dunia informa

Pembahasan Fungsi Turun UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas

Jika fungsi $ f $ , dengan $ f(x) = \sqrt[3]{x^3+m^3x^6} $ turun pada $ (-\infty , -1] $ , dengan $ 8m^3 + 8 = ... $
A). $ 16 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat fungsi $ y = f(x) $ turun yaitu $ f^\prime (x) < 0 $
*). Pertidaksamaan $ g(x) < 0 $ memiliki penyelesaian $ x \leq a $ , artinya $ x = a $ memenuhi $ g(a) = 0 $.
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[f(x)]^{n-1}. f^\prime (x) $
*). Bentuk interval :
$ (a,b) \, $ artinya $ a < x < b $
$ (a,b] \, $ artinya $ a < x \leq b $
$ [a,b) \, $ artinya $ a \leq x < b $
$ [a,b] \, $ artinya $ a \leq x \leq b $
*). Sifat eksponen :
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $ dan $ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsi $ f(x) = \sqrt[3]{x^3+m^3x^6} $ :
$\begin{align} f(x) & = \sqrt[3]{x^3+m^3x^6} \\ f(x) & = (x^3+m^3x^6)^\frac{1}{3} \\ f^\prime (x) & = \frac{1}{3}.(x^3+m^3x^6)^{\frac{1}{3} - 1} . (3x^2 + 6m^3x^5) \\ f^\prime (x) & = \frac{1}{3}.(x^3+m^3x^6)^{-\frac{2}{3} } . (3x^2 + 6m^3x^5) \\ f^\prime (x) & = \frac{3x^2 + 6m^3x^5}{3(x^3+m^3x^6)^{\frac{2}{3} }} \end{align} $
Syarat fungsi $ f(x) $ turun yaitu $ f^\prime (x) < 0 $ .
*). Pada soal diketahui $ f(x) $ turun pada interval $ (-\infty , -1] $ atau bisa ditulis $ x \leq -1 $. Artinya $ x \leq -1 $ adalah penyelesaian dari $ f^\prime (x) < 0 $ sehingga terpenuhi $ f^\prime (-1) = 0 $.
*). Menentukan nilai $ m $ dengan $ f^\prime (-1) = 0 $ :
$\begin{align} f^\prime (x) & = \frac{3x^2 + 6m^3x^5}{3(x^3+m^3x^6)^{\frac{2}{3} }} \\ f^\prime (-1) & = 0 \\ \frac{3.(-1)^2 + 6m^3.(-1)^5}{3((-1)^3+m^3.(-1)^6)^{\frac{2}{3} }} & = 0 \\ \frac{3 + 6m^3.(-1) }{3(-1+m^3.1)^{\frac{2}{3} }} & = 0 \\ \frac{3 - 6m^3}{3(-1+m^3 )^{\frac{2}{3} }} & = 0 \\ 3 - 6m^3 & = 0 \times 3(-1+m^3 )^{\frac{2}{3} } \\ 3 - 6m^3 & = 0 \\ 6m^3 & = 3 \\ m^3 & = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \end{align} $
Sehingga nilai $ m^3 = \frac{1}{2} $
*). Menentukan nilai $ 8m^3 + 8 $ :
$\begin{align} 8m^3 + 8 & = 8. \frac{1}{2} + 8 = 4 + 8 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ 8m^3 + 8 = 12 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui $ m $ adalah sisa pembagian polinomial $ h(x)=x^3-x^2+2x+2 $ oleh $ x -1 $. Nilai $ k $ yang memenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{mx^3-kx+5}{kx^3+3x^2-7} - k \right) = 0 $ adalah ...
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sisa pembagian pada suku banyak :
Suku banyak $ f(x) $ dibagi $ x-a $ memiliki sisa $ = f(a) $
(substitusikan akar dari pembaginya).
*). Konsep limit menuju tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax^3 + bx^2 + cx + d}{px^3+qx^2 + rx + t} = \frac{a}{p} $
(ambil koefisien pangkat tertingginya).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ h(x)=x^3-x^2+2x+2 $ dibagi oleh $ x -1 $ bersisa $ m $ :
$\begin{align} \text{sisa} & = h(1) \\ m & = 1^3-1^2+2.1+2 \\ m & = 1 - 1 + 2 + 2 \\ m & = 4 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ k $ dengan $ m = 4 $ :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{mx^3-kx+5}{kx^3+3x^2-7} - k \right) & = 0 \\ \frac{m}{k} - k & = 0 \\ \frac{4}{k} - k & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali } k) \\ 4 - k^2 & = 0 \\ k^2 & = 4 \\ k & = \pm 2 \end{align} $
yang ada dioptionnya $ k = 2 $.
Jadi, nilai $ k = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas

Suatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah $ \frac{9}{4} $. Suku pertama dan rasio deret tersebut masing-masing $ a $ dan $ -\frac{1}{a} $ , dengan $ a > 0 $. Jika $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$ pada deret tersebut, maka $ 3U_6 - U_5 = ...$
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{27} \, $ C). $ -\frac{2}{27} \, $ D). $ \frac{1}{27} \, $ E). $ -\frac{1}{27} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ \, \, \, \, \, U_n = ar^{n-1} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio.
*). Jumlah deret geometri tak hingga :
$ s_\infty = \frac{a}{1-r} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ u_1 = a, \, r = -\frac{1}{a} $ , dan $ S_\infty = \frac{9}{4} $ :
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} S_\infty & = \frac{9}{4} \\ \frac{u_1}{1-r} & = \frac{9}{4} \\ \frac{a}{1-(-\frac{1}{a}) } & = \frac{9}{4} \\ \frac{a}{1+\frac{1}{a} } & = \frac{9}{4} \\ \frac{a}{ \frac{a + 1}{a} } & = \frac{9}{4} \\ a . \frac{a}{ a+ 1} & = \frac{9}{4} \\ \frac{a^2}{ a+ 1} & = \frac{9}{4} \\ 4a^2 & = 9a + 9 \\ 4a^2 - 9a - 9 & = 0 \\ (4a+3)(a-3) & = 0 \\ (4a+3) = 0 \vee (a-3) & = 0 \\ a = -\frac{3}{4} \vee a & = 3 \end{align} $
Karena $ a > 0 $ , maka $ a = 3 $ yang memenuhi.
sehingga $ r = -\frac{1}{a} = -\frac{1}{3} $
*). Menentukan nilai $ 3U_6 - U_5 $ :
$\begin{align} 3U_6 - U_5 & = 3ar^5 - ar^4 \\ & = ar^4 ( 3r - 1) \\ & = 3.(-\frac{1}{3})^4 \left( 3.(-\frac{1}{3}) - 1 \right) \\ & = 3. \frac{1}{81} . (-1-1) \\ & = \frac{1}{27} . (-2) = -\frac{2}{27} \end{align} $
Jadi, nilai $ 3U_6 - U_5 = -\frac{2}{27} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UM UGM 2018 Matematika IPA Kode 576

