Cara 2 Pembahasan Trigonometri UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Dektahui $ 0 \leq x < \frac{\pi}{2} $. Jika $ 5\sin 2x + 10\cos ^2 x = 26 \cos 2x $ , maka $ \cos 2x = .... $
A). $ \frac{215}{233} \, $ B). $ \frac{205}{233} \, $ C). $ \frac{169}{233} \, $ D). $ \frac{115}{233} \, $ E). $ \frac{105}{233} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri :
*). Rumus sudut rangkap :
$ \cos 2x = 2\cos ^2 x - 1 \rightarrow 2\cos ^2 x = 1 + \cos 2x $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 2x + \cos ^2 2x = 1 \rightarrow \sin ^2 2x = 1 - \cos ^2 2x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \cos 2x $ dengan sudut rangkap dan identitas :
$\begin{align} 5\sin 2x + 10\cos ^2 x & = 26 \cos 2x \\ 5\sin 2x + 5.2\cos ^2 x & = 26 \cos 2x \\ 5\sin 2x + 5.(1 + \cos 2x) & = 26 \cos 2x \\ 5\sin 2x + 5 + 5\cos 2x & = 26 \cos 2x \\ 5\sin 2x & = 21 \cos 2x - 5 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (5\sin 2x)^2 & = (21 \cos 2x - 5 )^2 \\ 25\sin ^2 2x & = 441 \cos ^2 2x - 210 \cos 2x + 25 \\ 25( 1 - \cos ^2 2x) & = 441 \cos ^2 2x - 210 \cos 2x + 25 \\ 251 - 25\cos ^2 2x & = 441 \cos ^2 2x - 210 \cos 2x + 25 \\ 466\cos ^2 2x - 210 \cos 2x & = 0 \\ 2\cos 2x(233\cos 2x - 105) & = 0 \\ \cos 2x = 0 \, \, \vee & \, \, (233\cos 2x - 105) = 0 \\ \cos 2x = 0 \, \, \vee & \, \, \cos 2x = \frac{105}{233} \end{align} $
Yang ada di pilihan adalah $ \cos 2x = \frac{105}{233} $.
Jadi, nilai $ \cos 2x = \frac{105}{233} . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Dektahui $ 0 \leq x < \frac{\pi}{2} $. Jika $ 5\sin 2x + 10\cos ^2 x = 26 \cos 2x $ , maka $ \cos 2x = .... $
A). $ \frac{215}{233} \, $ B). $ \frac{205}{233} \, $ C). $ \frac{169}{233} \, $ D). $ \frac{115}{233} \, $ E). $ \frac{105}{233} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri :
*). Rumus-rumus dasar trigonometri :
i). $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $
ii). $ \cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x = (\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x) $
iii). $ \cos 2x = 1 - 2\sin ^2 x $
iv). $ \tan x = \frac{depan}{samping} = \frac{\sin x}{\cos x} $ dan $ \sin x = \frac{depan}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah soalnya :
$\begin{align} 5\sin 2x + 10\cos ^2 x & = 26 \cos 2x \\ 5. 2\sin x \cos x + 10\cos ^2 x & = 26(\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x) \\ 10\sin x \cos x + 10\cos x \cos x & = 26(\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x) \\ 10\cos x( \sin x + \cos x) & = 26(\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x) \\ 10\cos x & = 26 (\cos x - \sin x) \\ 26\sin x & = 16\cos x \\ \frac{\sin x}{\cos x} & = \frac{16}{26} \\ \tan x & = \frac{8}{13} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sin x $ :
Karena nilai $ \tan x = \frac{8}{13} = \frac{depan}{samping} $,
$ miring = \sqrt{8^2 + 13^2 } = \sqrt{64 + 169} = \sqrt{233} $
Sehingga $ \sin x = \frac{depan}{miring} = \frac{8}{\sqrt{233}} $.
