dunia informa

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 276 tahun 2009 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $f(x)=x^2+4x+1 $ dan $g^\prime (x) = \sqrt{10 - x^2 } $ dengan $g^\prime $ menyatakan turunan pertama fungsi $g$ . Nilai turunan pertama fungsi $g \circ f $ di $x=0 $ adalah ....

$\clubsuit \, $ Menentukan turunan $f(x)$
$f(x)=x^2+4x+1 \rightarrow f^\prime (x) = 2x+4$
$g^\prime (x) = \sqrt{10 - x^2 } \rightarrow g^\prime (x^2+4x+1) = \sqrt{10 - (x^2+4x+1)^2 }$
$\clubsuit \, $ Konsep dasar Turunan
$y=g\left[ f(x) \right] \rightarrow y^\prime = g^\prime \left[ f(x) \right] . f^\prime (x) $
$\clubsuit \, $ Menurunkan fungsinya dan substitusi $x=0$
$\begin{align*} \text{Misalkan} \, h(x) & = (g\circ f)(x) \\ h(x) & = g[f(x)] \\ h^\prime (x) & = g^\prime [f(x)] . f^\prime (x) \\ h^\prime (x) & = g^\prime [x^2+4x+1] . (2x+4) \\ h^\prime (x) & = \sqrt{10 - (x^2+4x+1)^2 } . (2x+4) \\ x=0 \rightarrow h^\prime (0) & = \sqrt{10 - (0^2+4.0+1)^2 } . (2.0+4) \\ h^\prime (0) & = \sqrt{9 } . (4) = 3 . 4 \\ h^\prime (0) & = 12 \end{align*}$
Jadi, nilai turunan $g \circ f $ di $x=0 $ adalah 12. $ \heartsuit $

Nomor 12

Diketahui fungsi $f(x) = b - a\cos \left( \frac{\pi x}{4} \right) $ , dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan real positif. Fungsi $f$ untuk $2 \leq x \leq 10 $ mencapai maksimum pada saat $ x = x_1 $ dan mencapai minimum pada saat $x=x_2 $ , maka nilai $x_1 + x_2 $ adalah ....

$\spadesuit \, $ Fungsi $f(x) = b - a\cos \left( \frac{\pi x}{4} \right) $
$\spadesuit \, $ Nilai maksimum $f$ adalah $f_\text{maksimum} \, = b + a $
yang tercapai pada saat $\cos \left( \frac{\pi x}{4} \right) = -1 $
$\begin{align*} \cos \left( \frac{\pi x}{4} \right) & = -1 \\ \cos \left( \frac{\pi x}{4} \right) & = \cos \pi \\ \frac{\pi x}{4} & = \pi \\ x & = 4 \\ x_1 & = 4 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Nilai minimum $f$ adalah $f_\text{minimum} \, = b - a $
yang tercapai pada saat $\cos \left( \frac{\pi x}{4} \right) = 1 $
$\begin{align*} \cos \left( \frac{\pi x}{4} \right) & = 1 \\ \cos \left( \frac{\pi x}{4} \right) & = \cos 2\pi \\ \frac{\pi x}{4} & = 2\pi \\ x & = 8 \\ x_2 & = 8 \end{align*}$
Sehingga $x_1 + x_2 = 4 + 8 = 12 $
Jadi, nilai $x_1 + x_2 = 12 . \heartsuit $

Nomor 13

Jika $5x+12y = 60 $ , maka nilai minimum $\sqrt{x^2+y^2} $ adalah ....