Nomor 1

Nomor 2

Nomor 3

Jika fungsi $ f $ , dengan $ f(x) = \sqrt[3]{x^3+m^3x^6} $ turun pada $ (-\infty , -1] $ , dengan $ 8m^3 + 8 = ... $
A). $ 16 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 0 $

Nomor 4

Pertidaksamaan $ {}^2 \log (x^2-x) \leq 1 $ mempunyai penyelesaian ...
A). $ x < 0 \, $ atau $ x > 1 $
B). $ -1 < x < 2; x \neq 1 ; x \neq 0 \, $
C). $ -1 \leq x < 0 \, $ atau $ 1 < x \leq 2 $
D). $ -1 \leq x \leq 0 \, $ atau $ 1 \leq x \leq 2 $
E). $ -1 < x < 0 \, $ atau $ 1 \leq x < 2 $

Nomor 5

Jika bilangan bulat $ p $ merupakan akar $ f(x) = 0 $ dengan $ f(x)=px^2-3x-p-3 $ , maka gradien garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik dengan absis $ x = p $ adalah ...
A). $ -5 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 5 \, $

Nomor 6

Jika $ x > y \geq 1 $ dan $ \log (x^2 + y^2 + 2xy) = 2 \log (x^2-y^2) $ , maka $ {}^x \log (1 + y) = ... $
A). $ \log 2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ -\frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 1 \, $

Nomor 7

Akar-akar persamaan kuadrat $ x^2+px+27=0 $ adalah $ x_1 $ dan $ x_2 $ yang semuanya positif dan $ x_2 > x_1 $. Jika $ x_1, x_2 $ dan $ 5x_1 $ berturut-turut suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga barisan aritmetika, maka suku kesepuluh adalah ...
A). $ 55 \, $ B). $ 57 \, $ C). $ 59 \, $ D). $ 61 \, $ E). $ 63 $

Nomor 8

Diberikan lingkaran pada bidang koordinat yang memotong sumbu X di $ (1,0) $ dan $ (3,0) $ . Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu Y, maka titik singgung yang mungkin adalah ...
A). $ (0,1) \, $ B). $ (0,2) \, $ C). $ (0,\sqrt{3}) $ D). $ (0,\sqrt{5}) \, $ E). $ (0,3) $

Nomor 9

Diketahui segitiga ABC dengan $ |BC|= 2\sqrt{3} $ dan $ \angle BAC = 60^\circ $. Jika $ |AC| + |AB| = 6 $ , maka $ \left| |AC| - |AB| \right| = ... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \frac{5}{2} $

Nomor 10

Diketahui proyeksi vektor $ \vec{v} $ pada vektor $ \vec{u} $ sama dengan proyeksi vektor $ \vec{w} $ pada vektor $ \vec{u} $ . Jika $ 2\vec{v}.\vec{u}= \sqrt{3}|\vec{v}||\vec{u}| $ dan $ 2\vec{w}.\vec{u}= |\vec{w}||\vec{u}| $, maka $ \frac{\vec{v}.\vec{w}}{|\vec{v}||\vec{w}|} = ... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ \frac{1}{2}\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{1}{2}\sqrt{5} \, $

Nomor 11

Diketahui $ P_1 $ adalah pencerminan titik $ (2,k) $ terhadap garis $ x = y $ . Jika luas segitiga $ POP_1 $ adalah 6, maka $ |k|=... $
A). $ 2\sqrt{2} \, $ B). $ 2\sqrt{3} \, $ C). $ \sqrt{10} \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 16 $

Nomor 12

Jika $ (p,q) $ merupakan titik puncak grafik fungsi $ f(x)=ax^2+2ax+a+1 $ , dengan $ f(a) = 19 $ , maka $ p + 2q + 3a = ... $
A). $ 7 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $

Nomor 13

Diberikan suku banyak $ p(x)= ax^3 + bx^2 + a $ dengan $ a \neq 0 $. Jika $ x^2+nx+1 $ merupakan faktor $ p(x) $ , maka $ n = ... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 3 $

Nomor 14

Suku banyak $ P(x) = ax^5+x^4+bx^3+x^2+cx+d $ berturut-turut bersisa $ 3 $ dan $ -7 $ ketika dibagi $ x+1 $ dan $ x-1 $. Sisa pembagian $ P(x) $ oleh $ x $ adalah ...
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $

Nomor 15

Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 10, dan jumlah suku-suku bernomor ganjil adalah 6. Suku ke-2 deret tersebut adalah ...
A). $ \frac{20}{3} \, $ B). $ \frac{20}{6} \, $ C). $ \frac{20}{9} \, $ D). $ \frac{20}{11} \, $ E). $ \frac{20}{13} \, $

