Pembahasan Logaritma UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ {}^{a^2} \log (3^a - 8)^{-4} . {}^3 \log \sqrt{a} = a - 2 $ , maka $ {}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ -2 \, $ D). $ -3 \, $ E). $ -4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat logaritma :
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} \, {}^a \log b $
$ {}^{a } \log b^n = n \, {}^a \log b $
$ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
*). Sifat eksponen :
$ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ 3^a = p > 0 $
*). Mengubah persamaannya :
$\begin{align} {}^{a^2} \log (3^a - 8)^{-4} . {}^3 \log \sqrt{a} & = a - 2 \\ {}^3 \log \sqrt{a} . {}^{a^2} \log (3^a - 8)^{-4} & = a - 2 \\ {}^3 \log a^\frac{1}{2} . {}^{a^2} \log (3^a - 8)^{-4} & = a - 2 \\ \frac{1}{2} \, {}^3 \log a . \frac{-4}{2} \, {}^{a} \log (3^a - 8) & = a - 2 \\ \frac{1}{2} . \frac{-4}{2} \, {}^3 \log a . {}^{a} \log (3^a - 8) & = a - 2 \\ (-1) \, {}^3 \log (3^a - 8) & = a - 2 \\ {}^3 \log (3^a - 8) & = -(a - 2) \\ {}^3 \log (3^a - 8) & = 2 - a \\ 3^a - 8 & = 3^{2 - a} \\ 3^a - 8 & = \frac{3^2}{3^a} \\ p - 8 & = \frac{9}{p} \\ p^2 - 8p & = 9 \\ p^2 - 8p - 9 & = 0 \\ (p +1)(p-9) & = 0 \\ p = -1 \vee p & = 9 \end{align} $
Yang memenuhi $ p = 9 $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} p & = 9 \\ 3^a & = 3^2 \\ a & = 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ {}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) $ :
$\begin{align} {}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) & = {}^2 \log \left( \frac{1}{2^3} \right) \\ & = {}^2 \log \left( 2^{-3} \right) \\ & = (-3) \, {}^2 \log 2 \\ & = -3 . 1 = -3 \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) = -3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan bilangan real $ a > 0 $ dan $ a \neq 1 $. Jika $ {}^a \log y $ , $ {}^a \log (y+1) $ , $ {}^a \log (3y+1) $ membentuk tiga suku berurutan barisan aritmatika, maka kuadrat nilai-nilai $ y $ yang mungkin adalah ....
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 1 $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan aritmetika yaitu selisih sama.
Misalkan ada barisan : $ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, .... $
Berlaku : $ u_2-u_1=u_3-u_2=u_4-u_3=.... $
*). Bentuk $ {}^a \log b $ syaratnya $ a > 0, b > 0, a \neq 1 $.
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui Jika $ {}^a \log y $ , $ {}^a \log (y+1) $ , $ {}^a \log (3y+1) $ membentuk tiga suku berurutan barisan aritmatika, artinya $ u_1 = {}^a \log y $ , $ u_2 = {}^a \log (y+1) $ , dan $ u_3 = {}^a \log (3y+1) $. Sesuai syarat logaritma, maka $ y > 0 $.
*). Menentukan nilai $ y $ dengan ciri-ciri aritmetika :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ {}^a \log (y+1) - {}^a \log y & = {}^a \log (3y+1) - {}^a \log (y+1) \\ {}^a \log \frac{y+1}{y} & = {}^a \log \frac{3y+1}{y+1} \\ \frac{y+1}{y} & = \frac{3y+1}{y+1} \\ y(3y+1) & = (y+1)^2 \\ 3y^2 + y & = y^2 + 2y + 1 \\ 2y^2 - y - 1 & = 0 \\ (2y +1)(y-1) & = 0 \\ y = -\frac{1}{2} \vee y & = 1 \end{align} $
Karena $ y > 0 $ , maka $ y = 1 $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ y^2 $ :
$\begin{align} y^2 & = 1^2 = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ y^2 = 1 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Trigonometri UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ , maka nilai minimum dari $ \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $ tercapai saat $ x = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ -\frac{\pi}{12} \, $ C). $ -\frac{\pi}{9} \, $ D). $ -\frac{\pi}{8} \, $ E). $ -\frac{\pi}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai minimum atau maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
Jika ada interval $ a \leq x \leq b \, $ , maka batas intervalnya juga bisa menjadi kandidat menyebabkan fungsi $ y=f(x) $ maksimum atau minimum ($ x = a $ dan $ x = b $ juga dicek nilainya ke fungsi $ y = f(x) $).
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \csc g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . (-\csc g(x) . \cot g(x)) $
*). Rumus trigonometri dasar :
$ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \, $ dan $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} $
$ \cot A = \tan (90^\circ - A) \, $ dan $ \tan A = \cot (90^\circ - A) $
$ \tan (A-B) = -\tan (B-A) $
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $
$ \sin 2A = 2\sin A . \cos A $
$ \csc A = \frac{1}{\sin A} \, $ dan $ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} $
*). Penyelesaian persamaan trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki penyelesaian :
(i). $ f(x) = \theta + k.360^\circ $ dan
(i). $ f(x) = -\theta + k.360^\circ $
Nilai $ \pi = 180^\circ $ dan $ k $ bilangan bulat

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi $ y = \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $
atau $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
pada interval $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ atau ditulis $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Mengubah bentuk fungsinya dan turunannya :
$\begin{align} y & = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) \\ y & = \tan [90^\circ - ( x+ 60^\circ )] - \cot [90^\circ - (120^\circ - x )] \\ y & = \tan (30^\circ - x) - \cot (x - 30^\circ) \\ y & = -\tan (x - 30^\circ ) - \cot (x - 30^\circ) \\ y & = -\frac{\sin (x - 30^\circ )}{\cos (x - 30^\circ )} - \frac{\cos (x - 30^\circ )}{\sin (x - 30^\circ )} \\ y & = \frac{-\sin ^2 (x - 30^\circ ) - \cos ^2 (x - 30^\circ )}{\sin (x - 30^\circ ). \cos (x - 30^\circ )} \\ y & = \frac{-[\sin ^2 (x - 30^\circ ) + \cos ^2 (x - 30^\circ )]}{\frac{1}{2} . \sin 2(x - 30^\circ )} \\ y & = \frac{-2}{\sin (2x - 60^\circ )} = -2\csc (2x - 60^\circ ) \\ y^\prime & = (-2). (2). (-\csc (2x - 60^\circ ) . \cot (2x - 60^\circ )) \\ & = 4. \frac{1}{\sin (2x - 60^\circ )} . \frac{\cos (2x - 60^\circ ) }{\sin (2x - 60^\circ )} \\ & = \frac{4 \cos (2x - 60^\circ ) }{\sin ^2 (2x - 60^\circ )} \end{align} $
*). Syarat $ y^\prime = 0 $
$ \begin{align} y^\prime & = 0 \\ \frac{4 \cos (2x - 60^\circ ) }{\sin ^2 (2x - 60^\circ )} & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ \end{align} $
*). Penyelesaian dari $ \cos (2x - 60^\circ ) = \cos 90^\circ $ :
Artinya $ f(x) = (2x - 60^\circ ) $ dan $ \theta = 90^\circ $
(i). $ f(x) = \theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = 150^\circ + k . 360^\circ \\ x & = 75^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -115^\circ , 75^\circ , ... \} $
Tidak ada yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
(ii). $ f(x) = -\theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = -\cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = -30^\circ + k . 360^\circ \\ x & = -15^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -195^\circ , -15^\circ , 175^\circ , ... \} $
hanya $ x = -15^\circ $ yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Kita Uji nilai $ x = -15^\circ $ dan batas interval yaitu $ x = -30^\circ $ dan $ x = 0^\circ $ ke fungsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
$\begin{align} x = -30^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -30^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-30^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 30^\circ \right)- \tan \left(150^\circ \right) \\ & = \sqrt{3}- \left( -\frac{1}{3}\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \\ x = -15^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -15^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-15^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 45^\circ \right)- \tan \left(135^\circ \right) \\ & = 1- \left( -1 \right) \\ & = 2 \\ x = 0^\circ \rightarrow y & = \cot \left( 0^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (0^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ \right) \\ & = \frac{1}{3}\sqrt{3}- \left( -\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \end{align} $
FUngsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $ nilainya minimum saat $ x = -15^\circ $.
