Pembahasan Proyeksi Vektor UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Jika proyeksi $ \vec{u} = (6,1) \, $ pada $ \vec{p} = (1,1) $ sama dengan proyeksi $ \vec{v}=(\alpha , -5) $ pada $ \vec{p} $ , maka nilai $ \alpha $ yang memenuhi adalah ....
A). $ -12 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 12 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Panjang proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
$ = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} $
dengan $ |\vec{b}| = \, $ panjang vektor $ \vec{b} $.
*). Perkalian dot :
Misalkan $ \vec{a} = (a_1,a_2) $ dan $ \vec{b} =(b_1,b_2) $
Maka $ \vec{a}.\vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \alpha $ :
Karena proyeksi $ \vec{u} = (6,1) \, $ pada $ \vec{p} = (1,1) $ sama dengan proyeksi $ \vec{v}=(\alpha , -5) $ pada $ \vec{p} $, maka panjang proyeksinya juga sama,
$\begin{align} \frac{\vec{u}.\vec{p}}{|\vec{p}|} & = \frac{\vec{v}.\vec{p}}{|\vec{p}|} \\ \vec{u}.\vec{p} & = \vec{v}.\vec{p} \\ 6.1 + 1.1 & = \alpha . 1 + -5. 1 \\ 7 & = \alpha -5 \\ \alpha & = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ \alpha = 12 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sudut Vektor UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Jika panjang vektor $ \vec{u}, \vec{v}, $ dan $ (\vec{u}+\vec{v}) $ berturut-turut 12, 8, dan $ 4\sqrt{7} $, maka besar sudut antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah ....
A). $ 45^\circ \, $ B). $ 60^\circ \, $ C). $ 90^\circ \, $ D). $ 120^\circ \, $ E). $ 150^\circ $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus pada panjang penjumlahan vektor
$ |\vec{u}+\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2 |\vec{u}||\vec{v}| \cos \alpha $
dengan $ \alpha $ adalah sudut antara vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan besar sudut kedua vektor :
$\begin{align} |\vec{u}+\vec{v}|^2 & = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2 |\vec{u}||\vec{v}| \cos \alpha \\ ( 4\sqrt{7})^2 & = 12^2 + 8^2 + 2 .12 . 8 . \cos \alpha \\ 112 & = 144 + 64+ 192 \cos \alpha \\ 112 & = 208+ 192 \cos \alpha \\ -96 & = 192 \cos \alpha \\ \cos \alpha & = \frac{-96}{192} \\ \cos \alpha & = - \frac{1}{2} \\ \alpha & = 120^\circ \end{align} $
Jadi, besar sudutnya adalah $ 120^\circ . \, \heartsuit $

Pembahasan Limti Trigonometri UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to -4} \frac{1 - \cos (x+4)}{x^2+8x+16} = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{1}{3} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit fungsi trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{\sin a f(x)}{b f(x)} = \frac{a}{b} \, $ dengan syarat $ f(k) = 0 $.
*). RUmus trigonometri :
$ 1 - \cos A = 2\sin \frac{1}{2}A . \sin \frac{1}{2}A $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to -4} \frac{1 - \cos (x+4)}{x^2+8x+16} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -4} \frac{2 \sin \frac{1}{2} (x+4) . \sin \frac{1}{2} (x+4) }{(x+4)(x+4)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -4} \, 2. \frac{\sin \frac{1}{2} (x+4) }{(x+4)} . \frac{\sin \frac{1}{2} (x+4) }{(x+4)} \\ & = 2. \frac{1}{2}. \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Geometri UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Jika tiga bilangan berbeda $ x, y $ , dan $ z $ membentuk barisan geometri, maka $ \frac{1}{x-y} - \frac{1}{y-z} = .... $
A). $ \frac{1}{x} \, $ B). $ - \frac{1}{y} \, $ C). $ \frac{1}{z} \, $
D). $ \frac{1}{x+z} \, $ E). $ \frac{1}{x - z} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri :
*). Rumus suku ke-$n $ : $ U_n = ar^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ x, y $ , dan $ z $ membentuk barisan geometri,
misalkan $ U_1 = x $, maka $ y = U_2 = xr $ dan $ z = U_3 = xr^2 $.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \frac{1}{x-y} - \frac{1}{y-z} & = \frac{1}{x-xr} - \frac{1}{xr-xr^2} \\ & = \frac{1}{x(1-r)} - \frac{1}{xr( 1 - r)} \\ & = \frac{1}{x(1-r)} \times \frac{r}{r} - \frac{1}{xr( 1 - r)} \\ & = \frac{r}{xr(1-r)} - \frac{1}{xr( 1 - r)} \\ & = \frac{r - 1}{xr(1-r)} = \frac{-(1-r)}{xr(1-r)} \\ & = \frac{-1}{xr} = \frac{-1}{y} = - \frac{1}{y} \end{align} $
Jadi, bentuk $ \frac{1}{x-y} - \frac{1}{y-z} = - \frac{1}{y} . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Titik pusat lingkaran L terletak di kuadran I dan terletak pada garis $ y = 2x + 1 $. Jika lingkaran L menyinggung sumbu Y di titik ($0,11$), maka persamaan lingakran L adalah ....
A). $ x^2 + y^2 - 5x - 11y = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 + 5x + 11y - 242 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 - 10x - 22y + 121 = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 - 5x + 11y = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 + 10x + 22y - 363 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Lingkaran :
*). Persamaan lingkaran yang berpusat di titik ($a,b$) dan jari-jari $ r $ adalah $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $.
*). Lingakaran menyinggung sumbu Y di titik ($0,p$), maka :
Pusat lingkarannya : $(a,p) $
Jari-jari : $ r = a $.
*). Jika titik terletak pada sebuah garis, maka titik tersebut bisa kita substitusikan ke persamaan garis tersebut.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Lingkaran menyinggung sumbu Y di titik ($0,11$), maka :
Pusat lingkaran : ($a,11$),
Jari-jari lingkaran : $ r = a $.
Ilustrasi gambarnya :
 

*). Titik pusat ($a,11$) terletak pada garis $ y = 2x + 1 $, substitusikan titik pusat ke garis :
$\begin{align} (x,y) = (a,11) \rightarrow y & = 2x + 1 \\ 11 & = 2a + 1 \\ 10 & = 2a \\ 5 & = a \end{align} $
Sehingga pusat lingkaran : $ (a,b)=(5,11) $,
Jari-jari : $ r = a = 5 $.
*). Menyusun persamaan lingkaran :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-5)^2 + (y-11)^2 & = 5^2 \\ x^2 - 10x + 25 + y^2 - 22y + 121 & = 25 \\ x^2 + y^2 - 10x - 22y + 121 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan lingakrannya : $ x^2 + y^2 - 10x - 22y + 121 = 0 . \, \heartsuit $