$\spadesuit \, $ Mengubah $x $ dalam $y $
$5x+12y = 60 \rightarrow x = \frac{60-12y}{5} \rightarrow x = 12-\frac{12}{5}y $
$\spadesuit \, $ Mengubah $\sqrt{x^2+y^2} $ dengan substitusi $x = 12-\frac{12}{5}y $
$\begin{align*} \sqrt{x^2+y^2} & = \sqrt{\left( 12-\frac{12}{5}y \right)^2+y^2} \\ f(y) & = \sqrt{144- \frac{288y}{5}+ \frac{169}{25}y^2} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Nilai minimum : $f^\prime (y) = 0 $
$\begin{align*} f^\prime (y) & = 0 \\ \frac{\frac{-288}{5} + \frac{2\times 169}{25}y }{2\sqrt{144- \frac{288y}{5}+ \frac{169}{25}y^2}} & = 0 \\ \frac{-288}{5} + \frac{2\times 169}{25}y & = 0 \\ y & = \frac{720}{169} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $y$ ke $f(y) $
$f_\text{min} \, = \sqrt{144- \frac{288.\frac{720}{169}}{5}+ \frac{169}{25}\left( \frac{720}{169} \right)^2} $
$f_\text{min} \, = \frac{60}{13} $
Jadi, nilai minimumnya adalah $ \frac{60}{13}. \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Jika diketahui $ax+by=c $ , maka nilai minimum dari
$ \sqrt{x^2+y^2} = \left| \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| $
$\spadesuit \, $ Persamaan : $5x+12y = 60 $ , nilai $ a = 5, b = 12, c = 60 $
Nilai minimum : $ \sqrt{x^2+y^2} = \left| \frac{60}{\sqrt{5^2+12^2}} \right| = \frac{60}{13} $
Jadi, nilai minimumnya adalah $ \frac{60}{13}. \heartsuit $

Nomor 14

Diketahui kubus ABCD.EFGH . Titik tengah sisi AB, BF, dan FG diberi simbol X, Y, dan Z. Besar sudut $\angle $XYZ adalah ....

$\spadesuit \, $ Gambar

$\spadesuit \, $ Misalkan panjang rusuk kubus 2 (panjang rusuknya bebas),
$\Delta$XYZ sama kaki, sehingga XY = YZ = $\sqrt{2}$
$\Delta$BFZ, $\begin{align*} BZ^2 & =BF^2+FZ^2 \\ & = 2^2 + 1^2 \\ BZ^2 & = 5 \end{align*}$
$\Delta$XBZ, $\begin{align*} XZ^2 & =XB^2+BZ^2 \\ & = 1^2 + 5 \\ XZ^2 & = 6 \\ XZ & = \sqrt{6} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Aturan cosinus pada $\Delta$XYZ
$\begin{align*} XZ^2 & = XY^2 + ZY^2 - 2.XY.ZY. \cos \theta \\ \cos \theta & = \frac{XY^2 + ZY^2 - XZ^2}{2.XY.ZY} \\ & = \frac{(\sqrt{2})^2 + \sqrt{2})^2 - \sqrt{6})^2}{2.\sqrt{2}.\sqrt{2}} \\ & = \frac{2+2-6}{2.2} = \frac{-2}{4} = \frac{-1}{2} \\ \cos \theta & = \frac{-1}{2} \rightarrow \theta = 120^\circ \end{align*}$
Jadi, besar sudut $\angle XYZ = 120^\circ . \heartsuit $

Nomor 15

Titik ($a,b$ ) adalah titik maksimum grafik fungsi $f(x)=\frac{1}{(x+1)^2+4} $ . Nilai $a+b $ adalah ....

$\clubsuit \, $ Agar $f(x)=\frac{1}{g(x)} $ maksimum, maka $g(x) $ (penyebutnya) harus minimum
$f(x)=\frac{1}{(x+1)^2+4} \rightarrow g(x) = (x+1)^2+4 \, \, $ dengan $\, \, g^\prime (x) = 2(x+1) $
$\clubsuit \, $ Nilai minimum $g(x) $, syarat : $g^\prime (x) = 0 $
$g^\prime (x) = 0 \rightarrow 2(x+1) = 0 \rightarrow x = -1 $
Artinya $g(x) $ minimum saat $x=-1$ , berarti $a=-1$
$\clubsuit \, $ Nilai maksimum $f$ saat $x=-1$
$f(x)=\frac{1}{(x+1)^2+4} \rightarrow f_\text{maks} \, = \frac{1}{(-1+1)^2+4} = \frac{1}{4} $
sehingga $b = \frac{1}{4} $
diperoleh titik maksimum : ($a,b$) = ($-1, \frac{1}{4}$ ) .
Nilai $a+b = -1 + \frac{1}{4} = \frac{-3}{4} $
Jadi, nilai $a+b = \frac{-3}{4} . \heartsuit $

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 276 tahun 2009 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Jika pada $\int \limits_{-1}^2 x^2\sqrt{x+1} dx $ disubstitusikan $ u = x +1 $ , maka menghasilkan ....

