Pembahasan Turunan aljabar Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 931

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ v = (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1) $ , maka $ \frac{dv}{dx} \, $ untuk $ x = -1 $ adalah ......
A). $ -8 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 8 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk $ (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 $
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = a \rightarrow y^\prime = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Mengalikan bentuk aljabarnya :
$\begin{align} v & = (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1) \\ & = (x^2 -1)(x^2+1)(x^4+1) \\ & = (x^4-1)(x^4+1) \\ & = (x^8-1) \end{align} $
*).Menentukan turunan fungsinya :
$\begin{align} v & = x^8 - 1 \\ \frac{dv}{dx} & = 8x^7 \end{align} $
*).Menentukan nilai turunan untuk $ x = -1 $ :
$\begin{align} \frac{dv}{dx} & = 8x^7 \\ & = 8.(-1)^7 \\ & = 8.(-1) \\ & = -8 \end{align} $
Jadi, nilai turunan untuk $ x = -1 $ adalah $ -8 . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linear Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 931

Soal yang Akan Dibahas
Luas suatu area parkir 200 m$^2$ , luas rata-rata untuk mobil sedan 4 m$^2$ dan bis 18 m$^2$. Daya muat maksimum hanya 29 kendaraan, biaya parkir untuk mobil sedan Rp.1000/jam dan untuk bis Rp. 2500/jam. Jika dalam 1 jam tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka pendapatan maksimum dari area parkir tersebut dalam 1 jam adalah .....
A). Rp28.000,00
B). Rp29.000,00
C). Rp38.000,00
D). Rp39.000,00
E). Rp48.000,00

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan program linear :
1). Buat model matematikanya
2). Buat daerah himpunan penyelesaiannya (DHP)
3). Tentukan titik pojok DHP nya
4). Substitusikan semua titik pojoknya ke fungsi tujuannya :
-). Nilai maksimum berarti nilai terbesar fungsi tujuannya
-). Nilai minimum berarti nilai terkecil fungsi tujuannya

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Misalkan :
$ x = \, $ banyak mobil sedan
$ y = \, $ banyak bis
*).Menyusun model matematikanya :
-). Fungsi kendala/batasan :
I). $ 4x + 18y \leq 200 \rightarrow (0, \frac{100}{9}) $ dan $ (50, 0) $
II). $ x + y \leq 29 \rightarrow (0, 29) $ dan $ (29, 0) $
III). $ x \geq 0 $ dan $ y \geq 0 $ .
-). Fungsi tujuan : $ f(x,y) = 1000x + 2500 y $
-). Gambar DHP nya :
 

*). Menentukan titik pojok pada DHP :
A(29 , 0) , C$\left( 0, \frac{100}{9} \right) $
Titik B : eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} 4x + 18y = 200 & \times \frac{1}{2} & 2x + 9y = 100 & \\ x + y = 29 & \times 2 & 2x + 2y = 58 & - \\ \hline & & 7y = 42 & \\ & & y = 6 & \end{array} $
Pers(ii) : $ x + y = 29 \rightarrow x + 6 = 29 \rightarrow x = 23 $
Sehingga titik $ B(23, 6) $
*).Substitusikan semua titik pojoknya ke fungsi tujuannya : $ f(x,y) = 1000x + 2500 y $
$\begin{align} A(29,0) \rightarrow f & = 1000 \times 29 + 2500 \times 0 = 29.000 \\ B(23,6) \rightarrow f & = 1000 \times 23 + 2500 \times 6 = 38.000 \\ C\left( 0, \frac{100}{9} \right) \rightarrow f & = 1000 \times 0 + 2500 \times \frac{100}{9} = 28.000 \end{align} $
Jadi, pendapatan maksimumnya adalah Rp38.000 $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Garis Parabola Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 931