*). Menentukan nilai $ \cos 2x $ :
$\begin{align} \cos 2x & = 1 - 2\sin ^2 x \\ & = 1 - 2. \left( \frac{8}{\sqrt{233}} \right)^2 \\ & = 1 - 2. \frac{64}{233} \\ & = \frac{233}{233} - \frac{128}{233} = \frac{105}{233} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 2x = \frac{105}{233} . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Jika $ \alpha $ adalah sudut antara bidang AHF dan CHF, maka $ \sin \alpha = .... $
A). $ -\frac{2}{3}\sqrt{2} \, $ B). $ -\frac{1}{3}\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{1}{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{2}{3}\sqrt{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Aturan kosinus segitiga ABC :
$ AB^2 = CA^2 + CB^2 - 2.CA.CB. \cos C \, $ atau
$ \cos C = \frac{CA^2 + CB^2 - AB^2}{2.CA.CB} $
Dimana sisi CA dan CB adalah sisi yang mengapit sudut C.
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin x = \sqrt{1 - \cos ^2 x} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

Misalkan panjang rusuk kubusnya 2 satuan.
$ EG = 2\sqrt{2} $ (diagonal sisi).
$ EM = \frac{1}{2} EG = \sqrt{2} $ dan $ AC = EG = 2\sqrt{2} $ .
$ AM = \sqrt{AE^2 + EM^2} = \sqrt{2^2 + \sqrt{2}^2} = \sqrt{6} $.
$ MC = AM = \sqrt{6} $.
*). Menentukan nilai $ \cos \alpha $ pada segitiga AMC dengan aturan kosinus :
$\begin{align} \cos \angle AMC & = \frac{MA^2 + MC^2 - AC^2}{2.MA.MC} \\ \cos \alpha & = \frac{( \sqrt{6})^2 + ( \sqrt{6})^2 - (2\sqrt{2})^2}{2.\sqrt{6}.\sqrt{6}} \\ & = \frac{ 6 + 6 - 8}{2.6} = \frac{ 4}{12} = \frac{1}{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sin \alpha $ dengan identitas trigonometri :
$\begin{align} \sin \alpha & = \sqrt{1 - \cos ^2 \alpha} \\ & = \sqrt{1 - (\frac{1}{3} )^2} \\ & = \sqrt{1 - \frac{1}{9} } \\ & = \sqrt{ \frac{8}{9} } = \frac{2}{3}\sqrt{ 2} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \alpha = \frac{2}{3}\sqrt{ 2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ x_1 $ dan $ x_2 $ merupakan akar-akar persamaan $ px^2 + qx - 1 = 0 , p \neq 0 $. Jika $ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = -1 $ dan $ x_1 = -\frac{3}{2}x_2 $, maka $ p + q = .... $
A). $ -7 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat :
*). Misalkan ada PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $.
Operasi akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ px^2 + qx - 1 = 0 \rightarrow a = p, b = q , c = -1 $
*). Menentukan nilai $ q $ :
$\begin{align} \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} & = -1 \\ \frac{x_1 + x_2}{x_1.x_2} & = -1 \\ x_1 + x_2 & = -x_1.x_2 \\ \frac{-q}{p} & = -\frac{-1}{p} \\ q & = -1 \end{align} $
*). Menentukan bentuk $ x_2 $ dengan $ x_1 = -\frac{3}{2}x_2 $:
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ -\frac{3}{2}x_2 + x_2 & = \frac{-q}{p} \\ -\frac{1}{2}x_2 & = \frac{-(-1)}{p} \\ x_2 & = \frac{-2}{p} \\ x_1 = -\frac{3}{2}x_2 & = -\frac{3}{2}. \frac{-2}{p} = \frac{3}{p} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p $ dengan operasi perkalian :
$\begin{align} x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ \frac{-2}{p} . \frac{3}{p} & = \frac{-1}{p} \\ p^2 - 6p & = 0 \\ p(p - 6) & = 0 \\ p = 0 \vee p & = 6 \end{align} $
Karena $ p \neq 0 $, yang memenuhi adalah $ p = 6 $.
Sehingga nilai $ p + q = 6 + (-1) = 5 $.
Jadi, nilai $ p + q = 5 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan Log UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ {}^\frac{1}{2} \log (2x-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 - x) \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log x $ adalah ....