Jadi, minimum untuk $ x = -15^\circ = -\frac{\pi}{12} . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ , maka nilai minimum dari $ \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $ tercapai saat $ x = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ -\frac{\pi}{12} \, $ C). $ -\frac{\pi}{9} \, $ D). $ -\frac{\pi}{8} \, $ E). $ -\frac{\pi}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai minimum atau maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
Jika ada interval $ a \leq x \leq b \, $ , maka batas intervalnya juga bisa menjadi kandidat menyebabkan fungsi $ y=f(x) $ maksimum atau minimum ($ x = a $ dan $ x = b $ juga dicek nilainya ke fungsi $ y = f(x) $).
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \cot g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . (-\csc ^2 g(x)) $
$ y = \tan g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \sec ^2 g(x) $
*). Rumus trigonometri dasar :
$ \csc A = \frac{1}{\sin A} \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A} $
$ \cos A = \sin (90^\circ - A) \, $ dan $ \sin A = \cos (90^\circ - A) $
$ \cos (-A) = \cos A $
$ \cos ^2 A - \sin ^2 A = \cos 2A $
*). Penyelesaian persamaan trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki penyelesaian :
(i). $ f(x) = \theta + k.360^\circ $ dan
(i). $ f(x) = -\theta + k.360^\circ $
Nilai $ \pi = 180^\circ $ dan $ k $ bilangan bulat

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi $ y = \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $
atau $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
pada interval $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ atau ditulis $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Menentukan turunannya :
$\begin{align} y & = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) \\ y^\prime & = -\csc ^2 \left( x+ 60^\circ \right)- (-1).\sec ^2 \left(120^\circ - x \right) \\ y^\prime & = -\csc ^2 \left( x+ 60^\circ \right) + sec ^2 \left(120^\circ - x \right) \\ \end{align} $
*). Syarat : $ y^\prime = 0 $
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ -\csc ^2 \left( x+ 60^\circ \right) + sec ^2 \left(120^\circ - x \right) & = 0 \\ \frac{-1}{\sin ^2 (x+60^\circ) } + \frac{1}{\cos ^2 (120^\circ - x )} & = 0 \\ \frac{1}{\sin ^2 (x+60^\circ) } & = \frac{1}{\cos ^2 (120^\circ - x )} \\ \sin ^2 (x+60^\circ) & = \cos ^2 (120^\circ - x ) \\ \cos ^2[ 90^\circ - (x+60^\circ) ] & = \sin ^2 [90^\circ - (120^\circ - x )] \\ \cos ^2 (30^\circ - x) & = \sin ^2 (x - 30^\circ ) \\ \cos ^2 (x - 30^\circ ) & = \sin ^2 (x - 30^\circ ) \\ \cos ^2 (x - 30^\circ ) - \sin ^2 (x - 30^\circ ) & = 0 \\ \cos 2 (x - 30^\circ ) & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ \end{align} $
*). Penyelesaian dari $ \cos (2x - 60^\circ ) = \cos 90^\circ $ :
Artinya $ f(x) = (2x - 60^\circ ) $ dan $ \theta = 90^\circ $
(i). $ f(x) = \theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = 150^\circ + k . 360^\circ \\ x & = 75^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -115^\circ , 75^\circ , ... \} $
Tidak ada yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
(ii). $ f(x) = -\theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = -\cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = -30^\circ + k . 360^\circ \\ x & = -15^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -195^\circ , -15^\circ , 175^\circ , ... \} $
hanya $ x = -15^\circ $ yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Kita Uji nilai $ x = -15^\circ $ dan batas interval yaitu $ x = -30^\circ $ dan $ x = 0^\circ $ ke fungsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
$\begin{align} x = -30^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -30^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-30^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 30^\circ \right)- \tan \left(150^\circ \right) \\ & = \sqrt{3}- \left( -\frac{1}{3}\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \\ x = -15^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -15^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-15^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 45^\circ \right)- \tan \left(135^\circ \right) \\ & = 1- \left( -1 \right) \\ & = 2 \\ x = 0^\circ \rightarrow y & = \cot \left( 0^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (0^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ \right) \\ & = \frac{1}{3}\sqrt{3}- \left( -\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \end{align} $
FUngsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $ nilainya minimum saat $ x = -15^\circ $.
Jadi, minimum untuk $ x = -15^\circ = -\frac{\pi}{12} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Vektor UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor-vektor $ \vec{u}=(a, a+1, 2) $ dan $ \vec{v}=(1,1,1) $. Jika vektor proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ \vec{w}=(2,2,2) $ , maka panjang vektor $ \vec{u} $ sama dengan ....
A). $ \frac{3}{2} \, $ B). $ \frac{5}{2} \, $ C). $ \frac{3}{2} \sqrt{2} \, $ D). $ \frac{5}{2}\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{1}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Terdapat vektor $ \vec{u}=(a_1, a_2, a_3) $ dan $ \vec{v}=(b_1,b_2,b_3) $
-). Perkalian dot : $ \vec{u}.\vec{v}=a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3 $
-). Panjang vektor $ \vec{v} $ yaitu :
-). Kali skalar : $ k\vec{u} = k(a_1, a_2, a_3) = (ka_1, ka_2, ka_3) $
$ |\vec{v}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 } $
-). Panjang Proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} = \left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \right| $
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b} $
$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $
*). Bentuk Mutlak :
$ |x|=k \rightarrow x = k \vee x = -k $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui vektor-vektor $ \vec{u}=(a, a+1, 2) $ dan $ \vec{v}=(1,1,1) $. Jika vektor proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ \vec{w}=(2,2,2) $. Artinya panjang proyeksinya sama saja dengan panjang vektor $ \vec{w} $ yaitu :
$ |\vec{w}| = \sqrt{2^2+2^2+2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $
*). Memproses hasil proyeksinya :
$\begin{align} \text{Panjang Proyeksi } \vec{u} \text{ pada } \vec{v} & = |\vec{w}| \\ \left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}| } \right| & = \vec{w} \\ \left| \frac{a.1 + (a+1).1 + 2.1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2} } \right| & = 2\sqrt{3} \\ \left| \frac{2a + 3}{\sqrt{3} } \right| & = 2\sqrt{3} \\ |2a + 3| & = 2\sqrt{3} . \sqrt{3} \\ |2a + 3| & = 2.3 \\ |2a + 3| & = 6 \\ 2a + 3 = 6 \vee 2a + 3 & = -6 \\ a = \frac{3}{2} \vee a & = \frac{-9}{2} \end{align} $
Kita gunakan yang positif dulu.
