Soal dan Pembahasan UM UGM 2019 Matematika IPA Kode 624


Nomor 1
Banyaknya bilangan tiga digit yang disusun dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dengan syarat semua digitnya berbeda atau jika ada digit yang sama letaknya tidak boleh berdekatan adalah ....
A). $ 576 \, $ B). $ 648 \, $ C). $ 729 \, $ D). $ 765 \, $ E). $ 810 $
Nomor 2
Jika $ 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 = 0 $, dengan $ x> 0 $, maka $ 2^x + 2{-x} = .... $
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ \sqrt{5} \, $ C). $ \sqrt{7} \, $ D). $ \sqrt{10} \, $ E). $ \sqrt{11} $
Nomor 3
Jika $ x > 0 $ dan $ y > 0 $ memenuhi sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} 3(x^2-1)-2(y+1)=-1 \\ -2(x-1)+3(y+1)=13 \end{array} \right. $
Nilai $ x^2 + y $ adalah ....
A). $ 20 \, $ B). $ 18 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 5 $
Nomor 4
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ \sqrt{2} \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 2\sqrt{2} \, $ E). $ 4 \, $
Nomor 5
Diketahui $ a, \frac{1}{a} , \frac{1}{a^2+2a} , \, a \neq 0 $ , berturut-turut merupakan suku ke-3, 4, dan ke-5 barisan geometri dengan rasio $ r \neq 1 $. Hasil kali lima suku pertama barisan geometri tersebut adalah .....
A). $ 42\frac{5}{8} \, $ B). $ 32\frac{5}{8} \, $ C). $ 32 \, $ D). $ 24\frac{5}{8} \, $ E). $ 24 \, $

Nomor 6
Diketahui vektor-vektor $ \vec{u}=(a, a+1, 2) $ dan $ \vec{v}=(1,1,1) $. Jika vektor proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ \vec{w}=(2,2,2) $ , maka panjang vektor $ \vec{u} $ sama dengan ....
A). $ \frac{3}{2} \, $ B). $ \frac{5}{2} \, $ C). $ \frac{3}{2} \sqrt{2} \, $ D). $ \frac{5}{2}\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{1}{2} \, $
Nomor 7
Jika $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ , maka nilai minimum dari $ \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $ tercapai saat $ x = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ -\frac{\pi}{12} \, $ C). $ -\frac{\pi}{9} \, $ D). $ -\frac{\pi}{8} \, $ E). $ -\frac{\pi}{6} $
Nomor 8
Diberikan bilangan real $ a > 0 $ dan $ a \neq 1 $. Jika $ {}^a \log y $ , $ {}^a \log (y+1) $ , $ {}^a \log (3y+1) $ membentuk tiga suku berurutan barisan aritmatika, maka kuadrat nilai-nilai $ y $ yang mungkin adalah ....
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 1 $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $
Nomor 9
Jika $ {}^{a^2} \log (3^a - 8)^{-4} . {}^3 \log \sqrt{a} = a - 2 $ , maka $ {}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ -2 \, $ D). $ -3 \, $ E). $ -4 \, $
Nomor 10
Diberikan kubus ABCD.EFGH. Jika O titik tengah DH dan P adalah titik tengah BF, maka perbandingan luas $\Delta$AOP dan $ \Delta$HFC adalah ....
A). $ 1 : 2 \, $ B). $ \sqrt{2} : 1 \, $ C). $ 1 : 3 \, $ D). $ 2 : 1 \, $ E). $ \sqrt{2} : 2 \, $

Nomor 11
Misalkan $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan geometri. Jika $ U_3-U_2=6 $ dan $ U_4-U_2=18 $, maka $ U_5 + U_3 = .... $
A). $ 40 \, $ B). $ 50 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 70 \, $ E). $ 80 $
Nomor 12
Suku banyak $ p(x) $ bersisa 2 jika dibagi $ x - 1 $ dan tak bersisa jika dibagi $ x+1 $. Suku banyak $ q(x) $ bersisa $ 2x $ jika dibagi $ x^2 - 1 $. Jika suku banyak $ p(x)+q(x) $ dibagi $ x^2 - 1 $ , maka sisanya adalah ....
A). $ 3x - 1 \, $ B). $ 3x + 1 \, $
C). $ -3x+2 \, $ D). $ -3x-2 \, $
E). $ 3x+2 $
Nomor 13
Bilangan $ A > 0 $ sehingga lingkaran $ x^2+y^2+2x-4Ay+40=0 $ mempunyai jari-jari $ A + 1 $ adalah ....
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $
Nomor 14
Banyaknya bilangan real $ x $ yang memenuhi persamaan $ |x^2-4|=x+|x-2| $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 15
Jika garis singgung kurva $ y = x^3 - 3x^2 - 9x $ di titik $ (a,b) $ mempunyai gradien 15, maka nilai $ a + b $ yang mungkin adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -4 \, $ D). $ -6 \, $ E). $ -8 $

Catatan : Pembahasan soal-soal ini akan kita lengkapkan secara bertahap.