$\spadesuit \, $ Menentukan batas pada $u$ dengan $u=x+1$
$x=-1 \rightarrow u=x+1 = -1 + 1 =0 \, \, $ (batas bawah)
$x=2 \rightarrow u=x+1 = 2 + 1 =3 \, \, $ (batas atas)
$\spadesuit \, $ Menentukan $dx$ dengan turunan
$u=x+1 \rightarrow \frac{du}{dx}=1 \rightarrow dx=du $
$\spadesuit \, $ Substitusi $u=x+1 $ atau $x=u-1 $ dan $dx=du$ serta batasnya pada soal
$\int \limits_{-1}^2 x^2\sqrt{x+1} dx = \int \limits_{0}^3 (u-1)^2\sqrt{u}du $
Jadi, bentuk $\int \limits_{-1}^2 x^2\sqrt{x+1} dx = \int \limits_{0}^3 (u-1)^2\sqrt{u}du . \heartsuit $

Nomor 7

Jika nilai $\int \limits_{1}^2 f(x) dx = 6 $ , maka nilai $\int \limits_{0}^1 xf(x^2+1) dx $ adalah ....

$\clubsuit \, $ Substitusi $x=u $ ke $\int \limits_{1}^2 f(x) dx = 6 $
diperoleh : $\int \limits_{1}^2 f(u) du = 6 $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Substitusi $u=x^2+1 $ ke $\int \limits_{0}^1 xf(x^2+1) dx $
Menentukan batas dan $dx$ dengan $u=x^2+1 $
$x=0 \rightarrow u=x^2+1=0^2+1=1 \, \, \, $ (batas bawah)
$x=1 \rightarrow u=x^2+1=1^2+1=2 \, \, \, $ (batas atas)
$u=x^2+1 \rightarrow \frac{du}{dx}=2x \rightarrow dx=\frac{du}{2x} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal dengan substitusi
$\begin{align} \int \limits_{0}^1 xf(x^2+1) dx & = \int \limits_{1}^2 \not{x} . f(u).\frac{du}{2\not{x}} \\ & = \frac{1}{2}.\int \limits_{1}^2 f(u) du \, \, \, \text{dari pers(i)} \\ & = \frac{1}{2}.6 \\ & = 3 \end{align}$
Jadi, nilai $\int \limits_{0}^1 xf(x^2+1) dx = 3. \heartsuit$

Nomor 8

Koefisien $x^{49} $ pada hasil perkalian $(x-1)(x-2)(x-3)...(x-50) $ adalah ....

$\spadesuit \, $ Menentukan perkalian yang menghasilkan $x^{49} $ saja

$\spadesuit \, $ Koefisien $x^{49} $ membentuk deret aritmetika , $S_n=\frac{n}{2}(U_1+U_n)$
$\begin{align*} \text{Koefisien} \, x^{49} & = -1-2-3-4-...-49-50 \\ & = -(1+2+3+...+50) \\ & = -S_{50} \\ & = -\frac{50}{2}(1+50) \\ & = -1275 \end{align*}$
Jadi, koefisien $x^{49} $ adalah -1275. $ \heartsuit$

Nomor 9

Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan nilai $f(2)=f(4)=g^\prime (2) = g^\prime (4) = 2 $ dan $ g(2) = g(4)=f^\prime (2) = f^\prime (4)=4 $ dengan $f^\prime $ dan $g^\prime $ berturut-turut menyatakan turunan pertama fungsi $f$ dan $g$ .
Jika $h(x)=f(g(x)) $ , maka nilai $h^\prime (2) $ adalah ....