Soal yang Akan Dibahas
Suatu garis lurus mempunyai gradien $ -1 $ dan memotong parabola $ y = x^2 + 2x + 2 $ di titik $ (1,5) $. Titik potong lainnya mempunyai koordinat .....
A). $ (-4,-10) \, $ B). $ (-4,2) \, $ C). $ (-4,10) \, $
D). $ (-2,8) \, $ E). $ (4,2) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis lurus melalui titik $ (x_1,y_1) $ dan gradien $ m $ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $
*). Untuk menentukan titik potong dua kurva, cukup substitusikan salah satu persamaan ke persamaan lainnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Menentukan persamaan garis melalui titik $ (x_1,y_1) = (1,5) $ dan $ m = -1 $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - 5 & = -1(x-1) \\ y - 5 & = -x + 1 \\ y & = -x + 6 \end{align} $
*). Menentukan titik potong garis dan parabola : substitusikan atau samakan kedua fungsi
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 + 2x + 2 & = -x + 6 \\ x^2 + 3x - 4 & = 0 \\ (x-1)(x+4) & = 0 \\ x = 1 \vee x & = -4 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ x $ ke salah satu fungsi, kita substitusi ke garis agar lebih mudah menghitungnya :
Persamaan garisnya : $ y = -x + 6 $
$ x = 1 \rightarrow y = -1 + 6 = 5 \, $ titiknya : $ (1,5) $
$ x = -4 \rightarrow y = -(-4) + 6 = 10 \, $ titiknya : $ (-4,10) $
Jadi, titik yang lainnya adalah $ (-4,10) . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 931

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian dari $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ {}^3 \log (x^2+4x) \geq {}^\frac{1}{3} \log \frac{1}{5} $ adalah .......
A). $ x > -5 \, $ atau $ x < 1 $
B). $ -5 \leq x \leq 1 \, $
C). $ -5 < x < 1 \, $
D). $ x \leq -5 \, $ atau $ x \geq 1 $
E). $ -1 \leq x \, $ atau $ x \geq 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
Bentuk $ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log b $ memiliki solusi :
-). Solusi umumnya : kita peroleh HP1.
Jika $ a > 1 $ , maka $ f(x) \geq b \, $ (tanda ketaksamaan tetap)
Jika $ 0 < a < 1 $ , maka $ f(x) \leq b \, $ (tanda ketaksamaan dibalik)
-). Solusi syarat $ f(x) > 0 $ (HP2).
Solusi totalnya :
$ HP = HP1 \cap HP2 \, $ (diiriskan)
*). Sifat logaritma : $ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Soalnya : $ {}^3 \log (x^2+4x) \geq {}^\frac{1}{3} \log \frac{1}{5} $ :
*). Solusi syaratnya :
$ (x^2+4x) > 0 \rightarrow x(x+4) > 0 \rightarrow x = 0 \vee x = -4 $
Garis bilangan pertama : 


HP1 $ = \{ x < -4 \vee x > 0 \} $
*).Solusi umum:
$\begin{align} {}^3 \log (x^2+4x) & \geq {}^\frac{1}{3} \log \frac{1}{5} \\ {}^3 \log (x^2+4x) & \geq {}^{3^{-1}} \log 5^{-1} \\ {}^3 \log (x^2+4x) & \geq \frac{-1}{-1} . {}^3 \log 5 \\ {}^3 \log (x^2+4x) & \geq {}^3 \log 5 \\ (x^2+4x) & \geq 5 \\ x^2+4x - 5 & \geq 0 \\ (x + 5)(x-1) & \geq 0 \\ x = -5 \vee x & = 1 \end{align} $
garis bilangan kedua : 


HP2 $ = \{ x \leq -5 \vee x \geq 1 \} $
*). Solusi totalnya :
$ \begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \\ & = \{ x < -4 \vee x > 0 \} \cap \{ x \leq -5 \vee x \geq 1 \} \\ & = \{ x \leq -5 \vee x \geq 1 \} \end{align} $
Jadi, penyelesaiannya adalah $ \{ x \leq -5 \vee x \geq 1 \} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan Simak UI 2009 Matematika Dasar Kode 931