Pembahasan Barisan Matriks UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ (u_n ) $ adalah barisan aritmetika dengan suku pertama $ a $ dan beda $ b $, dengan $ b > 0 $. Jika $ a - b = 1 $ dan determinan matriks $ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right) $ adalah $ -2 $, maka $ a^2 + b^2 = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, u_n = a + (n-1)b $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ b = \, $ beda.
*). Dari rumus suku ke-$n$ , kita dapatkan penjabaran setiap suku :
$ u_1 = a $
$ u_2 = a + b $
$ u_3 = a + 2b $
$ u_4 = a + 3b $
*). Determinan matriks : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
Determinan matriks A yaitu : $ det(A) = ad - bc $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui persamaan :
$ a - b = 1 \rightarrow a = b + 1 \, $ ...(i)
dengan $ b > 0 $
*). Menyelesaikan determinan matriksnya dan gunakan pers(i) :
$\begin{align} det \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right) & = -2 \\ u_1. u_4 - u_2.u_3 & = -2 \\ a(a+3b) - (a+b)(a+2b) & = -2 \\ (b+1)(b+1+3b) - (b+1+b)(b+1+2b) & = -2 \\ (b+1)(4b+1) - (2b+1)(3b+1) & = -2 \\ (4b^2 + 5b + 1) - (6b^2 + 5b + 1) & = -2 \\ -2b^2 & = -2 \\ b^2 & = 1 \\ b & = \pm \sqrt{1} \\ b & = \pm 1 \end{align} $
Karena $ b > 0 $ , maka $ b = 1 $ yang memenuhi.
Sehingga pers(i): $ a = b + 1 = 1 + 1 = 2 $
*). Menentukan nilai $ a^2 + b^2 $
$\begin{align} a^2 + b^2 & = 1^2 + 2^2 \\ & = 1 + 4 \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2 + b^2 = 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Logaritma UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \left\{ \begin{array}{c} 2a+b = {}^2 \log 45 \\ a+2b = {}^2 \log 75 \end{array} \right. $ , maka $ a + b = .... $
A). $ {}^2 \log 3 \, $ B). $ {}^2 \log 5 \, $ C). $ {}^2 \log 9 \, $
D). $ {}^2 \log 15 \, $ E). $ {}^2 \log 25 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Jumlahkan kedua persamaan :
$ \begin{array}{cc} 2a+b = {}^2 \log 45 & \\ a+2b = {}^2 \log 75 & + \\ \hline 3a + 3b = {}^2 \log 45 + {}^2 \log 75 & \end{array} $
*). Kita ubah bentuk yang terakhir hasil penjumlahan di atas :
$\begin{align} 3a + 3b & = {}^2 \log 45 + {}^2 \log 75 \\ 3(a + b) & = {}^2 \log 45 \times 75 \\ 3(a + b) & = {}^2 \log (3.3.5) \times (5.5.3) \\ 3(a + b) & = {}^2 \log 15. 15. 15 \\ 3(a + b) & = {}^2 \log 15^3 \\ 3(a + b) & = 3 . {}^2 \log 15 \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ a + b & = {}^2 \log 15 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = {}^2 \log 15 . \, \heartsuit $

