = -2 $
*). Bentuk $ (x^2 - 1)(x^2 - 1) $ dapat kita ubah :
$ \begin{align} (x^2 - 1)(x^2 - 1) & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ (x+1)(x-1).(x+1)(x-1) & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ (x+1)(x+1).(x-1)(x-1) & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ (x^2 + 2x + 1).(x^2 - 2x + 1) & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \end{align} $
Kita peroleh kesamaan :
$ x^2 + 2x + 1 = x^2 + ax + b \rightarrow a = 2 , b = 1 $
$ x^2 -2x + 1 = x^2 + cx + d \rightarrow c = -2 , d = 1 $
Sehingga nilai $ a + b + c + d = 2 + 1 + (-2) + 1 = 2 $
Jadi, ada dua jawaban yaitu $ 2 $ dan $ - 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika suku banyak $ x^4 - 2x^2 + 1 $ dapat difaktorkan menjadi $ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) $ , maka nilai $ a + b + c + d = ...$
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Konsep kesamaan(ekuivalen) pada suku banyak
Dua bentuk suku banyak dikatakan sama jika setiap koefisien suku-suku sejenis nilainya sama.
Contoh :
$ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = fx^4 + gx^3 + hx^2 + ix + j $
kesamaannya : $ a = f, b = g, c = h, d = i $ dan $ e = j $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ x^4 - 2x^2 + 1 $ dapat difaktorkan menjadi $ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) $, artinya :
$ \begin{align} x^4 - 2x^2 + 1 & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ x^4 - 2x^2 + 1 & = x^4+cx^3+dx^2 + ax^3 + acx^2 + adx + bx^2 + bcx + bd \\ x^4 + 0x^3 - 2x^2 + 0x + 1 & = x^4+(a+c)x^3 + (b + d + ac)x^2 + (ad+bc)x+ bd \end{align} $
Kita peroleh kesamaan :
$ a + c = 0 , b + d + ac = -2 , ad + bc = 0 $ , dan $ bd = 1 $.
*). Karena koefisien-koefisien dari $ x^4 - 2x^2 + 1 $ bilangan bulat, maka nilai $ a $, $ b $ , $ c $ , dan $ d $ juga semuanya bilangan bulat.
*). Dari bentuk $ bd = 1 $ , maka ada dua kemungkinan nilai $ b $ dan $ d $ yaitu $ b = d = 1 $ atau $ b = d = -1 $.
*). Menentukan nilai $ a + b + c + d $ dengan $ a + c = 0 $ dan nilai $ b $ dan $ d $ :
-). Nilai $ b = d = 1 $
$ a + b + c + d = (a + c) + b + d = 0 + 1 + 1 = 2 $
-). Nilai $ b = d = -1 $
$ a + b + c + d = (a + c) + b + d = 0 + (-1) + (-1) = -2 $
Sehingga nilai $ a + b + c + d $ ada dua yaitu 2 dan $ -2 $.
Jadi, ada dua jawaban yaitu $ 2 $ dan $ - 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui matriks $ A = \left[ \begin{matrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] $. Jika $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 $ , maka nilai $ det (f(A)) = ... $
A). $ -224 \, $ B). $ -262 \, $ C). $ -300 \, $ D). $ -324 \, $ E). $ -376 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Determinan matriks :
$ A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow det(A) = ad - bc $
*). Operasi pada matriks :
-). Perkalian matriks $ = $ baris $ \times $ kolom.
-). Perkalian skalar = kalikan bilangan dengan semua unsur pada matriks
-). Jumlah atau kurang : operasikan unsur-unsur yang seletak.