A). $ \frac{2}{3} \leq x \leq 1 \, $
B). $ x \leq \frac{2}{3} \, $ atau $ x \geq 1 $
C). $ \frac{1}{2} < x \leq \frac{2}{3} \, $ atau $ 1 \leq x < 2 $
D). $ \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{2}{3} \, $ atau $ 1 \leq x \leq 2 $
E). $ x \leq \frac{1}{2} \, $ atau $ x > 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
-). Untuk $ x $ negatif pasti salah karena numerus dari $ {}^\frac{1}{2} \log x $ tidak boleh negatif, opsi yang salah B dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=2 \Rightarrow {}^\frac{1}{2} \log (2x-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 - x) & \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log x \\ {}^\frac{1}{2} \log (2.2-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 - 2) & \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log 2 \\ {}^\frac{1}{2} \log 3 + {}^\frac{1}{2} \log 0 & \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log 2 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=2$ SALAH, opsi yang salah D.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=\frac{3}{2} \Rightarrow {}^\frac{1}{2} \log (2x-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 - x) & \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log x \\ {}^\frac{1}{2} \log (2.\frac{3}{2}-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 - \frac{3}{2}) & \geq {}^\frac{1}{2} \log (\frac{3}{2})^2 \\ {}^\frac{1}{2} \log (2) + {}^\frac{1}{2} \log (\frac{1}{2}) & \geq {}^\frac{1}{2} \log (\frac{3}{2})^2 \\ -1 + 1 & \geq {}^\frac{1}{2} \log \frac{9}{4} \\ 0 & \geq \text{ Hasil negatif} \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x= \frac{3}{2}$ BENAR, opsi yang salah A.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi C (yang tersisia).
Jadi, solusinya adalah $ \{ \frac{1}{2} < x \leq \frac{2}{3} \vee 1 \leq x < 2 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Log UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ {}^\frac{1}{2} \log (2x-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 - x) \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log x $ adalah ....
A). $ \frac{2}{3} \leq x \leq 1 \, $
B). $ x \leq \frac{2}{3} \, $ atau $ x \geq 1 $
C). $ \frac{1}{2} < x \leq \frac{2}{3} \, $ atau $ 1 \leq x < 2 $
D). $ \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{2}{3} \, $ atau $ 1 \leq x \leq 2 $
E). $ x \leq \frac{1}{2} \, $ atau $ x > 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Jika ada syaratnya, kita cari syaratnya terlebih dulu.
*). Pertidaksamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) \leq g(x) \, $ untuk $ 0 < a < 1 $.
Syarat dari $ {}^a \log b $ adalah $ a > 0 , a \neq 1, b > 0 $.
*). Sifat ligaritma :
$ n.{}^a \log b = {}^a \log b^n $ dan $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log b.c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Solusi syaratnya dari $ {}^\frac{1}{2} \log (2x-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 - x) \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log x $ :
$ \begin{align} -). & \, 2x - 1 > 0 \rightarrow x > \frac{1}{2} \\ -). & \, 2 - x > 0 \rightarrow x < 2 \\ -). & \, x > 0 \end{align} $
Sehingga syaratnya : $ HP_1 = \{ \frac{1}{2} < x < 2 \} $.
*). menyelesaikan pertidaksamaan logaritmanya :
$\begin{align} {}^\frac{1}{2} \log (2x-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 - x) & \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log x \\ {}^\frac{1}{2} \log (2x-1)(2 - x) & \geq {}^\frac{1}{2} \log x^2 \\ {}^\frac{1}{2} \log (-2x^2 + 5x - 2) & \geq {}^\frac{1}{2} \log x^2 \\ (-2x^2 + 5x - 2) & \leq x^2 \\ -3x^2 + 5x - 2 & \leq 0 \\ \text{(kali -1, tanda dibalik)} & \\ 3x^2 - 5x + 2 & \geq 0 \\ (3x - 2)(x-1) & \geq 0 \\ x = \frac{2}{3} \vee x & = 1 \end{align} $
garis bilangannya :
 

$ HP_2 = \{ x \leq \frac{2}{3} \vee x \geq 1 \} $.
