Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 523 tahun 2014 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Diberikan deret geometri $ u_1+u_2+u_3+.... \, $ Jika $ u_5 = 48, \, $ rasio deret -2, dan $ \log u_1 + \log u_2 + \log u_3 + \log u_4 = 6 \log 2 + 4 \log 3, \, $ maka nilai $ 2u_3 + 3u_2 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Deret geometri : $ u_n = a.r^{n-1} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dengan $ u_5 = 48 \, $ dan $ r = -2 $
$\begin{align} u_5 & = 48 \\ a.r^4 & = 48 \\ a.(-2)^4 & = 48 \\ a.16 & = 48 \\ a & = \frac{48}{16} = 3 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} 2u_3 + 3u_2 & = 2(ar^2) + 3(ar) \\ & = 2(3.(-2)^2 + 3(3.(-2)) \\ & = 2.3.4 + 3.3.(-2) \\ & = 24 - 18 \\ 2u_3 + 3u_2 & = 6 \end{align}$
Jadi, nilai $ 2u_3 + 3u_2 = 6 . \heartsuit $
Catatan : Persamaan log nya tidak perlu diproses, karena cukup menggunakan $ u_5 = 48 \, $ dan $ r = -2 $
Nomor 12
Jika $ a \, $ dan $ b \, $ merupakan akar-akar persamaan $ {}^{(1 + |x|)} \log (3x+7) = 2 , \, $ maka $ a + b = ..... $
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
Logaritma : $ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
Nilai mutlak : $ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , \text{ untuk } x \geq 0 \\ -x & , \text { untuk } x < 0 \end{array} \right. $
Sesui harga mutlak ini, kasus dibagi menjadi dua.
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b $
(i). Untuk $ x \geq 0 \, $ (positif), maka nilai $ |x| = x $
$\begin{align} {}^{(1 + |x|)} \log (3x+7) & = 2 \\ {}^{(1 + x)} \log (3x+7) & = 2 \\ (3x+7) & = (1+x)^2 \\ 3x+7 & = 1 + 2x + x^2 \\ x^2 -x + -6 & = 0 \\ (x+2)(x-3) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 3 \end{align}$
karena nilai $ x \geq 0, \, $ maka yang memenuhi $ x_1 = 3 $
(ii). Untuk $ x < 0 \, $ (negatif), maka nilai $ |x| = - x $
$\begin{align} {}^{(1 + |x|)} \log (3x+7) & = 2 \\ {}^{(1 -x)} \log (3x+7) & = 2 \\ (3x+7) & = (1-x)^2 \\ 3x+7 & = 1 - 2x + x^2 \\ x^2 -5x + -6 & = 0 \\ (x+1)(x-6) & = 0 \\ x = -1 \vee x & = 6 \end{align}$
karena nilai $ x < 0, \, $ maka yang memenuhi $ x_2 = -1 $
Diperoleh nilai $ x_1 = 3 \, $ dan $ x_2 = -1 \, $ artinya nilai $ a = 3 \, $ dan $ b = -1 $
Sehingga nilai $ a + b = 3 + (-1) = 2 $
Jadi, nilai $ a + b = 2 . \heartsuit $
Nomor 13
Misalkan $A(t)$ menyatakan luas daerah di bawah kurva $y=bx^2 , 0\leq x \leq t$. Jika titik $P(x_0,0)$ sehingga $A(x_0):A(1)=1:8$, maka perbandingan luas trapesium $ABPQ:DCPQ=...$
sbmptn_3_mat_ipa_k523_2014.png
$\spadesuit \, $ Menentukan $A(t)$:
