Pembahasan Transformasi SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas
Pencerminan titik $ P(-2,b) $ terhadap garis $ x = a $ dan dilanjutkan dengan pergeseran sejauh 6 satuan ke kiri dan 3 satuan ke atas, mengakibatkan bayangannya menjadi $ P^\prime (-4,7) $ . Nilai $ a + b $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pencerminan terhadap garis $ x = k $ :
Titik awal : $ A(m,n) $ ,
Bayangannya : $ A^\prime (2k - m, n) $.
*). Translasi/pergeseran dengan matriks $ T\left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ :
Titik awal : $ A(m,n) $ ,
Bayangannya : $ A^\prime (m + a, n + b) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Transformasi pertama :
-). Titik $ (-2,b) $ dicerminkan terhadap $ x = a $ :
Titik bayangannya $( x^\prime , y^\prime ) $ yaitu
$\begin{align} ( x^\prime , y^\prime ) & = (2a- (-2) , b) \\ ( x^\prime , y^\prime ) & = (2a+ 2 , b) \end{align} $
*). Dilanjutkan transformasi kedua :
-). Translasi 6 satuan ke kiri dan 3 satuan ke atas,
matriks translasinya : $ T\left( \begin{matrix} -6 \\ 3 \end{matrix} \right) $
-). Titik $ ( x^\prime , y^\prime ) = (2a+ 2 , b) $ ditranslasi oleh $ T\left( \begin{matrix} -6 \\ 3 \end{matrix} \right) $
Bayangannya yaitu :
$\begin{align} ( x^{\prime \prime } , y^{\prime \prime} ) & = ( x^\prime +(-6) , y^\prime + 3 ) \\ & = ( 2a + 2 - 6 , b + 3 ) \\ & = ( 2a - 4 , b + 3 ) \end{align} $
*). Bayangan akhir yaitu titik $ (2a-4 , b+3 ) $ harus sama dengan titik $ (-4,7) $ , artinya kita peroleh :
$\begin{align} 2a - 4 & = -4 \rightarrow a = 0 \\ b + 3 & = 7 \rightarrow b = 4 \end{align} $
Sehingga nilai $ a + b = 0 + 4 = 4 $.
Jadi, nilai $ a + b = 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Trigonometri SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 452

Soal yang Akan Dibahas
Jika nilai maksimum dan minimum fungsi $ f(x) = k\sin (x) + c $ berturut-turut adalah 7 dan 3, maka nilai maksimum fungsi $ g(x) = 2k \cos (x) + 5c $ adalah .....
A). $ 7 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 14 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 29 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan terdapat fungsi trigonometri :
$ f(x) = A \sin g(x) + B $ atau $ f(x) = A \cos h(x) + B $
*). Nilai maksimum/minimumnya yaitu :
$ f_{maks} = B + |A| $
$ f_{min} = B - |A| $
dengan $ |A| $ adalah nilai mutlak dari $ A $ dan $ A, B \in R $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi : $ f(x) = k \sin x + c $
dengan $ f_{maks} = 7 $ dan $ f_{min} = 3 $.
dan $ A = k $ , serta $ B = c $.
*). Menyusun persamaan :
$\begin{align} f_{maks} = 7 \rightarrow B + |A| & = 7 \\ c + |k| & = 7 \, \, \, \, \, ....(i) \\ f_{min} = 3 \rightarrow B - |A| & = 3 \\ c - |k| & = 3 \, \, \, \, \, ....(ii) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ c $ dan $ k $ dengan eliminasi kedua persamaan :
$\begin{array}{cc} c + |k| = 7 & \\ c - |k| = 3 & + \\ \hline 2c = 10 & \\ c = 5 & \end{array} $
Pers(i): $ c + |k| = 7 \rightarrow 5 + |k| = 7 \rightarrow |k| = 2 $
Dari bentuk $ |k|=2 $ , artinya $ k = 2 $ atau $ k = -2 $ (pilih salah satu).
Kita pilih nilai $ k = 2 $.
*). Fungsi $ f(x) = 2k\cos x + 5c $ menjadi :
$ f(x) = 2.2 \cos x + 5.5 = 4\cos x + 25 $.
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ f(x) = 4\cos x + 25 $ :
$\begin{align} f_{maks} & = B + |A| \\ & = 25 + |4| \\ & = 25 + 4 = 29 \end{align} $
Jadi, nilai maksimum fungsinya adalah $ 29 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 452


