Cara 2 Pembahasan Limit UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}} $ sama dengan ....
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penyelesaian limit tak hingga fungsi aljabar adalah pembagian koefisien variabel pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya, dimana variabel pangkat tertinggi yang dimaksud adalah pangkat yang paling tinggi dari pembilang dan oenyebutnya.
Rumus : $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax^n + c x^{n-1} + ...}{bx^n + d x^{n-1} + ...} = \frac{a}{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan pangkat pembilang dan penyebutnya, pangkat tertinggi masing-masing adalah $ \frac{1}{2} $ (karena akar), sehingga kita cukup mengambil koefisien masing-masing saja :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt{1.x} }{\sqrt{1.x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}} \\ & = \frac{\sqrt{1 } }{\sqrt{1}} = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Limit Takhingga UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}} $ sama dengan ....
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit Tak Hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{1}{x^n} = \frac{1}{\infty ^ n } = 0 $ untuk $ n $ bilangan asli.
*). sifat bentuk akar :
$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $ dan $ \frac{\sqrt{a}}{b} = \sqrt{\frac{a}{b^2}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal dengan kali $ \frac{1}{\sqrt{x}} $ :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt{x} }{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}} \times \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{1 }{\sqrt{ \frac{ x + \sqrt{x + \sqrt{x}} }{x} }} = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{1 }{\sqrt{ 1 + \frac{ \sqrt{x + \sqrt{x}} }{x} }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{1 }{\sqrt{ 1 + \sqrt{ \frac{x + \sqrt{x}}{x^2}} }} = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{1 }{\sqrt{ 1 + \sqrt{ \frac{1}{x} + \frac{ \sqrt{x}}{x^2} }}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{1 }{\sqrt{ 1 + \sqrt{ \frac{1}{x} + \sqrt{ \frac{x}{x^4}} }}} = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{1 }{\sqrt{ 1 + \sqrt{ \frac{1}{x} + \sqrt{ \frac{1}{x^3}} }}} \\ & = \frac{1 }{\sqrt{ 1 + \sqrt{ \frac{1}{ \infty} + \sqrt{ \frac{1}{ \infty^3}} }}} = \frac{1 }{\sqrt{ 1 + \sqrt{ 0 + \sqrt{ 0} }}} \\ & = \frac{1 }{\sqrt{ 1 }} = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Program Linear UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ F = 10x + 15y $ dengan syarat $ x \geq 0 $ , $ y \geq 0 $ , $ x \leq 800 $ , $ y \leq 600 $ dan $ x + y \leq 1000 $ mempunyai nilai maksimum ....
A). $ 9.000 \, $ B). $ 11.000 \, $ C). $ 13.000 \, $
D). $ 15.000 \, $ E). $ 16.000 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan nilai optimum pada program linear, bisa menggunakan metode uji titik pojok yang langkah-langkahnya :
1). Buat daerah himpunan penyelesaiannya (DHP),
2). Tentukan titik pojok DHP nya,
3). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya, lalu pilih sesuai permintaan soal ( jika minimum maka pilih yang terkecil dan jika maksimum maka pilih yang terbesar).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Daerah himpunan penyelesaian (DHP) :
Garis I : $ x \leq 800 \, $ (garis tegak)
Garis II : $ y \leq 600 \, $ (garis mendatar)
Garis III : $ x + y \leq 1000 \rightarrow (0,1000) , ( 1000,0) $
Garis IV : $ x \geq 0 \rightarrow \, $ Sumbu Y
Garis V : $ y \geq 0 \rightarrow \, $ Sumbu X
 
*). Menentukan titik pojoknya :
-). Titik $ A(800,0) , \, D(0,600) $
-). Titik B, substitusi $ x = 800 $ ke garis III
$ x + y = 1000 \rightarrow 800 + y = 1000 \rightarrow y = 200 $
titik $ B (800,200) $
-). Titik C, substitusi $ y = 600 $ ke garis III
$ x + y = 1000 \rightarrow x + 600 = 1000 \rightarrow x = 400 $
titik $ C (400,600) $
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi $ F = 10x + 15y $ :
$ \begin{align} A \rightarrow F & = 10 \times 800 + 15 \times 0 = 8000 \\ B \rightarrow F & = 10 \times 800 + 15 \times 200 = 11000 \\ C \rightarrow F & = 10 \times 400 + 15 \times 600 = 13000 \\ D \rightarrow F & = 10 \times 0 + 15 \times 600 = 9000 \end{align} $.