Pembahasan PK Logaritma UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ ({}^9 \log (x-1) )^2 - {}^9 \log (x-1)^2 = a $ mempunyai tepat satu penyelesaian, yaitu $ x = b $, maka $ a + b = .... $
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 27 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Syarat persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki tepat satu penyelesaian yaitu $ D = 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ {}^9 \log (x-1) = p $
*). Mengubah
$\begin{align} ({}^9 \log (x-1) )^2 - & {}^9 \log (x-1)^2 = a \\ ({}^9 \log (x-1) )^2 - 2. & {}^9 \log (x-1) = a \\ (p )^2 - 2p & = a \\ p^2 - 2p - a & = 0 \\ \text{Syarat : } D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (-2)^2 - 4.1.(-a) & = 0 \\ 4 + 4a & = 0 \\ 4a & = -4 \\ a & = -1 \end{align} $
*). Substitusikan $ a = -1 $ ke $ p^2 - 2p - a = 0 $
$\begin{align} p^2 - 2p - a & = 0 \\ p^2 - 2p - (-1) & = 0 \\ p^2 - 2p + 1 & = 0 \\ (p-1)(p-1) & = 0 \\ p = 1 \vee p & = 1 \end{align} $
*). Substitusikan $ p = 1 $ ke permisalannya
$\begin{align} {}^9 \log (x-1) & = p \\ {}^9 \log (x-1) & = 1 \\ x - 1 & = 9^1 \\ x - 1 & = 9 \\ x & = 10 \end{align} $
Nilai $ x = b $ sehingga $ b = 10 $
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} a + b & = (-1) + 10 = 9 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = 9 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Maksimum UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan bilangan positif $ m $ dan $ n $. Jika $ mx + ny = 1 $ , maka nilai maksimum $ xy $ adalah ....
A). $ \frac{1}{4mn} \, $ B). $ \frac{1}{2mn} \, $ C). $ \frac{1}{mn} \, $ D). $ \frac{2}{mn} \, $ E). $ \frac{4}{mn} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus Dasar Turunan :
1). $ y = k \rightarrow y^\prime = 0 $
2). $ y = kx \rightarrow y^\prime = k $
3). $ y = kx^n \rightarrow y^\prime = n.k.x^{n-1} $
*). Fungsi $ y = f(x) $ akan maksimum/minimum untuk $ x $ yang memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk $ mx + ny = 1 $
$\begin{align} mx + ny & = 1 \\ ny & = 1 - mx \\ y & = \frac{1-mx}{n} \\ y & = \frac{1}{n} - \frac{m}{n}x \end{align} $
*). Misalkan $ f = xy $ , substitusi $ y = \frac{1}{n} - \frac{m}{n}x $
$\begin{align} f & = xy \\ f & = x\left( \frac{1}{n} - \frac{m}{n}x \right) \\ f & = \frac{1}{n}x - \frac{m}{n}x^2 \\ f^\prime & = \frac{1}{n} - 2.\frac{m}{n}x \\ f^\prime & = 0 \, \, \, \text{(syarat maks)} \\ 0 & = \frac{1}{n} - 2.\frac{m}{n}x \, \, \, \, \text{(kali } n ) \\ 0 & = 1 - 2mx \\ 2mx & = 1 \\ x & = \frac{1}{2m} \end{align} $
Artinya $ f = xy $ maksimum pada saat $ x = \frac{1}{2m} $
*). Menentukan nilai $ y $ :
$\begin{align} y & = \frac{1}{n} - \frac{m}{n}x = \frac{1}{n} - \frac{m}{n}. \frac{1}{2m} \\ y & = \frac{2}{2n} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{2n} \end{align} $
*). Nilai maksimum dari $ xy $
$\begin{align} xy & = \frac{1}{2m} . \frac{1}{2n} = \frac{1}{4mn} \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ \frac{1}{4mn} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Turunan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ . Jika $ f(1)=f^\prime (1) = 2 $ , maka $ a + b = .... $
A). $ -9 \, $ B). $ -7 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus Dasar Turunan :
1). $ y = k \rightarrow y^\prime = 0 $
2). $ y = kx \rightarrow y^\prime = k $
3). $ y = kx^n \rightarrow y^\prime = n.k.x^{n-1} $
4). $ y = \sqrt{g(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} $
*). Bentuk akar :
$ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ dan $ f(1)=f^\prime (1) = 2 $
Artinya $ f(1) = 2 $ dan $ f^\prime (1) = 2 $
*). Substitusi bentuk $ f(1) = 2 $ :
$\begin{align} f(1) & = 2 \\ \sqrt{1^2-a.1+b} & = 2 \\ \sqrt{1 - a+b} & = 2 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 1 - a+b & = 4 \\ b & = a + 3 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Menentukan turunan dari $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ :
$\begin{align} f(x) & = \sqrt{x^2-ax+b} = \sqrt{g(x)} \\ f^\prime (x) & = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} \\ f^\prime (x) & = \frac{2x-a}{2\sqrt{x^2 - ax + b}} \end{align} $
*). Substitusi $ f^\prime (1) = 2 $ dan gunakan $ \sqrt{1 - a+b} = 2 $ :
$\begin{align} f^\prime (1) & = 2 \\ \frac{2.1-a}{2\sqrt{1^2 - a.1 + b}} & = 2 \\ \frac{2-a}{2\sqrt{1 - a + b}} & = 2 \\ \frac{2-a}{2.2} & = 2 \\ \frac{2-a}{4} & = 2 \\ 2 - a & = 8 \\ a & = -6 \end{align} $
Pers(i): $ b = a + 3 = -6 + 3 = -3 $
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} a + b & = (-6)+(-3) = -9 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = -9 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ . Jika $ f(1)=f^\prime (1) = 2 $ , maka $ a + b = .... $
A). $ -9 \, $ B). $ -7 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus Dasar Turunan :
1). $ y = k \rightarrow y^\prime = 0 $
2). $ y = kx \rightarrow y^\prime = k $
3). $ y = kx^n \rightarrow y^\prime = n.k.x^{n-1} $
4). $ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) $
*). Bentuk akar :
$ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ dan $ f(1)=f^\prime (1) = 2 $
Artinya $ f(1) = 2 $ dan $ f^\prime (1) = 2 $
*). Substitusi bentuk $ f(1) = 2 $ :
$\begin{align} f(1) & = 2 \\ \sqrt{1^2-a.1+b} & = 2 \\ \sqrt{1 - a+b} & = 2 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 1 - a+b & = 4 \\ b & = a + 3 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Menentukan turunan dari $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ :
$\begin{align} f(x) & = \sqrt{x^2-ax+b} = (x^2 - ax + b)^\frac{1}{2} \\ f^\prime (x) & = \frac{1}{2} . (x^2 - ax + b)^{\frac{1}{2} - 1} . (2x - a) \\ & = \frac{1}{2} . (x^2 - ax + b)^{-\frac{1}{2}} . (2x - a) \\ & = \frac{1}{2} . \frac{1}{(x^2 - ax + b)^\frac{1}{2}} . (2x - a) \\ f^\prime (x) & = \frac{2x-a}{2\sqrt{x^2 - ax + b}} \end{align} $
*). Substitusi $ f^\prime (1) = 2 $ dan gunakan $ \sqrt{1 - a+b} = 2 $ :
$\begin{align} f^\prime (1) & = 2 \\ \frac{2.1-a}{2\sqrt{1^2 - a.1 + b}} & = 2 \\ \frac{2-a}{2\sqrt{1 - a + b}} & = 2 \\ \frac{2-a}{2.2} & = 2 \\ \frac{2-a}{4} & = 2 \\ 2 - a & = 8 \\ a & = -6 \end{align} $
Pers(i): $ b = a + 3 = -6 + 3 = -3 $
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} a + b & = (-6)+(-3) = -9 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = -9 . \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} = .... $
A). $ 27 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Limit bentuk tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} $ dapat diselesaikan dengan turunan.
*). Penerapan turunan pada limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \rightarrow \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^{-1}(x)}{g^{-1}(x)} $
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} $
$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $
*). Sifat limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to a } \sqrt[n]{f{x}} = \sqrt[n]{ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt[3]{ \frac{ 9x-9}{ \sqrt[3]{x}-1 } } \\ & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ 9x-9}{ x^\frac{1}{3} -1 } } \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ 9 }{ \frac{1}{3}x^\frac{-2}{3} } } = \sqrt[3]{ \frac{ 9 }{ \frac{1}{3}.1^\frac{-2}{3} } } \\ & = \sqrt[3]{ \frac{ 9 }{ \frac{1}{3} } } = \sqrt[3]{ 9 \times 3 } = \sqrt[3]{ 27} = 3 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 3 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} = .... $
A). $ 27 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Limit bentuk tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} $ dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran.
*). Bentuk pemfaktoran :
$ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} $
$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $
*). Sifat limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to a } \sqrt[n]{f{x}} = \sqrt[n]{ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). memfaktorkan :
Bentuk $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $
Bentuk $ x = \left( x^\frac{1}{3} \right)^3 = \left( \sqrt[3]{x} \right)^3 $
$\begin{align} x - 1 & = (\sqrt[3]{x} )^3 - 1^3 \\ & = (\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} . 1 + 1^2) \\ & = (\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 ) \end{align} $
*). Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt[3]{ \frac{ 9x-9}{ \sqrt[3]{x}-1 } } = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ 9x-9}{ \sqrt[3]{x}-1 } } \\ & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ 9(x-1)}{ (\sqrt[3]{x}-1) } } \\ & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ 9(\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 ) }{ (\sqrt[3]{x}-1) } } \\ & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ 9 (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 ) }{ 1} } \\ & = \sqrt[3]{ 9 (\sqrt[3]{1} )^2 + \sqrt[3]{1} + 1 ) } \\ & = \sqrt[3]{ 9 (3 ) } = \sqrt[3]{ 27 } = 3 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} = .... $
A). $ 27 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Limit bentuk tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} $ dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran.
*). Bentuk pemfaktoran :
$ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} $
$ \sqrt[n]{a.b} = \sqrt[n]{a} . \sqrt[n]{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). memfaktorkan :
Bentuk $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $
Bentuk $ x = \left( x^\frac{1}{3} \right)^3 = \left( \sqrt[3]{x} \right)^3 $
$\begin{align} x - 1 & = (\sqrt[3]{x} )^3 - 1^3 \\ & = (\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} . 1 + 1^2) \\ & = (\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 ) \end{align} $
*). Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9(x-1)}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(x-1)}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 )}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x} - 1)}.\sqrt[3]{( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 )}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} - 1}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 }} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 }} {1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 } \\ & = \sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{1} )^2 + \sqrt[3]{1} + 1 } \\ & = \sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{3 } = \sqrt[3]{9.3} = \sqrt[3]{27} = 3 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Invers Fungsi UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan fungsi $ f(x) = \frac{2x-1}{x+1} $. Nilai $(f^{-1}\circ f^{-1})(\frac{1}{2}) $ adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Komposisi fungsi :
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
*). Definisi invers fungsi :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(x) $
*). Invers bentuk :
$ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1}{x} = \frac{-dx+b}{cx-a} $
Atau
$ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1}{x} = \frac{dx-b}{-cx+a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan invers dari fungsi $ f(x) = \frac{2x-1}{x+1} $ :
$\begin{align} y & = \frac{2x-1}{x+1} \\ xy + y & = 2x - 1 \\ xy - 2x & = -y - 1 \\ x(y-2) & -y - 1 \\ x & = \frac{-y-1}{y-2} \\ f^{-1}(y) & = \frac{-y-1}{y-2} \\ f^{-1}(x) & = \frac{-x-1}{x-2} \end{align} $
-). Bisa juga menggunakan rumus berikut :
$ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1}{x} = \frac{-dx+b}{cx-a} $
$ f(x) = \frac{2x-1}{x+1} \rightarrow f^{-1}(x) = \frac{-x -1}{x - 2} $
*). Menentukan nilai $ (f^{-1}\circ f^{-1})(\frac{1}{2}) $ :
$\begin{align} (f^{-1}\circ f^{-1})(\frac{1}{2}) & = f^{-1} \left( f^{-1} (\frac{1}{2}) \right) \\ & = f^{-1} \left( \frac{-(\frac{1}{2}) -1}{(\frac{1}{2}) - 2} \right) \\ & = f^{-1} \left( \frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{3}{2}} \right) \\ & = f^{-1} \left( 1 \right) \\ & = \frac{-1 -1}{1 - 2} \\ & = \frac{-2}{-1} = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ (f^{-1}\circ f^{-1})(\frac{1}{2}) = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Perbandingan jumlah pegawai tetap dan pegawai tidak tetap di suatu perusahaan adalah $ 1 : 9 $. Jika penghasilan rata-rata tahunan pegawi tetap Rp2,4 juta dan penghasilan tahunan rata-rata pegawai tidak tetap Rp1,8 juta, maka penghasilan tahunan rata-rata seluruh pegawai adalah Rp.... juta
A). $ 1,82 \, $ B). $ 1,84 \, $ C). $ 1,86 \, $ D). $ 1,88 \, $ E). $ 1,90 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus rata-rata gabungan :
$ \, \, \, \, \, \overline{X}_{gb} = \frac{n_1.\overline{x}_1 + n_2.\overline{x}_2 + ...}{n_1+n_2+...} $
keterangan :
$ \overline{X}_{gb} = \, $ rata-rata gabungan
$ \overline{x}_{1} = \, $ rata-rata kelompok pertama
$ \overline{x}_{2} = \, $ rata-rata kelompok kedua
$ n_1 = \, $ banyak orang kelompok pertama
$ n_2 = \, $ banyak orang kelompok kedua
*). Jika ada bentuk perbandingan, maka boleh dikalikan aljabar tertentu.
Misalkan :
$ a : b = 3 : 2 \, $ sama dengan $ a : b = 3x : 2x $, artinya $ a = 3x $ dan $ b = 2x $.
(perbandingannya dikalikan $ x $ semuanya)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ a \, $ menyatakan pegawai tetap, dan $ b \, $ menyatakan pegawai tidak tetap . Kita peroleh permisalan lengkapnya :
$ \overline{X}_{gb} = \, $ rata-rata gaji seluruhnya
$ \overline{x}_{a} = \, $ rata-rata gaji pegawai tetap
$ \overline{x}_{b} = \, $ rata-rata gaji pegawai tidak tetap
$ n_a = \, $ banyak orang pegawai tetap
$ n_b = \, $ banyak orang pegawai tidak tetap
*). Diketahui : Perbandingan jumlah pegawai tetap dan pegawai tidak tetap di suatu perusahaan adalah $ 1 : 9 $ , dapat kita tulis $ n_a : n_b = 1 : 9 $ atau $ n_a + n_b = x : 9x $ , yang artinya $ n_a = x $ dan $ n_b = 9x $. Diketahui juga $ \overline{x}_{a} = 2,4 $ dan $ \overline{x}_{b} = 1,8 $
*). Menentukan rata-rata gabungan :
$\begin{align} \overline{X}_{gb} & = \frac{n_a.\overline{x}_a + n_b.\overline{x}_b}{n_a+n_b} \\ & = \frac{x. 2,4 + 9x. 1,8}{x + 9x} \\ & = \frac{2,4x + 16,2x}{10x} \\ & = \frac{18,6x}{10x} = 1,86 \end{align} $
Jadi, rata-rata keseluruhannya adalah $ 1,86 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Dari angka 0, 1, 2, ..., 9 disusun bilangan ratusan sehingga tidak ada angka yang muncul berulang. Peluang bilangan yang terbentuk merupakan kelipatan 5 adalah ....
A). $ \frac{19}{81} \, $ B). $ \frac{17}{81} \, $ C). $ \frac{16}{81} \, $ D). $ \frac{13}{81} \, $ E). $ \frac{11}{81} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus peluang kejadian A yaitu $ P(A) $ :
$ \, \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
keterangan :
$ n(A) = \, $ banyak kejadian yang diharapkan
$ n(S) = \, $ semua kejadian yang mungkin (ruang sampel)
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A
*). Suatu bilangan dikatakan sebagai kelipatan 5 jika angka satuannya 0 atau 5.
*). Untuk penyusunan banyak bilangan kita gunakan aturan perkalian (dikalikan). Untuk memudahkan kita buat dalam bentuk kotak saja.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pilihan angkanya : 0, 1, 2, ... , 9 (ada 10 pilihan)
-). akan dibuat bilangan ratusan (tiga digit yaitu ratusan-puluhan-satuan) tidak boleh berulang.
-). Tidak boleh berulang artinya angka yang sudah digunakan tidak boleh dipakai lagi (tidak boleh ada angka yang kembar) atau berkurang satu terus.
*). Menentukan semua kemungkinan ratusan yang terbentuk $ [n(S)] $ :
susunannya : $ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 9 & 9 & 8 \\ \hline \end{array} $
Keterangan :
-). Ratusannya tidak boleh nol (kalau nol maka ratusannya tidak terbaca) ada 9 pilihan yaitu 1, 2, 3, ..., 9
-). Satu angka sudah digunakan untuk ratusan, sehingga tersisa 9 pilihan angka untuk puluhan.
-). dua angka sudah digunakan untuk ratusan dan puluhan, sehingga tersisa 8 pilihan angka untuk satuan.
Sehingga $ n(S) = 9.9.8 = 648 $
*). Menentukan kejadian yang diharapkan $ [n(A)] $
Agar bilangan kelipatan 5, maka satuannya harus 0 atau 5. Kita bagi menjadi dua kasus yaitu :

