Pembahasan Hubungan Parabola Log UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ b, c, d $ bilangan-bilangan bulat positif. Jika parabola $ y = x^2 + bx + c $ dan garis $ y = dx $ mempunyai tepat satu titik berserikat, maka pernyataan berikut yang benar adalah ...
A). $ b = 0 \, $ B). $ d - b \, $ genap C). $ c = 0 \, $
D). $ |d| \geq |a|^2 + |b|^2 \, $ E). $ d > 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Parabola dan garis berpotongan di satu titik (disebut bersinggungan atau berserikat di satu titik) memiliki syarat $ D = 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $
*). Beberapa sifat-sifat bilangan :
-). Suatu bilangan kepipatan 2 atau kelipatan 4 pasti merupakan bilangan genap
-). jika $ a^2 $ genap, maka $ a $ juga genap.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). parabola $ y_1 = x^2 + bx + c $ dan garis $ y_2 = dx $
*). Syarat bersinggungan : $ D = 0 $
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 + bx + c & = dx \\ x^2 + bx - dx + c & = 0 \\ x^2 + ( b - d)x + c & = 0 \\ \text{Syarat : } D & = 0 \\ (b-d)^2 - 4 . 1. c & = 0 \\ (b-d)^2 - 4c & = 0 \\ (b-d)^2 & = 4c \\ (d - b)^2 & = 4c \end{align} $
-). Karena $ 4c $ bilangan genap, maka $ (d - b)^2 $ juga genap (karena nilainya sama yaitu $ (d - b)^2 = 4c $ ).
-). Karena $ (d - b)^2 $ genap, maka $ d - b $ juga genap.
Jadi, yang benar adalah $ d - b $ genap $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Log UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 2 \left( {}^x \log \frac{1}{3^x+2}\right)\left( {}^3 \log \frac{1}{x} \right)=2+x$ , maka $ (27)^x = ...$
A). $ 8 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 27 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ 125 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi Logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
Syarat : $ a > 0 , a \neq 1 , b > 0 $
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
$ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
*). Sifat eksponen :
$ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $
$ a^{m+n} = a^m . a^n $
$ (a^m)^n = (a^n)^m $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ 3^x = p $ . Karena $ x $ memenuhi bentuk logaritma $ \left( {}^x \log \frac{1}{3^x+2}\right) $, maka nilai $ x $ haruslah positif $ (x > 0 ) $ dan $ x \neq 1 $ sehingga nilai $ 3^x > 1 $ dan $ 3^x \neq 3 $. Artinya nilai $ p $ juga $ p > 1 $ dan $ p \neq 3 $.
*). Menentukan nilai $ p $ :
$\begin{align} 2 \left( {}^x \log \frac{1}{3^x+2}\right)\left( {}^3 \log \frac{1}{x} \right) & = 2+x \\ 2 \left( {}^x \log (3^x+2)^{-1} \right)\left( {}^3 \log x^{-1} \right) & = 2+x \\ 2 \left( -1. {}^x \log (3^x+2) \right)\left( -1. {}^3 \log x \right) & = 2+x \\ 2 \left( {}^x \log (3^x+2) \right)\left( {}^3 \log x \right) & = 2+x \\ 2 \, {}^3 \log x . {}^x \log (3^x+2) & = 2+x \\ 2 \, {}^3 \log (3^x+2) & = 2+x \\ {}^3 \log (3^x+2)^2 & = 2+x \\ (3^x+2)^2 & = 3^{2+x } \\ (3^x+2)^2 & = 3^2.3^x \\ (3^x+2)^2 & = 9. 3^x \\ (p+2)^2 & = 9p \\ p^2 + 4p + 4 & = 9p \\ p^2 - 5p + 4 & = 0 \\ (p-1)(p-4) & = 0 \\ p = 1 \vee p & = 4 \end{align} $
yang memenuhi adalah $ p = 4 \rightarrow 3^x = 4 $
*). Menentukan nilai $ 27^x $ :
$\begin{align} 27^x & = (3^3)^x = 3^{3x} = (3^x)^3 = 4^3 = 64 \end{align} $
Jadi, nilai $ 27^x = 64 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Persamaan UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ p = \sqrt[3]{x^2} $ dan $ x $ memenuhi $ \sqrt[2]{\sqrt[3]{x} + 3} = 1 + \sqrt[3]{x} $ , maka hasil kali semua nilai $ p $ yang memenuhi adalah ...