*). Solusi totalnya adalah irisan kedua HP :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ \frac{1}{2} < x < 2 \} \cap \{ x \leq \frac{2}{3} \vee x \geq 1 \} \\ & = \{ \frac{1}{2} < x \leq \frac{2}{3} \vee 1 \leq x < 2 \} \end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ \frac{1}{2} < x \leq \frac{2}{3} \vee 1 \leq x < 2 \} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan Akar UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Semua nilai $ x $ yang memenuhi $ \sqrt{x^2 - 7x + 6 } \geq 2x \, $ adalah ....
A). $ -3 \leq x \leq \frac{1}{3} \, $
B). $ -3 \leq x \leq \frac{2}{3} \, $
C). $ x \leq -3 \, $ atau $ x \geq \frac{2}{3} $
D). $ x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 6 $
E). $ x \leq \frac{2}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 7x + 6 } & \geq 2x \\ \sqrt{0^2 - 7.0 + 6 } & \geq 2.0 \\ \sqrt{6 } & \geq 0 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=0$ BENAR, opsi yang salah C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 7x + 6 } & \geq 2x \\ \sqrt{1^2 - 7.1 + 6 } & \geq 2.1 \\ \sqrt{0} & \geq 2 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=1$ SALAH, opsi yang salah D.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-4 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 7x + 6 } & \geq 2x \\ \sqrt{(-4)^2 - 7.(-4) + 6 } & \geq 2.(-4) \\ \sqrt{48} & \geq -8 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x= -4$ BENAR, opsi yang salah A dan B.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi E (yang tersisia).
Jadi, solusinya adalah $ \{ x \leq \frac{2}{3} \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Akar UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Semua nilai $ x $ yang memenuhi $ \sqrt{x^2 - 7x + 6 } \geq 2x \, $ adalah ....
A). $ -3 \leq x \leq \frac{1}{3} \, $
B). $ -3 \leq x \leq \frac{2}{3} \, $
C). $ x \leq -3 \, $ atau $ x \geq \frac{2}{3} $
D). $ x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 6 $
E). $ x \leq \frac{2}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Jika ada syaratnya, kita cari syaratnya terlebih dulu.
Syarat dalam akar $ \sqrt{f(x)} $ yaitu $ f(x) \geq 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ \sqrt{x^2 - 7x + 6 } \geq 2x $, syarat dalam akar :
$ \begin{align} x^2 - 7x + 6 \geq 0 \\ (x - 1)(x-6) \geq 0 \\ x = 1 \vee x & = 6 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Sehingga syaratnya : $ x \leq 1 \vee x \geq 6 $.
*). Dari syarat $ x \leq 1 \vee x \geq 6 $, untuk $ x \leq 0 $ (negatif) akan selalu memenuhi pertidaksamaan. Sehingga $ HP_1 = \{ x \leq 0 \} $ .
*). Untuk syarat $ 0 < x \leq 1 \vee x \geq 6 $ , kita selesaikan pertidaksamaan dengan mengkuadratkan :
$\begin{align} \sqrt{x^2 - 7x + 6 } & \geq 2x \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ x^2 - 7x + 6 & \geq 4x^2 \\ -3x^2 - 7x + 6 & \geq 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ 3x^2 + 7x - 6 & \leq 0 \\ (3x-2)(x+3) & \leq 0 \\ x = \frac{2}{3} \vee x & - 3 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Sehingga untuk $ 0 < x \leq 1 \vee x \geq 6 $,
$ HP_2 = \{ 0 < x \leq \frac{2}{3} \} $.
