Pembahasan Logaritma UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x $ memenuhi $ {}^2 \log \, {}^3 \log (x+2) = 1 $ dan $ y $ memenuhi $ ({}^a \log (3y-1))({}^2 \log a ) = 3 $ , maka nilai $ x + y $ adalah ....
A). $ 16 \, $ B). $ 13 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma
*). Definisi Logartima :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat Logaritma :
$ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
*). Sifat Komutatif perkalian : $ A.B = B.A $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan pertama :
$\begin{align} {}^2 \log \, {}^3 \log (x+2) & = 1 \\ {}^3 \log (x+2) & = 2^1 \\ {}^3 \log (x+2) & = 2 \\ (x+2) & = 3^2 \\ x+2 & = 9 \\ x & = 7 \end{align} $
*). Persamaan Kedua :
$\begin{align} ({}^a \log (3y-1))({}^2 \log a ) & = 3 \\ ({}^2 \log a ) ({}^a \log (3y-1)) & = 3 \\ {}^2 \log a . {}^a \log (3y-1) & = 3 \\ {}^2 \log (3y-1) & = 3 \\ (3y-1) & = 2^3 \\ 3y-1 & = 8 \\ 3y & = 9 \\ y & = 3 \end{align} $
Sehingga nilai $ x + y = 7 + 3 = 10 $ .
Jadi, nilai $ x + y = 10 \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Garis UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan garis yang melalui titik potong garis $ 4x + 7y - 15 = 0 $ dan $ 14y=9x-4 $ serta tegak lurus pada garis $ 21x+5y = 3 $ adalah ....
A). $ 21x - 5y = 3 $
B). $ 11x - 21y = 5 $
C). $ 5x - 21y = -11 $
D). $ 5x + 21y = -11 $
E). $ 5x - 21y = 11 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis yang melalui titik $ (x_1,y_1) $ dengan gradien $ m $ yaitu :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $
*). Dua garis tegak lurus, maka $ m_1.m_2 = -1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui dua persamaan :
pers(i) : $ 4x + 7y - 15 = 0 \rightarrow 4x + 7y = 15 $
pers(ii): $ 14y = 9x - 4 \rightarrow 9x - 14y = 4 $
*). Menentukan titik potong kedua garis :
$ \begin{array}{c|c|cc} 4x + 7y = 15 & \times 2 & 8x + 14y = 30 & \\ 9x - 14y = 4 & \times 1 & 9x - 14y = 4 & + \\ \hline & & 17x = 34 & \\ & & x = 2 & \end{array} $
Pers(ii): $ 14y = 9x - 4 \rightarrow 14y = 9.2 - 4 \rightarrow y = 1 $
Titik potong kedua garis adalah $ (2,1) $ .
*). Gradien garis $ 21x + 5y = 3 $ :
$ m_1 = \frac{a}{b} = \frac{-21}{5} $
Karena garis yang mau kita cari tegak lurus, maka :
$ m_1.m_2 = -1 \rightarrow \frac{-21}{5} . m_2 = -1 \rightarrow m_2 = \frac{5}{21} $.
*). Persamaan garis melalui titik $ (x_1,y_1) = (2,1) $ dengan $ m = \frac{5}{21} $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - 1 & = \frac{5}{21}(x-2) \, \, \, \, \, \, \text{(kali 21)} \\ 21y - 21 & =5(x-2) \\ 21y - 21 & =5x- 10 \\ 5x - 21y & = -21 + 10 \\ 5x - 21y & = -11 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya $ 5x - 21y = -11 \, \heartsuit $

Pembahasan Eksponen UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Bentuk sederhana dari
$ \frac{\left( x^{-4}y^\frac{2}{3} \right)^{-\frac{1}{2}} \left( x^{-\frac{7}{3}} y^{-1} \right)^\frac{1}{2} }{\left( x^\frac{1}{2} y^3\right)^{-\frac{1}{6}} \left(x^{-\frac{1}{4}} y^{-1} \right)^\frac{1}{3} } $
adalah ....
