Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Grafik fungsi kuadrat $ y = ax^2 + bx + c $ mempunyai puncak di $ (1,1) $ dan menyinggung garis $ y = x + 1 $. Nilai $ 8a - 4b = .... $
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Fungsi kuadrat (PK) : $ y = ax^2 + bx + c $
-). Titik puncaknya $ (x_p,y_p) $
dengan $ x_p = \frac{-b}{2a} $ dan $ y_p = \frac{D}{-4a} $
dimana $ D = b^2 - 4ac $.
*). Syarat garis dan parabola bersinggungan yaitu $ D = 0 $
*). Titik yang dilalui kurva boleh disubstitusikan ke persamaan kurvanya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ y = ax^2 + bx + c $ mempunyai puncak di $ (1,1) $
artinya $ x_p = 1 \rightarrow \frac{-b}{2a} = 1 \rightarrow b = -2a \, $ ....(i)
*). Substitusi titik $ (x-y) = (1,1) $ ke parabola :
$\begin{align} y & = ax^2 + bx + c \\ 1 & = a.1^2 + b.1 + c \\ 1 & = a + b + c \\ 1 & = a + (-2a) + c \\ 1 & = -a + c \\ c & = a + 1 \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). garis $ y = x + 1 $ menyinggung $ y = ax^2 + bx + c $ :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ ax^2 + bx + c & = x + 1 \\ ax^2 + bx - x + c - 1 & = 0 \\ ax^2 + (b-1)x + (c - 1) & = 0 \\ \text{Syarat : } D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (b-1)^2 - 4.a.(c-1) & = 0 \\ (-2a-1)^2 - 4.a.((a+1)-1) & = 0 \\ 4a^2 + 4a + 1 - 4.a.(a) & = 0 \\ 4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 & = 0 \\ 4a + 1 & = 0 \\ 4a & = -1 \\ a & = \frac{-1}{4} \end{align} $
Pers(i): $ b = -2a = -2. (\frac{-1}{4}) = \frac{1}{2} $
*). Menentukan nilai $ 8a - 4b $ :
$\begin{align} 8a - 4b & = 8(\frac{-1}{4}) - 4 . (\frac{1}{2}) \\ & = -2 - 2 \\ & = -4 \end{align} $
Jadi, nilai $ 8a - 4b = -4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Salah satu akar persamaan kuadrat $ x^2 - (3a-5)x+3 = 0 $ adalah tiga kali akar yang lainnya. Perkalian dari nilai-nilai $ a $ yang memenuhi persamaan tersebut adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan kuadrat (PK) : $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
-). Akar-akar bisa disubstitusikan ke persamaannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 - (3a-5)x+3 = 0 $ misalkan memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Salah satu akarnya tiga kali akar yang lainnya :
Misalkan $ x_1 = 3x_2 \, $ ....(i)
*). Operasi perkalian dan $ x_1 = 3x_2 $ :
$\begin{align} x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ 3x_2 . x_2 & = \frac{3}{1} \\ 3x_2^2 & = 3 \\ x_2^2 & = 1 \\ x_2 & = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \end{align} $
*). Substitusi $ x_2 = 1 $ dan $ x_2 = -1 $ ke PK $ x^2 - (3a-5)x+3 = 0 $ :
$\begin{align} x_2 = 1 \rightarrow & \\ 1^2 - (3a-5).1+3 & = 0 \\ 1 - 3a + 5 + 3 & = 0 \\ -3a & = -9 \\ a_1 & = 3 \\ x_2 = -1 \rightarrow & \\ (-1)^2 - (3a-5).(-1)+3 & = 0 \\ 1 + 3a - 5 + 3 & = 0 \\ 3a & = 1 \\ a_2 & = \frac{1}{3} \end{align} $
*). Menentukan pekalian semua nilai $ a $ :
$\begin{align} a_1.a_2 & = 3. \frac{1}{3} = 1 \end{align} $
Jadi, hasil kali semua nilai $ a $ adalah $ 1 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Logaritma UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Hasil penjumlahan semua nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ x^{4\log x} = \frac{x^{12}}{10^8} $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 11 \, $ C). $ 101 \, $ D). $ 110 \, $ E). $ 1100 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
