Pembahasan Program Linear UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Sebuah buku dibeli dengan harga Rp1.000,00 dan dijual Rp1.100,00. Sebuah pena dibeli dengan harga Rp1.500,00 dan dijual Rp1.700,00. Seorang pedagang yang memiliki modal Rp300.000,00 dan tokonya dapat memuat paling banyak 250 buku dan pena akan memperoleh keuntungan maksimum sebesar .....
A). Rp30.000,00 B). Rp40.000,00
C). Rp50.000,00 D). Rp60.000,00
E). Rp70.000,00

$\spadesuit $ Konsep Dasar Program Linear :
*). Langkah-langkah menentukan nilai maksimum atau minimum :
1). Menentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP),
2). Menentukan titik pojok DHP nya,
3). Substitusikan semua titik pojok ke fungsi tujuan, lalu pilih nilai terkecil sebagai nilai minimum.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Permisalan :
$ x = \, $ menyatakan harga sebuah buku
$ y = \, $ menyatakan harga sebuah pena
*). Menentukan Daerah himpunan penyelesaian (DHP) :
Garis I : $ x + y \leq 250 \rightarrow (0,250) , \, (250,0) $
Garis II : $ 2x + 3y \leq 600 \rightarrow (0,200), \, (300,0) $
dan $ x \geq 0 , \, \, \, \, y \geq 0 $
Fungsi tujuan : $ f(x,y) = 100x + 200y $
 
*). Menentukan titik pojok B :
pers(i) : $ x + y = 250 \rightarrow x = 250 - y $
Substitusi (i) ke (ii) :
$ \begin{align} 2x + 3y & = 600 \\ 2(250 - y) + 3y & = 600 \\ 500 - 2y + 3y & = 600 \\ y & = 100 \end{align} $.
pers(i) : $ x = 250 - y = 250 - 100 = 150 $
Sehingga titik B(150, 100)
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan : $ f(x,y) = 100x + 200y $
$ \begin{align} A(250,0) \rightarrow f & = 100 \times 250 + 200 \times 0 = 25.000 \\ B(150,100) \rightarrow f & = 100 \times 150 + 200 \times 100 = 35.000 \\ C(0,200) \rightarrow f & = 100 \times 0 + 200 \times 200 = 40.000 \\ \end{align} $.
Jadi, nilai maksimumnya adalah Rp40.000 $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Pertidaksamaan Akar UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Jika himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan $ \sqrt{x^2-x+1} \leq \sqrt{x+1} $ adalah $ \{ x|x \text{ bilangan real }, a \leq x \leq b \} $ , maka $ a + b = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Syarat bentuk akar :
$ \sqrt{f(x)} \rightarrow f(x) \geq 0 $
*). Solusi total adalah irisan semua solusinya.
*). Untuk bentuk $ ax^2 + bx + c \geq 0 $ dengan $ a > 0 $ dan $ D < 0 $ , maka disebut definit positif yang terpenuhi untuk semua $ x $ bilangan real.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui pertidaksamaan $ \sqrt{x^2-x+1} \leq \sqrt{x+1} $
*). Menentukan Solusi syaratnya :
-). Syarat pertama : $ x^2-x+1 \geq 0 $
$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4.1.1 = 1 - 4 = -3 $
Bentuk $ x^2-x+1 $ tidak bisa difaktorkan karena nilai $ D < 0 $. Karena $ D < 0 $ dan $ a > 0 $ , maka bentuk $ x^2-x+1 $ adalah definit positif (selalu positif untuk semua $ x $), serta $ x^2-x+1 \geq 0 $ (positif lebih besar dari 0) adalah benar, maka untuk syarat pertamanya terpenuhi untuk semua $ x $ bilangan real.
-). Syarat kedua : $ x + 1 \geq 0 $
$ x + 1 \geq 0 \rightarrow x \geq -1 $
Sehingga HP1 = $ \{ x \geq -1 \} $
*). Menentukan solusi pokok dengan dikuadratkan :
$\begin{align} \sqrt{x^2-x+1} & \leq \sqrt{x+1} \\ (\sqrt{x^2-x+1})^2 & \leq (\sqrt{x+1})^2 \\ x^2 - x + 1 \geq x + 1 \\ x^2 - 2x \geq 0 \\ x(x-2) \geq 0 \\ x = 0 \vee x & = 2 \end{align} $
gambar garis bilangan
 
HP2 = $ \{ 0 \leq x \leq 2 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \\ & = \{ x \geq -1 \} \cap \{ 0 \leq x \leq 2 \} \\ & = \{ 0 \leq x \leq 2 \} \end{align} $
Solusi akhirnya $ \{ 0 \leq x \leq 2 \} $ sama dengan $ a \leq x \leq b $
ini artinya $ a = 0 $ dan $ b = 2 $
Sehingga $ a + b = 0 + 2 = 2 $
Jadi, nilai $ a + b = 2 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)