Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 122 tahun 2012 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda 6. Jika bilangan yang terbesar ditambah 12, maka diperoleh barisan geometri. Jumlah tiga bilangan tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan aritmatika dengan beda 6 :
misalkan : $a, \, a+6 , \, $ dan $\, a+12$
$\spadesuit \, $ bilangan yang terbesar ditambah 12 , membentuk barisan geometri :
$a, \, a+6 , \, $ dan $\, a+12 + 12$
Rasio sama :
$\begin{align} \frac{a+6}{a} & = \frac{a+24}{a+6} \\ (a+6)(a+6) & = a(a+24) \\ a^2 + 12a + 36 & = a^2 + 24a \\ 24a - 12 a & = 36 \\ 12a &= 36 \\ a & = 3 \end{align} $
Sehingga jumlah tiga bilangan tersebut adalah :
$a + (a+6) + (a+12) = 3 + (3+6)+(3+12) = 27 $
Jadi, jumlahnya adalah 27. $ \heartsuit $
Nomor 12
Jika $S_n=5n^2-6n$ adalah jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika, maka suku ke-5 barisan tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Rumus dasar : $U_n = S_n - S_{n-1}$
$\begin{align} U_n & = S_n - S_{n-1} \\ U_5 & = S_5 - S_4 \\ & = (5.5^2-6.5) - (5.4^2-6.4) \\ & = (125-30) - (80 - 24) \\ & = 95 - 56 \\ & = 39 \end{align} $
Jadi, suku ke-5 barisan tersebut adalah 39.$ \heartsuit $
Nomor 13
Jika suatu persegi dengan panjang sisi satu satuan dibagi menjadi 5 persegi panjang dengan luas yang sama seperti ditunjukkan pada gambar, maka panjang ruas garis AB adalah ...
snmptn_matdas_k122_2_2012.png
Cara I :
snmptn_matdas_k122_5_2012.png
$\spadesuit \, $ Menentukan luas setiap persegi panjang kecil :
Luas persegi besar = 1 $\times$ 1 = 1 .
Karena setiap persegipanjang kecil luasnya sama, dan persegi besar dibagi menjadi lima, maka setip bangun datar kecil luasnya $\frac{1}{5}$ .
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang $y$ dari luas bangun $Q$ :
$\begin{align} \text{Luas}_Q & = 1 \times (1-2y) \\ \frac{1}{5} & = 1-2y \\ y & = \frac{2}{5} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang $x$ dari luas bangun $P$ :
$\begin{align} \text{Luas}_P & = x . y \\ \frac{1}{5} & = x . \frac{2}{5} \\ x & = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, panjang ruas garis AB adalah $\frac{1}{2} . \heartsuit $

Cara II :
snmptn_matdas_k122_5_2012.png
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang $x$ tanpa menentukan nilai $y$ dulu :
$\begin{align} \text{Luas}_P & = \frac{1}{2} .\text{Luas}_{(M+N)} \\ x.y & = \frac{1}{2} . 2y . (1-x) \\ x & = (1-x) \\ x & = \frac{1}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Atau cara lainnya :
$\begin{align} \text{Luas}_P & = \text{Luas}_{M} \\ x.y & = 2y . \frac{(1-x)}{2} \\ x & = (1-x) \\ x & = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, panjang ruas garis AB adalah $\frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 14
Seorang pengusaha dengan modal Rp10.000.000,00, menghasilkan produk A dan B yang masing-masing memberi keuntungan 8% dan 10% per bulan. Jika kedua jenis produk menghasilkan keuntungan Rp904.000,00 setiap bulan, maka modal produk A adalah ...