*). Sifat logartima :
$ {}^a \log ( \frac{b}{c}) = {}^a \log b - {}^a \log c $
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
*). Untuk logaritma yang tidak ditulis basisnya berarti berbasis 10
contoh : $ \log b = {}^{10} \log b $
(ini sudah kesepakatan international)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = \log x = {}^{10} \log x $ :
*). Mengubah persamaannya dengan memberi log kedua ruas :
$\begin{align} x^{4\log x} & = \frac{x^{12}}{10^8} \\ \log \left( x^{4\log x} \right) & = \log \left( \frac{x^{12}}{10^8} \right) \\ 4\log x . \log x & = \log x^{12} - \log 10^8 \\ 4(\log x )^2 & = 12\log x - 8\log 10 \\ 4(\log x )^2 & = 12\log x - 8 \\ 4p^2 & = 12p - 8 \\ 4p^2 - 12p + 8 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ p^2 - 3p + 2 & = 0 \\ (p-1)(p-2) & = 0 \\ p = 1 & \vee p = 2 \\ {}^{10} \log x = 1 & \vee {}^{10} \log x = 2 \\ x = 10^1 & \vee x = 10^2 \\ x_1 = 10 & \vee x_2 = 100 \end{align} $
*). Menentukan Jumlah semua nilai $ x $ :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = 10 + 100 = 110 \end{align} $
Jadi, jumlah semua nilai $ x $ adalah $ 110 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Hasil penjumlahan semua nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ x^{4\log x} = \frac{x^{12}}{10^8} $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 11 \, $ C). $ 101 \, $ D). $ 110 \, $ E). $ 1100 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
atau dapat kita tulis $ a^c = b $ menjadi $ c = {}^a \log b $
*). Sifat logartima :
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a } $ (dibalik $ a $ dan $ b $ nya)
$ {}^a \log ( \frac{b}{c}) = {}^a \log b - {}^a \log c $
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
*). Untuk logaritma yang tidak ditulis basisnya berarti berbasis 10
contoh : $ \log b = {}^{10} \log b $
(ini sudah kesepakatan international)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = \log x = {}^{10} \log x $ :
Bentuk $ x^{4\log x} = \frac{x^{12}}{10^8} $ kita anggap $ a = x, c = 4\log x $ dan $ b = \frac{x^{12}}{10^8} $ sehingga bentuknya sama saja dengan $ a^c = b $, lalu kita gunakan definisi logaritma.
*). Mengubah persamaannya dengan defini logaritma :
$\begin{align} x^{4\log x} & = \frac{x^{12}}{10^8} \\ a^c & = b \\ c & = {}^a \log b \\ 4\log x & = {}^x \log \frac{x^{12}}{10^8} \\ 4\log x & = {}^x \log x^{12} - {}^x \log 10^8 \\ 4\log x & = 12 . {}^x \log x - 8. {}^x \log 10 \\ 4\log x & = 12 . 1 - 8. \frac{1}{{}^{10} \log x } \\ 4\log x & = 12 - \frac{8}{{}^{10} \log x } \\ 4p & = 12 - \frac{8}{p} \, \, \, \, \, (\text{ kali } p ) \\ 4p^2 & = 12p - 8 \\ 4p^2 - 12p + 8 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ p^2 - 3p + 2 & = 0 \\ (p-1)(p-2) & = 0 \\ p = 1 & \vee p = 2 \\ {}^{10} \log x = 1 & \vee {}^{10} \log x = 2 \\ x = 10^1 & \vee x = 10^2 \\ x_1 = 10 & \vee x_2 = 100 \end{align} $
*). Menentukan Jumlah semua nilai $ x $ :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = 10 + 100 = 110 \end{align} $
Jadi, jumlah semua nilai $ x $ adalah $ 110 . \, \heartsuit $

Pembahasan Ketaksamaan Eksponen UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang merupakan penyelesaian dari $ -2^{2x+1} + 4^x + 8^{x+\frac{1}{3}} - 8^{\frac{2x-1}{3}}- 16^{\frac{2x-1}{4}} > 0 $ adalah .....