$\begin{align*} A(t)&=\int_0^t bx^2 dx = \left[ \frac{b}{3}x^3 \right]_0^t = \frac{b}{3} (t^3-0^3) =\frac{b}{3} t^3 \\ t=x_0 \rightarrow A(x_0)&=\frac{b}{3} (x_0)^3 \\ t=1 \rightarrow A(1)&=\frac{b}{3} (1)^3 = \frac{b}{3} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $x_0 \, $ dari $A(x_0):A(1)=1:8$
$\begin{align*} \frac{A(x_0)}{A(1)}&=\frac{1}{8} \Rightarrow \frac{\frac{b}{3} (x_0)^3}{\frac{b}{3}}=\frac{1}{8} \Rightarrow x_0^3=\frac{1}{8} \Rightarrow x_0= \frac{1}{2} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik A, Q, dan D dengan menggunakan $y=bx^2$
titik A : $x=-1 \Rightarrow y=b(-1)^2 = b. \,$ Jadi titik A(-1, b)
titik Q : $x=\frac{1}{2} \Rightarrow y=b\left( \frac{1}{2} \right)^2 = b.\,$ Jadi titik Q(1/2, b/4)
titik D : $x=1 \Rightarrow y=b(1)^2 = b.\,$ Jadi titik D(1, b)
sbmptn_4_mat_ipa_k523_2014.png
$\spadesuit \, $ Menentukan perbandingan luas $ABPQ:DCPQ$
$\frac{L.ABPQ}{L.DCPQ}=\frac{\frac{1}{2}(AB+PQ).BP}{\frac{1}{2}(CD+PQ).CP}=\frac{(b+\frac{b}{4}).\frac{3}{2}}{(b+\frac{b}{4}).\frac{1}{2}} = \frac{3}{1} $
Jadi, perbandingan luas $\frac{L.ABPQ}{L.DCPQ}=\frac{3}{1}. \, \heartsuit $
Nomor 14
Jika suku pertama, ke-3, dan ke-6 suatu barisan aritmetika masing-masing adalah $ b-a, \, a, \, $ dan 36 serta jumlah 9 suku pertama barisan tersebut adalah 180, maka beda barisan tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan aritmetika : $ u_n = a + (n-1)b \, $ dan $ s_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) $
Misal suku pertamanya $ a \, $ dan bedanya $ b $
Catatan : yang digunakan hanya suku ke-6 dan jumlah 9 sukunya
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan dari $ u_6 = 36 \, $ dan $ s_9 = 180 $
Persamaan pertama :
$\begin{align} u_6 & = 36 \\ a + (6-1) b & = 36 \\ a + 5 b & = 36 \, \, \, \text{ ....pers(i)} \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} s_9 & = 180 \\ \frac{9}{2} (2a + 8b) & = 180 \\ 9(a + 4b ) & = 180 \, \, \, \text{ (bagi 9)} \\ a+ 4b & = 20 \, \, \, \text{ ....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} a + 5 b = 36 & \\ a+ 4b = 20 & - \\ \hline b = 16 & \end{array} $
Jadi, bedanya adalah 16. $ \heartsuit $
Nomor 15
Persamaan garis lurus yang melalui titik potong lingkaran-lingkaran yang melalui titik (-2,-1) dan menyinggung sumbu X dan sumbu Y adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
sbmptn_8_mat_ipa_k523_2014.png
*). Suatu lingkaran menyinggung sumbu X dan sumbu Y, maka pusat dan jari-jarinya sama seperti gambar di atas ( gambar (1) ) dengan pusat $ (a,b) = (p,p) \, $ dan $ r = p $
*). Persamaan lingkaran dengan pusat $ \, (a , b) \, $ dan jari - jari $ \, r $
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Persamaan garis yang melalui perpotongan dua lingkaran caranya langsung dikurangkan kedua persamaan.
