Cara 2 Pembahasan Mutlak UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Pertidaksamaan $ |x^2 - 3 | < 2x $ mempunyai penyelesaian ....
A). $ -1 < x < 3 \, $
B). $ -3 < x < 1 \, $
C). $ 1 < x < 3 \, $
D). $ -3 < x < -1 \, $ atau $ 1 < x < 3 $
E). $ x > 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= \text{ negatif} \Rightarrow |x^2 - 3 | & < 2x \\ \text{positif} & < \text{ negatif} \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x= \text{ negatif} $ SALAH, opsi yang salah A, B, dan D.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=4 \Rightarrow |x^2 - 3 | & < 2x \\ |4^2 - 3 | & < 2. 4 \\ 15 & < 8 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=4$ SALAH, opsi yang salah E.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi C (yang tersisa).
Jadi, penyelesaiannya $ \{ 1 < x < 3 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Mutlak UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Pertidaksamaan $ |x^2 - 3 | < 2x $ mempunyai penyelesaian ....
A). $ -1 < x < 3 \, $
B). $ -3 < x < 1 \, $
C). $ 1 < x < 3 \, $
D). $ -3 < x < -1 \, $ atau $ 1 < x < 3 $
E). $ x > 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $
*). Kedua bentuk yaitu $ f(x) $ dan $ - f(x) $ digabungkan hasilnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Berdasarkan definisi bentuk mutlak :
$ |x^2 - 3| = \left\{ \begin{array}{cc} x^2 - 3 & , \text{ untuk } x - \leq \sqrt{3} \vee x \geq \sqrt{3} \\ 3 - x^2 & , \text{ untuk } -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} \end{array} \right. $
-). Batas pada mutlak di atas kita peroleh dari menyelesaikan $ x^2 - 3 \geq 0 $ dan $ x^2 - 3 < 0 $ sesuai definisi nilai mutlak di atas.
-). Dari definisi, kita peroleh :
untuk $ x -\leq \sqrt{3} \vee x \geq \sqrt{3} $ , maka $ | x^2 - 3 | = x^2 -3 $
untuk $ -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} $ , maka $ | x^2 - 3 | = 3 - x^2 $
*). Menyelesaikan soalnya berdasarkan definisi :
-). untuk $ x -\leq \sqrt{3} \vee x \geq \sqrt{3} $ , maka $ | x^2 - 3 | = x^2 -3 $
$ \begin{align} |x^2 - 3 | & < 2x \\ x^2 - 3 & < 2x \\ x^2 - 2x - 3 & < 0 \\ (x + 1)(x-3) & < 0 \\ x = -1 \vee x & = 3 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Dari garis bilangan dan syarat $ x \leq -\sqrt{3} \vee x \geq \sqrt{3} $, maka solusi kasus pertama : $ HP1 = \sqrt{3} \leq x < 3 $
-). untuk $ -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} $ , maka $ | x^2 - 3 | = 3 - x^2 $
$ \begin{align} |x^2 - 3 | & < 2x \\ 3 - x^2 & < 2x \\ -x^2 - 2x + 3 & < 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ x^2 + 2x - 3 & > 0 \\ (x - 1)(x+3) & > 0 \\ x = 1 \vee x & = -3 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Dari garis bilangan dan syarat $ -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} $, maka solusi kasus pertama : $ HP2 = 1 < x < \sqrt{3} $
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari HP1 dan HP2 :
$ \begin{align} HP & = HP1 \cup HP2 = 1 < x < 3 \end{align} $
Jadi, penyelesaiannya $ \{ 1 < x < 3 \} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan PersamaanTri UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ diantara $ 0^\circ $ dan $ 360^\circ $ yang memenuhi persamaan $ \sqrt{3}\cos x - \sin x = \sqrt{2} $ adalah ....
A). $ 15^\circ \, $ dan $ 285^\circ $
B). $ 75^\circ \, $ dan $ 285^\circ $
C). $ 15^\circ \, $ dan $ 315^\circ $
D). $ 75^\circ \, $ dan $ 315^\circ $
E). $ 15^\circ \, $ dan $ 75^\circ $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus trigonometri :
$ \, \, \, \, \sin( A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
*). Persamaan trigonometri :
$ \sin f(x) = \sin \theta \, $ memiliki penyelesaian :
$ f(x) = \theta + k.2\pi $ atau $ f(x) = (180^\circ -\theta ) + k.2\pi $
dengan $ k $ bilangan bulat.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soalnya
$ \begin{align} \sqrt{3}\cos x - \sin x & = \sqrt{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kali } \frac{1}{2} ) \\ \frac{1}{2} \sqrt{3}. \cos x - \frac{1}{2} . \sin x & = \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ \sin 60^\circ . \cos x - \cos 60^\circ . \sin x & = \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ \sin ( 60^\circ - x ) & = \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ \sin ( 60^\circ - x ) & = \sin 45^\circ \\ f(x) = 60^\circ - x , \theta & = 45^\circ \end{align} $
memiliki penyelesaian (akar-akar) :
i). $ f(x) = \theta + k.2\pi $
$ \begin{align} 60^\circ - x & = 45^\circ + k.2\pi \\ x & = 15^\circ - k.2\pi \\ k = 0 \rightarrow x & = 15^\circ \end{align} $
(yang lainnya diluar $ 0^\circ $ dan $ 360^\circ $).
ii). $ f(x) = ( 180^\circ -\theta) + k.2\pi $
$ \begin{align} 60^\circ - x & = ( 180^\circ -45^\circ ) + k.2\pi \\ 60^\circ - x & = 135^\circ + k.2\pi \\ x & = -75^\circ - k.2\pi \\ k = -1 \rightarrow x & = 285^\circ \end{align} $
(yang lainnya diluar $ 0^\circ $ dan $ 360^\circ $).
