Pembahasan Matriks Logaritma UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ \left( \begin{matrix} {}^3 \log y & {}^4 \log z \\ {}^x \log y & -2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ {}^{16} \log z & -2 \end{matrix} \right) \, $ adalah ....
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 81 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Kesamaan dua matriks : Unsur yang seletak nilainya sama
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow a^c = b $
*). Sifat logaritma :
$ {}^{{a}^m } \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui :
$ \left( \begin{matrix} {}^3 \log y & {}^4 \log z \\ {}^x \log y & -2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ {}^{16} \log z & -2 \end{matrix} \right) \, $
Dari persamaan di atas, Kita peroleh :
$\begin{align} {}^3 \log y & = 2 \rightarrow y = 3^2 = 9 \\ {}^4 \log z & = 1 \rightarrow z = 4^1 = 4 \\ {}^x \log y & = {}^{16} \log z \\ {}^x \log 9 & = {}^{16} \log 4 \\ {}^x \log 9 & = {}^{{4}^2} \log 4^1 \\ {}^x \log 9 & = \frac{1}{2} \times {}^{4} \log 4 \\ {}^x \log 9 & = \frac{1}{2} \\ x^\frac{1}{2} & = 9 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (x^\frac{1}{2})^2 & = 9^2 \\ x & = 81 \end{align} $
Jadi, nilai $ x = 81 . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks Garis UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika dua garis yang memenuhi persamaan matriks $ \left( \begin{matrix} a & 2 \\ 1 & b \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} 16 \\ -18 \end{matrix} \right) \, $ sejajar, maka nilai dari $ ab = .... $
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Dua garis sejajar memiliki gradien yang sama : $ m_1 = m_2 $
*). Gradien garis $ ax + by + c = 0 $ adalah $ m = \frac{-a}{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan kedua persamaan garis dengan mengalikan matriksnya :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} a & 2 \\ 1 & b \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 16 \\ -18 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} ax + 2y \\ x + by \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 16 \\ -18 \end{matrix} \right) \\ \text{garis I : } ax + 2y & = 16 \rightarrow m_1 = \frac{-a}{2} \\ \text{garis II : } x + by & = -18 \rightarrow m_2 = \frac{-1}{b} \end{align} $
*). Kedua garis sejajar, sehingga gradien sama :
$\begin{align} m_1 & = m_2 \\ \frac{-a}{2} & = \frac{-1}{b} \\ ab & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Menyusun Garis UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan garis yang melalui titik potong garis $ 6x-10y - 7 = 0 $ dan $ 3x + 4y - 8 = 0 $ dan tegak lurus dengan garis ke-2 adalah ....
A). $ 3y - 4x + 13 = 0 \, $
B). $ 3y - 4x + \frac{13}{2} = 0 \, $
C). $ 3y + 4x - 13 = 0 \, $
D). $ 3y + 4x - \frac{13}{2} = 0 \, $
E). $ 3y - 4x + 10 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis lurus (PGL) melalui titik $ (x_1,y_1) $ dan gradien $ m $ :
$ \, \, \, \, \, y - y_1 = m(x-x_1) $
*). Gradien garis $ ax + by + c = 0 $ adalah $ m = \frac{-a}{b} $
*). Syarat dua garis tegak lurus : $ m_1.m_2 = -1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} 6x - 1oy - 7 = 0 & \times 1 & 6x - 1oy - 7 = 0 & \\ 3x + 4y - 8 = 0 & \times 2 & 6x + 8y - 16 = 0 & - \\ \hline & & -18y + 9 = 0 & \\ & & y = \frac{1}{2} & \end{array} $
Pers(ii): $ 3x + 4y - 8 = 0 \rightarrow 3x + 4 \times \frac{1}{2} - 8 = 0 \rightarrow x = 2 $
Sehingga titiknya $ (x_1,y_1) = (2, \frac{1}{2}) $.
*). Gradien garis kedua :
$ 3x + 4y - 8 = 0 \rightarrow m_1 = \frac{-3}{4} $
*). Menentukan gradien garis yang mau kita cari persamaannya :
$ m_1.m = -1 \rightarrow \frac{-3}{4} . m = -1 \rightarrow m = \frac{4}{3} $.