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ 13.000 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 Pembahasan Grafik UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan fungsi trigonometri dengan grafik seprti di atas adalah ....
A). $ y = \frac{3}{2} \sin x \, $
B). $ y = \sin 2x \, $
C). $ y = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \, $
D). $ y = \frac{3}{2} \cos \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) \, $
E). $ y = -\frac{3}{2} \cos \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Salah satu trik termudah dalam menentukan persamaan suatu grafik yang diketahui pada soal pilihan ganda adalah dengan substitusi titik yang dilalui oleh grafiknya ke setiap opsion. Misalkan titiknya $(a,b) $ , artinya substitusi $ x = a $ dan kita hitung, maka yang benar adalah opsi yang nilainya $ y = b $. Jika ada beberapa opsion benar, maka opsion yang benar tadi kita substitusikan lagi titik lain yang diketahu sehingga tersisa satu yang benar.
*). Salah satu keuntungan metode ini adalah kita tidak perlu menghafal jenis-jenis persamaannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan grafik fungsi trigonometri di atas :
Grafik melalui titik $ (\frac{\pi}{4} , \frac{3}{2} $. Titik inilah yang akan kita substitusi ke setiap opsionnya, yaitu nilai $ x = \frac{\pi}{4} $ dan harus menghasilkan $ y = \frac{3}{2} $.
*). Menentukan persamaan grafiknya :
$\begin{align} (A). \, y & = \frac{3}{2} \sin x = \frac{3}{2} \sin \frac{\pi}{4} \\ & = \frac{3}{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{3}{4}\sqrt{2} \, \, \text{(SALAH)} \\ (B). \, y & = \sin 2x = \sin 2 . \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{2} \\ & = 1 \, \, \text{(SALAH)} \\ (C). \, y & = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} \right) \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} \, \, \text{(SALAH)} \\ (D). \, y & = \frac{3}{2}\cos \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) = \frac{3}{2}\cos \left( 2. \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} \right) \\ & = \frac{3}{2} . (-1) = -\frac{3}{2} \, \, \text{(SALAH)} \\ (E). \, y & = -\frac{3}{2}\cos \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) = -\frac{3}{2}\cos \left( 2. \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} \right) \\ & = - \frac{3}{2} . (-1) = \frac{3}{2} \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Artinya yang benar adalah opsi E.
Jadi, persamaannya adalah $ y = - \frac{3}{2} \cos \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Grafik Trigonometri UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan fungsi trigonometri dengan grafik seprti di atas adalah ....
A). $ y = \frac{3}{2} \sin x \, $
B). $ y = \sin 2x \, $
C). $ y = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \, $
D). $ y = \frac{3}{2} \cos \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) \, $
E). $ y = -\frac{3}{2} \cos \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan $ y = A \sin kx $ memiliki amplitudo A (titik puncak) dan periode $ = \frac{2\pi}{k} $ dengan grafik mulai dari titik $ (0,0) $. Jika gelombang pertama di atas sumbu X, maka nilai A positif.
*). Sudut komplemen :
$ A\sin kx = -A \cos \left( kx + \frac{\pi}{2} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan grafik fungsi trigonometri di atas :
-). Titik puncaknya (amplitudo) adalah $ \frac{3}{2} $ serta gelombang pertama dari titik $(0,0) $ di atas sumbu X, sehingga $ A = \frac{3}{2} $.
-). Periode (satu gelombang dan satu lembah) adalah $ \pi $ , sehingga
$ P = \frac{2\pi}{k} \rightarrow k = \frac{2\pi}{P} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 $.
*). Menentukan persamaan grafiknya :
$\begin{align} y & = A \sin kx \\ & = \frac{3}{2} \sin 2x \, \, \, \, \, \, \text{(sudut komplemen)} \\ & = - \frac{3}{2} \cos \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) \end{align} $
Jadi, persamaannya adalah $ y = - \frac{3}{2} \cos \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)