A). $ 0 $ B). $ 1 $ C). $ 2 $ D). $ 4 $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Sifat bentuk akar : $ (\sqrt{A})^2 = A $
*). Persamaan kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Operasi perkalian akar-akarnya : $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ a = \sqrt[3]{x} $ sehingga :
$ p = \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2 = a^2 $
*). Menentukan nilai $ p_1 \times p_2 $ :
$\begin{align} \sqrt[2]{\sqrt[3]{x} + 3} & = 1 + \sqrt[3]{x} \\ \sqrt[2]{a + 3} & = 1 + a \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ ( \sqrt[2]{a + 3} )^2 & = (1 + a )^2 \\ a + 3 & = a^2 + 2a + 1 \\ 2 - a^2 & = a \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (2 - a^2)^2 & = a^2 \\ (a^2)^2 - 4a^2 + 4 & = a^2 \\ (a^2)^2 - 5a^2 + 4 & = 0 \\ p^2 - 5p + 4 & = 0 \\ p_1 \times p_2 & = \frac{c}{a} = \frac{4}{1} = 4 \end{align} $
Jadi, perkalian nilai $ p $ adalah $ 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ p = \sqrt[3]{x^2} $ dan $ x $ memenuhi $ \sqrt[2]{\sqrt[3]{x} + 3} = 1 + \sqrt[3]{x} $ , maka hasil kali semua nilai $ p $ yang memenuhi adalah ...
A). $ 0 $ B). $ 1 $ C). $ 2 $ D). $ 4 $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menentukan akar-akar persamaan dapat dengan pemfaktoran.
*). Sifat bentuk akar : $ (\sqrt{A})^2 = A $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ a = \sqrt[3]{x} $ sehingga :
$ p = \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2 = a^2 $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} \sqrt[2]{\sqrt[3]{x} + 3} & = 1 + \sqrt[3]{x} \\ \sqrt[2]{a + 3} & = 1 + a \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ ( \sqrt[2]{a + 3} )^2 & = (1 + a )^2 \\ a + 3 & = a^2 + 2a + 1 \\ a^2 + a - 2 & = 0 \\ (a-1)(a+2) & = 0 \\ a = 1 \vee a & = -2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p $ dengan $ p = a^2 $ :
$\begin{align} a = 1 \rightarrow p & = 1^2 = 1 \\ a = -2 \rightarrow p & = (-2)^2 = 4 \end{align} $
Sehingga perkalian nilai $ p $ yaitu :
$ p_1 \times p_2 = 1 \times 4 = 4 $
Jadi, perkalian nilai $ p $ adalah $ 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan $ S_n = 3 + 5 + ... + (2n+1) $ dan $ S = 3 + 2(0,6) + 2(0,6)^2 + ... $ Salah satu nilai $ n $ yang memenuhi persamaan $ S = \frac{S_n}{2(n-2)} $ adalah ...