$\clubsuit \, $ Menentukan pusat lingkaran yang melalui titik (-2,-1) dengan pusat $ (a,b) = (p,p) \, $ dan jari-jari $ r = p $

$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-p)^2 + (y-p)^2 & = p^2 \\ (-2,-1) \rightarrow (x-p)^2 + (y-p)^2 & = p^2 \\ (-2-p)^2 + (-1-p)^2 & = p^2 \\ (-2-p)^2 + (-1-p)^2 & = p^2 \\ 4 + 4p + p^2 + 1 + 2p + p^2 & = p^2 \\ p^2 + 6p + 5 & = 0 \\ (p+1)(p+5) & = 0 \\ p = -1 \vee p & = -5 \end{align}$
Sehingga pusat lingkaran yang mungkin : (-1,-1) dan (-5,-5) seperti gambar di atas ( gambar (2) )
$\clubsuit \, $ Menentukan persamaan lingkarannya
Pusat $(a,b) = (-1,-1) \, $ dengan jari - jari $ r = 1 $
$\begin{align} (x-(-1))^2 + (y-(-1))^2 & = 1^2 \\ (x+1)^2 + (y+1)^2 & = 1^2 \\ x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 & = 1 \\ x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 & = 0 \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
Pusat $(a,b) = (-5,-5) \, $ dengan jari - jari $ r = 5 $
$\begin{align} (x-(-5))^2 + (y-(-5))^2 & = 5^2 \\ (x+5)^2 + (y+5)^2 & = 5^2 \\ x^2 + 10x + 25 + y^2 + 10y + 25 & = 25 \\ x^2 + y^2 + 10x + 10y + 25 & = 0 \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} x^2 + y^2 + 10x + 10y + 25 = 0 & \\ x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0 & - \\ \hline 8x+8y+24 = 0 & \\ x + y + 3 = 0 & \end{array} $
Jadi, persamaan garisnya adalah $ x + y + 3 = 0 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 523 tahun 2014 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x^3) - f(a^3)}{x-a} = -1 , \, $ maka $ f^\prime (1) = .... $
$\spadesuit \, $ Penerapan turunan pada limit (L'Hospital)
*). Turunan : $ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $
*). Untuk $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}, \, $ maka solusinya $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} \, $ sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan limitnya dan substitusi $ a = 1 $
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x^3) - f(a^3)}{x-a} = \frac{0}{0} , \, $ sehingga harus diturunkan terhadap $ x $
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x^3) - f(a^3)}{x-a} & = -1 \, \, \, \text{(turunkan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x^3) . 3x^2 - 0 }{1} & = -1 \\ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{3x^2.f^\prime (x^3) }{1} & = -1 \\ 3a^2.f^\prime (a^3) & = -1 \\ a = 1 \rightarrow 3a^2.f^\prime (a^3) & = -1 \\ 3.1^2.f^\prime (1^3) & = -1 \\ 3f^\prime (1) & = -1 \\ f^\prime (1) & = -\frac{1}{3} \end{align}$
Jadi, nilai $ f^\prime (1) = -\frac{1}{3} \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui $ P \, $ dan $ Q \, $ suatu polinomial. Jika $ P(x) \, $ berturut-turut memberikan sisa -1 dan 5 apabila dibagi $ x - 1 \, $ dan dibagi $ x+2 \, $ dan $ Q(x) \, $ berturut-turut memberikan sisa 1 dan -2 apabila dibagi $ x + 2 \, $ dan dibagi $ x-1 , \, $ maka $ P(Q(x)) \, $ dibagi $ x^2 + x -2 \, $ bersisa .....
$\spadesuit \, $ Teorema sisa : $\frac{f(x)}{x-a} \Rightarrow \text{sisa} = f(a)$
artinya : substitusi $x=a\, $ ke $f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya
Polinomial $ P(x) $ :
$ P(x) : (x-1), \, $ sisa = -1 , artinya $ P(1) = -1 \, $ ....pers(i)
$ P(x) : (x+2), \, $ sisa = 5 , artinya $ P(-2) = 5 \, $ ....pers(ii)
$ Q(x) : (x+2), \, $ sisa = 1 , artinya $ Q(-2) = 1 \, $ ....pers(iii)
$ Q(x) : (x-1), \, $ sisa = -2 , artinya $ Q(1) = -2 \, $ ....pers(iv)
$\spadesuit \, $ Konsep pembagian
$ P(Q(x)) \, $ dibagi $ x^2 + x -2 \, $ , misal sisanya $ S(x) = ax+b $
$ P(Q(x)) : G(x) , \, $ hasilnya $ H(x) \, $ dan sisa $ S(x) \, $ , dapat ditulis :
$ P(Q(x)) = G(x) . H(x) + S(x) $
$\spadesuit \, $ Menentukan sisa pembagian dengan substitusi nilai $ x $
$\begin{align} P(Q(x)) & = G(x) . H(x) + S(x) \\ P(Q(x)) & = (x^2 + x -2 ) . H(x) + (ax+b) \\ P(Q(x)) & = (x - 1)(x+2) . H(x) + (ax+b) \\ & \, \, \text{(substitusi } \, x = 1 ) \\ P(Q(1)) & = (1 - 1)(1+2) . H(1) + (a.1+b) \, \, \, \text{dari pers(iv)} \\ P(-2) & = 0 . H(1) + (a+b) \, \, \, \text{dari pers(ii)} \\ 5 & = a + b \, \, \, \text{...pers(1)} \\ & \, \, \text{(substitusi } \, x = -2 ) \\ P(Q(-2)) & = (-2 - 1)(-2+2) . H(-2) + (a.(-2)+b) \, \, \, \text{dari pers(iii)} \\ P(1) & = 0 . H(-2) + (-2a+b) \, \, \, \text{dari pers(i)} \\ -1 & = -2a + b \, \, \, \text{...pers(2)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(1) dan pers(2), diperoleh $ a = 2 \, $ dan $ b = 3 $
Sehingga sisanya : $ S(x) = ax + b = 2x + 3 $
Jadi, sisanya adalah $ 2x + 3 . \heartsuit$
Nomor 8
Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis $x=-2$, dan garis singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis $4x+y=4$. Titik puncak parabola tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan persamaan fungsinya , $y=f(x)=ax^2+bx+c$. Dengan titik puncak $(x_p,y_p) \, \,$ : $x_p=-\frac{b}{2a}$ dan $y_p=f(x_p)$ , serta $f^\prime(x)=2ax+b$.