$\clubsuit \, $ Konsep dasar Turunan
$y=f\left[ g(x) \right] \rightarrow y^\prime = f^\prime \left[ g(x) \right] . g^\prime (x) $
$\clubsuit \, $ Menurunkan fungsinya dan substitusi $x=2 $
serta diketahui $g^\prime (2)=2, g(2)=4, f^\prime (4) = 4 $
$\begin{align*} h(x) & = f[g(x)] \\ h^\prime (x) & = f^\prime \left[ g(x) \right] . g^\prime (x) \\ x=2 \rightarrow h^\prime (2) & = f^\prime \left[ g(2) \right] . g^\prime (2) \\ h^\prime (2) & = f^\prime [4] . 2 \\ h^\prime (2) & = 4.2 \\ h^\prime (2) & = 8 \end{align*}$
Jadi, nilai $ h^\prime (2) = 8 . \heartsuit $

Nomor 10

Misalkan $U_n $ menyatakan suku ke-$n$ suatu barisan geometri. Jika diketahui $U_4 = 64 $ dan $ \log U_2 + \log U_3 + \log U_4 = 9 \log 2 $ , maka nilai $U_3 $ adalah ....

$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $U_n = ar^{n-1} $
$\spadesuit \, $ Sifat dan persamaan logaritma
$^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \Leftrightarrow f(x)=g(x) $
$ ^a \log b = n. {}^a \log b $ dan $^a \log (bc) = {}^a\log b + {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Meyederhanakan soal
$\begin{align*} \log U_2 + \log U_3 + \log U_4 & = 9 \log 2 \\ \log (U_2.U_3.U_4) & = \log 2^9 \\ U_2.U_3.U_4) & = 2^9 \\ ar.ar^2.ar^3 & = 2^9 \\ (ar^2)^3 & = 2^9 \\ ar^2 & = (2^9)^\frac{1}{3} = 2^3 \\ U_3 & = 8 \end{align*}$
Jadi, nilai $U_3 = 8. \heartsuit $

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 276 tahun 2009

Nomor 1

Diketahui bilangan $a$ dan $b$ dengan $ a \geq b $ . Kedua bilangan memenuhi $a^2 + b^2 = 40 $ dan $ a + b = 6 $ . Nilai $ab $ adalah ....

$\clubsuit \, $ Konsep dasar : $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab $
$\clubsuit \, $ menentukan nilai $ab$
$\begin{align*} (a+b)^2 & = (a^2+b^2) +2ab \\ (6)^2 & =(40)+2ab \\ 36 & = 40 + 2ab \\ 2ab & = 36 - 40 \\ 2ab & = - 4 \\ ab & = -2 \end{align*}$
Jadi, nilai $ab = -2 .\heartsuit $

Nomor 2

Jika fungsi $f$ memenuhi persamaan $ 2f(x)+f(9-x)=3x $ untuk setiap $x$ bilangan real, maka nilai $f(2) $ adalah ....

$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi $f(x) $ dengan cara substitusi $x=a $ dan $x=9-a $ ke $ 2f(x)+f(9-x)=3x $ .
* $x=a \rightarrow 2f(a)+f(9-a)=3a $ ...pers(i)
* $x=9-a \rightarrow 2f(9-a)+f(9-(9-a))=3(9-a) $
$ \rightarrow 2f(9-a)+f(a)=3(9-a) $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii) dengan pers(i) kali 2 dan pers(ii) kali 1
$\begin{array}{cc} 4f(a)+2f(9-a)=6a & \\ 2f(9-a)+f(a)=3(9-a) & - \\ \hline 3f(a) = 9a-27 \rightarrow f(a) = 3a-9 & \end{array}$
sehingga, $f(a) = 3a-9 \rightarrow f(2) = 3\times 2 - 9 = -3 $
Jadi, nilai $f(2) = -3. \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Tidak perlu menentukan $f(x)$ . Substitusi $x=2 $ dan $x=7 $ ke $ 2f(x)+f(9-x)=3x $ , lalu eliminasi
* $x=2 \rightarrow 2f(2)+f(7)=6 $ ...pers(i)
* $x=7 \rightarrow 2f(7)+f(2)=21 $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 2f(2)+f(7)=6 & \text{kali 2} & 4f(2)+2f(7)=12 & \\ 2f(7)+f(2)=21 & \text{kali 1} & 2f(7)+f(2)=21 & - \\ \hline & & 3f(2) = -9 \rightarrow f(2) = -3 & \end{array}$
Jadi, nilai $f(2) = -3. \heartsuit $

Nomor 3

Suatu segitiga panjang sisinya adalah 12 cm dan 8 cm. Semua besaran berikut dapat menjadi keliling segitiga tersebut, KECUALI ....