Sehingga solusinya $ x = \{ 15^\circ , 285^\circ \} $
Jadi, penyelesaiannya $ x = \{ 15^\circ , 285^\circ \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Trigonometri UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ diantara $ 0^\circ $ dan $ 360^\circ $ yang memenuhi persamaan $ \sqrt{3}\cos x - \sin x = \sqrt{2} $ adalah ....
A). $ 15^\circ \, $ dan $ 285^\circ $
B). $ 75^\circ \, $ dan $ 285^\circ $
C). $ 15^\circ \, $ dan $ 315^\circ $
D). $ 75^\circ \, $ dan $ 315^\circ $
E). $ 15^\circ \, $ dan $ 75^\circ $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus trigonometri :
$ \, \, \, \, a \sin f(x) + b \cos f(x) = k \cos ( f(x) - \theta ) $
dengan $ k = \sqrt{a^2 + b^2} $ dan $ \tan \theta = \frac{a}{b} $
*). Persamaan trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki penyelesaian :
$ f(x) = \theta + k.2\pi $ atau $ f(x) = -\theta + k.2\pi $
dengan $ k $ bilangan bulat.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk trigonometrinya :
dari bentuk $ \sqrt{3}\cos x - \sin x = - \sin x + \sqrt{3}\cos x $ ,
$ a = -1 , b = \sqrt{3} $ dan $ f(x) = x $
$ k = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$
$ \tan \theta = \frac{-1}{\sqrt{3}} \rightarrow \tan \theta = - \frac{1}{\sqrt{3}} \rightarrow \theta = 330^\circ $
(karena sin negatif dan cos positif sehingga $ \theta $ di kuadrat IV).
Sehingga bentuknya menjadi :
$ \begin{align} \sqrt{3}\cos x - \sin x & = k \cos ( f(x) - \theta ) \\ & = 2 \cos ( x - 330^\circ ) \end{align} $
*). Menyelesaikan soalnya
$ \begin{align} \sqrt{3}\cos x - \sin x & = \sqrt{2} \\ 2 \cos ( x - 330^\circ ) & = \sqrt{2} \\ \cos ( x - 330^\circ ) & = \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ \cos ( x - 330^\circ ) & = \cos 45^\circ \\ f(x) = x - 330^\circ , \theta & = 45^\circ \end{align} $
memiliki penyelesaian (akar-akar) :
i). $ f(x) = \theta + k.2\pi $
$ \begin{align} x - 330^\circ & = 45^\circ + k.2\pi \\ x & = 375^\circ + k.2\pi \\ k = -1 \rightarrow x & = 15^\circ \end{align} $
(yang lainnya diluar $ 0^\circ $ dan $ 360^\circ $).
ii). $ f(x) = -\theta + k.2\pi $
$ \begin{align} x - 330^\circ & = -45^\circ + k.2\pi \\ x & = 285^\circ + k.2\pi \\ k = 0 \rightarrow x & = 285^\circ \end{align} $
(yang lainnya diluar $ 0^\circ $ dan $ 360^\circ $).
Sehingga solusinya $ x = \{ 15^\circ , 285^\circ \} $
Jadi, penyelesaiannya $ x = \{ 15^\circ , 285^\circ \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk $ a $. P adalah titik pada perpanjangan AE sehingga $ PE = \frac{1}{2}a $. Jika bidang PBD memotong bidang atas EFGH sepanjang QR, maka $ QR = .... $
A). $ \frac{1}{3}a \, $ B). $ \frac{1}{2}a \, $ C). $ \frac{1}{3}a\sqrt{2} \, $
D). $ \frac{1}{2}a\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{2}{3}a\sqrt{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Dua buah segitiga sebangun memiliki perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama.
*). Ciri-ciri dua segitiga sebangun adalah ketiga sudut yang bersesuaian sama.
*). Pada segitiga siku-siku berlaku teorema pythagoras.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

panjang rusuk kubus $ = a $, $ PE = \frac{1}{2}a $
panjang $ PA = PE + EA = \frac{1}{2}a + a = \frac{3}{2}a $
panjang $ EQ = ER $.
*). Segitiga PEQ sebangun dengan segitiga PAB, sehingga
$ \begin{align} \frac{EQ}{AB} & = \frac{PE}{PA} \\ \frac{EQ}{a} & = \frac{\frac{1}{2}a}{\frac{3}{2}a} \\ \frac{EQ}{a} & = \frac{1}{3} \\ EQ & = \frac{1}{3} a \end{align} $
*). Menentukan panjang $ QR $ :
$ \begin{align} QR & = \sqrt{EQ^2 + ER^2} \\ & = \sqrt{ (\frac{1}{3} a) ^2 + (\frac{1}{3} a )^2} \\ & = \sqrt{ 2(\frac{1}{3} a) ^2 } = \frac{1}{3} a \sqrt{ 2} \end{align} $
Jadi, panjang $ QR = \frac{1}{3} a \sqrt{ 2} . \, \heartsuit $