Sehingga vektor $ \vec{u} $ menjadi :
$ \vec{u}=(a, a+1, 2) = \left( \frac{3}{2} , \frac{5}{2}, 2 \right) $
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{u} $ :
$\begin{align} |\vec{u}| & = \sqrt{ \left( \frac{3}{2} \right)^2 + \left( \frac{5}{2} \right)^2 + 2^2 } \\ & = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} + 4} \\ & = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} + \frac{16}{4} } \\ & = \sqrt{\frac{50}{4} } = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{25\times 2}}{\sqrt{4}} \\ & = \frac{\sqrt{25}.\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{2}\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, panjang vektor $ \vec{u} $ adalah $ \frac{5}{2}\sqrt{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor-vektor $ \vec{u}=(a, a+1, 2) $ dan $ \vec{v}=(1,1,1) $. Jika vektor proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ \vec{w}=(2,2,2) $ , maka panjang vektor $ \vec{u} $ sama dengan ....
A). $ \frac{3}{2} \, $ B). $ \frac{5}{2} \, $ C). $ \frac{3}{2} \sqrt{2} \, $ D). $ \frac{5}{2}\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{1}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Terdapat vektor $ \vec{u}=(a_1, a_2, a_3) $ dan $ \vec{v}=(b_1,b_2,b_3) $
-). Perkalian dot : $ \vec{u}.\vec{v}=a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3 $
-). Panjang vektor $ \vec{v} $ yaitu :
-). Kali skalar : $ k\vec{u} = k(a_1, a_2, a_3) = (ka_1, ka_2, ka_3) $
$ |\vec{v}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 } $
-). Proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} = \left( \frac{\vec{u}.\vec{v}}{(|\vec{v}|)^2} \right) \vec{v} $
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b} $
$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui vektor-vektor $ \vec{u}=(a, a+1, 2) $ dan $ \vec{v}=(1,1,1) $. Jika vektor proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ \vec{w}=(2,2,2) $.
*). Memproses hasil proyeksinya :
$\begin{align} \text{Proyeksi } \vec{u} \text{ pada } \vec{v} & = \vec{w} \\ \left( \frac{\vec{u}.\vec{v}}{(|\vec{v}|)^2} \right) \vec{v} & = \vec{w} \\ \left( \frac{a.1 + (a+1).1+ 2.1}{(\sqrt{1^2+1^2+1^2} )^2} \right) \vec{v} & = (2,2,2) \\ \left( \frac{a + a + 1+ 2 }{(\sqrt{3} )^2} \right) \vec{v} & = (2,2,2) \\ \left( \frac{2a + 3}{3} \right) (1,1,1) & = (2,2,2) \\ \left( \frac{2a + 3}{3} , \frac{2a + 3}{3} , \frac{2a + 3}{3} \right) & = (2,2,2) \end{align} $
Kita peroleh kesamaan :
$ \frac{2a + 3}{3} = 2 \rightarrow 2a + 3 = 6 \rightarrow a = \frac{3}{2} $
Sehingga vektor $ \vec{u} $ menjadi :
$ \vec{u}=(a, a+1, 2) = \left( \frac{3}{2} , \frac{5}{2}, 2 \right) $
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{u} $ :
$\begin{align} |\vec{u}| & = \sqrt{ \left( \frac{3}{2} \right)^2 + \left( \frac{5}{2} \right)^2 + 2^2 } \\ & = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} + 4} \\ & = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} + \frac{16}{4} } \\ & = \sqrt{\frac{50}{4} } = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{25\times 2}}{\sqrt{4}} \\ & = \frac{\sqrt{25}.\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{2}\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, panjang vektor $ \vec{u} $ adalah $ \frac{5}{2}\sqrt{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ a, \frac{1}{a} , \frac{1}{a^2+2a} , \, a \neq 0 $ , berturut-turut merupakan suku ke-3, 4, dan ke-5 barisan geometri dengan rasio $ r \neq 1 $. Hasil kali lima suku pertama barisan geometri tersebut adalah .....
A). $ 42\frac{5}{8} \, $ B). $ 32\frac{5}{8} \, $ C). $ 32 \, $ D). $ 24\frac{5}{8} \, $ E). $ 24 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan geometri yaitu perbandingan sama.
Misalkan ada barisan : $ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, .... $
Berlaku : $ \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\frac{u_4}{u_3} = .... $
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ u_n = k.r^{n-1} $
Keterangan :
$ k = \, $ suku pertama ($u_1$)
$ r = \, $ rasio
$ r = \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\frac{u_4}{u_3} = .... $
Catatan :
Sebenarnya rumusnya $ u_n = a.r^{n-1} $ , namun pada soal ini ternyata $ a $ sebagai suku ketiga, sehingga agar tidak membingungkan, maka kita ganti saja simbol suku pertama dengan $ k $ .
$ u_3 = kr^2 , u_4 = kr^3 $ , dan $ u_5 = kr^4 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ a, \frac{1}{a} , \frac{1}{a^2+2a} , \, a \neq 0 $ , berturut-turut merupakan suku ke-3, 4, dan ke-5 barisan geometri dengan rasio $ r \neq 1 $. Artinya $ u_3 = a $ , $ u_4 = \frac{1}{a} $ , dan $ u_5 = \frac{1}{a^2+2a} $. Karena $ r \neq 1 $ , maka nilai satu suku dengan suku lainnya yang berurutan tidak boleh sama.
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} \frac{u_4}{u_3} & = \frac{u_5}{u_4} \\ u_4.u_4 & = u_3.u_5 \\ \frac{1}{a}.\frac{1}{a} & = a. \frac{1}{a^2+2a} \\ \frac{1}{a^2} & = a. \frac{1}{a(a+2)} \\ \frac{1}{a^2} & = \frac{1}{(a+2)} \\ a^2 & = a + 2 \\ a^2 - a - 2 & = 0 \\ (a +1)(a-2) & = 0 \\ a = -1 \vee a & = 2 \end{align} $
-). Untuk $ a = -1 $ , kita peroleh :
$ u_3 = a = -1 $ , $ u_4 = \frac{1}{a} = \frac{1}{-1} = -1 $
Karena $ u_3 = u_4 $ maka $ r = 1 $ , padahal disoal tidak boleh $ r = 1 $ , sehingga $ a = -1 $ tidak memenuhi.
-). Untuk $ a = 2 $
$ u_3 = a \rightarrow kr^2 = 2 \rightarrow k = \frac{2}{r^2} \, $ ....(i)
$ u_4 = \frac{1}{a} \rightarrow kr^3 = \frac{1}{2} \, $ .... (ii)
*). Menentukan hasil kali 5 suku pertama :
$\begin{align} & u_1.u_2.u_3.u_4.u_5 \\ & = k.kr.kr^2.kr^3.kr^4 \\ & = k^5. r^{10} \\ & = (kr^2)^5 \\ & = (u_3)^5 \\ & = 2^5 = 32 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ 32 . \, \heartsuit $

Catatan :
Kita juga boleh menentukan nilai $ k $ dan $ r $ dengan menyelesaikan pers(i) dan pers(ii), kemudian substitusikan ke soal yang ditanyakan.

Cara 2 Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ \sqrt{2} \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 2\sqrt{2} \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Cepat untuk bentuk limit trigonometri :
$ 1 - cos B = \frac{1}{2}B^2 $
dengan syarat nilai $ B = 0 $ ketika disubstitusi nilai $ x $ nya.