$\clubsuit \, $ Sumbu simetrinya $x=-2 \,$ dengan $ x=x_p$ :
$x=x_p \Leftrightarrow -2=-\frac{b}{2a} \Leftrightarrow b=4a \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Garis singgung di (0,1) , artinya titik (0,1) dilalui parabola, substitusi (0,1) ke persamaan parabola:
$y=ax^2+bx+c \Leftrightarrow 1=a.0^2+b.0+c \Leftrightarrow c=1$
sehingga persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=ax^2+bx+1$
$\clubsuit \, $ Gradien garis singgung sejajar dengan garis $4x+y=4$, artinya gradiennya sama dengan gradien garis $4x+y=4\, $ yaitu $m=-4$.
$\clubsuit \, $ Menentukan gradien garis singgung di titik (0,1):
$m=f^\prime(x) \Leftrightarrow -4=f^\prime(0) \Leftrightarrow -4=2a.0+b \Leftrightarrow b=-4.$
Pers(i) : $b=4a \Leftrightarrow -4=4a \Leftrightarrow a=-1$ .
Persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=-x^2-4x+1$
$\clubsuit \, $ Menentukan titik puncak:
$x_p=-2 \Rightarrow y_p=f(x_p)=f(-2)=-(-2)^2-4.(-2)+1=5$.
Jadi, titik puncaknya adalah $(x_p,y_p)=(-2,5). \heartsuit$
Nomor 9
Diberikan balok ABCD.EFGH dengan AB = AE = 4 dan BC = 3. Titik P dan Q masing-masing titik tengah FG dan GH. Maka tangen sudut bidang diagonal FHDB dan bidang PQDB adalah ....
$\clubsuit \, $ Gambar
sbmptn_7_mat_ipa_k523_2014.png
Sudut yang dibentuk oleh bidang FHDB dan PQDB adalah $ \theta \, $ yaitu sudut KJP pada segitiga KJP.
$ \text{Luas } \, \Delta FGH = \frac{1}{2}.FG.GH = \frac{1}{2}.3.4 = 6 $
$ \text{Luas } \, \Delta PGH = \frac{1}{2}.PG.GH = \frac{1}{2}.\frac{3}{2}.4 = 3 $
Sehingga :
$ \text{Luas } \, \Delta FPH = \text{Luas } \, \Delta FGH - \text{Luas } \, \Delta PGH = 6 - 3 = 3 $
$\clubsuit \, $ Menentukan panjang KP
$\begin{align} \text{Luas } \, \Delta FPH & = \frac{1}{2} . FH . KP \\ 3 & = \frac{1}{2} . 5 . KP \\ KP & = \frac{6}{5} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ \tan \theta $
$\begin{align} \tan \theta & = \frac{KP}{KJ} \\ \tan \theta & = \frac{\frac{6}{5}}{4} \\ \tan \theta & = \frac{3}{10} \end{align}$
Jadi, nilai $ \tan \theta = \frac{3}{10} . \heartsuit $
Nomor 10
Jika $A$ adalah matriks berukuran 2 x 2 dan $\left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] = x^2-5x+8$, maka matriks $A$ yang mungkin adalah ...
