Pembahasan Fungsi Komposisi UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x+2)=\frac{x+1}{x-2}, x\neq 2 $ dan $ g(x) = x+1$ , maka semua nilai $ y = (f\circ g)(x) $ yang mungkin untuk $ x \geq 6 $ adalah ....
A). $ y \geq 2 \, $
B). $ 1 \leq y \leq 2 \, $
C). $ 0 < y \leq 2 \, $
D). $ -2 \leq y < 2 \, $
E). $ y < -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi komposisi :
$ (f\circ g)(x) = f(g(x)) $.
(fungsi kanan masuk ke fungsi kiri).
*). Limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax+b}{cx+d} = \frac{a}{c} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ f(x) $ :
Misalkan $ p = x + 2 \rightarrow x = p - 2 $
$\begin{align} f(x+2) & = \frac{x+1}{x-2} \\ f(p) & = \frac{(p-2)+1}{(p-2)-2} \\ f(p) & = \frac{p-1}{p-4} \\ f(x) & = \frac{x-1}{x-4} \end{align} $
*). Menentukan $ y = (f\circ g)(x) $ :
$\begin{align} y & = (f\circ g)(x) \\ y & = f(g(x)) \\ & = f(x+1) \\ & = \frac{(x+1)-1}{(x+1)-4} \\ & = \frac{x}{x-3} \end{align} $
*). Nilai $ y $ untuk $ x \geq 6 $ , artinya kita harus mencari nilai maksimum dan minimum $ y $ untuk $ x \geq 6 $ atau nilai $ x $ ada pada interval $ 6 \leq x \leq \infty $.
*). Menentukan nilai $ y $ pada interval $ 6 \leq x \leq \infty $ :
-). Untuk $ x = 6 $
$ y = \frac{x}{x-3} = \frac{6}{6-3} = \frac{6}{3} = 2 $.
-). Untuk $ x $ mendekati $ \infty $
$ y = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x}{x-3} = \frac{1}{1} = 1 $.
*). Kita peroleh nilai maksimum $ y $ adalah 2 dan nilai minimumnya adalah 1 yang dapat kita tulis dalam interval $ 1 \leq y \leq 2 $.
Jadi, semua nilai $ y $ adalah $ 1 \leq y \leq 2 . \, \heartsuit $

Diposting oleh 3 komentar:
Label:

Pembahasan Limit UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x(2x^2-3x+1)^\frac{3}{2}}{(x^2-1)\sqrt{x-1}} = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika limit bentuk tak tentu (hasilnya $\frac{0}{0}$), maka bisa diselesaikan dengan pemfaktoran lalu disederhanakan.
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n}, \, (ab)^n = a^n.b^n , \, $ dan $ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x(2x^2-3x+1)^\frac{3}{2}}{(x^2-1)\sqrt{x-1}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x[(2x-1)(x-1)]^\frac{3}{2}}{(x+1)(x-1).(x-1)^\frac{1}{2}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x(2x-1)^\frac{3}{2}(x-1)^\frac{3}{2}}{(x+1)(x-1)^{1+\frac{1}{2}}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x(2x-1)^\frac{3}{2}(x-1)^\frac{3}{2}}{(x+1)(x-1)^{\frac{3}{2}}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x(2x-1)^\frac{3}{2}}{(x+1)} \\ & = \frac{1.(2.1-1)^\frac{3}{2}}{(1+1)} \\ & = \frac{1.(1)^\frac{3}{2}}{2} = \frac{1.1}{2} = \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{2} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Statistika UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
Suatu desa berpenduduk 5000 jiwa, terdiri atas kelompok berpendidikan terakhir SD, SMP, SMA, dan Perguruan TInggi (PT). Perbandingan jumlah penduduk berpendidikan terakhir SD, SMP, dan SMA sebesar $ 2 : 6 : 4 $. Jika persentase penduduk berpendidikan PT sebesar 4% dari total penduduk desa, maka jumlah penduduk berpendidikan terakhir SD sebesar ....
A). $ 2400 $ B). $ 2000 $ C). $ 1600 $ D). $ 1000 $ E). $ 800 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan suatu data yang diketahui persentasenya bisa menggunakan konsep perbandingan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui pada soal :
-). SD : SMP : SMA = 2 : 6 : 4
-). PT = 4% dari keseluruhan penduduk, sehingga sisanya 96% adalah penduduk berpendidikan $ \text{SD + SMP + SMA} $.
*). Menentukan persentase SD :
Dari nilai perbandingan,
$\begin{align} \frac{\text{%SD}}{\text{%(SD + SMP + SMA)}} & = \frac{2}{2 + 6 + 4} \\ \frac{\text{%SD}}{96\%} & = \frac{2}{12} \\ \text{%SD} & = \frac{2}{12} \times 96\% \\ \text{%SD} & = 16\% \end{align} $
Artinya banyak SD adalah 16% dari keseluruhan penduduk.
*). Menentukan penduduk berpendidikan SD :
$\begin{align} \text{ Banyak SD } & = 16\% \times \text{ keseluruhan} \\ & = \frac{16}{100} \times 5000 \\ & = 800 \end{align} $
Jadi, jumlah penduduk berpendidikan terakhir SD ada $ 800 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Peluang UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
A, B, C, D, dan E akan berfoto bersama. Peluang A dan B selalu berdampingan dan E selalu berada di ujung kanan adalah ....
A). $ \frac{2}{5} \, $ B). $ \frac{1}{5} \, $ C). $ \frac{1}{10} \, $ D). $ \frac{1}{20} \, $ E). $ \frac{1}{30} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Peluang Kejadian A :
$ \, \, \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A,
$ n(A) = \, $ banyaknya kejadian yang diinginkan,
$ n(S) = \, $ semua kemungkinan (ruang sampel).
*). Banyak penyusunan duduk :
Jika ada $ n $ orang duduk, maka semua susunan yang mungkin $ n! $.
Dengan $ n! = n.(n-1).(n-2)...3.2.1 $.
Contoh : $ 2! = 2.1 , \, 3! = 3.2.1 , \, 5! = 5.4.3.2.1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ n(S) $ :
Ada lima orang duduk (A, B, C, D, dan E), sehingga total cara duduk (tanpa ada sayarat) adalah $ 5! $.
*). Menentukan $ n(A) $ :
-). E selalu ada di ujung kanan, sehingga ada 1 cara.
-). A dan B selalu berdampingan (kita blok menjadi satu objek), sehingga kita akan menyusun 3 orang (AB, C, dan D) dengan banyak cara $ 3! $.
-). A dan B bisa kita susun ulang dengan dua cara yaitu AB atau BA sehingga ada 2 cara.
Nilai Kejadian harapannya $n(A) $ adalah :
$ n(A) = 1. 3!. 2 = 3!.2 $
*). Menentukan $ P(A) $ :
$\begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} \\ & = \frac{3!.2}{5!} \\ & = \frac{3!.2}{5.4.3!} = \frac{2}{5.4} = \frac{1}{10} \end{align} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{1}{10} . \, \heartsuit $