*). Sifat bentuk akar : $ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{\frac{1}{2}(4x^2)^2}}{\frac{1}{2}(2x)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{\frac{1}{2}. 16x^4}}{\frac{1}{2}. 4x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{8x^4}}{2x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{8}. \sqrt{x^4}}{2x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2\sqrt{2}.x^2}{2x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2\sqrt{2} }{2 } \\ & = \frac{2\sqrt{2} }{2 } \\ & = \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} = \sqrt{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ \sqrt{2} \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 2\sqrt{2} \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan soal limit bentuk tak tentu ($ \frac{0}{0}$) khusus fungsi trigonometri yaitu dengan menggunakan sifat limit fungsi trigonometri :
*). Sifat-sifat limit fungsi trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin a x}{bx} = \frac{a}{b} \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ a x}{\sin bx} = \frac{a}{b} $
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \cos p A = 1 - 2\sin ^2 \frac{p}{2} A $
atau
$ 1 - \cos p A = 2 \sin ^2 \frac{p}{2} A $
*). Sifat bentuk akar : $ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk trigonometrinya :
$\begin{align} 1 - \cos 4 x^2 & = 2\sin ^2 \frac{4}{2} x^2 \\ & = 2 \sin ^2 2x^2 \\ 1 - \cos 2x & = 2\sin ^2 \frac{2}{2} x \\ & = 2\sin ^2 x \end{align} $
*). Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2 \sin ^2 2x^2}}{2\sin ^2 x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2}. \sqrt{ \sin ^2 2x^2}}{2\sin x \sin x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2}. \sin 2x^2}{2\sin x \sin x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2}. \sin 2x^2}{2\sin x \sin x} \times \frac{x^2}{x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2}}{2}. \frac{ \sin 2x^2}{x^2} . \frac{x}{\sin x}. \frac{x}{\sin x} \\ & = \frac{\sqrt{2}}{2}. \frac{2}{1} . \frac{1}{1}. \frac{1}{1} \\ & = \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} = \sqrt{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x > 0 $ dan $ y > 0 $ memenuhi sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} 3(x^2-1)-2(y+1)=-1 \\ -2(x-1)+3(y+1)=13 \end{array} \right. $
Nilai $ x^2 + y $ adalah ....
A). $ 20 \, $ B). $ 18 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan bentuk sistem persamaan, bisa dengan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} 3(x^2-1)-2(y+1)=-1 \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ -2(x-1)+3(y+1)=13 \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{array} \right. $
*). Pers(i) kali 3 dan pers(ii) kali 2 :
$ \begin{array}{cc} 9(x^2-1)-6(y+1)=-3 & \\ -4(x-1)+6(y+1)=26 & + \\ \hline 9(x^2-1) - 4(x - 1) = 23 & \\ 9x^2 - 4x - 28 = 0 & \\ (x - 2)(9x + 14) = 0 & \\ x = 2 \vee x = - \frac{14}{9} & \end{array} $
Karena $ x > 0 $ , maka $ x = 2 $ yang memenuhi.
*). Substitusi $ x = 2 $ ke pers(ii) :
$\begin{align} -2(x-1)+3(y+1) & = 13 \\ -2(2-1)+3(y+1) & = 13 \\ -2+3(y+1) & = 13 \\ 3(y+1) & = 15 \\ y + 1 & = 5 \\ y & = 4 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x^2 + y $ :
$\begin{align} x^2 + y & = 2^2 + 4 \\ & = 4 + 4 = 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ x^2 + y = 8 . \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Eksponen UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 = 0 $, dengan $ x> 0 $, maka $ 2^x + 2^{-x} = .... $
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ \sqrt{5} \, $ C). $ \sqrt{7} \, $ D). $ \sqrt{10} \, $ E). $ \sqrt{11} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} $
$ (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m $
$ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $
$ (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ 2^x - 2^{-x} = p $
*). Menentukan bentuk $ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 $ dengan mengkuadratkan :
$\begin{align} (2^x - 2^{-x})^2 & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2. 2^x . 2^{-x} & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2. 2^{x + (-x)} & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2. 2^{0} & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2. 1 & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2 & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 & = p^2 + 2 \end{align} $
*). Menentukan $ 2^x + 2^{-x} $ :
$\begin{align} (2^x + 2^{-x} ) ^ 2 & = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2. 2^x . 2^{-x} \\ (2^x + 2^{-x} ) ^ 2 & = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2 \\ (2^x + 2^{-x} ) ^ 2 & = (p^2 + 2) + 2 \\ (2^x + 2^{-x} ) ^ 2 & = p^2 + 4 \\ 2^x + 2^{-x} & = \sqrt{ p^2 + 4 } \end{align} $
*). Mengubah soalnya ke dalam bentuk $ p $ :
$\begin{align} 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 & = 0 \\ (2^2)^x+ (2^2)^{-x}-2^2. 2^{-x} +2^2. 2^x -7 & = 0 \\ 2^{2x}+ 2^{-2x} -4. 2^{-x} + 4. 2^x -7 & = 0 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 4( 2^x - 2^{-x} ) -7 & = 0 \\ (p^2 + 2) + 4 p -7 & = 0 \\ p^2 + 4 p -5 & = 0 \\ (p -1)(p+5) & = 0 \\ p = 1 \vee p & = - 5 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ 2^x + 2^{-x} $ dengan nilai $ p $ :
$\begin{align} p = 1 \rightarrow 2^x + 2^{-x} & = \sqrt{p^2 + 4} \\ & = \sqrt{1^2 + 4} \\ & = \sqrt{5} \\ p = -5 \rightarrow 2^x + 2^{-x} & = \sqrt{p^2 + 4} \\ & = \sqrt{(-5)^2 + 4} \\ & = \sqrt{29} \end{align} $
Yang ada di option adalah $ p = \sqrt{5} $
Jadi, nilai $ 2^x + 2^{-x} = \sqrt{5} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Eksponen UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 = 0 $, dengan $ x> 0 $, maka $ 2^x + 2^{-x} = .... $
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ \sqrt{5} \, $ C). $ \sqrt{7} \, $ D). $ \sqrt{10} \, $ E). $ \sqrt{11} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} $
$ (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m $
$ a^{-m} = \frac{1}{a^m} $
$ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $
$ (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ 2^x = p $. Yang ditanyakan yaitu :
$ 2^x + 2^{-x} = 2^x + \frac{1}{2^x} = p + \frac{1}{p} $
*). Menentukan bentuk $ p^2 + (\frac{1}{p})^2 $ dengan mengkuadratkan :
$\begin{align} (p - \frac{1}{p})^2 & = p^2 + (\frac{1}{p})^2 - 2. p . \frac{1}{p} \\ (p - \frac{1}{p})^2 & = p^2 + (\frac{1}{p})^2 - 2 \\ p^2 + (\frac{1}{p})^2 & = (p - \frac{1}{p})^2 + 2 \end{align} $
*). Mengubah soalnya ke dalam bentuk $ p $ :
$\begin{align} 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 & = 0 \\ (2^2)^x+(2^2)^{-x}-2^2.2^{-x}+2^2. 2^x-7 & = 0 \\ (2^x)^2+(2^{-x})^2-4.2^{-x}+4. 2^x-7 & = 0 \\ (2^x)^2+(\frac{1}{2^x})^2-4.\frac{1}{2^x}+4. 2^x-7 & = 0 \\ (p)^2+(\frac{1}{p})^2-4.\frac{1}{p}+4.p-7 & = 0 \\ (p)^2+(\frac{1}{p})^2 + 4( p - \frac{1}{p}) -7 & = 0 \\ (p - \frac{1}{p})^2 + 2 + 4( p - \frac{1}{p}) -7 & = 0 \\ (p - \frac{1}{p})^2 + 4( p - \frac{1}{p}) -5 & = 0 \\ (p - \frac{1}{p} -1 )(p - \frac{1}{p} + 5) & = 0 \\ p - \frac{1}{p} = 1 \vee p - \frac{1}{p} & = - 5 \end{align} $
*). Kita proses satu per satu sampai ditemukan jawabannya di optionnya.