-). satuannya 0 :
susunannya : $ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 9 & 8 & 1 \\ \hline \end{array} $
cara I = $ 9 . 8 . 1 = 72 $
Keterangan :
-). satuannya harus nol sehingga ada satu pilihan.
-). satu angka sudah dipakai untuk satuan, sehingga sisanya 9 angka untuk ratusan.
-). dua angka sudah dipakai untuk satuan dan ratusan, sehingga sisanya 8 angka untuk puluhan.

-). satuannya 5 :
susunannya : $ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 8 & 8 & 1 \\ \hline \end{array} $
cara II = $ 8 . 8 . 1 = 64 $
Keterangan :
-). satuannya harus 5 sehingga ada satu pilihan.
-). satu angka sudah dipakai untuk satuan, kemudian ratusan tidak boleh 0, sehingga ada 8 pilihan untuk ratusan.
-). dua angka sudah dipakai untuk satuan dan ratusan, sehingga sisanya 8 angka untuk puluhan.

Nilai $ n(A) $ nya yaitu :
$ n(A) = \, \text{cara I } + \text{ cara II } = 72 + 64 = 136 $
*). Menentukan peluangnya :
$\begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{136}{648} = \frac{17}{81} \end{align} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{17}{81} . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \cos \alpha = \frac{1}{3} $ , maka $ \frac{\sin ( \pi + \alpha ) + \sin \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right) } {\tan \alpha} = .... $
A). $ \frac{\sqrt{2}-4}{12} \, $ B). $ \frac{\sqrt{2}-4}{6} \, $ C). $ \frac{\sqrt{2}-4}{3} \, $
D). $ \sqrt{2}-4 \, $ E). $ \sqrt{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Jika diketahui salah satu nilai trigonometri, maka untuk mencari nilai trigonometri yang lainnya cukup dengan membuat segitiga siku-sikunya yang dilengkapi dengan pythagoras.
*). Rumus perbandingan dasar trigonometri pada segitiga siku-siku :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} , \, \cos x = \frac{samping}{miring} , $ dan $ \tan x = \frac{depan}{samping} $
*). Hubungan kuadran :
$ \sin ( \pi + A) = - \sin A $
$ \sin \left( \frac{\pi}{2} + A \right) = \cos A $
-). Nilai cos positif di kuadran I atau IV.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ \cos \alpha = \frac{1}{3} = \frac{samping}{miring} $
$ depan = \sqrt{mi^2 - sa^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
gambar segitiganya :
 