Nomor 1
Himpunan penyelesaian dari $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ {}^3 \log (x^2+4x) \geq {}^\frac{1}{3} \log \frac{1}{5} $ adalah .......
A). $ x > -5 \, $ atau $ x < 1 $
B). $ -5 \leq x \leq 1 \, $
C). $ -5 < x < 1 \, $
D). $ x \leq -5 \, $ atau $ x \geq 1 $
E). $ -1 \leq x \, $ atau $ x \geq 5 $
Nomor 2
Suatu garis lurus mempunyai gradien $ -1 $ dan memotong parabola $ y = x^2 + 2x + 2 $ di titik $ (1,5) $. Titik potong lainnya mempunyai koordinat .....
A). $ (-4,-10) \, $ B). $ (-4,2) \, $ C). $ (-4,10) \, $
D). $ (-2,8) \, $ E). $ (4,2) $
Nomor 3
Luas suatu area parkir 200 m$^2$ , luas rata-rata untuk mobil sedan 4 m$^2$ dan bis 18 m$^2$. Daya muat maksimum hanya 29 kendaraan, biaya parkir untuk mobil sedan Rp.1000/jam dan untuk bis Rp. 2500/jam. Jika dalam 1 jam tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka pendapatan maksimum dari area parkir tersebut dalam 1 jam adalah .....
A). Rp28.000,00
B). Rp29.000,00
C). Rp38.000,00
D). Rp39.000,00
E). Rp48.000,00
Nomor 4
Jika $ v = (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1) $ , maka $ \frac{dv}{dx} \, $ untuk $ x = -1 $ adalah ......
A). $ -8 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 8 \, $
Nomor 5
Nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ (0,125)^{2x-x^2} - 2^{x^2-3x+5} \leq 0 $ adalah ......
A). $ -\frac{5}{2} \leq x \leq 1 \, $
B). $ x \leq 1 \, $ atau $ x \geq \frac{5}{2} $
C). $ 1 \leq x \leq \frac{5}{2} \, $
D). $ x \leq -1 \, $ atau $ x \geq \frac{5}{2} $
E). $ -1 \leq x \leq \frac{5}{2} \, $

Nomor 6
Misalkan fungsi kuadrat $ y = (t+1)x^2 - tx $ berpotongan dengan garis $ y = tx + (4-t) $ . Jika kurva fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas, maka nilai $ t $ yang memenuhi adalah ......
A). $ -\frac{4}{3} \leq t \leq -1 \, $
B). $ t \geq -\frac{4}{3} \, $
C). $ t < -\frac{4}{3} \, $
D). $ -\frac{4}{3} < t < -1 \, $
E). $ t > -1 $
Nomor 7
Jika $ p $ dan $ q $ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ 3x^2 + 6x + 4 = 0 $ , maka persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar $ (2p+q+1) $ dan $ ( p + 2q + 1 ) $ adalah ......
A). $ x^2 + 4x + 3 = 0 \, $
B). $ x^2 + 4x + 7 = 0 \, $
C). $ 3x^2 + 12x + 13 = 0 \, $
D). $ x^2 - 8x + 19 = 0 \, $
E). $ 3x^2 - 24x + 49 = 0 \, $
Nomor 8
Dari huruf S, I, M, A, dan K dapat dibuat 120 "kata". Jika "kata" ini disusun secara alfabetikal, maka kata "SIMAK" akan berada pada urutan ke- .....
A). $ 105 \, $ B). $ 106 \, $ C). $ 107 \, $ D). $ 115 \, $ E). $ 116 $
Nomor 9
Diketahui sistem persamaan :
$ \begin{align} y + \frac{2}{x+z} & = 4 \\ 5y + \frac{18}{2x+y+z} & = 18 \\ \frac{8}{x+z}-\frac{6}{2x+y+z} & = 3 \end{align} $
Nilai dari $ y + \sqrt{x^2-2xz+z^2} \, $ adalah ....
A). $ 3 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 7 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $
Nomor 10
Jika diketahui barisan $ 1, (1+2) $ , $ (1 + 2 + 3) $ , $ (1 + 2 + 3 + 4) $ , $ (1 + 2 + 3 + 4 + 5) $ , ..... Maka suku ke-100 barisan tersebut adalah ......
A). $ 5550 \, $ B). $ 5500 \, $ C). $ 5055 \, $ D). $ 5050 \, $ E). $ 5005 $