*). Bentuk $ p - \frac{1}{p} = 1 $ , kuadratkan :
$\begin{align} p - \frac{1}{p} & = 1 \\ (p - \frac{1}{p})^2 & = 1^2 \\ p^2 + (\frac{1}{p})^2 - 2.p.\frac{1}{p} & = 1 \\ p^2 + (\frac{1}{p})^2 - 2 & = 1 \\ p^2 + (\frac{1}{p})^2 & = 3 \\ (p + \frac{1}{p})^2 & = p^2 + (\frac{1}{p})^2 + 2.p.\frac{1}{p} \\ (p + \frac{1}{p})^2 & = p^2 + (\frac{1}{p})^2 + 2 \\ (p + \frac{1}{p})^2 & = 3 + 2 \\ (p + \frac{1}{p})^2 & = 5 \\ p + \frac{1}{p} & = \sqrt{5} \end{align} $
Karena sudah ada di optionnya, maka bentuk $ p - \frac{1}{p} = -5 $ tidak perlu kita proses lagi.
Jadi, nilai $ 2^x + 2^{-x} = \sqrt{5} . \, \heartsuit $

Catatan : Dari bentuk $ p - \frac{1}{p} = 1 $ , bisa juga dikalikan $ p $ sehingga terbentuk persamaan kuadrat, kemudian tentukan nilai $ p $ nya dengan rumus ABC, setelah itu baru substitusikan ke bentuk $ p + \frac{1}{p} $.

Pembahasan Eksponen UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 = 0 $, dengan $ x> 0 $, maka $ 2^x + 2^{-x} = .... $
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ \sqrt{5} \, $ C). $ \sqrt{7} \, $ D). $ \sqrt{10} \, $ E). $ \sqrt{11} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} $
$ (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m $
$ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $
$ (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ 2^x + 2^{-x} = p $
*). Menentukan bentuk $ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 $ dengan mengkuadratkan :
$\begin{align} (2^x + 2^{-x})^2 & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2. 2^x . 2^{-x} & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2. 2^{x + (-x)} & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2. 2^{0} & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2. 1 & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2 & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 & = p^2 - 2 \end{align} $
*). Menentukan $ 2^x - 2^{-x} $ :
$\begin{align} (2^x - 2^{-x} ) ^ 2 & = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2. 2^x . 2^{-x} \\ (2^x - 2^{-x} ) ^ 2 & = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2 \\ (2^x - 2^{-x} ) ^ 2 & = (p^2 - 2) - 2 \\ (2^x - 2^{-x} ) ^ 2 & = p^2 - 4 \\ 2^x - 2^{-x} & = \sqrt{ p^2 - 4 } \end{align} $
*). Mengubah soalnya ke dalam bentuk $ p $ :
$\begin{align} 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 & = 0 \\ (2^2)^x+ (2^2)^{-x}-2^2. 2^{-x} +2^2. 2^x -7 & = 0 \\ 2^{2x}+ 2^{-2x} -4. 2^{-x} + 4. 2^x -7 & = 0 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 4( 2^x - 2^{-x} ) -7 & = 0 \\ (p^2 - 2) + 4 \sqrt{ p^2 - 4 } -7 & = 0 \\ 4 \sqrt{ p^2 - 4 } = 9 - & p^2 \end{align} $
*). Kuadratkan bentuk terakhir di atas :
$\begin{align} (4 \sqrt{ p^2 - 4 })^2 & = (9 - p^2 )^2 \\ 16(p^2 - 4) & = 81 - 18p^2 + p^4 \\ p^4 - 34p^2 + 145 & = 0 \\ (p^2 - 5)(p^2 - 29) & = 0 \\ p^2 = 5 \vee p^2 & = 29 \\ p = \sqrt{5} \vee p & = \sqrt{29} \end{align} $
Yang ada di option adalah $ p = \sqrt{5} $
Jadi, nilai $ 2^x + 2^{-x} = \sqrt{5} . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya bilangan tiga digit yang disusun dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dengan syarat semua digitnya berbeda atau jika ada digit yang sama letaknya tidak boleh berdekatan adalah ....
A). $ 576 \, $ B). $ 648 \, $ C). $ 729 \, $ D). $ 765 \, $ E). $ 810 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyusun banyaknya cara penyusunan angka bisa menggunakan kaidah pencacahan yaitu aturan perkalian dan penjumlahan.
*). Jika ada penyusunan dengan digit berbeda, maka maksudnya adalah angka yang sudah kita gunakan tidak boleh dipakai lagi sehingga kemungkinan untuk digit berikutnya selalu berkurang satu.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pilihan angkanya : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (ada 10 pilihan angka)
*). Akan disusun bilangan yang terdiri dari tiga digit ( urutannya dari ratusan, puluhan, dan satuan) dengan aturan semua digitnya berbeda atau jika ada digit yang sama letaknya tidak boleh berdekatan. Untuk memudahkan penghitungan, kita bagi menjadi dua kasus yaitu :

*). Kasus I : semua digitnya berbeda, kemungkinan susunannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline R & P & S \\ \hline 9 & 9 & 8 \\ \hline \end{array} $
Cara I = $ 9 \times 9 \times 8 = 648 \, $ cara
Keterangan :
-). Ratusan tidak boleh angka nol, sehingga ada 9 pilihan kemungkinan yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
-). Satu angka sudah kita gunakan untuk ratusan, sehingga tinggal 9 pilihan lagi untuk puluhannya.
-). Dua angka sudah kita gunakan untuk ratusan dan puluhan, sehingga tinggal 8 pilihan lagi untuk satuannya.

*). Kasus II : ada digit yang sama letaknya tidak boleh berdekatan, kemungkinan susunannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline R & P & S \\ \hline 9 & 9 & 1 \\ \hline \end{array} $
Cara II = $ 9 \times 9 \times 1 = 81 \, $ cara
Keterangan :
-). Kasus kedua ini terpenuhi jika digit yang sama terletak pada ratusan dan satuannya.
-). Ratusan tidak boleh angka nol, sehingga ada 9 pilihan kemungkinan yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
-). Satu angka sudah kita gunakan untuk ratusan, sehingga tinggal 9 pilihan lagi untuk puluhannya.
-). Satuannya harus sama dengan digit pada ratusannya, sehingga otomatis satuannya terisi sesuai digit pada ratusanya, ini artinya cuma ada 1 pilihan saja.

*). Total cara penyusunannya :
$\begin{align} \text{Total } & = \text{cara I } + \text{ cara II} \\ & = 648 + 81 \\ & = 729 \end{align} $
Jadi, banyak bilangannya ada $ 729 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UM UGM 2019 Matematika IPA Kode 624


Nomor 1
Banyaknya bilangan tiga digit yang disusun dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dengan syarat semua digitnya berbeda atau jika ada digit yang sama letaknya tidak boleh berdekatan adalah ....
A). $ 576 \, $ B). $ 648 \, $ C). $ 729 \, $ D). $ 765 \, $ E). $ 810 $
Nomor 2
Jika $ 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 = 0 $, dengan $ x> 0 $, maka $ 2^x + 2^{-x} = .... $
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ \sqrt{5} \, $ C). $ \sqrt{7} \, $ D). $ \sqrt{10} \, $ E). $ \sqrt{11} $
Nomor 3
Jika $ x > 0 $ dan $ y > 0 $ memenuhi sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} 3(x^2-1)-2(y+1)=-1 \\ -2(x-1)+3(y+1)=13 \end{array} \right. $
Nilai $ x^2 + y $ adalah ....
