Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2002 Nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Diketahui $ 4x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0 \, $ supaya kedua akar - akarnya real berbeda dan positif haruslah .....
$\spadesuit \, $ PK : $ 4x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0 $
$ \rightarrow a=4, b= -2m, c = 2m-3 $
$\spadesuit \, $ Syarat akar real beda positif
$ x_1+x_2 > 0, \, x_1.x_2 > 0 , \, D > 0 $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan syarat-syaratnya
*) $ x_1+x_2 > 0 \rightarrow \frac{-b}{a} > 0 \rightarrow \frac{-(-2m)}{4} > 0 \rightarrow m > 0 \, $ ....(HP1)
*) $ x_1.x_2 > 0 \rightarrow \frac{c}{a} > 0 \rightarrow \frac{2m-3}{4} > 0 \rightarrow m > \frac{3}{2} \, $ ....(HP2)
*) syarat $ D > 0 $
$\begin{align} D & > 0 \\ b^2-4ac & > 0 \\ (-2m)^2-4.4.(2m-3) & > 0 \\ 4m^2 - 32m + 48 & > 0 \, \, \text{(bagi 4)} \\ m^2 - 8m + 12 & > 0 \\ (m-2)(m-6) & > 0 \\ m = 2 \vee m & = 6 \end{align}$
spmb_mat_ipa_5_2002.png
HP3 = $ \{ m < 2 \vee m > 6 \} $
Sehingga HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ \frac{3}{2} < m < 2 \vee m > 6 \} $
Jadi, solusinya $ HP = \{ \frac{3}{2} < m < 2 \vee m > 6 \} . \heartsuit $
Nomor 7
Himpunan penyelesaian pertaksamaan : $ 2 \log (x-2) \leq \log (2x-1) \, $ adalah .....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
${}^a \log b = c , \, $ syaratnya : $ a > 0, a\neq 1, \, b > 0 $
$ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
$ {}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) \leq g(x) , \, $ syaratnya $ a > 1 $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan syarat logaritma
$ 2 \log (x-2) \leq \log (2x-1) \, $
Syarat :
$x-2 > 0 \rightarrow x > 2 $
$2x-1 > 0 \rightarrow x > \frac{1}{2} $
yang memenuhi kedua syarat adalah : HP1 = $ \{ x > 2 \} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaan
$\begin{align} 2 \log (x-2) & \leq \log (2x-1) \\ \log (x-2)^2 & \leq \log (2x-1) \, \, \text{(coret log nya)} \\ (x-2)^2 & \leq (2x-1) \\ (x-2)^2 & \leq (2x-1) \\ x^2 -4x + 4 & \leq (2x-1) \\ x^2 -4x + 4 - 2x + 1 & \leq 0 \\ x^2 -6x + 5 & \leq 0 \\ (x-1)(x-5) & \leq 0 \\ x=1 \vee x & = 5 \end{align}$
spmb_mat_ipa_6_2002.png
HP2 = $ \{ 1 \leq m \leq 5 \} $
Sehingga $ HP = HP1 \cap HP2 = \{ 2 < m \leq 5 \} $
Jadi, solusinya $ HP = \{ 2 < m \leq 5 \} . \heartsuit$
Nomor 8
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{7x^2 + \sin (2x^2) }{\tan ^2 3x} = ...... $
$\spadesuit \, $ Konsep limit
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ax}{\tan bx} = \frac{a}{b} \, $ dan $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{\tan bx} = \frac{a}{b} $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan limitnya
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{7x^2 + \sin (2x^2) }{\tan ^2 3x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{7x^2 }{\tan ^2 3x} + \frac{ \sin (2x^2) }{\tan ^2 3x} \\ & = \frac{7}{3^2} + \frac{2}{3^2} \\ & = \frac{7}{9} + \frac{2}{9} = \frac{9}{9} = 1 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah 1. $ \heartsuit$
Nomor 9
Himpunan penyelesaian pertaksamaan $ x^2 - |x| \leq 6 \, $ adalah .....