Pembahasan Lingkaran UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Diberikan garis $ y = \frac{x}{3} $ dan $ y = 3x $. Persamaan lingkaran yang menyinggung dua garis tersebut, berpusat di $ (-a,-a) $ , $ a > 0 $ , dan berjari-jari $ \frac{6}{\sqrt{10}} $ adalah ...
A). $ x^2+y^2+6x+6y+\frac{72}{5} = 0 \, $
B). $ x^2+y^2+6x+6y+\frac{82}{5} = 0 \, $
C). $ x^2+y^2+8x+8y+\frac{72}{5} = 0 \, $
D). $ x^2+y^2+9x+9y+\frac{62}{5} = 0 \, $
E). $ x^2+y^2+9x+9y+\frac{82}{5} = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan lingkaran yang berpusat $ (a,b) $ dan berjari $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Jarak titik $ (a,b) $ ke garis $ px + qy + c = 0 $
Jarak $ = \left| \frac{p.a + q.b + c}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| $.
*). Jika lingkaran menyinggung garis maka :
Jari-jari = jarak titik pusat lingkaran ke garis.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaan garisnya :
$ y = 3x \rightarrow 3x - y = 0 $
$ y = \frac{x}{3} \rightarrow 3y = x \rightarrow x - 3y = 0 $
*). Karena titik pusat lingkaran $ (-a,-a) $ dan $ a > 0 $, maka lingkaran terletak di kuadran III.
-). Ilustrasi gambarnya :

