Pembahasan Suku Banyak SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas
Sisa pembagian $ p(x)=x^3+Ax^2+Bx+C $ oleh $ x + 3 $ adalah 2. Jika $ p(x) $ habis dibagi oleh $ x+1 $ dan $ x-1 $, maka $ A + 2B - 3C = .... $
A). $ 10 \, $ B). $ 11 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 14 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Konsep pembagian :
Suku banyak $ P(x) $ dibagi $ (x-a) $ berisa $ b $,
dapat kita tulis : $ P(a) = b $.
(substitusi $ x $ dengan akar pembaginya)
*). Habis dibagi artinya sisa = 0.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui suku banyak : $ p(x)=x^3+Ax^2+Bx+C $
*). $ p(x) : (x + 3) \, $ bersisa 2 , artinya :
$\begin{align} p(-3) & = 2 \\ (-3)^3+A(-3)^2+B.(-3)+C & = 2 \\ -27+9A-3B+C & = 2 \\ 9A-3B+C & = 29 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). $ p(x) $ habis dibagi $ (x+1) $, artinya :
$\begin{align} p(-1) & = 0 \\ (-1)^3+A(-1)^2+B.(-1)+C & = 0 \\ -1+A-B+C & = 0 \\ A-B+C & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). $ p(x) $ habis dibagi $ (x-1) $, artinya :
$\begin{align} p(1) & = 0 \\ (1)^3+A(1)^2+B.(1)+C & = 0 \\ 1+A+B+C & = 0 \\ A+B+C & = -1 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(iii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(ii) dan (iii) :
$\begin{array}{cc} A-B+C = 1 & \\ A+B+C = -1 & - \\ \hline -2B = 2 & \\ B = -1 & \end{array} $
Pers(iii): $ A+B+C = -1 $
$ \rightarrow A+(-1)+C = -1 \rightarrow C = -A $
Pers(i) : dengan $ B = -1 $ dan $ C = -A $
$\begin{align} 9A-3B+C & = 29 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ 9A-3.(-1)+ (-A) & = 29 \\ 9A+ 3 - A & = 29 \\ 8A & = 26 \\ A & = \frac{26}{8} = \frac{13}{4} \end{align} $
Sehingga $ C = -A = - \frac{13}{4} $
*). Menentukan nilai $ A + 2B - 3C $ :
$\begin{align} A + 2B - 3C & = \frac{13}{4} + 2(-1) - 3 \left( - \frac{13}{4} \right) \\ & = \frac{13}{4} -2 + \frac{39}{4} \\ & = \frac{52}{4} -2 = 13-2 = 11 \end{align} $
Jadi, nilai $A + 2B - 3C = 11 . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas
Jika lingkaran $ x^2 + y^2 -ax - ay + a = 0 $ mempunyai panjang jari-jari $ \frac{1}{2}a $, maka nilai $ a $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran :
$ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Jari-jarinya : $ r = \sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} -C} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui persamaan lingkaran :
$ x^2 + y^2 -ax - ay + a = 0 \rightarrow A = -a , B = -a , C = a $
dengan jari-jari : $ r = \frac{1}{2}a $
dimana $ a \neq 0 $, sebab jika $ a = 0 $ maka tidak terbentuk lingkaran.
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} r & = \sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} -C} \\ \frac{1}{2}a & = \sqrt{\frac{(-a)^2}{4} + \frac{(-a)^2}{4} -a} \\ \frac{1}{2}a & = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} -a} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \frac{a^2}{4} & = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} -a \\ 0 & = \frac{a^2}{4} -a \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 0 & = a^2 -4a \\ 0 & = a(a-4) \\ a& = 0 \vee a = 4 \end{align} $
yang memenuhi $ a = 4 $.
Jadi, nilai $ a = 4. \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Peluang SBMPTN 2018 Matipa kode 452

Soal yang Akan Dibahas
Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari 9 orang. Banyaknya cara membuat barisan, dengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan adalah .....
A). $ 7 \times 8! \, $ B). $ 6 \times 8! \, $
C). $ 7 \times 8! \, $ D). $ 7 \times 7! \, $
E). $ 6 \times 7! $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Banyak cara penempatan $ n $ orang pada $ n $ tempat secara berbarisan adalah $ n! $.
*). Banya cara penempatan $ r $ orang pada $ n $ tempat adalah $ P_r^n $
dengan $ P $ = permutasi dan $ P_r^n = \frac{n!}{(n-r)!} $
*). Misalkan kejadian I ada $ p $ cara dan kejadian II ada $ q $ cara, maka total cara kejadian I dan II adalah $ p \times q $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan susunan duduk berikut ini :
 