A). $ -1 \leq x < 0 \, $ B). $ x > 0 \, $
C). $ x<0 atau="" x=""> 1 $
D). $ 0 \leq x < 1 \, $ E). $ x > 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^{m+n} = a^m.a^n $
$ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $
$ (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ 2^x = p > 0 $ (nilai $ p $ selalu positif) :
*). Mengubah ke dalam bentuk $ p $ :
$ 2^{2x+1} = 2^{2x}. 2^1 = (2^x)^2 . 2 = p^2 . 2 = 2p^2 $
$ 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = p^2 $
$ 8^{x+\frac{1}{3}} = (2^3)^{x+\frac{1}{3}} = 2^{3x+1} = 2^{3x}.2^1 = (2^x)^3.2 = p^3 . 2 = 2p^3 $
$ 8^{\frac{2x-1}{3}} = (2^3)^{\frac{2x-1}{3}} = 2^{2x-1} = \frac{2^{2x}}{2^1} = \frac{p^2}{2} $
$ 16^{\frac{2x-1}{4}} = (2^4)^{\frac{2x-1}{4}} = 2^{2x-1} = \frac{2^{2x}}{2^1} = \frac{p^2}{2} $
*). Menyelesaikan ketaksamaannya :
$\begin{align} -2^{2x+1} + 4^x + 8^{x+\frac{1}{3}} - 8^{\frac{2x-1}{3}}- 16^{\frac{2x-1}{4}} & > 0 \\ -2p^2 + p^2 + 2p^3 - \frac{p^2}{2} - \frac{p^2}{2} & > 0 \\ 2p^3- 2p^2 & > 0 \\ 2p^2(p-1) & > 0 \\ p = 0 \vee p & = 1 \end{align} $
karena $ p > 0 $ , yang memenuhi $ p = 1 $
$ p = 1 \rightarrow 2^x = 1 \rightarrow x = 0 $
gambar garis bilangan untuk nilai $ x = 0 $ :
 

Penyelesaiannya : $ x > 0 $
Jadi, solusinya adalah $ x > 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Geometri UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan barisan geometri tak konstan $ a, b, c , ... $ Jika $ abc = 27 $ dan $ 9a + b + c = 33 $ , maka $ 6a + 7b = .... $
A). $ 39 \, $ B). $ 30 \, $ C). $ 23 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Ciri-ciri barisan geometri :
Misalkan ada $ u_1, u_2, u_3, .... $ adalah barisan geometri,
Barisan geometri memiliki perbandingan suku berdekatan sama.
$ \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{u_4}{u_3}= .... $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Barisan geometri : $ a, b, c , ... $
Perbandingan sama yaitu :
$ \frac{b}{a} = \frac{c}{b} \rightarrow ac = b^2 \, $ .....(i)
*). Diketahui juga persamaan :
$ abc = 27 \, $ .....(ii)
$ 9a + b + c = 33 \, $ ......(iii)
*). Substitusi (i) ke (ii) :
$ abc = 27 \rightarrow ac.b = 27 \rightarrow b^2.b = 27 $
$ \rightarrow b^3 = 27 \rightarrow b = 3 $
pers (ii) :
$ abc = 27 \rightarrow a.3.c=27 \rightarrow ac = 9 $
pers(iii) :
$ 9a + b + c = 33 \rightarrow 9a + 3 + c = 33 $
$ \rightarrow c = 30 - 9a $
*). Substitusi $ c = 30 - 9a $ ke $ ac = 9 $ :
$\begin{align} ac & = 9 \\ a(30 - 9a) & = 9 \\ 30a - 9a^2 & = 9 \\ 9a^2 - 30a + 9 & = 0 \\ 3a^2 - 10a + 3 & = 0 \\ (3a-1)(a-3) & = 0 \\ a = \frac{1}{3} \vee a & = 3 \end{align} $
-). Sebelumnya kita telah memperoleh $ b = 3 $, sementara disoal haruslah $ a, b, c, ...$ tidak konstan (harus berbeda semuanya), artinya nilai $ a $ tidak boleh sama dengan 3 juga. Sehingga yang memenuhi $ a = \frac{1}{3} $.
*). Menentukan nilai $ 6a + 7b $ :
$\begin{align} 6a + 7b & = 6(\frac{1}{3} ) + 7. 3 \\ & = 2 + 21 \\ & = 23 \end{align} $
Jadi, nilai $ 6a + 7b = 23 . \, \heartsuit $