Pembahasan Barisan Matriks UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ (u_n ) $ adalah barisan aritmetika dengan suku pertama $ a $ dan beda $ b $, dengan $ b > 0 $. Jika $ a - b = 1 $ dan determinan matriks $ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right) $ adalah $ -2 $, maka $ a^2 + b^2 = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, u_n = a + (n-1)b $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ b = \, $ beda.
*). Dari rumus suku ke-$n$ , kita dapatkan penjabaran setiap suku :
$ u_1 = a $
$ u_2 = a + b $
$ u_3 = a + 2b $
$ u_4 = a + 3b $
*). Determinan matriks : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
Determinan matriks A yaitu : $ det(A) = ad - bc $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui persamaan :
$ a - b = 1 \rightarrow a = b + 1 \, $ ...(i)
dengan $ b > 0 $
*). Menyelesaikan determinan matriksnya dan gunakan pers(i) :
$\begin{align} det \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right) & = -2 \\ u_1. u_4 - u_2.u_3 & = -2 \\ a(a+3b) - (a+b)(a+2b) & = -2 \\ (b+1)(b+1+3b) - (b+1+b)(b+1+2b) & = -2 \\ (b+1)(4b+1) - (2b+1)(3b+1) & = -2 \\ (4b^2 + 5b + 1) - (6b^2 + 5b + 1) & = -2 \\ -2b^2 & = -2 \\ b^2 & = 1 \\ b & = \pm \sqrt{1} \\ b & = \pm 1 \end{align} $
Karena $ b > 0 $ , maka $ b = 1 $ yang memenuhi.
Sehingga pers(i): $ a = b + 1 = 1 + 1 = 2 $
*). Menentukan nilai $ a^2 + b^2 $
$\begin{align} a^2 + b^2 & = 1^2 + 2^2 \\ & = 1 + 4 \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2 + b^2 = 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Logaritma UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \left\{ \begin{array}{c} 2a+b = {}^2 \log 45 \\ a+2b = {}^2 \log 75 \end{array} \right. $ , maka $ a + b = .... $
A). $ {}^2 \log 3 \, $ B). $ {}^2 \log 5 \, $ C). $ {}^2 \log 9 \, $
D). $ {}^2 \log 15 \, $ E). $ {}^2 \log 25 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Jumlahkan kedua persamaan :
$ \begin{array}{cc} 2a+b = {}^2 \log 45 & \\ a+2b = {}^2 \log 75 & + \\ \hline 3a + 3b = {}^2 \log 45 + {}^2 \log 75 & \end{array} $
*). Kita ubah bentuk yang terakhir hasil penjumlahan di atas :
$\begin{align} 3a + 3b & = {}^2 \log 45 + {}^2 \log 75 \\ 3(a + b) & = {}^2 \log 45 \times 75 \\ 3(a + b) & = {}^2 \log (3.3.5) \times (5.5.3) \\ 3(a + b) & = {}^2 \log 15. 15. 15 \\ 3(a + b) & = {}^2 \log 15^3 \\ 3(a + b) & = 3 . {}^2 \log 15 \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ a + b & = {}^2 \log 15 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = {}^2 \log 15 . \, \heartsuit $

Pembahasan PK Logaritma UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ ({}^9 \log (x-1) )^2 - {}^9 \log (x-1)^2 = a $ mempunyai tepat satu penyelesaian, yaitu $ x = b $, maka $ a + b = .... $
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 27 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Syarat persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki tepat satu penyelesaian yaitu $ D = 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ {}^9 \log (x-1) = p $
*). Mengubah
$\begin{align} ({}^9 \log (x-1) )^2 - & {}^9 \log (x-1)^2 = a \\ ({}^9 \log (x-1) )^2 - 2. & {}^9 \log (x-1) = a \\ (p )^2 - 2p & = a \\ p^2 - 2p - a & = 0 \\ \text{Syarat : } D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (-2)^2 - 4.1.(-a) & = 0 \\ 4 + 4a & = 0 \\ 4a & = -4 \\ a & = -1 \end{align} $
*). Substitusikan $ a = -1 $ ke $ p^2 - 2p - a = 0 $
$\begin{align} p^2 - 2p - a & = 0 \\ p^2 - 2p - (-1) & = 0 \\ p^2 - 2p + 1 & = 0 \\ (p-1)(p-1) & = 0 \\ p = 1 \vee p & = 1 \end{align} $
*). Substitusikan $ p = 1 $ ke permisalannya
$\begin{align} {}^9 \log (x-1) & = p \\ {}^9 \log (x-1) & = 1 \\ x - 1 & = 9^1 \\ x - 1 & = 9 \\ x & = 10 \end{align} $
Nilai $ x = b $ sehingga $ b = 10 $
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} a + b & = (-1) + 10 = 9 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = 9 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Maksimum UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan bilangan positif $ m $ dan $ n $. Jika $ mx + ny = 1 $ , maka nilai maksimum $ xy $ adalah ....