*). Karena nilai $ \cos \alpha $ nya positif, maka $ \alpha $ ada dikuadran I atau IV. Kita coba menghitung untuk $ \alpha $ di kuadran I, pada kuadran I semua nilai trignometri positif :
$ \sin \alpha = \frac{de}{mi} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $
$ \tan \alpha = \frac{de}{sa} = \frac{2\sqrt{2}}{1} = 2\sqrt{2} $
*). Menyelesaikan soalnya :
$\begin{align} & \frac{\sin ( \pi + \alpha ) + \sin \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right) }{\tan \alpha} \\ & = \frac{- \sin \alpha +\cos \alpha }{\tan \alpha} \\ & = \frac{- \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{3} }{ 2\sqrt{2} } \\ & = \frac{- \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{3} }{ 2\sqrt{2} } \times \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} \\ & = \frac{- 4 + \sqrt{2} }{ 12 } \\ & = \frac{\sqrt{2} - 4 }{ 12 } \end{align} $
-). Karena $ \frac{\sqrt{2} - 4 }{ 12 } $ sudah ada dioptionnya, maka untuk $ \alpha $ dikuadran IV tidak perlu kita hitng lagi.
Jadi, hasilnya adalah $ \frac{\sqrt{2} - 4 }{ 12 } . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ A = \left( \begin{matrix} 1 & x \\ y & z \end{matrix} \right) $ dan $ k $ merupakan skalar sehingga $ A + kA^T = \left( \begin{matrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{matrix} \right) $ , maka $ x + y + z = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan ada matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
-). Transpose matriks A yaitu $ A^T = \left( \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right) $
-). Perkalian skalar :
$ kA = k \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} ka & kb \\ kc & kd \end{matrix} \right) $
-). Penjumlahan matriks = jumlah unsur yang seletak
-). Kesamaan dua matriks : Unsur yang seletak nilainya sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 1 & x \\ y & z \end{matrix} \right) $
Transpose matriks A yaitu $ A^T = \left( \begin{matrix} 1 & y \\ x & z \end{matrix} \right) $
*). Menyusun persamaannya :
$\begin{align} A + kA^T & = \left( \begin{matrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 & x \\ y & z \end{matrix} \right) + k\left( \begin{matrix} 1 & y \\ x & z \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 & x \\ y & z \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} k & ky \\ kx & kz \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 + k & x+ky \\ y+kx & z+kz \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh kesamaan yaitu :
$ 1 + k = -1 \rightarrow k = -2 $
$ z + kz = -2 \rightarrow z + (-2)z = -2 \rightarrow z = 2 $
$ x + ky = 5 \rightarrow x + (-2)y = 5 \rightarrow x = 2y + 5 $ ...(i)
$ y + kx = -7 \rightarrow y + (-2)x = -7 \rightarrow 2x-y = 7 $ ...(ii)
*). Substitusi $ x = 2y + 5 $ ke pers(ii)
$\begin{align} 2x - y & = 7 \\ 2(2y+5) - y & = 7 \\ 4y + 10- y & = 7 \\ 3y & = -3 \\ y & = -1 \end{align} $
pers(i): $ x = 2y + 5 = 2(-1) + 5 = 3 $
*). Menentukan nilai $ x + y + z $
$\begin{align} x + y + z & = 3 + (-1) + 2 = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ x + y + z = 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Tiga bilangan real $ a, b, $ dan $ c $ dengan $ c < a $ membentuk barisan geometri yang hasil jumlahnya adalah $ -14 $ dan hasil perkaliannya adalah 216. Nilai $ c $ adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ -14 \, $ D). $ -18 \, $ E). $ -20 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan ada barisan : $ u_1, u_2, u_3, u_4, .... $
-). Barisan geometri : $ u_n = ar^{n-1} $
barisan geometri : $ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, .... $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio
$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = .... $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Barisannya : $ a, b, c $
Misalkan kita ubah sesuai barisan geometri yaitu
$ a, b, c \rightarrow a, ar , ar^2 $
artinya $ a = a, b = ar, $ dan $ c = ar^2 $.
*). Menyusun persamaannya :
-). Jumlahnya = -14
$ a + ar + ar^2 = -14 \, $ .....(i)
-). hasil kali = 216
$\begin{align} a . ar .ar^2 & = 216 \\ (ar)^3 & = 6^3 \\ ar & = 6 \\ r & = \frac{6}{a} \end{align} $
*). Substitusikan $ ar = 6 $ dan $ r = \frac{6}{a} $ ke pers(i)
$\begin{align} a + ar + ar^2 & = -14 \\ a + ar + ar.r & = -14 \\ a + 6 + 6r & = -14 \\ a + 6r & = -20 \\ a + 6. \frac{6}{a} & = -20 \, \, \, \, (\times a) \\ a^2 + 36 & = -20a \ a^2 + 20a + 36 & = 0 \\ (a + 2)(a+18) & = 0 \\ a = -2 \vee a & = -18 \end{align} $
-). Untuk $ a = -2 \rightarrow r = \frac{6}{a} = \frac{6}{-2} = -3 $
$ c = ar^2 = (-2). (-3)^2 = (-2) . 9 = -18 $
-). Untuk $ a = -18 \rightarrow r = \frac{6}{a} = \frac{6}{-18} = -\frac{1}{3} $
$ c = ar^2 = (-18). ( -\frac{1}{3})^2 = (-18). \frac{1}{9} = - 2 $
Karena $ c < a $ , maka yang memenuhi adalah $ a = -2 $ dan $ c = -18 $.
Jadi, nilai $ c = -18 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah tiga suku pertama barisan geometri adalah 91. Jika suku ketiga dikurangi 13, maka ketiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika. Suku pertama barisan tersebut adalah ....
A). 4 atau 43 B). 7 atau 46
C). 10 atau 49 D). 13 atau 52
E). 16 atau 55