A). $ y \, $ B). $ x \, $ C). $ xy \, $ D). $ \frac{x}{y} \, $ E). $ \frac{y}{x} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} \, $ , $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$ (a.b)^n = a^n.b^n \, $ , $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Soal :
$\begin{align} & \frac{\left( x^{-4}y^\frac{2}{3} \right)^{-\frac{1}{2}} \left( x^{-\frac{7}{3}} y^{-1} \right)^\frac{1}{2} }{\left( x^\frac{1}{2} y^3\right)^{-\frac{1}{6}} \left(x^{-\frac{1}{4}} y^{-1} \right)^\frac{1}{3} } \\ & = \frac{\left( x^{-4}\right)^{-\frac{1}{2}} \left( y^\frac{2}{3} \right)^{-\frac{1}{2}} \left( x^{-\frac{7}{3}} \right)^\frac{1}{2} \left( y^{-1} \right)^\frac{1}{2} }{\left( x^\frac{1}{2} \right)^{-\frac{1}{6}} \left( y^3\right)^{-\frac{1}{6}} \left(x^{-\frac{1}{4}} \right)^\frac{1}{3} \left( y^{-1} \right)^\frac{1}{3} } \\ & = \frac{x^2. y^{-\frac{1}{3}} . x^{-\frac{7}{6}} . y^{-\frac{1}{2}} }{ x^{-\frac{1}{12}} .y^{-\frac{1}{2}} .x^{-\frac{1}{12}} . y^{-\frac{1}{3}} } \\ & = \frac{x^2. x^{-\frac{7}{6}} }{ x^{-\frac{1}{12}} .x^{-\frac{1}{12}} } = \frac{ x^{2 -\frac{7}{6}} }{ x^{-\frac{1}{12} - \frac{1}{12}} } = \frac{ x^{\frac{5}{6}} }{ x^{-\frac{1}{6}} } \\ & = x^{\frac{5}{6} - (-\frac{1}{6})} = x^{\frac{6}{6}} = x^1 = x \end{align} $
Jadi, bentuk sederhananya adalah $ x \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan $ a $ dan $ b $ bilangan real dengan $ a > 1 $ dan $ b > 1 $. Jika $ ab = a^b $ dan $ \frac{a}{b} = a ^{3b} $ , maka nilai $ a $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} \, $ dan $ (a^m)^n = a^{m.n} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kalikan kedua persamaan :
pers(i): $ ab = a^b $
pers(ii): $ \frac{a}{b} = a^{3b} $
$\begin{align} ab . \frac{a}{b} & = a^b . a^{3b} \\ a^2 & = a^{b + 3b} \\ a^2 & = a^{4b} \\ 2 & = 4b \\ b & = \frac{2}{4} =\frac{1}{2} \end{align} $
*). Substitusi $ b = \frac{1}{2} $ ke pers(i) :
$\begin{align} ab & = a^b \\ a. \frac{1}{2} & = a^\frac{1}{2} \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\frac{a}{2})^2 & = (a^\frac{1}{2} )^2 \\ \frac{a^2}{4} & = a \\ a^2 & = 4a \\ a^2 - 4a & = 0 \\ a(a -4) & = 0 \\ a = 0 \vee a & = 4 \end{align} $
Nilai $ a = 4 $ yang memenuhi karena syarat pada soal $ a > 1 $.
Jadi, nilai $ a = 4 \, \heartsuit $

Pembahasan Bentuk Akar UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Bentuk sederhana dari $ \sqrt{ 7 + \sqrt{48}} \, $ adalah ....
A). $ \sqrt{8} + \sqrt{7} \, $
B). $ \sqrt{7} + \sqrt{6} \, $
C). $ \sqrt{6} + 1 \, $
D). $ \sqrt{5} + \sqrt{2} \, $
E). $ \sqrt{4} + \sqrt{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Akar Dalam Akar
*). Rumus akar dalam akar :
$ \sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $
*). Sifat Eksponen : $ \sqrt{a \times b } = \sqrt{a} \times \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \sqrt{ 7 + \sqrt{48}} & = \sqrt{ 7 + \sqrt{4 \times 12}} \\ & = \sqrt{ 7 + 2 \sqrt{ 12}} \\ & = \sqrt{ (4+3) + 2 \sqrt{4 \times 3}} \\ & = \sqrt{4} + \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sqrt{ 7 + \sqrt{48}} = \sqrt{4} + \sqrt{3} \, \heartsuit $