$\clubsuit \, $ Konsep Harga mutlak
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , \text{ untuk } \, x \geq 0 \\ & \text{(atau)} \\ -x & , \text{ untuk } \, x < 0 \\ \end{array} \right. $
$\clubsuit \, $ penyelesaian dibagi menjadi dua kasus
*) untuk $ x \geq 0 , \, $ maka $ \, |x| = x $
$\begin{align} x^2 - |x| & \leq 6 \, \, \text{ (ganti } \, |x| = x ) \\ x^2 - x & \leq 6 \\ x^2 - x - 6 & \leq 0 \\ (x+2)(x-3) & \leq 0 \\ x=-2 \vee x & = 3 \end{align}$
spmb_mat_ipa_7_2002.png
dari syarat $ x \geq 0 \, $, maka solusinya : HP1 = $ \{ 0 \leq x \leq 3 \} $
*) untuk $ x < 0 , \, $ maka $ \, |x| = -x $
$\begin{align} x^2 - |x| & \leq 6 \, \, \text{ (ganti } \, |x| = -x ) \\ x^2 - (-x) & \leq 6 \\ x^2 + x - 6 & \leq 0 \\ (x-2)(x+3) & \leq 0 \\ x=2 \vee x & = -3 \end{align}$
spmb_mat_ipa_8_2002.png
dari syarat $ x < 0 \, $, maka solusinya : HP2 = $ \{ -3 \leq x < 0 \} $
sehingga solusinya : HP = $ HP1 \cup HP2 = \{ -3 \leq x \leq 3 \} $
Jadi, solusinya $ HP = \{ -3 \leq x \leq 3 \} . \heartsuit $
Nomor 10
Titik P(a,b) dicerminkan terhadap sumbu X, bayangannya dicerminkan pula terhadap sumbu Y, maka bayangan terakhir titik P merupakan ......
A. Pencerminan titik P terhadap garis $ y = x $
B. Pencerminan titik P terhadap garis $ y = -x $
C. Pencerminan titik P terhadap garis sumbu Y
D. Perputaran titik P dengan pusat titik O(0,0) sebesar $ \pi $ radian berlawanan perputaran jarum jam
E. Perputaran titik P dengan pusat titik O(0,0) sebesar $ \frac{\pi}{2} $ radian berlawanan perputaran jarum jam
$\spadesuit \, $ Menentukan matriks gabungan
$ T_1 = $ (pencerminan sumbu X) $ = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$ T_2 = $ (pencerminan sumbu Y) $ = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
Matriks gabungannya (MT) :
$ MT = T_2.T_1 = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Matriks transformasi $ \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \, $ sama dengan matriks perputaran sebesar $ \pi \, $ berlawanan jarum jam
$\begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos \pi & -\sin \pi \\ \sin \pi & \cos \pi \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, solusinya opsi D. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2002


Nomor 1
Daerah $ D $ dibatasi oleh grafik fungsi $ y = \frac{1}{\sqrt{x}} , \, $ garis $ x = 1, \, $ garis $ x = 4, \, $ dan sumbu X. Jika garis $ x = c \, $ memotong daerah $ D $ sehingga menjadi daerah $ D_1 $ dan $ D_2 $ yang luasnya sama, maka $ c = .... $
$\clubsuit \, $ gambar
spmb_mat_ipa_1_2002.png
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ c $
$\begin{align} L_{D1} & = L_{D2} \\ \int \limits_1^c \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx & = \int \limits_c^4 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx \\ \int \limits_1^c x^{-\frac{1}{2}} \, dx & = \int \limits_c^4 x^{-\frac{1}{2}} \, dx \\ [2x^{\frac{1}{2}}]_1^c & = [2x^{\frac{1}{2}}]_c^4 \, \, \text{(bagi 2)} \\ [\sqrt{x}]_1^c & = [\sqrt{x}]_c^4 \\ \sqrt{c} - \sqrt{1} & = \sqrt{4} - \sqrt{c} \\ \sqrt{c} - 1 & = 2 - \sqrt{c} \\ 2\sqrt{c} & = 3 \\ \sqrt{c} & = \frac{3}{2} \\ c & = \frac{9}{4} \end{align}$
Jadi, nilai $ c = \frac{9}{4} . \heartsuit $
Nomor 2
Bidang V dan W berpotongan tegak lurus sepanjang garis $ g $. Garis $ l $ membentuk sudut $ 45^\circ $ dengan V dan $ 30^\circ $ dengan W. Sinus sudut antara $ l $ dan $ g $ adalah .....
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_mat_ipa_2_2002.png
BC = garis $ g $
sudut antara garis $ l $ dan $ g $ = $\angle $ ABC = $ \theta , \, $ sehingga harus ditentukan ukuran sisi-sisi $\Delta ABC $
$\spadesuit \, $ Menentukan ukuran segitiganya
*). $\Delta ABD, \, $ sudut ADB 45$^\circ $ sehingga sudut ABD juga 45$^\circ $ , yang artinya segitiga ABD siku-siku sama kaki. Misal panjang BD = DA = 2, maka panjang AB = 2$\sqrt{2} \, $ (dengan pythagoras).
*). $\Delta BEA, \, $ dengan BA = $2\sqrt{2} \, $ dan sudut ABE = $ 30^\circ . \, $ Untuk menentukan panjang BE dan EA dapat menggunakan aturan sin dan cos pada sudut ABE.