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan ada barisan : $ u_1, u_2, u_3, u_4, .... $
-). Ciri-ciri barisan aritmetika :
$ u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = u_4-u_3 = u_5 - u_4 = .... $
-). Barisan geometri : $ u_n = ar^{n-1} $
barisan geometri : $ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, .... $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui tiga suku barisan geometri yaitu $ a, ar, ar^2 $.
Jumlahnya = 91
$ a + ar + ar^2 = 91 \, $ ....... (i)
atau di ubah menjadi :
$ a + ar^2 = 91 - ar $
*). Barisannya diubah menjadi $ a, ar, ar^2 - 13 $ yang membentuk barisan aritmetika.
Selisih pada barisan aritmetika selalu sama :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ ar - a & = (ar^2 - 13) - ar \\ a + ar^2 - 2ar & = 13 \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Substitusikan pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} a + ar^2 - 2ar & = 13 \\ (a + ar^2) - 2ar & = 13 \\ (91 - ar) - 2ar & = 13 \\ 3ar & = 78 \\ ar & = 26 \\ r & = \frac{26}{a} \end{align} $
*). Substitusikan $ ar = 26 $ dan $ r = \frac{26}{a} $ ke pers(i) :
$\begin{align} a + ar + ar^2 & = 91 \\ a + ar + ar. r & = 91 \\ a + ar + 26 r & = 91 \\ a + 26 + 26. \frac{26}{a} & = 91 \\ a + \frac{26 \times 26}{a} & = 65 \, \, \, \, \, (\times a ) \\ a^2 + 26 \times 26 & = 65 a \\ a^2 - 65a + 26 \times 26 & = 0 \\ (a - 13 )(a - 52) & = 0 \\ a = 13 \vee a & = 52 \end{align} $
Jadi, suku pertamanya yaitu 13 atau 52 $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linear UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Seorang Apoteker mencoba meracik obat baru yang berbahan dasar zat A dan zat B. Racikan pertama membutuhkan 400 mg zat A dan 300 mg zat B. Racikan kedua membutuhkan 200 mg zat A dan 100 mg zat B. Obat racikan pertama dijual Rp8000,- dan obat racikan kedua dijual Rp3200,-. Jika persediaan yang ada hanya 6 gram zat A dan 4 gram zat B, maka pendapatan maksimum Apoteker tersebut adalah Rp....
A). $ 60.800 \, $ B). $ 72.000 \, $ C). $ 96.000 \, $
D). $ 112.000 \, $ E). $ 120.000 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Program Linear :
*). Langkah-langkah menentukan nilai maksimum atau minimum :
1). Menentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP),
2). Menentukan titik pojok DHP nya,
3). Substitusikan semua titik pojok ke fungsi tujuan, lalu pilih nilai terkecil sebagai nilai minimum.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan :
$ x = \, $ banyak racikan pertama
$ y = \, $ banyak racikan kedua
*). Menentukan Daerah himpunan penyelesaian (DHP) :
Garis I : $ 400x + 200y \leq 6000 \rightarrow (0,30) , \, (15,0) $
Garis II : $ 300x + 100y \leq 4000 \rightarrow (0,40), \, (\frac{40}{3},0) $
dan $ x \geq 0 , \, \, \, \, y \geq 0 $
Fungsi tujuan : $ f(x,y) = 8000x + 3200y $
 

-). Titik pojok $ A(\frac{40}{3} , 0) $ dan $ C ( 0,30) $
*). Menentukan titik pojok B :
Sederhanakan persamaan garisnya
pers(i) : $ 2x + y = 30 \rightarrow y = 30 - 2x $
pers(ii) : $ 3x + y = 40 $
Substitusi (i) ke (ii) :
$ \begin{align} 3x + y & = 40 \\ 3x + (30 - 2x) & = 40 \\ x & = 10 \end{align} $.
pers(i) : $ y = 30 -2x = 30 - 2. 10 = 10 $
Sehingga titik B(10 , 10)
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan : $ f(x,y) = 8000x + 3200y $
$ \begin{align} A(\frac{40}{3},0) \rightarrow f & = 8000 \times \frac{40}{3} + 3200 \times 0 = 106.667 \\ B(10,10) \rightarrow f & = 8000 \times 10 + 3200 \times 10 = 112.000 \\ C(0,30) \rightarrow f & = 8000 \times 0 + 3200 \times 30 = 96.000 \\ \end{align} $.
Jadi, nilai maksimumnya adalah Rp112.000 $ . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan bilangan real $ a $. Jika himpunan semua penyelesaian pertidaksamaan $ (2x-1)^2 - a^2 \leq 1 - 4x $ adalah $ \{ a : x \text{ bilangan real }, p \leq x \leq q \} $, maka $ p + q = .... $
A). $ -a \, $ B). $ -1 $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ a $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan terdapat pertidaksamaan $ ax^2 + bx + c \leq 0 $ memiliki penyelesaian $ p \leq x \leq q $ , artinya $ p $ dan $ q $ adalah akar-akar dari $ ax^2 + bx + c = 0 $ sehingga berlaku rumus operasi akar-akar yaitu : $ p + q = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan pertidaksamaannya :
$\begin{align} (2x-1)^2 - a^2 & \leq 1 - 4x \\ 4x^2 - 4x + 1 - a^2 & \leq 1 - 4x \\ 4x^2 - a^2 & \leq 0 \end{align} $
*). Dari bentuk $ 4x^2 - a^2 \leq 0 $ memiliki solusi $ p \leq x \leq q $, artinya $ p $ dan $ q $ adalah akar-akar dari persamaan $ 4x^2 - a^2 = 0 $ sehingga berlaku operasi akar-akar.
Bentuk $ 4x^2 - a^2 = 0 $ memiliki $ a = 4, b = 0 , $ dan $ c = -a^2 $
$ \begin{align} p + q & = \frac{-b}{a} \\ p + q & = \frac{-0}{4} \\ p + q & = 0 \end{align} $
Jadi, nilai $ p + q = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan bilangan real $ a $. Jika himpunan semua penyelesaian pertidaksamaan $ (2x-1)^2 - a^2 \leq 1 - 4x $ adalah $ \{ a : x \text{ bilangan real }, p \leq x \leq q \} $, maka $ p + q = .... $
A). $ -a \, $ B). $ -1 $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ a $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan pertidaksamaannya :
$\begin{align} (2x-1)^2 - a^2 & \leq 1 - 4x \\ 4x^2 - 4x + 1 - a^2 & \leq 1 - 4x \\ 4x^2 - a^2 & \leq 0 \\ (2x + a)(2x - a) & \leq 0 \\ x = -\frac{a}{2} \vee x & = \frac{a}{2} \end{align} $
Yang diminta $ \leq 0 $ (daerah negatif).
*). Kita bagi menjadi tiga kasus untuk nilai $ a $ yaitu $ a > 0 , \, a = 0 , \, $ dan $ a < 0 $
-). Untuk $ a > 0 $ , garis bilangannya :
 