A). $ 20 \, $ B). $ 18 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 5 $
Nomor 4
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ \sqrt{2} \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 2\sqrt{2} \, $ E). $ 4 \, $
Nomor 5
Diketahui $ a, \frac{1}{a} , \frac{1}{a^2+2a} , \, a \neq 0 $ , berturut-turut merupakan suku ke-3, 4, dan ke-5 barisan geometri dengan rasio $ r \neq 1 $. Hasil kali lima suku pertama barisan geometri tersebut adalah .....
A). $ 42\frac{5}{8} \, $ B). $ 32\frac{5}{8} \, $ C). $ 32 \, $ D). $ 24\frac{5}{8} \, $ E). $ 24 \, $

Nomor 6
Diketahui vektor-vektor $ \vec{u}=(a, a+1, 2) $ dan $ \vec{v}=(1,1,1) $. Jika vektor proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ \vec{w}=(2,2,2) $ , maka panjang vektor $ \vec{u} $ sama dengan ....
A). $ \frac{3}{2} \, $ B). $ \frac{5}{2} \, $ C). $ \frac{3}{2} \sqrt{2} \, $ D). $ \frac{5}{2}\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{1}{2} \, $
Nomor 7
Jika $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ , maka nilai minimum dari $ \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $ tercapai saat $ x = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ -\frac{\pi}{12} \, $ C). $ -\frac{\pi}{9} \, $ D). $ -\frac{\pi}{8} \, $ E). $ -\frac{\pi}{6} $
Nomor 8
Diberikan bilangan real $ a > 0 $ dan $ a \neq 1 $. Jika $ {}^a \log y $ , $ {}^a \log (y+1) $ , $ {}^a \log (3y+1) $ membentuk tiga suku berurutan barisan aritmatika, maka kuadrat nilai-nilai $ y $ yang mungkin adalah ....
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 1 $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $
Nomor 9
Jika $ {}^{a^2} \log (3^a - 8)^{-4} . {}^3 \log \sqrt{a} = a - 2 $ , maka $ {}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ -2 \, $ D). $ -3 \, $ E). $ -4 \, $
Nomor 10
Diberikan kubus ABCD.EFGH. Jika O titik tengah DH dan P adalah titik tengah BF, maka perbandingan luas $\Delta$AOP dan $ \Delta$HFC adalah ....
A). $ 1 : 2 \, $ B). $ \sqrt{2} : 1 \, $ C). $ 1 : 3 \, $ D). $ 2 : 1 \, $ E). $ \sqrt{2} : 2 \, $

Nomor 11
Misalkan $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan geometri. Jika $ U_3-U_2=6 $ dan $ U_4-U_2=18 $, maka $ U_5 + U_3 = .... $
A). $ 40 \, $ B). $ 50 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 70 \, $ E). $ 80 $
Nomor 12
Suku banyak $ p(x) $ bersisa 2 jika dibagi $ x - 1 $ dan tak bersisa jika dibagi $ x+1 $. Suku banyak $ q(x) $ bersisa $ 2x $ jika dibagi $ x^2 - 1 $. Jika suku banyak $ p(x)+q(x) $ dibagi $ x^2 - 1 $ , maka sisanya adalah ....
A). $ 3x - 1 \, $ B). $ 3x + 1 \, $
C). $ -3x+2 \, $ D). $ -3x-2 \, $
E). $ 3x+2 $
Nomor 13
Bilangan $ A > 0 $ sehingga lingkaran $ x^2+y^2+2x-4Ay+40=0 $ mempunyai jari-jari $ A + 1 $ adalah ....
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $
Nomor 14
Banyaknya bilangan real $ x $ yang memenuhi persamaan $ |x^2-4|=x+|x-2| $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 15
Jika garis singgung kurva $ y = x^3 - 3x^2 - 9x $ di titik $ (a,b) $ mempunyai gradien 15, maka nilai $ a + b $ yang mungkin adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -4 \, $ D). $ -6 \, $ E). $ -8 $

Pembahasan Barisan Matriks UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ (u_n ) $ adalah barisan aritmetika dengan suku pertama $ a $ dan beda $ b $, dengan $ b > 0 $. Jika $ a - b = 1 $ dan determinan matriks $ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right) $ adalah $ -2 $, maka $ a^2 + b^2 = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, u_n = a + (n-1)b $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ b = \, $ beda.
*). Dari rumus suku ke-$n$ , kita dapatkan penjabaran setiap suku :
$ u_1 = a $
$ u_2 = a + b $
$ u_3 = a + 2b $
$ u_4 = a + 3b $
*). Determinan matriks : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
Determinan matriks A yaitu : $ det(A) = ad - bc $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui persamaan :
$ a - b = 1 \rightarrow a = b + 1 \, $ ...(i)
dengan $ b > 0 $
*). Menyelesaikan determinan matriksnya dan gunakan pers(i) :
$\begin{align} det \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right) & = -2 \\ u_1. u_4 - u_2.u_3 & = -2 \\ a(a+3b) - (a+b)(a+2b) & = -2 \\ (b+1)(b+1+3b) - (b+1+b)(b+1+2b) & = -2 \\ (b+1)(4b+1) - (2b+1)(3b+1) & = -2 \\ (4b^2 + 5b + 1) - (6b^2 + 5b + 1) & = -2 \\ -2b^2 & = -2 \\ b^2 & = 1 \\ b & = \pm \sqrt{1} \\ b & = \pm 1 \end{align} $
Karena $ b > 0 $ , maka $ b = 1 $ yang memenuhi.
Sehingga pers(i): $ a = b + 1 = 1 + 1 = 2 $
*). Menentukan nilai $ a^2 + b^2 $
$\begin{align} a^2 + b^2 & = 1^2 + 2^2 \\ & = 1 + 4 \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2 + b^2 = 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Logaritma UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \left\{ \begin{array}{c} 2a+b = {}^2 \log 45 \\ a+2b = {}^2 \log 75 \end{array} \right. $ , maka $ a + b = .... $
A). $ {}^2 \log 3 \, $ B). $ {}^2 \log 5 \, $ C). $ {}^2 \log 9 \, $
D). $ {}^2 \log 15 \, $ E). $ {}^2 \log 25 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Jumlahkan kedua persamaan :
$ \begin{array}{cc} 2a+b = {}^2 \log 45 & \\ a+2b = {}^2 \log 75 & + \\ \hline 3a + 3b = {}^2 \log 45 + {}^2 \log 75 & \end{array} $
*). Kita ubah bentuk yang terakhir hasil penjumlahan di atas :
$\begin{align} 3a + 3b & = {}^2 \log 45 + {}^2 \log 75 \\ 3(a + b) & = {}^2 \log 45 \times 75 \\ 3(a + b) & = {}^2 \log (3.3.5) \times (5.5.3) \\ 3(a + b) & = {}^2 \log 15. 15. 15 \\ 3(a + b) & = {}^2 \log 15^3 \\ 3(a + b) & = 3 . {}^2 \log 15 \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ a + b & = {}^2 \log 15 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = {}^2 \log 15 . \, \heartsuit $

Pembahasan PK Logaritma UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ ({}^9 \log (x-1) )^2 - {}^9 \log (x-1)^2 = a $ mempunyai tepat satu penyelesaian, yaitu $ x = b $, maka $ a + b = .... $
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 27 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Syarat persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki tepat satu penyelesaian yaitu $ D = 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ {}^9 \log (x-1) = p $
*). Mengubah
$\begin{align} ({}^9 \log (x-1) )^2 - & {}^9 \log (x-1)^2 = a \\ ({}^9 \log (x-1) )^2 - 2. & {}^9 \log (x-1) = a \\ (p )^2 - 2p & = a \\ p^2 - 2p - a & = 0 \\ \text{Syarat : } D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (-2)^2 - 4.1.(-a) & = 0 \\ 4 + 4a & = 0 \\ 4a & = -4 \\ a & = -1 \end{align} $
*). Substitusikan $ a = -1 $ ke $ p^2 - 2p - a = 0 $
$\begin{align} p^2 - 2p - a & = 0 \\ p^2 - 2p - (-1) & = 0 \\ p^2 - 2p + 1 & = 0 \\ (p-1)(p-1) & = 0 \\ p = 1 \vee p & = 1 \end{align} $
*). Substitusikan $ p = 1 $ ke permisalannya
$\begin{align} {}^9 \log (x-1) & = p \\ {}^9 \log (x-1) & = 1 \\ x - 1 & = 9^1 \\ x - 1 & = 9 \\ x & = 10 \end{align} $
Nilai $ x = b $ sehingga $ b = 10 $
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} a + b & = (-1) + 10 = 9 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = 9 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Maksimum UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan bilangan positif $ m $ dan $ n $. Jika $ mx + ny = 1 $ , maka nilai maksimum $ xy $ adalah ....