*). Diketahui $ r = \frac{6}{\sqrt{10}} $. Disamping itu juga, karena lingkaran menyinggung garis $ 3x - y = 0 $ , maka besar jari-jarinya adalah jarak titik pusat lingkaran $ (-a,-a) $ ke garis $ 3x - y = 0 $.
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} r & = \text{ jarak pusat ke garis} \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \left| \frac{p.a + q.b + c}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \left| \frac{3.(-a) - (-a)}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} \right| \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \left| \frac{-3a + a}{\sqrt{10}} \right| \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \left| \frac{-2a}{\sqrt{10}} \right| \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \frac{2|a|}{\sqrt{10}} \\ |a| & = 3 \\ a & = \pm 3 \end{align} $
Karena $ a > 0 $ , maka $ a = 3 $ yang memenuhi.
Sehingga pusat lingkarannya : $ (-a,-a) = (-3,-3) $.
*). Menyusun persamaan lingkaran dengan pusat $ (a,b) = (-3,-3) $ dan $ r = \frac{6}{\sqrt{10}} $ :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-(-3))^2 + (y-(-3))^2 & = ( \frac{6}{\sqrt{10}})^2 \\ (x+3)^2 + (y+3)^2 & = \frac{36}{10} \\ x^2 + 6x + 9 + y^2 + 6y + 9 & = \frac{36}{10} \\ x^2 + y^2 + 6x + 6y + 18 - \frac{36}{10} & = 0 \\ x^2 + y^2 + 6x + 6y + \frac{144}{10} & = 0 \\ x^2 + y^2 + 6x + 6y + \frac{72}{5} & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaannya $ x^2 + y^2 + 6x + 6y + \frac{72}{5} = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Trigonometri UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Fungsi $ f(x) = -\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x + 1 $ , $ 0 \leq x \leq \pi $ , mencapai ekstrim pada saat $ x = x_1 $ dan $ x=x_2 $. Nilai $ x_1 + x_2 $ adalah ...
A). $ \frac{\pi}{3} \, $ B). $ \frac{2\pi}{3} \, $ C). $ \frac{7\pi}{6} \, $ D). $ \frac{4\pi}{3} \, $ E). $ \frac{5\pi}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan trigonometri :
Bentuk $ a\cos f(x) + b\sin f(x) = k \cos [f(x) - \theta ] $
dengan $ k = \sqrt{a^2 + b^2} $ dan $ \tan \theta = \frac{b}{a} $
*). Fungsi trigonometri $ f(x) = A \cos g(x) + c $ mencapai :
maksimum saat $ \cos g(x) = 1 $
minimum saat $ \cos g(x) = -1 $
dengan $ A > 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ f(x) = -\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x + 1 $
*). Bentuk $ -\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = k\cos (2x -\theta) $ :
dengan $ k = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 $
$ \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{-1} \rightarrow \tan \theta = -\sqrt{3} \rightarrow \theta = 120^\circ $
Sehingga kita peroleh :
$ -\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = 2\cos (2x - 120^\circ) $
Dan fungsinya menjadi :
$ f(x) = -\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x + 1 = 2\cos (2x - 120^\circ) + 1 $
*). Fungsi $ f(x) = 2\cos (2x - 120^\circ) + 1 $ akan mencapai :
-). maksimum saat : $ \cos (2x - 120^\circ) = 1 $
$\begin{align} \cos (2x - 120^\circ) & = 1 \\ \cos (2x - 120^\circ) & = \cos 0^\circ \\ (2x - 120^\circ) & = 0^\circ \\ 2x & = 120^\circ \\ x & = 60^\circ \end{align} $
-). minimum saat : $ \cos (2x - 120^\circ) = -1 $
$\begin{align} \cos (2x - 120^\circ) & = -1 \\ \cos (2x - 120^\circ) & = \cos 180^\circ \\ (2x - 120^\circ) & = 180^\circ \\ 2x & = 300^\circ \\ x & = 150^\circ \end{align} $
Kita peroleh : $ x_1 = 60^\circ $ dan $ x_2 = 150^\circ $
*). Menentukan nilai $ x_1 + x_2 $ :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = 60^\circ + 150^\circ = 210^\circ = \frac{7\pi}{6} \end{align} $
dengan $ \pi = 180^\circ $.
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = \frac{7\pi}{6} . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Diberikan vektor $ \vec{u} = (a,b,c) $ dan $ \vec{v} = (b, a, 3) $. Jika $ \vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}|^2 $ dan $ |\vec{u} - \vec{v}| = 5 $ , maka nilai $ c^3 + 2c + 2 $ yang mungkin adalah ...
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 14 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan terdapat vektor-vektor :
$ \vec{u} = (a, b, c) $ dan $ \vec{v} = (p, q, r) $
-). Perkalian dot :
$ \vec{u} . \vec{v} = a. p + b.q + c.r $
-). Panjang vektor $ \vec{u} $ disimbolkan $ |\vec{u}| $ :
$ |\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 } $
-). Pengurangan vektor :
$ \vec{u} - \vec{v} = ( a-p, b - q, c - r) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ \vec{u} = (a,b,c) $ dan $ \vec{v} = (b, a, 3) $
*). Persamaan pertama : $ \vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}|^2 $
$\begin{align} \vec{u} . \vec{v} & = |\vec{u}|^2 \\ a.b + b.a + c.3 & = (\sqrt{a^2 + b^2 + c^2})^2 \\ ab + ab + 3c & = a^2 + b^2 + c^2 \\ 2ab + 3c & = a^2 + b^2 + c^2 \\ a^2 - 2ab + b^2 & = 3c - c^2 \\ (a-b)^2 & = 3c - c^2 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Menentukan $ \vec{u} - \vec{v} $ :
$\begin{align} \vec{u} - \vec{v} & = (a-b, b-a, c-3) \end{align} $
*). Persamaan kedua :
$\begin{align} | \vec{u} - \vec{v} |^2 & = 5 \\ (\sqrt{(a-b)^2 + (b-a)^2 + (c-3)^2}) ^2 & = 5 \\ (a-b)^2 + (a-b)^2 + (c-3)^2 & = 5 \\ 2(a-b)^2 + (c-3)^2 & = 5 \\ 2(a-b)^2 + c^2 - 6c + 9 & = 5 \\ 2(a-b)^2 + c^2 - 6c + 4 & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusikan pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} 2(a-b)^2 + c^2 - 6c + 4 & = 0 \\ 2(3c - c^2) + c^2 - 6c + 4 & = 0 \\ 6c - 2c^2 + c^2 - 6c + 4 & = 0 \\ -c^2 + 4 & = 0 \\ c^2 & = 4 \\ c & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ c^3 + 2c + 2 $ dengan $ c = 2 $ dan $ c = -2 $ :
$\begin{align} c = 2 \rightarrow c^3 + 2c + 2 & = 2^3 + 2.2 + 2 \\ & = 14 \\ c = -2 \rightarrow c^3 + 2c + 2 & = (-2)^3 + 2.(-2) + 2 \\ & = -10 \end{align} $
yang ada di optionnya adalah $ c^3 + 2c + 2 = 14 $.
Jadi, nilai $ c^3 + 2c + 2 = 14 . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Invers dari matriks A adalah $ \left( \begin{matrix} \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \\ \frac{-1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \end{matrix} \right) $ . Jika $ B = 2A $ , maka matriks B adalah ...
A). $ \left( \begin{matrix} a-b & a- b \\ a+b & a + b \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} a-b & -a+ b \\ a+b & a + b \end{matrix} \right) \, $
C). $ \left( \begin{matrix} a-b & -a+ b \\ -a-b & a + b \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} -a+b & a- b \\ a+b & a + b \end{matrix} \right) \, $
E). $ \left( \begin{matrix} a+b & a- b \\ a+b & -a + b \end{matrix} \right) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Invers matriks A simbolnya $ A^{-1} $
*). Sifat invers : $ (A^{-1})^{-1} = A $
(Untuk menghilangkan invers cukup diinverskan matriks tersebut).
*). Invers matriks :
Misalkan ada matriks $ B = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
Invers matriks B yaitu $ B^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left( \begin{matrix} d & - b \\ -c & a \end{matrix} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui Invers dari matriks A adalah $ \left( \begin{matrix} \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \\ \frac{-1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \end{matrix} \right) $, artinya $ A^{-1} = \left( \begin{matrix} \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \\ \frac{-1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \end{matrix} \right) $.
*). Inverskan matriks $ A^{-1} $ untuk menentukan matriks A :
$\begin{align} A^{-1} & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \\ \frac{-1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \end{matrix} \right) \\ (A^{-1})^{-1} & = \frac{1}{\frac{1}{a-b}.\frac{1}{a+b} - \frac{-1}{a-b}.\frac{1}{a+b}} \left( \begin{matrix} \frac{1}{a+b} & \frac{-1}{a+b} \\ \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a-b} \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{1}{\frac{2}{a-b}.\frac{1}{a+b}} \left( \begin{matrix} \frac{1}{a+b} & \frac{-1}{a+b} \\ \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a-b} \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{(a-b)(a+b)}{2} \left( \begin{matrix} \frac{1}{a+b} & \frac{-1}{a+b} \\ \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a-b} \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{1}{2} \left( \begin{matrix} \frac{(a-b)(a+b)}{a+b} & \frac{-(a-b)(a+b)}{a+b} \\ \frac{(a-b)(a+b)}{a-b} & \frac{(a-b)(a+b)}{a-b} \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{1}{2} \left( \begin{matrix} a-b & -(a-b) \\ a+b & a+b \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{1}{2} \left( \begin{matrix} a-b & -a+b \\ a+b & a+b \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan matriks B dengan $ B = 2A $ :
$\begin{align} B & = 2A \\ B & = 2.\frac{1}{2} \left( \begin{matrix} a-b & -a+b \\ a+b & a+b \end{matrix} \right) \\ B & = \left( \begin{matrix} a-b & -a+b \\ a+b & a+b \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, matriks $ B = \left( \begin{matrix} a-b & -a+b \\ a+b & a+b \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Segitiga UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Diberikan ABC segitiga sama kaki dengan $ AB = AC $ dan $ \angle BAC = \alpha $. Misalkan titik D pada sisi BC sehingga AD garis tinggi. Jika $ BC = 2 $ , dan $ AD = 1 $ , maka $ \sin \angle BAC = ... $
A). $ \frac{1}{\sqrt{2}} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{2}{\sqrt{2}} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Pada segitiga ABC siku-siku di A berlaku teorema Pythagoras.
$ BC^2 = AB^2 + AC^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :

Panjang $ BC = 2 $
Segitiga ABD, panjang AB :
$ AB = \sqrt{BD^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $
Sehingga panjang $ AB = AC = \sqrt{2} $
*). Kita cek apakah segitiga ABC siku-siku di A :
$\begin{align} BC^2 & = AB^2 + AC^2 \\ 2^2 & = (\sqrt{2} )^2 + (\sqrt{2} )^2 \\ 4 & = 2 + 2 \\ 4 & = 4 \, \, \, \, \text{(sama)} \end{align} $
*). Karena terpenuhi teorema pythagoras, maka segitiga ABC siku-siku di A sehingga $ \angle BAC = 90^\circ $ . Dari nilai $ \cos \angle BAC = 0 $ , maka besar $ \angle BAC = 90^\circ $
Sehingga nilai $ \sin BAC = \sin 90^\circ = 1 $
Jadi, nilai $ \sin \angle BAC = 1 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Segitiga UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Aturan Kosinus pada segitiga ABC yaitu :
$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2.AB.AC . \cos \angle BAC $ atau
$ \cos \angle BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2.AB.AC} $
*). Besar sudut :
$ \cos x = 0 \rightarrow x = 90^\circ $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :

Panjang $ BC = 2 $ sehingga $ BD = DC = 1 $.
Segitiga ABD, panjang AB :
$ AB = \sqrt{BD^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $
Sehingga panjang $ AB = AC = \sqrt{2} $
*). Aturan Kosinus pada segitiga ABC :
$\begin{align} \cos \angle BAC & = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2.AB.AC} \\ & = \frac{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2^2}{2.\sqrt{2}.\sqrt{2}} \\ & = \frac{2 + 2 - 4}{2.2} \\ & = \frac{0}{4} \\ \cos \angle BAC & = 0 \end{align} $
Dari nilai $ \cos \angle BAC = 0 $ , maka besar $ \angle BAC = 90^\circ $
Sehingga nilai $ \sin BAC = \sin 90^\circ = 1 $
Jadi, nilai $ \sin \angle BAC = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Segitiga UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus perbandingan dasar trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} \, $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $
*). Sudut rangkap :
$ \sin 2x = 2\sin x \cos x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :

Panjang $ BC = 2 $ sehingga $ BD = DC = 1 $.
Segitiga ABD, panjang AB :
$ AB = \sqrt{BD^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $
Sehingga panjang $ AB = AC = \sqrt{2} $
*). Misalkan $ \angle BAD = x $ sehingga $ \angle CAD = x $
artinya $ \angle BAC = x + x = 2x $
*). Perhatikan gambar segitiga ABD siku-siku di D :
$\begin{align} \sin x & = \frac{BD}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos x & = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sin \angle BAC $ :
$\begin{align} \sin \angle BAC & = \sin 2x \\ & = 2\sin x \cos x \\ & = 2. \frac{1}{\sqrt{2}} . \frac{1}{\sqrt{2}} \\ & = 2. \frac{1}{2} = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \angle BAC = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ m $ adalah bilangan real sedemikian sehingga sistem persamaan $ \left\{ \begin{array}{c} 5x - 7y = mx \\ 2x - 3y = my \end{array} \right. $ mempunyai solusi $ (x,y) $ yang tidak keduanya nol, maka $ m^2 - 2m = ... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} ax + by = 0 \\ px + qy = 0 \end{array} \right. $
mempunyai penyelesaian tidak hanya $ (0,0) $ jika $ \frac{a}{p} = \frac{b}{q} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ \left\{ \begin{array}{c} 5x - 7y = mx \\ 2x - 3y = my \end{array} \right. $
*). Mengubah sistem persamaannya :
$\begin{align} 5x - 7y & = mx \rightarrow 5x - mx - 7y = 0 \rightarrow (5-m)x - 7y = 0 \\ 2x - 3y & = my \rightarrow 2x - 3y - my = 0 \rightarrow 2x - (3+m)y = 0 \end{align} $
Sehingga sistem persamaannya menjadi :
$ \left\{ \begin{array}{c} (5-m)x - 7y = 0 \\ 2x - (3+m)y = 0 \end{array} \right. $
*). Menentukan nilai $ m $ dengan syarat solusinya tidak hanya $ (0,0) $ :
$\begin{align} \frac{5-m}{2} & = \frac{-7}{-(3+m)} \\ \frac{5-m}{2} & = \frac{7}{3+m} \\ (5-m)(3+m) & = 2.7 \\ 15 + 5m - 3m - m^2 & = 14 \\ 1 + 2m - m^2 & = 0 \\ m^2 - 2m & = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ m^2 - 2m = 1 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $|x-5|^2-3|x-5| + 2 < 0 $ adalah ...
A). $ (3,4) \cup [6,7) \, $ B). $ (3,4) \cup (6,7) \, $
C). $ (1,2) \cup (3,4] \, $ D). $ (-\infty , 1) \cup [6, \infty ) \, $
E). $ (-\infty , 2) \cup ( 3, 7) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.
*). Penulisan interval :
$ (a,b) \, $ artinya $ a < x < b $
$ (a,b] \, $ artinya $ a < x \leq b $
$ [a,b) \, $ artinya $ a \leq x < b $
$ [a,b] \, $ artinya $ a \leq x \leq b $
*). Nilai bentuk mutlak selalu positif.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow |x-5|^2-3|x-5| + 2 & < 0 \\ |0-5|^2-3|0-5| + 2 & < 0 \\ 25 - 15 + 2 & < 0 \\ 12 & < 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=0$ SALAH, opsi yang benar A, B, dan C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=6 \Rightarrow |x-5|^2-3|x-5| + 2 & < 0 \\ |6-5|^2-3|6-5| + 2 & < 0 \\ 1 - 3 + 2 & < 0 \\ 0 & < 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=6$ SALAH, opsi yang benar B dan C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=6,5 \Rightarrow |x-5|^2-3|x-5| + 2 & < 0 \\ |6,5-5|^2-3|6,5-5| + 2 & < 0 \\ 2,25 - 4,5 + 2 & < 0 \\ -0,25 & < 0 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=6,5 $ BENAR, opsi yang benar B.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi B (yang tersisia).
Jadi, solusinya adalah $ (3,4) \cup (6,7) . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Bentuk mutlak :
$ |A| = B \rightarrow A = B \, \text{ dan } \, A = -B $
*). Penulisan interval :
$ (a,b) \, $ artinya $ a < x < b $
$ (a,b] \, $ artinya $ a < x \leq b $
$ [a,b) \, $ artinya $ a \leq x < b $
$ [a,b] \, $ artinya $ a \leq x \leq b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Pertidaksamaan dengan memisalkan $ | x - 5 | = p $ :
$\begin{align} |x-5|^2-3|x-5| + 2 & < 0 \\ p^2-3p + 2 & < 0 \\ (p-1)(p-2) & < 0 \\ p = 1 \vee p & = 2 \end{align} $
$ p = 1 \rightarrow |x-5| = 1 \rightarrow x = 6 \vee x = 4 $
$ p = 2 \rightarrow |x-5| = 2 \rightarrow x = 7 \vee x = 3 $
Garis bilangannya :