solusinya : $ -\frac{a}{2} \leq x \leq \frac{a}{2} $
sama dengan $ p \leq x \leq q $
sehingga $ p = -\frac{a}{2} $ dan $ q = \frac{a}{2} $
Nilai $ p + q = (-\frac{a}{2}) + \frac{a}{2} = 0 $

-). Untuk $ a = 0 $ , nilai $ -\frac{a}{2} = \frac{a}{2} = 0 $ :
 

solusinya : $ x = 0 $
sama dengan $ p \leq x \leq q $
sehingga $ p = 0 $ dan $ q = 0 $
Nilai $ p + q = 0 + 0 = 0 $

-). Untuk $ a < 0 $ , garis bilangannya :
 

solusinya : $ \frac{a}{2} \leq x \leq -\frac{a}{2} $
sama dengan $ p \leq x \leq q $
sehingga $ p = \frac{a}{2} $ dan $ q = -\frac{a}{2} $
Nilai $ p + q = \frac{a}{2} + (- \frac{a}{2} ) = 0 $

Dari semua kasus nilai $ a $, nilai $ p + q $ tetap sama yaitu $ p + q = 0 $
Jadi, nilai $ p + q = 0 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan sistem persamaan linear
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x+3y=a \\ \frac{1}{7}x+\frac{1}{5}y = 5 \end{array} \right. $
Jika $ x + y = 2a + 3 $ , maka $ a = .... $
A). $ 16 \, $ B). $ 32 \, $ C). $ 38 \, $ D). $ 40 \, $ E). $ 43 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa menggunakan metode substitusi dan eliminasi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaannya :
$ 2x + 3y = a \, $ .....(i)
$ \frac{1}{7}x + \frac{1}{5} y = 5 \, $ ..... (ii)
$ x + y = 2a + 3 \, $ ..... (iii)
*). Modifikasi pers(i) dan (iii) :
$\begin{array}{c|c|cc} 2x + 3y = a & \times 2 & 4x + 6y = 2a & \\ x + y = 2a + 3 & \times 1 & x + y = 2a + 3 & + \\ \hline & & 5x + 7y = 4a + 3 & \end{array} $
*). Substitusikan $ 5x + 7y = 4a + 3 $ ke pers (ii)
Sebelumnya kalikan 35 pada pers(ii) :
$\begin{align} 5x + 7 y & = 175 \\ 4a + 3 & = 175 \\ 4a & = 172 \\ a & = \frac{172}{4} = 43 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 43 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan sistem persamaan linear
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x+3y=a \\ \frac{1}{7}x+\frac{1}{5}y = 5 \end{array} \right. $
Jika $ x + y = 2a + 3 $ , maka $ a = .... $
A). $ 16 \, $ B). $ 32 \, $ C). $ 38 \, $ D). $ 40 \, $ E). $ 43 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa menggunakan metode substitusi dan eliminasi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaannya :
$ 2x + 3y = a \, $ .....(i)
$ \frac{1}{7}x + \frac{1}{5} y = 5 \, $ ..... (ii)
$ x + y = 2a + 3 \, $ ..... (iii)
*). Eliminasi pers(i) dan (iii) :
$\begin{array}{c|c|cc} 2x + 3y = a & \times 1 & 2x + 3y = a & \\ x + y = 2a + 3 & \times 2 & 2x + 2y = 4a + 6 & - \\ \hline & & y = -3a - 6 & \end{array} $
Pers(iii) :
$ x + y = 2a + 3 \rightarrow x + (-3a - 6) = 2a + 3 \rightarrow x = 5a + 9 $
*). Substitusikan $ x = 5a + 9 $ dan $ y = -3a - 6 $ ke pers (ii)
Sebelumnya kalikan 35 pada pers(ii) :
$\begin{align} 5x + 7 y & = 175 \\ 5(5a + 9) + 7 (-3a - 6) & = 175 \\ 25a + 45 -21a - 42 & = 175 \\ 4a + 3 & = 175 \\ 4a & = 172 \\ a & = \frac{172}{4} = 43 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 43 . \, \heartsuit $