*). Karena matriks tidak bisa dijumlahkan atau dikurangkan dengan skalar (bilangan), maka jika pada fungsi terdapat konstanta maka konstanta tersebut kita tambahkan matriks identitas yang bisa kita sebut sebagai matriks konstanta (misalkan $ 2I, 3I, 4I, $ dan lainnya).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui matriks : $ A = \left[ \begin{matrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] $
*). Menentukan hasil perkalian matriks :
$ \begin{align} A^2 & = A.A = \left[ \begin{matrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] . \left[ \begin{matrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -2.-2 + 3.1 & -2.3 + 3.2 \\ 1.-2 + 2.1 & 1.3 + 2.2 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right] \\ A^3 & = A^2 . A = \left[ \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right]. \left[ \begin{matrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -14 & 21 \\ 7 & 14 \end{matrix} \right] \end{align} $
*). Menyusun Matriks pada fungsi $ f(x) $ :
Matriks identitas : $ I = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] $
$ \begin{align} f(x) & = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 \\ f(A) & = A^3 - 2A^2 + 3A - 4I \\ & = \left[ \begin{matrix} -14 & 21 \\ 7 & 14 \end{matrix} \right] - 2\left[ \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right] + 3\left[ \begin{matrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] - 4\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -14 & 21 \\ 7 & 14 \end{matrix} \right] - \left[ \begin{matrix} 14 & 0 \\ 0 & 14 \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} -6 & 9 \\ 3 & 6 \end{matrix} \right] - \left[ \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -14-14+(-6)-4 & 21-0+9-0 \\ 7-0+3-0 & 14-14+6-4 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -38 & 30 \\ 10 & 2 \end{matrix} \right] \end{align} $
*). Menentukan determinan matriksnya :
$ \begin{align} f(A) & = \left[ \begin{matrix} -38 & 30 \\ 10 & 2 \end{matrix} \right] \\ det(f(A)) & = (-38).2 - 30.10 = -76-300 = -376 \end{align} $
Jadi, determinannya adalah $ -376 . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ a $ cm. Titik Q dan R masing-masing adalah titik tengah CD dan CB. Jika T adalah perpotongan QR dan AC, dan S adalah proyeksi T pada bidang AFH, maka panjang AS sama dengan ...
A). $ \frac{a}{8}\sqrt{6} \, $ B). $ \frac{a}{4}\sqrt{3} \, $ C). $ \frac{a}{3}\sqrt{6} \, $ D). $ \frac{a}{2}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{a}{2}\sqrt{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt{a.b} = \sqrt{a} . \sqrt{b} $ dan $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $
*). Pada segitiga siku-siku berlaku teorema pythagoras.
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times \, $ alas $ \times $ tinggi.
*). Hasil proyeksi titik A ke sebuah bidang adalah sebuah titik S pada bidang dimana garis AS tegak lurus dengan bidangnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
 

Panajng rusuk kubus $ = a $
-). Panjang $ AC = a\sqrt{2} $ dan $ UV = a $
-). Panjang $ EU = \frac{1}{2}EG = \frac{1}{2}a\sqrt{2} $
-). Perhatikan alas kubus yaitu ABCD.
Panjang $ AT = \frac{3}{4}AC = \frac{3}{4}a\sqrt{2} $
-). Segitiga AEU siku-siku di E :
$ \begin{align} AU & = \sqrt{AE^2 + EU^2} = \sqrt{a^2 + \left( \frac{1}{2}a\sqrt{2} \right)^2} \\ & = \sqrt{a^2 + \frac{2a^2}{4} } = \sqrt{\frac{4a^2}{4} + \frac{2a^2}{4} } \\ & = \frac{6a^2}{4} = \frac{a}{2}\sqrt{6} \end{align} $
*). Panjang ST pada segitiga ATU dengan konsep luas segitiga ATU :
$ \begin{align} \text{Luas ATU (alas AU) } & = \text{ Luas ATU (alas AT) } \\ \frac{1}{2}.AU. ST & = \frac{1}{2}.AT.UV \\ AU. ST & = AT.UV \\ \frac{a}{2}\sqrt{6} . ST & = \frac{3}{4}a\sqrt{2} . a \\ ST & = \frac{\frac{3}{4}a\sqrt{2} . a}{\frac{a}{2}\sqrt{6}} \\ & = \frac{3}{2\sqrt{3}}a = \frac{a}{2}\sqrt{3} \end{align} $
*). Panjang AS pada segitiga AST siku-siku di S :
$ \begin{align} AS & = \sqrt{ AT^2 - ST^2} \\ & = \sqrt{ \left( \frac{3}{4}a\sqrt{2} \right)^2 - \left( \frac{a}{2}\sqrt{3} \right)^2 } \\ & = \sqrt{ \frac{18a^2}{16} - \frac{3a^2}{4} } \\ & = \sqrt{ \frac{18a^2}{16} - \frac{12a^2}{16} } \\ & = \sqrt{ \frac{6a^2}{16} } = \frac{a}{4} \sqrt{6} \end{align} $
Jadi, panjang $ AS = \frac{a}{4} \sqrt{6} . \, \heartsuit $
(tidak ada jawaban di optionnya).