*). Sisi-sisi segitiga BCE dan CEA dapat dilengkapi dengan teorema pythagoras.
*). Diperolehlah panjang sisi-sisi segitiga ABC seperti gambar di atas.
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \cos \theta \, $ dengan aturan cosinus pada $\Delta ABC $
$\begin{align} AC^2 & = BC^2 + BA^2 - 2.BC.BA. \cos ABC \\ \cos ABC & = \frac{BC^2 + BA^2 - AC^2}{2.BC.BA} \\ \cos \theta & = \frac{(\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2}{2.\sqrt{2}.2\sqrt{2}} \\ \cos \theta & = \frac{2 + 8 - 6}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \end{align}$
spmb_mat_ipa_3_2002.png
Seingga nilai : $\sin \theta = \frac{1}{2} \sqrt{3} $
Jadi, nilai $ \sin \theta = \frac{1}{2} \sqrt{3} . \heartsuit $
Nomor 3
$u_1, u_2, u_3, .......... \, $ adalah barisan aritmetika dengan suku - suku positif, jika $ u_1+u_2+u_3 = 24 \, $ dan $ u_1^2 = u_3 -10 \, $ maka $ u_4 = ..... $
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika : $ u_n = a + (n-1)b $
$\clubsuit \, $ Menentukan hubungan $ a $ dan $ b $
$\begin{align} u_1+u_2+u_3 & = 24 \\ a+(a+b)+(a+2b) & = 24 \\ 3a+3b & = 24 \, \, \text{(bagi 3)} \\ a+b & = 8 \\ b & = 8 - a \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} u_1^2 & = u_3 -10 \\ a^2 & = (a+2b) -10 \, \, \text{( substitusi pers(i) )} \\ a^2 & = a+2(8-a) -10 \\ a^2 + a - 6 & = 0 \\ (a-2)(a+3) & = 0 \\ a = 2 \vee a & = -3 \end{align}$
Karena suku-suku positif, maka $ a = 2 \, $ yang memenuhi.
pers(i): $ b = 8 - a = 8 - 2 = 6 $
sehingga $ u_4 = a + 3b = 2 + 3.6 = 2 + 18 = 20 $
Jadi, nilai $ u_4 = 20 . \heartsuit$
Nomor 4
Jika $ \sin \left( A - \frac{\pi}{4} \right) - 5\cos \left( A - \frac{\pi}{4} \right) = 0, $ maka $ \tan A = ..... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x } $
$ \tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1+\tan A.\tan B} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \sin \left( A - \frac{\pi}{4} \right) - 5\cos \left( A - \frac{\pi}{4} \right) & = 0 \\ \sin \left( A - \frac{\pi}{4} \right) & = 5\cos \left( A - \frac{\pi}{4} \right) \\ \frac{\sin \left( A - \frac{\pi}{4} \right)}{\cos \left( A - \frac{\pi}{4} \right)} & = 5 \\ \tan \left( A - \frac{\pi}{4} \right) & = 5 \\ \frac{\tan A - \tan \frac{\pi}{4}}{1+\tan A.\tan \frac{\pi}{4}} & = 5 \\ \frac{\tan A - 1}{1+\tan A.1} & = 5 \\ \frac{\tan A - 1}{1+\tan A} & = 5 \\ \tan A - 1 & = 5 + 5\tan A \\ 4\tan A & = -6 \\ \tan A & = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ \tan A = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} . \heartsuit $
Nomor 5
Himpunan penyelesaian $ 2^{2-2x} + 2 > \frac{9}{2^x}, \, x \in R \, $ adalah .....
$\clubsuit \, $ konsep eksponen : $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $
$\clubsuit \, $ Misal $ p = 2^x $,
$\begin{align} 2^{2-2x} + 2 & > \frac{9}{2^x} \\ \frac{2^2}{2^{2x}} + 2 & > \frac{9}{2^x} \\ \frac{4}{(2^{x})^2} + 2 & > \frac{9}{2^x} \\ \frac{4}{p^2} + 2 & > \frac{9}{p} \, \, \text{( kali } \, p^2 ) \\ 4 + 2p^2 & > 9p \\ 2p^2 - 9p + 4 & > 0 \\ (2p-1)(p-4) & > 0 \\ p = \frac{1}{2} \rightarrow 2^x & = \frac{1}{2} \rightarrow x = -1 \\ p = 4 \rightarrow 2^x & = 4 \rightarrow x = 2 \end{align}$
spmb_mat_ipa_4_2002.png
Jadi, solusinya $ HP = \{ x < -1 \vee x > 2 \} . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15