Soal yang Akan Dibahas
Jika suku banyak $ x^4 - 2x^2 + 1 $ dapat difaktorkan menjadi
$ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) $ , maka nilai $ a + b + c + d = ...$
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Konsep kesamaan(ekuivalen) pada suku banyak
Dua bentuk suku banyak dikatakan sama jika setiap koefisien suku-suku sejenis nilainya sama.
Contoh :
$ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = fx^4 + gx^3 + hx^2 + ix + j $
kesamaannya : $ a = f, b = g, c = h, d = i $ dan $ e = j $.
*). Bentuk pemfaktoran :
$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
$ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $
*). Konsep kesamaan(ekuivalen) pada suku banyak
Dua bentuk suku banyak dikatakan sama jika setiap koefisien suku-suku sejenis nilainya sama.
Contoh :
$ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = fx^4 + gx^3 + hx^2 + ix + j $
kesamaannya : $ a = f, b = g, c = h, d = i $ dan $ e = j $.
*). Bentuk pemfaktoran :
$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
$ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ x^4 - 2x^2 + 1 $ dapat difaktorkan menjadi $ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) $, artinya :
$ \begin{align} x^4 - 2x^2 + 1 & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ (x^2 - 1)^2 & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ (x^2 - 1)(x^2 - 1) & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ \end{align} $
Kita peroleh kesamaan :
$ x^2 - 1 = x^2 + ax + b \rightarrow a = 0 , b = -1 $
$ x^2 - 1 = x^2 + cx + d \rightarrow c = 0 , d = -1 $
Sehingga nilai $ a + b + c + d = 0 + (-1) + 0 + (-1 ) = -2 $
*). Bentuk $ (x^2 - 1)(x^2 - 1) $ dapat kita ubah :
$ \begin{align} (x^2 - 1)(x^2 - 1) & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ (x+1)(x-1).(x+1)(x-1) & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ (x+1)(x+1).(x-1)(x-1) & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ (x^2 + 2x + 1).(x^2 - 2x + 1) & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \end{align} $
Kita peroleh kesamaan :
$ x^2 + 2x + 1 = x^2 + ax + b \rightarrow a = 2 , b = 1 $
$ x^2 -2x + 1 = x^2 + cx + d \rightarrow c = -2 , d = 1 $
Sehingga nilai $ a + b + c + d = 2 + 1 + (-2) + 1 = 2 $
Jadi, ada dua jawaban yaitu $ 2 $ dan $ - 2 . \, \heartsuit $
*). $ x^4 - 2x^2 + 1 $ dapat difaktorkan menjadi $ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) $, artinya :
$ \begin{align} x^4 - 2x^2 + 1 & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ (x^2 - 1)^2 & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ (x^2 - 1)(x^2 - 1) & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ \end{align} $
Kita peroleh kesamaan :
$ x^2 - 1 = x^2 + ax + b \rightarrow a = 0 , b = -1 $
$ x^2 - 1 = x^2 + cx + d \rightarrow c = 0 , d = -1 $
Sehingga nilai $ a + b + c + d = 0 + (-1) + 0 + (-1 ) = -2 $
*). Bentuk $ (x^2 - 1)(x^2 - 1) $ dapat kita ubah :
$ \begin{align} (x^2 - 1)(x^2 - 1) & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ (x+1)(x-1).(x+1)(x-1) & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ (x+1)(x+1).(x-1)(x-1) & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ (x^2 + 2x + 1).(x^2 - 2x + 1) & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \end{align} $
Kita peroleh kesamaan :
$ x^2 + 2x + 1 = x^2 + ax + b \rightarrow a = 2 , b = 1 $
$ x^2 -2x + 1 = x^2 + cx + d \rightarrow c = -2 , d = 1 $
Sehingga nilai $ a + b + c + d = 2 + 1 + (-2) + 1 = 2 $
Jadi, ada dua jawaban yaitu $ 2 $ dan $ - 2 . \, \heartsuit $