Nomor 1
Jika nilai maksimum dan minimum fungsi $ f(x) = k\sin (x) + c $ berturut-turut adalah 7 dan 3, maka nilai maksimum fungsi $ g(x) = 2k \cos (x) + 5c $ adalah .....
A). $ 7 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 14 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 29 $
Nomor 2
Pencerminan titik $ P(-2,b) $ terhadap garis $ x = a $ dan dilanjutkan dengan pergeseran sejauh 6 satuan ke kiri dan 3 satuan ke atas, mengakibatkan bayangannya menjadi $ P^\prime (-4,7) $ . Nilai $ a + b $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 3
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ 2\sqrt{2} $ cm. Jika titik P di tengah-tengah AB dan titik Q di tengah-tengah BC, maka jarak antara titik H dengan garis PQ adalah ..... cm.
A). $ \sqrt{15} \, $ B). $ 4 \, $ C). $ \sqrt{17} \, $ D). $ 3\sqrt{2} \, $ E). $ \sqrt{19} $
Nomor 4
$ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin (2x-6)}{\sqrt{4-x} -1} = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -4 \, $
Nomor 5
Diberikan barisan geometri $ u_n $, dengan $ u_3+u_4 = 4(u_1+u_2) $ dan $ u_1u_4=4u_2 $. Jumlah 4 suku pertama yang mungkin adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 15 \, $

Nomor 6
Daerah R dibatasi oleh $ y= \sqrt{x} $ , $ y = -x + 6 $ , dan sumbu $ x $. Volume benda padat yang didapat dengan memutar R terhadap sumbu $ x $ adalah ....
A). $ \frac{8\pi}{3} \, $ B). $ \frac{16\pi}{3} \, $ C). $ \frac{24\pi}{3} \, $ D). $ \frac{32\pi}{3} \, $ E). $ \frac{40\pi}{3} $
Nomor 7
Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari 9 orang. Banyaknya cara membuat barisan, dengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan adalah .....
A). $ 7 \times 8! \, $ B). $ 6 \times 8! \, $
C). $ 7 \times 8! \, $ D). $ 7 \times 7! \, $
E). $ 6 \times 7! $
Nomor 8
Jika lingkaran $ x^2 + y^2 -ax - ay + a = 0 $ mempunyai panjang jari-jari $ \frac{1}{2}a $, maka nilai $ a $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 9
Sisa pembagian $ p(x)=x^3+Ax^2+Bx+C $ oleh $ x + 3 $ adalah 2. Jika $ p(x) $ habis dibagi oleh $ x+1 $ dan $ x-1 $, maka $ A + 2B - 3C = .... $
A). $ 10 \, $ B). $ 11 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 14 $
Nomor 10
Segitiga yang dibatasi oleh sumbu $ x $ , sumbu $ y $ , dan garis singgung pada kurva $ y = \frac{1}{3}x^3 + 1 $ di titik $ P(a,b) $ pada kuadran II, berbentuk segitiga sama kaki. Nilai $ ab $ adalah .....
A). $ -\frac{2}{3} \, $ B). $ -\frac{23}{48} \, $ C). $ -\frac{86}{243} \, $ D). $ -\frac{191}{768} \, $ E). $ -\frac{374}{1875} $

Nomor 11
Nilai $ \int \limits_0^1 15x \sqrt{1-x} dx $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 12
Diketahui $ (a_n) $ dan $ (b_n) $ adalah dua barisan aritmetika dengan $ a_1=5 $ , $ a_2 = 8 $ , $ b_1 = 3 $ , dan $ b_2 = 7 $. Jika $ A = \{ a_1, a_2, ...,a_{100} \} $ dan $ B = \{ b_1, b_2 , ... , b_{100} \} $ , maka banyaknya anggota $ A \cap B $ adalah .....
A). $ 20 \, $ B). $ 21 \, $ C). $ 22 \, $ D). $ 23 \, $ E). $ 24 $
Nomor 13
Himpunan semua bilangan real $ x $ pada selang $ \left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right) $ yang memenuhi $ \sec x ( 1 + \tan x) < 0 $ berbentuk $ ( a,b) $. Nilai $ a + b $ adalah ....
A). $ \frac{5\pi}{4} \, $ B). $ \frac{7\pi}{4}\, $ C). $ 2\pi \, $ D). $ \frac{9\pi}{4} \, $ E). $ \frac{11\pi}{4} $
Nomor 14
Diketahui $ f(x)=2^{x^2+x-12} $ dan $ g(x)= 4^{2x-7} $ . Jika $ (a, b) $ adalah interval dengan grafik $ y = f(x) $ berada di bawah grafik $ y= g(x) $ , maka nilai $ a^2 + b^2 $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 17 $
Nomor 15
Diketahui dua lingkaran $ x^2+y^2 = 2 $ dan $ x^2+y^2=4 $. Garis $ l_1 $ menyinggung lingkaran pertama di titik $ (1,-1) $. Garis $ l_2 $ menyinggung lingkaran kedua dan tegak lurus dengan garis $ l_1 $. Titik potong garis $ l_1 $ dan $ l_2 $ adalah .....
A). $ ( 1+\sqrt{2} , \sqrt{2} - 1) \, $ B). $ ( 1-\sqrt{2} , \sqrt{2} - 1) \, $
C). $ ( 1+\sqrt{2} , \sqrt{2} + 1) \, $ D). $ ( 1-\sqrt{2} , \sqrt{2} - 2) \, $
E). $ ( 1+\sqrt{2} , \sqrt{2} + 2) $