A). $ \frac{1}{4mn} \, $ B). $ \frac{1}{2mn} \, $ C). $ \frac{1}{mn} \, $ D). $ \frac{2}{mn} \, $ E). $ \frac{4}{mn} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus Dasar Turunan :
1). $ y = k \rightarrow y^\prime = 0 $
2). $ y = kx \rightarrow y^\prime = k $
3). $ y = kx^n \rightarrow y^\prime = n.k.x^{n-1} $
*). Fungsi $ y = f(x) $ akan maksimum/minimum untuk $ x $ yang memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk $ mx + ny = 1 $
$\begin{align} mx + ny & = 1 \\ ny & = 1 - mx \\ y & = \frac{1-mx}{n} \\ y & = \frac{1}{n} - \frac{m}{n}x \end{align} $
*). Misalkan $ f = xy $ , substitusi $ y = \frac{1}{n} - \frac{m}{n}x $
$\begin{align} f & = xy \\ f & = x\left( \frac{1}{n} - \frac{m}{n}x \right) \\ f & = \frac{1}{n}x - \frac{m}{n}x^2 \\ f^\prime & = \frac{1}{n} - 2.\frac{m}{n}x \\ f^\prime & = 0 \, \, \, \text{(syarat maks)} \\ 0 & = \frac{1}{n} - 2.\frac{m}{n}x \, \, \, \, \text{(kali } n ) \\ 0 & = 1 - 2mx \\ 2mx & = 1 \\ x & = \frac{1}{2m} \end{align} $
Artinya $ f = xy $ maksimum pada saat $ x = \frac{1}{2m} $
*). Menentukan nilai $ y $ :
$\begin{align} y & = \frac{1}{n} - \frac{m}{n}x = \frac{1}{n} - \frac{m}{n}. \frac{1}{2m} \\ y & = \frac{2}{2n} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{2n} \end{align} $
*). Nilai maksimum dari $ xy $
$\begin{align} xy & = \frac{1}{2m} . \frac{1}{2n} = \frac{1}{4mn} \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ \frac{1}{4mn} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Turunan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ . Jika $ f(1)=f^\prime (1) = 2 $ , maka $ a + b = .... $
A). $ -9 \, $ B). $ -7 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus Dasar Turunan :
1). $ y = k \rightarrow y^\prime = 0 $
2). $ y = kx \rightarrow y^\prime = k $
3). $ y = kx^n \rightarrow y^\prime = n.k.x^{n-1} $
4). $ y = \sqrt{g(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} $
*). Bentuk akar :
$ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ dan $ f(1)=f^\prime (1) = 2 $
Artinya $ f(1) = 2 $ dan $ f^\prime (1) = 2 $
*). Substitusi bentuk $ f(1) = 2 $ :
$\begin{align} f(1) & = 2 \\ \sqrt{1^2-a.1+b} & = 2 \\ \sqrt{1 - a+b} & = 2 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 1 - a+b & = 4 \\ b & = a + 3 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Menentukan turunan dari $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ :
$\begin{align} f(x) & = \sqrt{x^2-ax+b} = \sqrt{g(x)} \\ f^\prime (x) & = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} \\ f^\prime (x) & = \frac{2x-a}{2\sqrt{x^2 - ax + b}} \end{align} $
*). Substitusi $ f^\prime (1) = 2 $ dan gunakan $ \sqrt{1 - a+b} = 2 $ :
$\begin{align} f^\prime (1) & = 2 \\ \frac{2.1-a}{2\sqrt{1^2 - a.1 + b}} & = 2 \\ \frac{2-a}{2\sqrt{1 - a + b}} & = 2 \\ \frac{2-a}{2.2} & = 2 \\ \frac{2-a}{4} & = 2 \\ 2 - a & = 8 \\ a & = -6 \end{align} $
Pers(i): $ b = a + 3 = -6 + 3 = -3 $
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} a + b & = (-6)+(-3) = -9 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = -9 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ . Jika $ f(1)=f^\prime (1) = 2 $ , maka $ a + b = .... $
A). $ -9 \, $ B). $ -7 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus Dasar Turunan :
1). $ y = k \rightarrow y^\prime = 0 $
2). $ y = kx \rightarrow y^\prime = k $
3). $ y = kx^n \rightarrow y^\prime = n.k.x^{n-1} $
4). $ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) $
*). Bentuk akar :
$ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ dan $ f(1)=f^\prime (1) = 2 $
Artinya $ f(1) = 2 $ dan $ f^\prime (1) = 2 $
*). Substitusi bentuk $ f(1) = 2 $ :
$\begin{align} f(1) & = 2 \\ \sqrt{1^2-a.1+b} & = 2 \\ \sqrt{1 - a+b} & = 2 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 1 - a+b & = 4 \\ b & = a + 3 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Menentukan turunan dari $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ :
$\begin{align} f(x) & = \sqrt{x^2-ax+b} = (x^2 - ax + b)^\frac{1}{2} \\ f^\prime (x) & = \frac{1}{2} . (x^2 - ax + b)^{\frac{1}{2} - 1} . (2x - a) \\ & = \frac{1}{2} . (x^2 - ax + b)^{-\frac{1}{2}} . (2x - a) \\ & = \frac{1}{2} . \frac{1}{(x^2 - ax + b)^\frac{1}{2}} . (2x - a) \\ f^\prime (x) & = \frac{2x-a}{2\sqrt{x^2 - ax + b}} \end{align} $
*). Substitusi $ f^\prime (1) = 2 $ dan gunakan $ \sqrt{1 - a+b} = 2 $ :
$\begin{align} f^\prime (1) & = 2 \\ \frac{2.1-a}{2\sqrt{1^2 - a.1 + b}} & = 2 \\ \frac{2-a}{2\sqrt{1 - a + b}} & = 2 \\ \frac{2-a}{2.2} & = 2 \\ \frac{2-a}{4} & = 2 \\ 2 - a & = 8 \\ a & = -6 \end{align} $
Pers(i): $ b = a + 3 = -6 + 3 = -3 $
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} a + b & = (-6)+(-3) = -9 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = -9 . \, \heartsuit $