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari kedua HP :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cup HP_2 \\ & = \{ x \leq \frac{2}{3} \} \end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ x \leq \frac{2}{3} \} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Integral UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 $ dan garis $ y = (2m-2)x $ mempunyai luas $ 1\frac{1}{3} $ , maka $ m = .... $
A). $ 2\frac{1}{2} \, $ atau $ -\frac{1}{2} $
B). $ 2 \, $ atau $ 0 $
C). $ 3\frac{1}{2} \, $ atau $ -1\frac{1}{2} $
D). $ 4 \, $ atau $ -2 $
E). $ 4\frac{1}{2} \, $ atau $ -2\frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral Tanpa Menggambar (Rumus Cepat)
*). Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh dua kurva yaitu parabola dan parabola atau parabola dan garis adalah :
Luas $ = \frac{a}{6}|x_2-x_1|^ 3 $
dengan $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah titik potong garis dan kurva
*). sifat bentuk mutlak :
$ |f(x)| = k \rightarrow f(x) = \pm k $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : Rumus Langsung
*). Samakan kedua fungsi
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 & = (2m-2)x \\ x^2 - (2m-2)x & = 0 \rightarrow a = 1 \\ x[x-(2m-2)] & = 0 \\ x_1 = 0 \vee x_2 & = 2m - 2 \end{align} $
*). Luas daerah yang diarsir adalah $ 1\frac{1}{3} $ :
$\begin{align} \text{Luas } & = 1\frac{1}{3} \\ \frac{a}{6}|x_2-x_1|^ 3 & = \frac{4}{3} \\ \frac{1}{6}|(2m-2) - 0 |^ 3 & = \frac{4}{3} \\ \frac{1}{6}|2m-2 |^ 3 & = \frac{4}{3} \\ |2m-2 |^ 3 & = 8 \\ |2m-2 | & = 2 \\ 2m-2 & = \pm 2 \\ 2m-2 = 2 \vee 2m - 2 & = - 2 \\ m = 2 \vee m = 0 \end{align} $
Jadi, nilai $ m = 2 $ atau $ m = 0 . \, \heartsuit $

Catatan :
Rumus $ \frac{a}{6}|x_2-x_1|^ 3 $ diperoleh dari penurunan rumus $ L = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $ dengan $ D = b^2 - 4ac $ , sehingga sebenarnya kedua rumus tersebut sama saja.

Pembahasan Integral UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 $ dan garis $ y = (2m-2)x $ mempunyai luas $ 1\frac{1}{3} $ , maka $ m = .... $
A). $ 2\frac{1}{2} \, $ atau $ -\frac{1}{2} $
B). $ 2 \, $ atau $ 0 $
C). $ 3\frac{1}{2} \, $ atau $ -1\frac{1}{2} $
D). $ 4 \, $ atau $ -2 $
E). $ 4\frac{1}{2} \, $ atau $ -2\frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $ dan $ \int k \, dx = kx + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ seperti gambar berikut ini :
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas kurang kurva bawah)

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 : Konsep Luas Menggunakan Integral
*). Ilustrasi Gambar :
 

Garis $ y = (2m-2)x $ ada dua kemungkinan sehingga daerah yang terbentuk juga ada dua kemungkinan seperti gambar di atas.
*). Titik Potong Kedua Kurva
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 & = (2m-2)x \\ x^2 - (2m-2)x & = 0 \\ x[x-(2m-2)] & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 2m - 2 \end{align} $
*). Luas daerah yang diarsir adalah $ 1\frac{1}{3} $ :
Luas daerah dari gambar (a) :
$\begin{align} \text{Luas } & = 1\frac{1}{3} \\ \int \limits_{0}^{2m - 2} \, ( 2m-2)x - x^2 \, dx & = \frac{4}{3} \\ [\frac{1}{2}( 2m-2)x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{2m - 2} & = \frac{4}{3} \\ \frac{1}{2}( 2m-2)(2m-2)^2 - \frac{1}{3}(2m-2)^3 & = \frac{4}{3} \\ \frac{1}{6}(2m-2)^3 & = \frac{4}{3} \\ (2m-2)^3 & = 8 \\ (2m-2) & = 2 \\ m & = 2 \end{align} $
Luas daerah dari gambar (b) :
$\begin{align} \text{Luas } & = 1\frac{1}{3} \\ \int \limits_{2m - 2}^{0} \, ( 2m-2)x - x^2 \, dx & = \frac{4}{3} \\ [\frac{1}{2}( 2m-2)x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{2m - 2}^{0} & = \frac{4}{3} \\ [0] -[\frac{1}{2}( 2m-2)(2m-2)^2 - \frac{1}{3}(2m-2)^3 ] & = \frac{4}{3} \\ -[\frac{1}{6}(2m-2)^3] & = \frac{4}{3} \\ (2m-2)^3 & = - 8 \\ (2m-2) & = -2 \\ m & = 0 \end{align} $
Jadi, nilai $ m = 2 $ atau $ m = 0 . \, \heartsuit $