$\clubsuit \, $ Pertidaksamaan pada sisi segitiga

$\clubsuit \, $ Rentang nilai $x$

$\clubsuit \, $ Keliling segitiga
$\begin{align} 4 < & x < 20 \\ 8+12+4 < 8+ & 12+ x < 8 + 12+20 \\ 24 < \text{K} & \, \Delta < 40 \end{align}$
sehingga rentang kelilingnya adalah $24 < \text{Keliling} \, \Delta < 40 $
Jadi, keliling yang tidak mungkin adalah 24. $ \heartsuit$

Cara II
$\clubsuit \, $ Jika diketahui dua sisi pada segitiga , misalkan $a$ dan $b$ dengan $a \geq b $ , maka rentang keliling segitiga yang mungkin adalah $2a < K \Delta < 2(a+b) $
$\clubsuit \, $ diketahui panjang sisi segitiga, $a=12$ , dan $b=8$ , Rentang kelilingnya :
$\begin{align} 2a < & \text{Keliling} \, \Delta < 2 (a+b) \\ 2.12 < & \text{Keliling} \, \Delta < 2 (12+8) \\ 24 < & \text{Keliling} \, \Delta < 40 \end{align}$
Jadi, keliling yang tidak mungkin diluar interval di atas, yaitu 24. $ \heartsuit$

Nomor 4

Agar vektor $\vec{a} = 2\vec{i} + p \vec{j} + \vec{k} $ dan $\vec{b} = 3\vec{i} + 2 \vec{j} + 4\vec{k} $ saling tegak lurus, maka nilai $p$ adalah ....

$\vec{a} = (2 \, \, \, p \, \, \, 1) $ dan $\vec{b} = (3 \, \, \, 2 \, \, \, 4) $
$\spadesuit \, $ Vektor $\vec{a} $ tegak lurus vekor $\vec{b}$ , syarat : $\vec{a}.\vec{b} = 0 $
$\begin{align*} \vec{a}.\vec{b} & = 0 \\ \, \, \, 2.3 + p.2 + 1.4 & = 0 \\ 6+2p+4 & = 0 \\ 2p & = -10 \\ p & = -5 \end{align*}$
Jadi, nilai $p=-5 .\heartsuit $

Nomor 5

Segiempat berikut berupa persegipanjang dengan panjang sisi 5 dan 9 satuan. Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut 4 kali luas daerah lingkaran. Jari-jari lingkaran adalah ....

$\clubsuit \, $ Menentukan luas arsiran
$\begin{align} \text{Luas Arsir} \, & = \, \text{Luas persegipanjang} \, - \, \text{Luas lingkaran} \\ & = 5.9 - \pi r^2 \\ & = 45-\pi r^2 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan jari-jari ($r$)
$\begin{align} \text{Luas Arsir} \, & = 4 \times \text{Luas lingkaran} \\ 45-\pi r^2 & = 4\pi r^2 \\ 5\pi r^2 & = 45 \\ r^2 & = \frac{45}{5\pi} \\ r^2 & = \frac{9}{\pi} \\ r & = \sqrt{\frac{9}{\pi} } \\ r & = \frac{3}{\sqrt{\pi}} = \frac{3}{\sqrt{\pi}} . \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi}} \\ r & = \frac{3}{\pi} \sqrt{\pi} \end{align}$
Jadi, jari-jarinya adalah $ r = \frac{3}{\pi} \sqrt{\pi} . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pages - Menu

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 276 tahun 2009 nomor 11 sampai 15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 276 tahun 2009 nomor 6 sampai 10

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 276 tahun 2009