Nomor 11
Pada suatu hari dilakukan pengamatan terhadap virus-virus tertentu yang berkembang dengan membelah diri menjadi dua. Pada awal pengamatan terdapat 2 virus. Pembelahan terjadi setiap 24 jam. Jika setiap 3 hari, seperempat dari virus dibunuh, maka banyaknya virus setelah satu minggu pertama adalah .....
A). $ 24 \, $ B). $ 36 \, $ C). $ 48 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ 72 $
Nomor 12
Jika $ A = \left[ \begin{matrix} -1 & 2a+b \\ a & 7 \end{matrix} \right] $ , $ B = \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 1 & a \end{matrix} \right] $ , dan $ (AB)^T = \left[ \begin{matrix} 1 & 15 \\ 7 & 20 \end{matrix} \right] $ , maka nilai $ a + b = ...... $
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $
Nomor 13
Pada gambar di atas, O adalah pusat lingkaran. Jika $ PQ = 5 $ dan $ OP = 3 $, maka $ \cos ( \pi + \alpha ) = ...... $
A). $ -\frac{7}{18} \, $ B). $ -\frac{7}{9} \, $ C). $ \frac{7}{18} \, $ D). $ \frac{7}{15} \, $ E). $ \frac{7}{9} $
Nomor 14
Diketahui $ l $ adalah garis yang dinyatakan oleh det(A)=0 dimana $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ x & y & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix}\right) $ , persamaan garis yang sejajar $ l $ dan melalui titik $ (3,4) $ adalah .....
A). $ x + y - 7 = 0 \, $ B). $ x - y + 7 = 0 \, $
C). $ x - y + 1 = 0 \, $ D). $ x + y - 1 = 0 \, $
E). $ x + y + 1 = 0 $
Nomor 15
Jumlah $ n $ suku pertama suatu deret geometri adalah $ S_n = 2^n - 1 $ . Persamaan kuadrat yang akar-akarnya suku ke-4 dan rasio deret tersebut adalah .......
A). $ x^2 + 10x + 16 = 0 \, $
B). $ x^2 - 10x + 16 = 0 \, $
C). $ x^2 + 10x - 16 = 0 \, $
D). $ x^2 + 6x - 16 = 0 \, $
E). $ x^2 - 6x - 16 = 0 $

Nomor 16
Jika $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $ dan $ x $ memenuhi persamaan $ \sin x - \tan x - 2\cos x + 2 = 0 $ , maka himpunan nilai $ \sin x $ adalah ......
A). $ \left\{ \frac{2}{5}\sqrt{5} \right\} \, $ B). $ \left\{ 0 \right\} \, $ C). $ \left\{ \frac{2}{5}\sqrt{5} , 0 \right\} \, $ D). $ \left\{ \frac{1}{5}\sqrt{5} \right\} \, $ E). $ \left\{ \frac{1}{5}\sqrt{5} , 0 \right\} $
Nomor 17
Banyaknya bilangan bulat positif diantara 200 dan 2000 yang merupakan kelipatan 6 atau 7 tetapi tidak keduanya adalah ......
A). 469 B). 471 C). 513 D). 514 E). 557
Nomor 18
Rata-rata sekelompok data yang masing-masing nilainya berbeda adalah 5. Jika data terbesar tidak diperhitungkan, maka nilai rata-ratanya menjadi 2. Sedangkan jika dikurangi dengan data terkecil maka nilai rata-ratanya menjadi 5,5. Jika jangkauan data 21, maka data terbesarnya adalah ....
A). $ 35 \, $ B). $ 23 \, $ C). $ 21 \, $ D). $ 14 \, $ E). $ 5 $
Nomor 19
Diketahui $ g(x) = 9 - 3x^3 $ . Jika $ (g \circ f)(x) = -3x^3 + 6x^2 + 24x - 15 $ , maka nilai dari $ f(-2) $ sama dengan ......
A). $ -8 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $
D). $ 2 \, $ E). $ 8 $
Nomor 20
Jika kurva $ y = (x^2-a)(2x+b)^3 $ turun pada interval $ -1 < x < \frac{2}{5} $ , maka nilai $ ab = ..... $
A). $ 3 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -3 $