$\clubsuit \,$ Misalkan : modal A = $x$ dan modal B = $y$
total modal : $x+y = 10.000.000 \, $ pers(i)
$\clubsuit \, $ keuntungan A = 8% $x = \frac{8}{100}x \, $ dan keuntungan B = 10% $y = \frac{10}{100}y $
Total keuntungan :
$\frac{8}{100}x + \frac{10}{100}y = 904.000 \Rightarrow 8x + 10 y = 90 . 400.000 \, $ ...pers(ii)
$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc|cc} x+y = 10.000.000 & \text{(kali 10)} & 10x + 10 y = 100.000.000 & \\ 8x + 10 y = 90 . 400.000 & \text{(kali 1)} & 8x + 10 y = 90.400.000 & - \\ \hline & & 2x = 9.600.000 & \\ & & x = 4.800.000 & \end{array}$
Jadi, modal produk A sebesar Rp4.800.000,00 . $ \heartsuit $
Nomor 15
Jika $f(x)=ax+3$ dan $f(f(x))=4x+9$ , maka nilai $a^2+3a+3$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Materi komposisi fungsi :
$\begin{align} f(f(x)) & =4x+9 \\ f(ax+3) & =4x+9 \\ a(ax+3)+3 & = 4x+9 \\ a^2x+ 3a + 3 & = 4x+9 \\ a^2x+ 3a & = 4x+6 \end{align}$
Agar ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka koefisien setiap suku harus nilainya sama.
Diperoleh : $a^2 = 4 \,$ dan $\, 3a = 6$
sehingga nilai $a^2+3a+3 = 4 + 6 + 3 = 13.$
Jadi, nilai $a^2+3a+3=13. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 122 tahun 2012 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika $2x-y=6, \, 2y+3z=4, $ dan $3x-z=8$ , maka nilai $5x+y+2z$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Langsung jumlahkan ketiga persamaan tanpa menentukan nilai masing-masing
$\begin{array}{cc} 2x-y=6 & \\ 2y+3z=4 & \\ 3x-z=8 & + \\ \hline 5x+y+2z = 18 & \end{array}$
Jadi, nilai $5x+y+2z = 18 . \heartsuit $
Nomor 7
Jika diagram batang di bawah ini memperlihatkan frekuensi kumulatif hasil tes matematika siswa kelas XII, maka persentase siswa yang memperoleh nilai 8 adalah ...
snmptn_matdas_k122_1_2012.png
$\clubsuit \, $ Frekuensi kumulatif siswa yang memperoleh nilai 8 adalah 22 siswa , artinya jumlah siswa yang memperoleh nilai 2 sampai 8 ada 22 siswa, jadi bukan hanya yang mendapat nilai 8 saja.
$\clubsuit \, $ Frekuensi kumulatif siswa yang memperoleh nilai 7 adalah 19 siswa , artinya jumlah siswa yang memperoleh nilai 2 sampai 7 ada 19 siswa, jadi bukan hanya yang mendapat nilai 7 saja.
Sehingga banyak siswa yang mendapat nilia 8 saja = 24 - 19 = 5.
Total siswa ada 25 siswa.
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai persentase :
$\begin{align} \text{Persentase nilai 8} \, & = \frac{\text{banyak siswa yang memperoleh nilai 8}}{\text{total siswa}} \times 100\% \\ & = \frac{5}{25} \times 100\% \\ & = 20 \% \end{align} $
Jadi, persentasenya adalah $ 20 \% . \heartsuit$
Nomor 8
Budi telah mengikuti empat kali tes matematika pada semester I dengan nilai rata-rata 7,0. Jika selama setahun Budi mngikuti delapan kali tes dengan nilai rata-rata 8,0 , maka nilai rata-rata pada semester II dibandingkan dengan semester I naik sebesar ...
$\spadesuit \, $ Permisalan :
rata-rata semester I : $\overline{x}_1 = 7 \, $ , banyak tes semester I : $n_1 = 4 $
rata-rata semester II : $\overline{x}_2 = a \, $ , banyak tes semester II : $n_2 = 8 - 4 = 4 $
rata-rata gabungannya : $\overline{x}_{\text{gb}} = 8$
$\spadesuit \, $ Rumus rata-rata gabungan : $ \overline{x}_{\text{gb}} = \frac{n_1.\overline{x}_1 + n_2.\overline{x}_2}{n_1 + n_2}$
$\begin{align*} \overline{x}_{\text{gb}} & = \frac{n_1.\overline{x}_1 + n_2.\overline{x}_2}{n_1 + n_2} \\ 8 & = \frac{4.7 + 4.a}{4 + 4} \\ 8 & = \frac{28 + 4a}{8} \\ 8.8 & = 28 + 4a \\ 4a & = 64 - 28 \\ 4a & = 36 \\ a & = \frac{36}{4} = 9 \end{align*}$
artinya nilai rata-rata semester II = 9.
sehingga kenaikkan nilai dari semester I ke semester II sebesar 9 - 7 = 2.
