Kode 252 Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH, Titik M berada di rusuk AD sedemikian sehingga $ AM : MD = 1 : 2 $. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga $ CN : ND = 1 : 2 $ . Titik P berada di rusuk DH sedemikian sehingga $ DP : PH = 2 : 1 $. Jika $ \alpha $ adalah sudut antara bidang MNP dan garis FH, maka nilai $ \sin \alpha = .... $
A). $ \frac{1}{3} \sqrt{6} \, $ B). $ \frac{1}{3} \sqrt{5} \, $ C). $ \frac{1}{3} \sqrt{4} \, $ D). $ \frac{1}{3} \sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{3} \sqrt{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} $
*). Sudut antara bidang dan garis akan terbentuk jika keduanya bertemu (berptongan). Jika belum berpotongan, maka geser salah satunya sehingga keduanya bertemu. Menggesernya harus tetap sejajar dengan objek awalnya (garis atau bidang).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
Misalkan panjang rusuk kubus 6 satuan.
Kita geser HF sejajar sehingga berimpit dengan garis DB, sehingga :
$\angle (MNP,FH)=\angle (MNP,DB) = \angle DOP = \alpha $
*). Diagonal sisi DB dibagi menjadi 6 bagian sama panjang sehingga $ DO = 2\sqrt{2} $.
*). Panjang PO pada segitiga PDO :
$ PO=\sqrt{PD^2+DO^2} = \sqrt{4^2+(2\sqrt{2})^2} = \sqrt{16+8} = \sqrt{24}=2\sqrt{6} $
*). Menentukan nilai $ \sin \alpha $ :
$\begin{align} \sin \alpha & = \frac{PD}{PO} \\ & = \frac{4}{2\sqrt{6}} \\ & = \frac{2}{\sqrt{6}} \\ & = \frac{2}{6} \sqrt{6} = \frac{1}{3} \sqrt{6} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \alpha = \frac{1}{3} \sqrt{6} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 252 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Suatu transformasi T terdiri dari pencerminan terhadap garis $ y = x $ , dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu X. Jika $(2,3) $ dikenakan transformasi T sebanyak 24 kali, maka hasil transformasinya adalah .....
A). $(-2,-3) \, $ B). $ (2,-3) \, $ C). $ (-2,3) \, $ D). $ (2,3) \, $ E). $ (3,2) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Transformasi
*). Bayangan suatu objek oleh transformasi dapat ditentukan dengan cara :
Bayangan = Matriks $ \, \times \, $ Awal.
*). Sifat matriks identitas $(I)$ :
$ I^n = I \, $ dan $ I . A = A $
dengan $ n $ bilangan asli.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks $ T $ :
-). Pertama, pencerminan terhadap garis $ y = x $,
$ T_1 = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
-). Kedua, pencerminan terhadap sumbu X,
$ T_2 = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Sehingga :
$ \begin{align} T & = T_2 \circ T_1 \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Dilakukan transformasi oleh matriks T sebanyak 24 kali, artinya matriks gabungannya adalah :
$ \begin{align} MT & = \underbrace{T\circ T \circ T \circ ... \circ T}_{\text{sebanyak 24 kali}} \\ & = \underbrace{T\times T \times T \times ... \times T}_{\text{sebanyak 24 kali}} \\ & = T^{24} \end{align} $
*). Karena bentuk $ T = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) $ dan matriks gabungannya $ T^{24} $ , artinya kita harus mengalikan $ T $ sebanyak 24 kali. Namun untuk lebih memudahkan, kita cari polanya saja sebagai berikut :
$ \begin{align} T & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ T^2 & = T.T = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \\ T^4 & = T^2.T^2 = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) = I \end{align} $
Kita peroleh $ T^4 = I \, $ (matriks identitas).
Sehingga bentuk $ T^{24} $ bisa kita ubah menjadi :
$ T^{24} = [T^4]^6 = (I)^6 = I \, $ berdasarkan sifat identitas.
*). Menentukan bayangan titik $(2,3)$ oleh transformasi $ T^{24} $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = T^{24} . \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = I . \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangannya adalah $ (2,3) . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 252 Pembahasan Fungsi Naik Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) = \sec ^2 x - \tan x \sec x $ untuk $ 0 < x < 2\pi , \, x \neq \frac{\pi}{2} $ dan $ x \neq \frac{3\pi}{2} $ naik pada interval ....
A). $ 0 < x < 90^\circ \vee 90^\circ < x < 180^\circ \, $
B). $ 0 < x < 90^\circ \vee 270^\circ < x < 360^\circ \, $
C). $ 90^\circ < x < 180^\circ \, $
D). $ 90^\circ < x < 270^\circ \, $
E). $ 90^\circ < x < 300^\circ \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Rumus Dasar pada Trigonometri
$ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, $ dan $ \sec x = \frac{1}{\cos x} $
$ \begin{align} \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \cos ^2 x & = 1 - \sin ^2 x \\ & = (1 - \sin x )(1 + \sin x) \end{align} $.
*). Syarat fungsi $ y = f(x) $ naik : $ f^\prime (x) > 0 $
*). Turunan bentuk $ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan Soal dan turunannya :
$\begin{align} f(x) & = \sec ^2 x - \tan x \sec x \\ & = \frac{1}{\cos ^2 x} - \frac{\sin x}{\cos x} . \frac{1}{\cos x} \\ & = \frac{1}{\cos ^2 x} - \frac{\sin x}{\cos ^2 x} \\ & = \frac{1 - \sin x}{\cos ^2 x} \\ & = \frac{1 - \sin x}{1 - \sin ^2 x} \\ & = \frac{1 - \sin x}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} \\ & = \frac{1}{(1 + \sin x)} \\ f(x) & = (1 + \sin x)^{-1} \\ f^\prime (x) & = -1.(1 + \sin x)^{-2} . \cos x \\ & = -1.\frac{1}{(1 + \sin x)^2} . \cos x \\ & = \frac{-\cos x}{(1 + \sin x)^2} \end{align} $
*). Syarat Fungsi Naik :
$ \begin{align} f^\prime (x ) & > 0 \\ \frac{-\cos x}{(1 + \sin x)^2} & > 0 \\ \cos x & = 0 \rightarrow x =\{ 90^\circ , \, 270^\circ \} \\ 1 + \sin x & = 0 \rightarrow x = 270^\circ \end{align} $
*). Garis bilangan dan tanda ($+/-$) daerahnya dengan ujik titik pada ruas kiri pertidaksamaan di atas :
 