*). Kejadian I : Kita pilih 7 orang (selain Ari dan Ira) yang kita tempatkan pada posisi tempat yang berwarna biru. Artinya kita menyusun 7 orang pada 7 tempat dengan banyak cara $ 7! $.
*). Kejadian II : Dua orang yang tersisa (Ari dan Ira) bisa kita tempatkan pada kotak warna hijau ( satu kotak satu orang sehingga dijamin Ari dan Ira tidak berdampingan). Artinya kita menyusun 2 orang pada 8 tempat dengan banyak cara $ P_2^8 $.

Sehingga total Cara :
$ = P_2^8 \times 7! = \frac{8!}{6!} \times 7! = \frac{8!}{6!} \times (7 \times 6!) = 7 \times 8! $.
Jadi, total susunan adalah $ 7 \times 8!. \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Peluang SBMPTN 2018 Matipa kode 452

Soal yang Akan Dibahas
Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari 9 orang. Banyaknya cara membuat barisan, dengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan adalah .....
A). $ 7 \times 8! \, $ B). $ 6 \times 8! \, $
C). $ 7 \times 8! \, $ D). $ 7 \times 7! \, $
E). $ 6 \times 7! $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Banyak cara penempatan $ n $ orang pada $ n $ tempat secara berbarisan adalah $ n! $.
*). Misalkan kejadian I ada $ p $ cara dan kejadian II ada $ q $ cara, maka total cara kejadian I dan II adalah $ p \times q $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan susunan duduk berikut ini :
 

*). Kejadian I : Kita pilih 8 orang (salah satunya Ari atau Ira) yang kita tempatkan pada posisi tempat yang berwarna biru. Artinya kita menyusun 8 orang pada 8 tempat dengan banyak cara $ 8! $.
*). Kejadian II : Satu orang yang tersisa (Ari atau Ira) bisa kita tempatkan pada posisi warna hijau. Kenapa tidak kita tempatkan di posisi warna merah? karena kita misalkan jika warna biru 1 ditempati oleh Ari atau ira , sehingga salah satu dari mereka tidak bisa kita tempatkan di warna merah karena mereka akan berdampingan sementara di soal tidak boleh berdampingan. Pada kejadian II ini ada 7 cara (7 posisi kemungkinan warna hijau yang bisa ditempati oleh satu orang yaitu Ari atau Ira).
Sehingga total Cara $ = 7 \times 8! $.
Jadi, total susunan adalah $ 7 \times 8!. \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas
Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari 9 orang. Banyaknya cara membuat barisan, dengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan adalah .....
A). $ 7 \times 8! \, $ B). $ 6 \times 8! \, $
C). $ 7 \times 8! \, $ D). $ 7 \times 7! \, $
E). $ 6 \times 7! $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Banyak cara penempatan $ n $ orang pada $ n $ tempat secara berbarisan adalah $ n! $.
*). Kejadian komplemen (berlawanan) :
-). Kasus I : Semua kemungkinan kejadian
-). Kasus II : Kejadian A dan B berdampingan
-). Banyaknya kejadian A dan B tidak berdampingan adalah
$ \, \, \, \, \, \, \, = $ Kasus I $ - $ Kasus II.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan banyaknya susunan yang mungkin :
*). Kasus I : Misalkan Ari dan Ira bebas posisinya, artinya ada 9 orang berbaris dengan banyak cara
Kasus I = $ 9! $.
*). Kasus II : Misalkan susunan barisnya dimana Ari dan Ira selalu berdampingan. Agar Ari dan Ira selalu berdampingan, maka kita blok mereka berdua (anggap jadi satu orang) sehingga sekarang ada 8 orang totalnya dengan banyak cara $ 8! $. Posisi Ari dan Ira yang kita blok tadi bisa diacak lagi menjadi 2 cara, sehingga :
Kasus II $ = 2 \times 8! $.
*). Banyak cara agar Ari dan Ira tidak berdampingan :
$\begin{align} \text{total cara } & = \text{Kasus I } - \text{ Kasus II} \\ & = 9! - 2 \times 8! \\ & = 9 \times 8! - 2 \times 8! \\ & = (9 - 2 ) \times 8! \\ & = 7 \times 8! \end{align} $
Jadi, total susunan adalah $ 7 \times 8!. \, \heartsuit $