A). $ \frac{1}{4mn} \, $ B). $ \frac{1}{2mn} \, $ C). $ \frac{1}{mn} \, $ D). $ \frac{2}{mn} \, $ E). $ \frac{4}{mn} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus Dasar Turunan :
1). $ y = k \rightarrow y^\prime = 0 $
2). $ y = kx \rightarrow y^\prime = k $
3). $ y = kx^n \rightarrow y^\prime = n.k.x^{n-1} $
*). Fungsi $ y = f(x) $ akan maksimum/minimum untuk $ x $ yang memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk $ mx + ny = 1 $
$\begin{align} mx + ny & = 1 \\ ny & = 1 - mx \\ y & = \frac{1-mx}{n} \\ y & = \frac{1}{n} - \frac{m}{n}x \end{align} $
*). Misalkan $ f = xy $ , substitusi $ y = \frac{1}{n} - \frac{m}{n}x $
$\begin{align} f & = xy \\ f & = x\left( \frac{1}{n} - \frac{m}{n}x \right) \\ f & = \frac{1}{n}x - \frac{m}{n}x^2 \\ f^\prime & = \frac{1}{n} - 2.\frac{m}{n}x \\ f^\prime & = 0 \, \, \, \text{(syarat maks)} \\ 0 & = \frac{1}{n} - 2.\frac{m}{n}x \, \, \, \, \text{(kali } n ) \\ 0 & = 1 - 2mx \\ 2mx & = 1 \\ x & = \frac{1}{2m} \end{align} $
Artinya $ f = xy $ maksimum pada saat $ x = \frac{1}{2m} $
*). Menentukan nilai $ y $ :
$\begin{align} y & = \frac{1}{n} - \frac{m}{n}x = \frac{1}{n} - \frac{m}{n}. \frac{1}{2m} \\ y & = \frac{2}{2n} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{2n} \end{align} $
*). Nilai maksimum dari $ xy $
$\begin{align} xy & = \frac{1}{2m} . \frac{1}{2n} = \frac{1}{4mn} \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ \frac{1}{4mn} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Turunan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ . Jika $ f(1)=f^\prime (1) = 2 $ , maka $ a + b = .... $
A). $ -9 \, $ B). $ -7 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus Dasar Turunan :
1). $ y = k \rightarrow y^\prime = 0 $
2). $ y = kx \rightarrow y^\prime = k $
3). $ y = kx^n \rightarrow y^\prime = n.k.x^{n-1} $
4). $ y = \sqrt{g(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} $
*). Bentuk akar :
$ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ dan $ f(1)=f^\prime (1) = 2 $
Artinya $ f(1) = 2 $ dan $ f^\prime (1) = 2 $
*). Substitusi bentuk $ f(1) = 2 $ :
$\begin{align} f(1) & = 2 \\ \sqrt{1^2-a.1+b} & = 2 \\ \sqrt{1 - a+b} & = 2 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 1 - a+b & = 4 \\ b & = a + 3 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Menentukan turunan dari $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ :
$\begin{align} f(x) & = \sqrt{x^2-ax+b} = \sqrt{g(x)} \\ f^\prime (x) & = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} \\ f^\prime (x) & = \frac{2x-a}{2\sqrt{x^2 - ax + b}} \end{align} $
*). Substitusi $ f^\prime (1) = 2 $ dan gunakan $ \sqrt{1 - a+b} = 2 $ :
$\begin{align} f^\prime (1) & = 2 \\ \frac{2.1-a}{2\sqrt{1^2 - a.1 + b}} & = 2 \\ \frac{2-a}{2\sqrt{1 - a + b}} & = 2 \\ \frac{2-a}{2.2} & = 2 \\ \frac{2-a}{4} & = 2 \\ 2 - a & = 8 \\ a & = -6 \end{align} $
Pers(i): $ b = a + 3 = -6 + 3 = -3 $
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} a + b & = (-6)+(-3) = -9 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = -9 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ . Jika $ f(1)=f^\prime (1) = 2 $ , maka $ a + b = .... $
A). $ -9 \, $ B). $ -7 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus Dasar Turunan :
1). $ y = k \rightarrow y^\prime = 0 $
2). $ y = kx \rightarrow y^\prime = k $
3). $ y = kx^n \rightarrow y^\prime = n.k.x^{n-1} $
4). $ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) $
*). Bentuk akar :
$ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ dan $ f(1)=f^\prime (1) = 2 $
Artinya $ f(1) = 2 $ dan $ f^\prime (1) = 2 $
*). Substitusi bentuk $ f(1) = 2 $ :
$\begin{align} f(1) & = 2 \\ \sqrt{1^2-a.1+b} & = 2 \\ \sqrt{1 - a+b} & = 2 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 1 - a+b & = 4 \\ b & = a + 3 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Menentukan turunan dari $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ :
$\begin{align} f(x) & = \sqrt{x^2-ax+b} = (x^2 - ax + b)^\frac{1}{2} \\ f^\prime (x) & = \frac{1}{2} . (x^2 - ax + b)^{\frac{1}{2} - 1} . (2x - a) \\ & = \frac{1}{2} . (x^2 - ax + b)^{-\frac{1}{2}} . (2x - a) \\ & = \frac{1}{2} . \frac{1}{(x^2 - ax + b)^\frac{1}{2}} . (2x - a) \\ f^\prime (x) & = \frac{2x-a}{2\sqrt{x^2 - ax + b}} \end{align} $
*). Substitusi $ f^\prime (1) = 2 $ dan gunakan $ \sqrt{1 - a+b} = 2 $ :
$\begin{align} f^\prime (1) & = 2 \\ \frac{2.1-a}{2\sqrt{1^2 - a.1 + b}} & = 2 \\ \frac{2-a}{2\sqrt{1 - a + b}} & = 2 \\ \frac{2-a}{2.2} & = 2 \\ \frac{2-a}{4} & = 2 \\ 2 - a & = 8 \\ a & = -6 \end{align} $
Pers(i): $ b = a + 3 = -6 + 3 = -3 $
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} a + b & = (-6)+(-3) = -9 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = -9 . \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} = .... $
A). $ 27 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Limit bentuk tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} $ dapat diselesaikan dengan turunan.