Yang diminta $ > 0 \, $ (daerah bertanda positif).
Jadi, fungsi $ f(x) $ naik pada interval $ \{ 90^\circ < x < 270^\circ \} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 : Kode 252 Pembahasan Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Segitiga ABD siku-siku di B. Titik C pada BD sehingga $ CD = 3 $ dan $ BC = 2 $. Jika $ AB = 1 $ dan $ \angle CAD = \beta $ , maka $ \sin ^2 \beta = .... $
A). $\frac{25}{26} \, $ B). $\frac{4}{5} \, $ C). $\frac{31}{175} \, $ D). $ \frac{9}{130} \, $ E). $ \frac{5}{201} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Trigonometri :
*). Rumus perbandingan trigonometri segitiga siku-siku :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} \, $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $
*). Rumus Selisih sudut :
$ \sin (x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.
 
*). Panjang AC pada segitiga ABC :
$ AC =\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $
Nilai $ \sin x = \frac{2}{\sqrt{5}} \, $ dan $ \cos x =\frac{1}{\sqrt{5}} $
*).Panjang AD pada segitiga ABD :
$ AD =\sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26} $
Nilai $ \sin A = \frac{5}{\sqrt{26}} \, $ dan $ \cos A =\frac{1}{\sqrt{26}} $
*). Pada gambar di atas berlaku : $ x + \beta = A $.
*). Menentukan nilai $ \sin ^2 \beta $ :
$\begin{align} x + \beta & = A \\ \beta & = A - x \\ \sin \beta & = \sin (A - x ) \\ & = \sin A \cos x - \cos A \sin x \\ & = \frac{5}{\sqrt{26}} . \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{26}} . \frac{2}{\sqrt{5}} \\ & = \frac{5}{\sqrt{130}} - \frac{2}{\sqrt{130}} \\ \sin \beta & = \frac{3}{\sqrt{130}} \\ \sin ^2 \beta & = ( \frac{3}{\sqrt{130}} )^2 \\ \sin ^2 \beta & = \frac{9}{130} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin ^2 \beta = \frac{9}{130} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 252 Pembahasan Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Segitiga ABD siku-siku di B. Titik C pada BD sehingga $ CD = 3 $ dan $ BC = 2 $. Jika $ AB = 1 $ dan $ \angle CAD = \beta $ , maka $ \sin ^2 \beta = .... $
A). $\frac{25}{26} \, $ B). $\frac{4}{5} \, $ C). $\frac{31}{175} \, $ D). $ \frac{9}{130} \, $ E). $ \frac{5}{201} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Aturan Cosinus
Pada segitiga ABC di atas, berlaku aturan cosinus :
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} $
$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos A \rightarrow \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2 }{2ac} $
$ c^2 = b^2 + a^2 - 2ba \cos A \rightarrow \cos C = \frac{b^2 + a^2 - c^2 }{2ba} $
*). Identitas Trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.
 
Panjang AC pada segitiga ABC :
$ AC =\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $
Panjang AD pada segitiga ABD :
$ AD =\sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26} $
*). Aturan Cosinus pada segitiga ACD :
$\begin{align} \cos CAD & = \frac{AC^2 + AD^2 - CD^2}{2.AC.AD} \\ \cos \beta & = \frac{(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{26})^2 - 3^2}{2.\sqrt{5}.\sqrt{26}} \\ & = \frac{5 + 26 - 9 }{2\sqrt{130}} \\ & = \frac{22}{2\sqrt{130}} = \frac{11}{\sqrt{130}} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sin ^2 \beta $ dengan identitas:
$\begin{align} \sin ^2 \beta & = 1 - \cos ^2 \beta \\ & = 1 - (\frac{11}{\sqrt{130}} )^2 \\ & = 1 - \frac{121}{130} \\ & = \frac{9}{130} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin ^2 \beta = \frac{9}{130} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)