$\spadesuit \, $ Misalkan matriks $A=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \, $:
$\begin{align} \left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\ \left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\ \left[ \begin{matrix} ax+c & bx+d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\ ax^2+(b+c)x+d&= x^2-5x+8 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Diperoleh $a=1,d=8, \, $ dan $b+c=-5$
Jadi, kemungkinan matriks $A$: $\, \, A=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ -8 & 8 \end{matrix} \right]\, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 523 tahun 2014


Nomor 1
Diberikan limas $T.ABC$. Misalkan $u=\vec{TA}, v=\vec{TB}, w=\vec{TC}$. Jika $P$ titik berat $\Delta ABC$, maka $\vec{TP}=...$
sbmptn_1_mat_ipa_k523_2014.png
$\clubsuit \, $ Titik P adalah titik berat, sehingga:
$\vec{AP}=\frac{2}{3}\vec{AD} \, $ dan $\vec{BD} : \vec{DC} = 1 : 1$
$\clubsuit \, $ Menentukan vektor $\vec{TD}$ dari gambar berikut:
sbmptn_2_mat_ipa_k523_2014.png
$\vec{TD}=\frac{1.\vec{v}+1.\vec{w}}{1+1} = \frac{\vec{v}+\vec{w}}{2} $
$\clubsuit \, $ Menentukan vektor $\vec{AD}$ dan $\vec{AP}$ :
$\begin{align} \vec{AD}&=\vec{AT}+\vec{TD} \\ &=-\vec{u}+ \left( \frac{\vec{v}+\vec{w}}{2} \right) \\ \vec{AD}&= \frac{\vec{v}+\vec{w}-2\vec{u}}{2} \\ \vec{AP}&=\frac{2}{3}\vec{AD} \\ \vec{AP}&=\frac{2}{3}.\left( \frac{\vec{v}+\vec{w}-2\vec{u}}{2} \right) \\ \vec{AP}&=\frac{1}{3}(\vec{v}+\vec{w}-2\vec{u}) \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan vektor $\vec{TP}$ :
$\begin{align} \vec{TP}&=\vec{TA}+\vec{AP} \\ &=\vec{u}+ \frac{1}{3}(\vec{v}+\vec{w}-2\vec{u}) \\ &=\frac{1}{3}(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}) \end{align}$
Jadi, $\vec{TP}=\frac{1}{3}(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}). \heartsuit $
Nomor 2
Banyaknya akar real $f(t)=t^9-t$ adalah ... buah.
$\spadesuit \, $ Bentuk pemfaktoran :
$p^2-q^2=(p-q)(p+q)\, $ atau $\, p^n-1=(p^{n/2}-1)(p^{n/2}+1)$
dengan $n$ genap
$\spadesuit \, $ Untuk menentukan akar-akarnya, maka $f(t)=0$
$\begin{align} f(t)&=0 \\ t^9-t&=0 \\ t(t^8-1)&=0 \\ t(t^4-1)(t^4+1)&=0 \\ t(t^2-1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \\ t(t-1)(t+1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Sehingga akar-akarnya:
$t=0,t=1,t=-1$ dan $t^2=-1$ (tidak real) serta $t^4=-1$ (tidak real).