A). $ 10 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Deret Aritmetika :
$ S_n = \frac{n}{2}(a + u_n) $
*). Deret geometri tak hingga :
$ S_\infty = \frac{a}{1-r} $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ u_n = \, $ suku terakhir
$ r = \, $ rasion $ = \frac{u_2}{u_1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Deret : $ S_n = 3 + 5 + ... + (2n+1) $ memiliki $ a = 3 $ dan $ u_n = (2n+1) $
*). Menentukan jumlahnya :
$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(a + u_n) \\ & = \frac{n}{2}(3 + (2n+1)) \\ & = \frac{n}{2}(2n + 4) \\ & = n^2 + 2n \end{align} $
*). Deret tak hingga : $ S = 3 + 2(0,6) + 2(0,6)^2 + ... $
$ a = 2(0,6) = 1,2 $
$ r = \frac{2(0,6)^2}{2(0,6)} = 0,6 $
*). Menentukan jumlahnya :
$\begin{align} S & = 3 + 2(0,6) + 2(0,6)^2 + ... \\ S & = 3 + S_\infty \\ & = 3 + \frac{a}{1-r} \\ & = 3 + \frac{1,2}{1-0,6} \\ & = 3 + \frac{1,2}{0,4} \\ & = 3 + 3 \\ S & = 6 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ n $ :
$\begin{align} S & = \frac{S_n}{2(n-2)} \\ 6 & = \frac{n^2 + 2n}{2(n-2)} \\ 12n - 24 & = n^2 + 2n \\ n^2 - 10n + 24 & = 0 \\ (n-4)(n-6) & = 0 \\ n = 4 \vee n & = 6 \end{align} $
Jadi, nilai $ n = 4 \vee n = 6 $ (Option D) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linier UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Nilai maksimum fungsi objektif $ f(x,y) = 2x + 5y $ dengan kendala-kendala $ 2x - 3y \leq 12 $ , $ x + 2y \leq 20 $ , $ 0 \leq y \leq 6 $ , $ x \geq 2 $ adalah ...
A). $ 26 \, $ B). $ 34 \, $ C). $ 44 \, $ D). $ 46 \, $ E). $ 54 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Program Linear :
*). Langkah-langkah menentukan nilai maksimum atau minimum :
1). Menentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP),
2). Menentukan titik pojok DHP nya,
3). Substitusikan semua titik pojok ke fungsi tujuan, lalu pilih nilai terkecil sebagai nilai minimum.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Daerah himpunan penyelesaian (DHP) :
Garis I : $ 2x - 3y \leq 12 \rightarrow (0,-4) , \, (6,0) $
Garis II : $ x + 2y \leq 20 \rightarrow (0,10), \, (20,0) $
Garis III : $ 0 \leq y \leq 6 \rightarrow \, $ dari $ y = 0 $ sampai $ y = 6 $
Garis IV : $ x \geq 2 \rightarrow \, $ garis $ x = 2 $
 

*). Menentukan titik pojok A, B, C , D dan E :
-). Titik $ A(2,0) $ , $ B (6,0) $
-). Titik C, eliminasi pers(I) dan pers(II) :
$ \begin{array}{c|c|cc} 2x - 3y = 12 & \times 1 & 2x - 3y = 12 & \\ x + 2y = 20 & \times 2 & 2x + 4y = 40 & - \\ \hline & & -7y = -28 & \\ & & y = 4 & \end{array} $
Pers(II): $ x + 2y = 20 \rightarrow x + 2.4 = 20 \rightarrow x = 12 $
Sehingga titik $ C (12, 4 ) $.
-). Titik D, substitusi $ y = 6 $ ke pers II :
$ x + 2y = 20 \rightarrow x + 2.6 = 20 \rightarrow x = 8 $
Sehingga titik $ D ( 8 , 6 ) $.
-). Titik $ E(2,6) $
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi $ f(x,y) = 2x + 5y $ :
$ \begin{align} A(2,0) \rightarrow f & = 2.2 + 5.0 = 4 \\ B(6,0) \rightarrow f & = 2.6 + 5.0 = 12 \\ C(12,4) \rightarrow f & = 2.12 + 5.4 = 24 + 20 = 44 \\ D(8,6) \rightarrow f & = 2.8 + 5.6 = 16 + 30 = 46 \\ E(2,6) \rightarrow f & = 2.2 + 5.6 = 4 + 30 = 34 \end{align} $.
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ 46 . \, \heartsuit $