Pembahasan Barisan Aritmetika SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 348

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ U_k $ dan $ S_k $ berturut-turut menyatakan suku ke-$k$ dan jumlah $ k $ suku pertama suatu barisan aritmetika. Jika $ U_2-U_4+U_6-U_8+U_{10}-U_{12}+U_{14}-U_{16}+U_{18} = 20 $, maka $ S_{19} = .... $
A). $ 630 \, $ B). $ 380 \, $ C). $ 210 \, $ D). $ 105 \, $ E). $ 21 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Aritmetika
*). RUmus suku ke-$n $ : $ U_n = a + (n-1)b $
*). Rumus jumlah $ n $ suku pertama : $ S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan dalam $ a $ dan $ b $ :
$ \begin{align} U_2-U_4+U_6-U_8+U_{10}-U_{12}+U_{14}-U_{16}+U_{18} & = 20 \\ (a+b)-(a+3b)+(a+5b)-(a+7b)+(a+9b)- & \\ (a+11b)+(a+13b)-(a+15b)+(a+17b) & = 20 \\ a + 9b & = 20 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ S_{19} $ berdasarka $ a + 9b = 20 $ :
$ \begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\ S_{19} & = \frac{19}{2}(2a+(19-1)b) \\ & = \frac{19}{2}(2a+18b) \\ & = \frac{19}{2}(2(a+9b)) \\ & = 19(a+9b) \\ & = 19 . 20 = 380 \end{align} $
Jadi, nilai $ S_{19} = 380 . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 348

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ A^T $ menyatakan transpos matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & 1 & 0 \\ 0 & 1 & b \end{matrix} \right) $ , dengan $ a \neq 0 $ , dan $ AA^T $ tidak mempunyai invers, maka $ a^2b^2 = .... $
A). $ -a^2 + b^2 \, $
B). $ -a^2 - b^2 \, $
C). $ a^2 + b^2 \, $
D). $ a^2 - b^2 \, $
E). $ b^2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Transpose matriks adalah perubahan baris jadi kolom atau kolom jadi baris.
*). Cara mengalikan dua matriks yaitu BARIS $ \times $ KOLOM.
*). Matriks B tidak mempunyai invers, maka nilai determinannya = 0
*). Determinan matariks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow det(A) = ad - bc $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matirks $ A.A^T $ dan determinannya :
$ \begin{align} A.A^T & = \left( \begin{matrix} a & 1 & 0 \\ 0 & 1 & b \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} a & 1 & 0 \\ 0 & 1 & b \end{matrix} \right)^T \\ & = \left( \begin{matrix} a & 1 & 0 \\ 0 & 1 & b \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} a & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} a^2 + 1 & 1 \\ 1 & b^2 + 1 \end{matrix} \right) \\ det(A.A^T) & = ( a^2 + 1). ( b^2 + 1 ) - 1.1 \\ & = a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 - 1 \\ & = a^2b^2 + a^2 + b^2 \end{align} $
*). Menentukan bentuk $ a^2b^2 $ dari syarat tidak punya invers :
$ \begin{align} det(A.A^T) & = 0 \\ a^2b^2 + a^2 + b^2 & = 0 \\ a^2b^2 & = -a^2 - b^2 \end{align} $
Jadi, bentuk $ a^2b^2 = -a^2 - b^2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Invers Fungsi SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 348

Soal yang Akan Dibahas
Jika fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers dan memenuhi $ f(2x) = x $ dan $ g\left( \frac{x+1}{x+2} \right) = 2x $ , untuk $ x \neq -2 $ , maka $ ( f \circ g )^{-1} (x) = .... $
A). $ x \, $ B). $ 2x \, $ C). $ \frac{2x-1}{2x-2} \, $ D). $ \frac{2x-1}{1 - x} \, $ E). $ \frac{x + 1}{x + 2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi invers fungsi :
$ f(A) = B \rightarrow f^{-1} (B) = A $
*). Sifat invers komposisi fungsi :
$ (f \circ g) ^{-1} (x ) = ( g^{-1} \circ f^{-1} ) (x) = g^{-1} ( f^{-1}(x)) $
(fungsi kanan masuk ke fungsi kiri)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan invers masing-masing fungsi dengan definisi invers:
$ \begin{align} f(2x) = x \rightarrow f^{-1} (x) & = 2x \\ g\left( \frac{x+1}{x+2} \right) = 2x \rightarrow g^{-1} (2x) & = \frac{x+1}{x+2} \end{align} $
*). Menentukan $ ( f \circ g )^{-1} (x) $ dengan sifat invers komposisi fungsi :
$ \begin{align} (f \circ g) ^{-1} (x ) & = ( g^{-1} \circ f^{-1} ) (x) \\ & = g^{-1} ( f^{-1}(x)) \\ & = g^{-1} ( 2x) \\ & = \frac{x+1}{x+2} \end{align} $
Jadi, bentuk $ ( f \circ g )^{-1} (x) = \frac{x+1}{x+2} . \, \heartsuit $