Jadi, akar-akar realnya ada tiga yaitu 0, 1, dan -1. $ \, \heartsuit $
Nomor 3
Bila $ \tan x = -\frac{3}{4}, \, \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi , \, $ maka $ \sin \left( \frac{\pi}{3} - x \right) = .... $
$\clubsuit \, $ Buat segitiga dari $ \tan x = - \frac{3}{4} = \frac{de}{sa} $
sbmptn_5_mat_ipa_k523_2014.png
Sudut $ x \, $ ada di $ \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi \, $ artinya kuadran 4, sehingga nilai sin negatif dan cos positif
nilai $ \sin x = - \frac{3}{5}, \, $ dan $ \cos x = \frac{4}{5} $
$\clubsuit \, $ Rumus dasar : $ \sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$\clubsuit \, $ Maenentukan hasilnya
$\begin{align} \sin \left( \frac{\pi}{3} - x \right) & = \sin \left( 60^\circ - x \right) \\ & = \sin 60^\circ \cos x - \cos 60^\circ \sin x \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{3} . \frac{4}{5} - \frac{1}{2} . (- \frac{3}{5} ) \\ & = \frac{4}{10} \sqrt{3} + \frac{3}{10} \\ & = \frac{4\sqrt{3} + 3}{10} \end{align}$
Jadi, nilai $ \sin \left( \frac{\pi}{3} - x \right) = \frac{4\sqrt{3} + 3}{10} . \heartsuit $
Nomor 4
Jika $ \alpha \, $ dan $ \beta \, $ adalah akar - akar persamaan kuadrat $ (m-1)x^2 - (m+2)x - 1 = 0, \, $ maka $ \log (1 + (1-\alpha ) \beta + \alpha ) \, $ ada nilainya untuk ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar logaritma
$ {}^a \log f(x) \, $ ada nilainya jika $ a > 0, \, a \neq 1, \, $ dan $ f(x) > 0 $
Sehingga syarat pada soal ini :
$ \log (1 + (1-\alpha ) \beta + \alpha ) \, $ ada nilai, syaratnya : $ (1 + (1-\alpha ) \beta + \alpha ) > 0 $
$\spadesuit \, $ PK $ (m-1)x^2 - (m+2)x - 1 = 0, \, $ akar-akarnya $ \alpha \, $ dan $ \beta $
$ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} \rightarrow \alpha + \beta = \frac{m+2}{m-1} $
$ \alpha . \beta = \frac{c}{a} \rightarrow \alpha . \beta = \frac{-1}{m-1} $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan syaratnya
$\begin{align} (1 + (1-\alpha ) \beta + \alpha ) & > 0 \\ 1 + \beta - \alpha \beta + \alpha & > 0 \\ 1 + (\alpha + \beta ) - \alpha \beta & > 0 \\ 1 + \frac{m+2}{m-1} - \frac{-1}{m-1} & > 0 \\ \frac{m-1}{m-1} + \frac{m+2}{m-1} + \frac{1}{m-1} & > 0 \\ \frac{(m-1) + (m+2) + 1}{m-1} & > 0 \\ \frac{2m+2}{m-1} & > 0 \\ m = -1 \vee m & = 1 \end{align}$
sbmptn_6_mat_ipa_k523_2014.png
Jadi, solusinya HP = $ \{ m < -1 \vee m > 1 \} . \heartsuit $
Nomor 5
Di antara 20.000 dan 70.000, banyak bilangan genap dengan tidak ada digit berulang adalah .....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Suatu bilangan genap syaratnya angka satuannya harus genap
*). tidak ada digit berulang artinya angka yang sudah dipakai tidak boleh dipakai lagi atau tidak ada digit yang sama.
$\clubsuit \, $ Menentukan banyak bilangannya
(i). Pilihan angka yang digunakan : 0,1,2,3,4,5,6,7,8 dan 9. Artinya ada 10 pilihan angka.
(ii). Agar bilangannya di antara 20.000 dan 70.000 maka puluh ribuannya harus 2,3,4,5, dan 6
(iii). Agar genap, maka satuannya harus genap yaitu 0,2,4,6, dan 8
Untuk mempermudah perhitungan, angka puluh ribuannya dibagi menjadi dua kasus yaitu yang genap dan yang ganjil :
Kasus I : puluh ribuannya genap
*). puluh ribuannya genap, ada 3 pilihan yaitu 2, 4, 6
*). satuannya ada 4 pilihan karena angka genap salah satunya sudah dipakai pada puluh ribuannya
*). ribuannya ada 8 pilihan karena dua angka sudah dipakai pada puluh ribuan dan satuan
*). ratusannya ada 7 pilihan karena tiga angka sudah dipakai untuk puluh ribuan, satuan dan ribuannya
*). puluhannya ada 6 pilihan sisa
cara I = 3.8.7.6.4 = 4032
Kasus II : puluh ribuannya ganjil
*). puluh ribuannya ganjil, ada 2 pilihan yaitu 3 atau 5
*). satuannya ada 5 pilihan yaitu 0,2,4,6,8
*). ribuannya ada 8 pilihan karena dua angka sudah dipakai pada puluh ribuan dan satuan
*). ratusannya ada 7 pilihan karena tiga angka sudah dipakai untuk puluh ribuan, satuan dan ribuannya
*). puluhannya ada 6 pilihan sisa
cara II = 2.8.7.6.5 = 3360
Sehingga total cara = cara I + cara II = 4032 + 3360 = 7392
Jadi, banyak bilangan yang terbentuk ada 7.392 bilangan. $ \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15