*). Penerapan turunan pada limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \rightarrow \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^{-1}(x)}{g^{-1}(x)} $
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} $
$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $
*). Sifat limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to a } \sqrt[n]{f{x}} = \sqrt[n]{ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt[3]{ \frac{ 9x-9}{ \sqrt[3]{x}-1 } } \\ & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ 9x-9}{ x^\frac{1}{3} -1 } } \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ 9 }{ \frac{1}{3}x^\frac{-2}{3} } } = \sqrt[3]{ \frac{ 9 }{ \frac{1}{3}.1^\frac{-2}{3} } } \\ & = \sqrt[3]{ \frac{ 9 }{ \frac{1}{3} } } = \sqrt[3]{ 9 \times 3 } = \sqrt[3]{ 27} = 3 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 3 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} = .... $
A). $ 27 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Limit bentuk tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} $ dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran.
*). Bentuk pemfaktoran :
$ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} $
$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $
*). Sifat limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to a } \sqrt[n]{f{x}} = \sqrt[n]{ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). memfaktorkan :
Bentuk $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $
Bentuk $ x = \left( x^\frac{1}{3} \right)^3 = \left( \sqrt[3]{x} \right)^3 $
$\begin{align} x - 1 & = (\sqrt[3]{x} )^3 - 1^3 \\ & = (\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} . 1 + 1^2) \\ & = (\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 ) \end{align} $
*). Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt[3]{ \frac{ 9x-9}{ \sqrt[3]{x}-1 } } = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ 9x-9}{ \sqrt[3]{x}-1 } } \\ & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ 9(x-1)}{ (\sqrt[3]{x}-1) } } \\ & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ 9(\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 ) }{ (\sqrt[3]{x}-1) } } \\ & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ 9 (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 ) }{ 1} } \\ & = \sqrt[3]{ 9 (\sqrt[3]{1} )^2 + \sqrt[3]{1} + 1 ) } \\ & = \sqrt[3]{ 9 (3 ) } = \sqrt[3]{ 27 } = 3 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} = .... $
A). $ 27 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Limit bentuk tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} $ dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran.
*). Bentuk pemfaktoran :
$ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} $
$ \sqrt[n]{a.b} = \sqrt[n]{a} . \sqrt[n]{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). memfaktorkan :
Bentuk $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $
Bentuk $ x = \left( x^\frac{1}{3} \right)^3 = \left( \sqrt[3]{x} \right)^3 $
$\begin{align} x - 1 & = (\sqrt[3]{x} )^3 - 1^3 \\ & = (\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} . 1 + 1^2) \\ & = (\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 ) \end{align} $
*). Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9(x-1)}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(x-1)}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 )}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x} - 1)}.\sqrt[3]{( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 )}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} - 1}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 }} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 }} {1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 } \\ & = \sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{1} )^2 + \sqrt[3]{1} + 1 } \\ & = \sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{3 } = \sqrt[3]{9.3} = \sqrt[3]{27} = 3 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Invers Fungsi UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan fungsi $ f(x) = \frac{2x-1}{x+1} $. Nilai $(f^{-1}\circ f^{-1})(\frac{1}{2}) $ adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Komposisi fungsi :
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
*). Definisi invers fungsi :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(x) $
*). Invers bentuk :
$ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1}{x} = \frac{-dx+b}{cx-a} $
Atau
$ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1}{x} = \frac{dx-b}{-cx+a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan invers dari fungsi $ f(x) = \frac{2x-1}{x+1} $ :
$\begin{align} y & = \frac{2x-1}{x+1} \\ xy + y & = 2x - 1 \\ xy - 2x & = -y - 1 \\ x(y-2) & -y - 1 \\ x & = \frac{-y-1}{y-2} \\ f^{-1}(y) & = \frac{-y-1}{y-2} \\ f^{-1}(x) & = \frac{-x-1}{x-2} \end{align} $
-). Bisa juga menggunakan rumus berikut :
$ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1}{x} = \frac{-dx+b}{cx-a} $
$ f(x) = \frac{2x-1}{x+1} \rightarrow f^{-1}(x) = \frac{-x -1}{x - 2} $
*). Menentukan nilai $ (f^{-1}\circ f^{-1})(\frac{1}{2}) $ :
$\begin{align} (f^{-1}\circ f^{-1})(\frac{1}{2}) & = f^{-1} \left( f^{-1} (\frac{1}{2}) \right) \\ & = f^{-1} \left( \frac{-(\frac{1}{2}) -1}{(\frac{1}{2}) - 2} \right) \\ & = f^{-1} \left( \frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{3}{2}} \right) \\ & = f^{-1} \left( 1 \right) \\ & = \frac{-1 -1}{1 - 2} \\ & = \frac{-2}{-1} = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ (f^{-1}\circ f^{-1})(\frac{1}{2}) = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Perbandingan jumlah pegawai tetap dan pegawai tidak tetap di suatu perusahaan adalah $ 1 : 9 $. Jika penghasilan rata-rata tahunan pegawi tetap Rp2,4 juta dan penghasilan tahunan rata-rata pegawai tidak tetap Rp1,8 juta, maka penghasilan tahunan rata-rata seluruh pegawai adalah Rp.... juta
A). $ 1,82 \, $ B). $ 1,84 \, $ C). $ 1,86 \, $ D). $ 1,88 \, $ E). $ 1,90 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus rata-rata gabungan :
$ \, \, \, \, \, \overline{X}_{gb} = \frac{n_1.\overline{x}_1 + n_2.\overline{x}_2 + ...}{n_1+n_2+...} $
keterangan :
$ \overline{X}_{gb} = \, $ rata-rata gabungan
$ \overline{x}_{1} = \, $ rata-rata kelompok pertama
$ \overline{x}_{2} = \, $ rata-rata kelompok kedua
$ n_1 = \, $ banyak orang kelompok pertama
$ n_2 = \, $ banyak orang kelompok kedua
*). Jika ada bentuk perbandingan, maka boleh dikalikan aljabar tertentu.
Misalkan :
$ a : b = 3 : 2 \, $ sama dengan $ a : b = 3x : 2x $, artinya $ a = 3x $ dan $ b = 2x $.
(perbandingannya dikalikan $ x $ semuanya)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ a \, $ menyatakan pegawai tetap, dan $ b \, $ menyatakan pegawai tidak tetap . Kita peroleh permisalan lengkapnya :
$ \overline{X}_{gb} = \, $ rata-rata gaji seluruhnya
$ \overline{x}_{a} = \, $ rata-rata gaji pegawai tetap
$ \overline{x}_{b} = \, $ rata-rata gaji pegawai tidak tetap
$ n_a = \, $ banyak orang pegawai tetap
$ n_b = \, $ banyak orang pegawai tidak tetap
*). Diketahui : Perbandingan jumlah pegawai tetap dan pegawai tidak tetap di suatu perusahaan adalah $ 1 : 9 $ , dapat kita tulis $ n_a : n_b = 1 : 9 $ atau $ n_a + n_b = x : 9x $ , yang artinya $ n_a = x $ dan $ n_b = 9x $. Diketahui juga $ \overline{x}_{a} = 2,4 $ dan $ \overline{x}_{b} = 1,8 $
*). Menentukan rata-rata gabungan :
$\begin{align} \overline{X}_{gb} & = \frac{n_a.\overline{x}_a + n_b.\overline{x}_b}{n_a+n_b} \\ & = \frac{x. 2,4 + 9x. 1,8}{x + 9x} \\ & = \frac{2,4x + 16,2x}{10x} \\ & = \frac{18,6x}{10x} = 1,86 \end{align} $
Jadi, rata-rata keseluruhannya adalah $ 1,86 . \, \heartsuit $