*). PGL melalui titik $ (x_1,y_1) = (2, \frac{1}{2}) $ dan gradien $ m = \frac{4}{3} $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - \frac{1}{2} & = \frac{4}{3}(x - 2) \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3y - \frac{3}{2} & = 4(x - 2) \\ 3y - \frac{3}{2} & = 4x - 8 \\ 3y -4x - \frac{3}{2} + 8 & = 0 \\ 3y -4x + \frac{13}{2} & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya $ 3y -4x + \frac{13}{2} = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Garis UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Agar ketiga garis $ 3x + 2y + 4 = 0 $ , $ x - 3y + 5 = 0 $ dan $ 2x + (m+1)y - 1 = 0 $ berpotongan di satu titik maka nilai $ m $ haruslah .....
A). $ -3 \, $ B). $ 2\, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan titik potong beberapa garis, cukup menggunakan teknik eliminasi dan substitusi.
*). Tiga garis berpotongan di tiga titik, maka titik potong tersebut memenuhi ketiga persamaan garis.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} 3x+2y+4 = 0 & \times 1 & 3x + 2y + 4 = 0 & \\ x-3y+5 = 0 & \times 3 & 3x - 9y + 15 = 0 & - \\ \hline & & 11y - 11 = 0 & \\ & & y = 1 & \end{array} $
Pers(ii): $ x - 3y + 5 = 0 \rightarrow x - 3.1 + 5 = 0 \rightarrow x = -2 $
Sehingga solusinya $ (x,y) = (-2, 1) $.
*). Substitusi $ (x,y) = (-2, 1) $ ke pers(iii) :
$\begin{align} (x,y) = (-2, 1) \rightarrow 2x + (m+1)y - 1 & = 0 \\ 2. (-2) + (m+1).1 - 1 & = 0 \\ -4 + m+1 - 1 & = 0 \\ m & = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ m = 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linear UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Agar fungsi $ f(x,y) = ax + 4y $ dengan kendala $ x + y \geq 12 $ , $ x + 2y \geq 16 $ , $ x \geq 0 $ , $ y \geq 0 $ mencapai minimum hanya di titik $(8,4) $, maka nilai konstanta $ a $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 2 < a < 4 \, $
B). $ 4 < a < 6 \, $
C). $ 4 < a < 8 \, $
D). $ -4 < a < -2 \, $
E). $ -8 < a < -4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika nilai optimum (maksimum atau minimum) suatu fungsi objektif (tujuan) terletak hanya di titik perpotongan kedua kendala, maka gradien fungsi objektif ada diantara gradien kedua kendalanya. Bisa ditulis :
$ \, \, \, \, \, m_1 < m_{obj} < m_2 $.
Keterangan :
$ m_1 = \, $ gradien kendala 1,
$ m_2 = \, $ gradien kendala 2,
$ m_{obj} = \, $ gradien fungsi objektif.
*). Graadien dari bentuk $ ax + by $ adalah $ m = - \frac{a}{b} $.
*). Untuk lebih jelasnya tentang teori metode gradien ini, silahkan teman-teman baca pada artikel "program linear : Nilai optimum dengan metode gradien".
*). Sifat pertidaksamaan :
i). Kali negatif, tanda ketaksamaan dibalik.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan gradien :
$ \begin{align} f(x,y) & = ax + 4y \rightarrow m_{obj} = \frac{-a}{4} \\ x + y & \geq 12 \rightarrow m_1 = -1 \\ x + 2y & \geq 16 \rightarrow m_2 = -\frac{1}{2} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} m_1 < & \, m_{obj} < m_2 \\ -1 < & \, \frac{-a}{4} < -\frac{1}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kali -4, ketaksamaan dibalik)} \\ 4 > & \, a > 2 \end{align} $
atau dapat ditulis $ 2 < a < 4 $.
Jadi, interval $ a $ adalah $ 2 < a < 4 . \, \heartsuit $