Diposting oleh 1 komentar:
Label:

Pembahasan Trigonometri UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 0 < x < 2\pi $ dan $ \cot ^2 x + 2\csc x + 2 = 0 $ , maka $ \cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \cot x = \frac{\cos x }{\sin x} , \, \csc x = \frac{1}{\sin x} $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
*). Hubungan kuadran (Sudut berelasi) :
$ \cos (90^\circ + x ) = \cos \left( \frac{\pi}{2} + x \right) = -\sin x $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \cot ^2 x + 2\csc x + 2 & = 0 \\ \frac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x} + \frac{2}{\sin x} + 2 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali } \sin ^2 x) \\ \cos ^2 x + 2\sin x + 2 \sin ^2 x & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ 1 - \sin ^2 x + 2\sin x + 2 \sin ^2 x & = 0 \\ \sin ^2 x + 2\sin x + 1 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(misal } p = \sin x) \\ p^2 + 2p +1 & = 0 \\ (p+1)^2 & = 0 \\ p & = -1 \end{align} $
Artinya nilai $ \sin x = p = -1 $.
Sehingga nilai :
$ \cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = - \sin x = -(-1) = 1 $.
Jadi, nilai $ \cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = 1 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Matriks UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a $ memenuhi $ \left( \begin{matrix} a^2 & 3 \\ 0 & 6a \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a & 5 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 20 & -1 \\ -2 & a^2 + 5 \end{matrix} \right)^T $ dengan $ A^T $ menyatakan transpose matriks A, maka $ a^2 + a = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 20 \, $ D). $ 30 \, $ E). $ 42 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Matriks
*). Transpose matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^T = \left( \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right) $.
*). Penjumlahan dilakukan dengan elemen yang seletak.
*). Kesamaan dua matriks artinya setiap elemen yang seletak nilainya sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} a^2 & 3 \\ 0 & 6a \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & 5 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 20 & -1 \\ -2 & a^2 + 5 \end{matrix} \right)^T \\ \left( \begin{matrix} a^2 & 3 \\ 0 & 6a \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & 5 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 20 & -2 \\ -1 & a^2 + 5 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a^2 & 3 \\ 0 & 6a \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a + 20 & 3 \\ 0 & a^2 + 5 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ a^2 = a + 20 \, $ ....pers(i)
$ 6a = a^2 + 5 \, $ ....pers(ii)
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} 6a & = a^2 + 5 \\ 6a & = (a + 20) + 5 \\ 5a & = 25 \\ a & = 5 \end{align} $
Sehingga nilai $ a^2 + a = 5^2 + 5 = 25 + 5 = 30 $.
Jadi, nilai $ a^2 + a = 30 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)