Sehingga solusinya :
$ HP = \{ 3 < x < 4 \} \text{ atau } \{ 4 < x < 7 \} $
atau bisa kita tulis :
$ HP = (3,4) \cup (6,7) $
Jadi, solusinya adalah $ (3,4) \cup (6,7) . \, \heartsuit $

Pembahasan Akar-akar Persamaan UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Salah satu akar dari persamaan $ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $ adalah $ 0 $ sedangkan dua akar lainnya saling berlawanan tanda. Jika $ a + b + c = - 4 $, maka akar terbesar yang mungkin adalah ...
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 8 $ D). $ 16 \, $ E). $ 32 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Suku banyak $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1, x_2, x_ 3 $
Operasi penjumlahan akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a} $
*). Pemfaktoran : $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $
*). Untuk menentukan akar-akar persamaan bisa dengan pemfaktoran.
*). Akar-akar persamaan boleh kita substitusikan ke persamaannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $, misalkan akar-akarnya $ x_1, x_2, $ dan $ x_3 $. Salah satu akarnya 0 dan dua akar yang lainnya berlawanan, kita misalkan : $ x_1 = 0 $, $ x_2 = k $ , dan $ x_3 = -k $. ($x_2 $ dan $ x_3$ saling berlawanan).
*). Substitusi $ x_1 = 0 $ ke persamaan $ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $ :
$\begin{align} x = 0 \rightarrow x^3 + ax^2 + bx + c & = 0 \\ 0^3 + a.0^2 + b.0 + c & = 0 \\ c & = 0 \end{align} $
*). Operasi penjumlahan akar persamaan $ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $ :
$\begin{align} x_1 + x_2 + x_3 & = \frac{-b}{a} \\ 0 + k + (-k) & = \frac{-a}{1} \\ 0 & = -a \\ a & = 0 \end{align} $
Kita peroleh : $ a = 0 $ dan $ c = 0 $
*). Menentukan nilai $ b $ dari $ a + b + c = - 4 $ :
$\begin{align} a + b + c & = - 4 \\ 0 + b + 0 & = - 4 \\ b & = -4 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ a = 0, b = -4 , c = 0 $ ke persamaan dan faktorkan :
$\begin{align} x^3 + ax^2 + bx + c & = 0 \\ x^3 + 0.x^2 + (-4).x + 0 & = 0 \\ x^3 -4x & = 0 \\ x(x^2 -4) & = 0 \\ x(x+2)(x-2) & = 0 \\ x = 0 \vee (x+2)= 0 \vee (x-2) & = 0 \\ x = 0 \vee x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $
Sehingga akar-akar persamaannya adalah $ 0, -2 $ , dan $ 2 $. Artinya nilai terbesarnya adalah $ 2 $
Jadi, akar terbesarnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

$ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) \tan x = ... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Limit fungsi trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{af(x)}{\tan bf(x)} = \frac{a}{b} \, $
dengan syarat $ f(k) = 0 $
*). Hubungan kuadran :
$ \tan x = \cot ( \frac{\pi}{2} - x) $
*). Rumus dasar : $ \cot A = \frac{1}{\tan A} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) \tan x \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) . \cot (\frac{\pi}{2} - x) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) . \frac{1}{\tan (\frac{\pi}{2} - x) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} 2(\frac{\pi}{2} - x) . \frac{1}{\tan (\frac{\pi}{2} - x) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2(\frac{\pi}{2} - x)}{\tan (\frac{\pi}{2} - x) } \\ & = \frac{2}{1} = 2 \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Turunan UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Diberikan segitiga sama kaki dengan panjang alasnya 10 cm dan tingginya 6 cm. Di dalam segitiga ini dibuat persegi panjang dengan salah satu sisinya terletak pada alas segitiga tersebut. Luas maksimum persegi panjang tersebut adalah ... cm$^2$
A). $ 10 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 20 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus luas maksimum persegi panjang yang bisa dibuat di dalam segitiga dengan salah satu sisinya terletak pada alas segitiga tersebut yaitu :
Luas maksimum $ = \frac{1}{2} \times $ luas segitiga.
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times $ alas $ \times $ tinggi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada segitiga diketaui panjang alas $ = 10 $ dan tinggi $ = 6 $.
*). Menentukan luas maksimum persegi panjang :
$\begin{align} \text{Luas maksimum } & = \frac{1}{2} \times \text{ Luas segitiga} \\ & = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} . a . t \right) \\ & = \frac{1}{4} \times 10 \times 6 \\ & = \frac{60}{4} = 15 \end{align} $
Jadi, luas maksimumnya adalah $ 15 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum/minimum saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ (turunan pertama = 0).
*). Rumus turunan fungsi :
$ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Luas persegi panjang :
Luas = panjang $ \times $ lebar.
*). Konsep kesebangunan :
Dua bangun datar sebangun memiliki perbandingan sisi yang sama untuk sisi-sisi yang bersesuaian.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :

*). Perhatikan gambar di atas :
-). Misalkan ukuran persegi panjangnya :
panjang $ = 2x $ dan lebar $ = y $
alas segitiga $ = 10 $ , $ BC = 5 $, $ AB = 6 $
$ IF = 2x \rightarrow FB = DE = x $
$ AD = AB - BD = 6 - y $
*). Menentukan hubungan $ x $ dan $ y $ dimana $\Delta ADE $ sebangun dengan $ \Delta ABC $ :
$\begin{align} \frac{AD}{AB} & = \frac{DE}{BC} \\ \frac{6-y}{6} & = \frac{x}{5} \\ 30 - 5y & = 6x \\ 5y & = 30 - 6x \\ y & = \frac{1}{5}(30 - 6x) \end{align} $
*). Menyusun fungsi luas persegi panjangnya :
$\begin{align} L & = p \times l \\ & = 2x.y \\ & = 2x.\frac{1}{5}(30 - 6x) \\ L & = \frac{2}{5}(30x - 6x^2) \\ L^\prime & = \frac{2}{5}(30 - 12x) \\ \text{syarat : } L^\prime & = 0 \\ \frac{2}{5}(30 - 12x) & = 0 \\ x & = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} \end{align} $
Artinya luas maksimum pada saat $ x = \frac{5}{2} $
*). Menentukan Luas persegi panjang maksimum dengan $ x = \frac{5}{2} $ :
$\begin{align} L & = 2x.\frac{1}{5}(30 - 6x) \\ & = 2. \frac{5}{2}.\frac{1}{5}(30 - 6.\frac{5}{2}) \\ & = 1.(30 - 15) = 15 \end{align} $
Jadi, luas maksimumnya adalah $ 15 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Logaritma UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ \alpha $ dan $ \beta $ adalah akar-akar persamaan $ {}^x \log 3 - {}^x \log \left( 2x - 4 + \frac{4}{x} \right) = 1 $ , maka $ \alpha + \beta = ... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Mengubah bilangan menjadi bentuk logaritma :
$ n = {}^a \log a^n $
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ \alpha $ dan $ \beta $
Operasi akar-akar : $ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaannya :
$\begin{align} {}^x \log 3 - {}^x \log \left( 2x - 4 + \frac{4}{x} \right) & = 1 \\ {}^x \log \frac{ 3 }{ 2x - 4 + \frac{4}{x} } & = {}^x \log x \\ \frac{ 3 }{ 2x - 4 + \frac{4}{x} } & = x \\ \frac{ 3 }{ 2x - 4 + \frac{4}{x} } & = \frac{x}{1} \\ \left( 2x - 4 + \frac{4}{x} \right) . x & = 3 \\ 2x^2 - 4x + 4 & = 3 \\ 2x^2 - 4x + 1 & = 0 \\ a = 2 , b = -4 , c & = 1 \\ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} = \frac{-(-4)}{2} & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ \alpha + \beta = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ 2 \, {}^4 \log x - {}^4 \log (4x+3) = -1 $ , maka $ {}^2 \log x = ... $
A). $ {}^2 \log 3 - 1 \, $ B). $ {}^2 \log + 3 \, $
C). $ 1 - {}^2 \log 3 \, $ D). $ -1 - {}^2 \log 3 \, $
E). $ {}^2 \log 3 + {}^3 \log 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :
$ n. {}^a \log b = {}^a \log b^n $
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Mengubah bilangan menjadi bentuk logaritma :
$ n = {}^a \log a^n $
*). Bentuk $ {}^a \log b $ memiliki syarat :
$ a > 0, a \neq 1, $ dan $ b > 0 $
*). Pangkat negatif : $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ 2 \, {}^4 \log x - {}^4 \log (4x+3) = -1 $
Syaratnya adalah $ x > 0 $ .
*). Menentukan nilai $ x $ :
$\begin{align} 2 \, {}^4 \log x - {}^4 \log (4x+3) & = -1 \\ {}^4 \log x^2 - {}^4 \log (4x+3) & = {}^4 \log 4^{-1} \\ {}^4 \log \frac{x^2 }{4x+3} & = {}^4 \log \frac{1}{4} \\ \frac{x^2 }{4x+3} & = \frac{1}{4} \\ 4x^2 & = 4x + 3 \\ 4x^2 - 4x - 3 & = 0 \\ (2x+1)(2x-3) & = 0 \\ (2x+1) = 0 \vee (2x-3) & = 0 \\ x = -\frac{1}{2} \vee x & = \frac{3}{2} \end{align} $
Karena $ x > 0 $ , maka $ x = \frac{3}{2} $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ {}^2 \log x $ :
$\begin{align} {}^2 \log x & = {}^2 \log \frac{3}{2} \\ & = {}^2 \log 3 - {}^2 \log 2 \\ & = {}^2 \log 3 - 1 \end{align} $
Jadi, bentuk $ {}^2 \log x = {}^2 \log 3 - 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Akar-akar persamaan $ x^3 - 7x^2 + px + q = 0 $ membentuk deret geometri dengan rasio 2. Nilai $ p + q $ adalah ...
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 14 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Suku banyak $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1, x_2, x_3 $.
Operasi penjumlahan : $ x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a} $
*). Akar-akar persamaan bisa kita substitusikan ke persamaannya.
*). Barisan geometri memiliki perbandingan sama.
Rumus suku ke-$n$ : $ u_n = ar^{n-1} $
Contoh barisan geometrinya :
$ a, ar, ar^2, ..... $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ x^3 - 7x^2 + px + q = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1, x_2 , x_3 $. Karena membentuk barisan geometri dengan rasio $ 2 $, maka bisa kita misalkan : $ x_1 = k , x_2= 2k , x_3 = 4k $ .
atau dengan rumus barisan geometri dengan $ a = k $ dan $ r = 2 $.
$ x_1 = a = k $
$ x_2 = ar = k.2 = 2k $
$ x_3 = ar^2 = k.2^2 = 4k $
*). Menentukan nilai $ k $ dengan operasi akar-akar :
Suku banyaknya : $ x^3 - 7x^2 + px + q = 0 $
Nilai $ \rightarrow a = 1 , b = -7, c = p , d = q $
-). Operasi suku banyaknya :
$\begin{align} x_1 + x_2 + x_3 & = \frac{-b}{a} \\ k + 2k + 4k & = \frac{-(-7)}{1} \\ 7k & = 7 \\ k & = 1 \end{align} $
artinya kita peroleh $ x_1 = k = 1 $ (salah satu akarnya)
*). Substitusi $ x_1 = 1 $ ke suku banyaknya :
$\begin{align} x = 1 \rightarrow x^3 - 7x^2 + px + q & = 0 \\ 1^3 - 7.1^2 + p.1 + q & = 0 \\ 1 - 7 + p + q & = 0 \\ -6 + p + q & = 0 \\ p + q & = 6 \end{align} $
Jadi, nilai $ p + q = 6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Trigonometri UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Diberikan persamaan $ 2\sin ^3 x - \cos ^2x - 2\sin x = 0 $ , $ 0 \leq x \leq \frac{3\pi}{2} $ . Jika $ x_1 $ penyelesaian terkecil dan $ x_2 $ penyelesaian terbesar dari persamaan tersebut, maka $ x_2 - x_1 = ...$
A). $ \frac{\pi}{3} \, $ B). $ \frac{2\pi}{3} \, $ C). $ \pi \, $ D). $ \frac{4\pi}{3} \, $ E). $ \frac{5\pi}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
*). Pemfaktoran :
$ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $
*). Sifat distributif :
$ ab - b = b(a-1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan persamaan trigonometrinya :
$\begin{align} 2\sin ^3 x - \cos ^2x - 2\sin x & = 0 \\ 2\sin ^3 x - (1 - \sin ^2x) - 2\sin x & = 0 \\ 2\sin ^3 x - 1 + \sin ^2x - 2\sin x & = 0 \\ 2\sin ^3 x + \sin ^2x - 2\sin x - 1 & = 0 \\ (2\sin ^3 x + \sin ^2x) - (2\sin x + 1) & = 0 \\ \sin ^2x( 2\sin x + 1) - (2\sin x + 1) & = 0 \\ ( 2\sin x + 1) (\sin ^2x - 1) & = 0 \\ ( 2\sin x + 1) (\sin x + 1) (\sin x - 1) & = 0 \\ ( 2\sin x + 1) = 0 \vee (\sin x + 1) = 0 \vee (\sin x - 1) & = 0 \\ \sin x = -\frac{1}{2} \vee \sin x = -1 \vee \sin x & = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x $ pada interval $ 0 \leq x \leq \frac{3\pi}{2} $ :
$\begin{align} \sin x & = -\frac{1}{2} \rightarrow x = 210^\circ = \frac{7\pi}{6} \\ \sin x & = -1 \rightarrow x = 270^\circ = \frac{3\pi}{2} \\ \sin x & = 1 \rightarrow x = 90^\circ = \frac{\pi}{2} \\ \end{align} $
Sehingga $ x_1 = \frac{\pi}{2} \, $ (terkecil) dan $ x_2 = \frac{3\pi}{2} \, $ (terbesar).
Nilai $ x_2 - x_1 = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{2} = \pi $
Jadi, nilai $ x_2 - x_1 = \pi . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas

Misalkan A dan B adalah sudut-sudut lancip sehingga $ \sin A = \frac{1}{\sqrt{5}} $ dan $ \cos B = \frac{3}{\sqrt{10}} $ . Besar sudut $ (A + B) $ adalah ...
A). $ \frac{\pi}{6} \, $ B). $ \frac{\pi}{4} \, $ C). $ \frac{\pi}{3} \, $ D). $ \frac{\pi}{2} \, $ E). $ \pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $
$ \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
*). Untuk melengkapkan sisi-sisi segitiga siku-siku, kita gunakan teorema pythagoras.
*). Jika diketahui nilai trigonometri salah satu sudut, maka untuk mencari nilai trigonometri lainnya kita buatkan perbandingan dasar trigonometri pada segitiga siku-siku.
*). Perkalian bentuk akar : $ \sqrt{a} . \sqrt{b} = \sqrt{ab} $
$ \sin x = \frac{1}{2}\sqrt{2} \rightarrow x = 45^\circ = \frac{\pi}{4} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ \sin A = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{de}{mi} $ dan $ \cos B = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{sa}{mi} $
Berikut gambar segitiga siku-siku masing-masing sudutnya :

(gambar kedua sigitiga terpisah sesuai sudut masing-masing)
Dari gambar di atas kita peroleh :
$ \cos A = \frac{sa}{mi} = \frac{2}{\sqrt{5}} $ dan $ \sin B = \frac{de}{mi} = \frac{1}{\sqrt{10}} $
*). Menentukan besar sudut $ (A+B) $ dengan nilai sin :
$\begin{align} \sin (A + B) & = \sin A \cos B + \cos A \sin B \\ & = \frac{1}{\sqrt{5}} . \frac{3}{\sqrt{10}} + \frac{2}{\sqrt{5}} . \frac{1}{\sqrt{10}} \\ & = \frac{3}{\sqrt{50}} + \frac{2}{\sqrt{50}} \\ & = \frac{5}{\sqrt{50}} \\ & = \frac{5}{\sqrt{25.2}} \\ & = \frac{5}{5\sqrt{2}} \\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin (A + B) & = \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ (A + B) & = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \end{align} $
Jadi, besar sudut $ A + B = \frac{\pi}{4} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UM UGM 2018 Matematika IPA Kode 275

Nomor 1

Nomor 2

Nomor 3

Akar-akar persamaan $ x^3 - 7x^2 + px + q = 0 $ membentuk deret geometri dengan rasio 2. Nilai $ p + q $ adalah ...
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 14 $

Nomor 4

Nomor 5

Nomor 6

Nomor 7

$ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) \tan x = ... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ 0 $

Nomor 8

Nomor 9

Nomor 10

Nomor 11

Nomor 12

Nomor 13

Nomor 14

Nomor 15

Pages - Menu