Jadi, nilai rata-rata pada semester II dibandingkan dengan semester I naik sebesar 2,0 . $\heartsuit$
Nomor 9
Nilai maksimum fungsi objektif (tujuan) $f(x,y)=4x+3y$ dengan kendala $2x+3y \leq 18, \, x\geq 3$ , dan $y\geq 2$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Gambar dari kendala/batasan
snmptn_matdas_k122_4_2012.png
$\clubsuit \, $ Substitusikan semua titik pojok ke fungsi tujuannya :
fungsi objektif (tujuan) $f(x,y)=4x+3y$
$A(6,2) \Rightarrow f(6,2)=4.6+3.2=24+6=30$
$B(3,2) \Rightarrow f(6,2)=4.3+3.2=12+6=18$
$C(3,4) \Rightarrow f(6,2)=4.3+3.4=12+12=24$
Jadi, nilai maksimumnya adalah 30. $\heartsuit $
Nomor 10
Jika $AB=\left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) $ , dan det($A$) = 2, maka det($BA^{-1}$) adalah ...
$\spadesuit \, $ Sifat determinan : $|PQ| = |P|.|Q| \, \, $ dan $\, |Q^{-1}| = \frac{1}{|Q|}$
$\spadesuit \, $ Menentukan determinan matriks $B$
$\begin{align*} AB & =\left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \\ |AB| & =\left| \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right| \\ |A|.|B| & = 2.2 - 0. 0 \\ 2.|B| & = 4 \\ |B| & = 2 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan det($BA^{-1}$)
$\begin{align*} \text{det}(BA^{-1}) & = | BA^{-1} | \\ & = | B | . |A^{-1} | \\ & = | B | . \frac{1}{|A|} \\ & = 2. \frac{1}{2} \\ & = 1 \end{align*}$
Jadi, nilai det($BA^{-1}$) = 1 . $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 122 tahun 2012


Nomor 1
Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $a^b=2^{20}-2^{19}$ , maka nilai $a+b$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Rumus dasar : $a^{m+n} = a^m.a^n$
$\begin{align} a^b & =2^{20}-2^{19} \\ & = 2^{1+19} - 2^{19} \\ & = 2^1.2^{19} - 2^{19} \\ & = 2^{19} [2-1] \\ a^b & = 2^{19} \end{align}$
Sehingga, $a=2 \, $ dan $\, b=19$
Jadi, $a+b=2+19 = 21 . \, \heartsuit $
Nomor 2
Jika ${}^{2}\log 3 = x$ dan ${}^{3}\log 7 = y$ , maka nilai ${}^{3}\log 14 $ adalah ...
$\spadesuit \, $Sifat dasar logaritma :
$^a \log (b.c ) = ^a \log b + ^a \log c \, $ dan $\, ^a\log b = \frac{1}{^b \log a}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk ${}^{3}\log 14 $
$\begin{align} {}^{3}\log 14 & = {}^{3}\log (2.7) \\ & = {}^{3}\log 2 + {}^{3}\log 7 \\ &= \frac{1}{^2 \log 3} + {}^{3}\log 7 \\ &= \frac{1}{x} + y \\ & = \frac{1+xy}{x} = \frac{xy+1}{x} \end{align}$
Jadi, nilai ${}^{3}\log 14 = \frac{xy+1}{x} . \heartsuit $
Nomor 3
Jika $p+1$ dan $p-1$ adalah akar-akar persamaan $x^2-4x+a=0$ , maka nilai $a$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Akar-akar persamaan $x^2-4x+a=0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} x_1 = p+1 \\ x_2=p-1 \end{array} \right.$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $p$ dan $a$ dengan operasi akar-akar:
$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \Leftrightarrow (p+1)+(p-1) = \frac{-(-4)}{1} \Leftrightarrow 2p = 4 \Leftrightarrow p =2 $
$x_1. x_2 = \frac{c}{a} \Leftrightarrow (p+1).(p-1) = \frac{a}{1} \Leftrightarrow (2+1).(2-1) = a \Leftrightarrow 3 = a $
Jadi, nilai $a = 3. \heartsuit $
Nomor 4
Jika $f$ adalah fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (-1,0) , (2,0) , dan (0,2) , maka nilai $f(7)$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Rumus Dasar :
persamaan Fungsi kuadrat yang melalui titik ($x_1$ , 0) dan ($x_2$ , 0) :
$y=a(x-x_1)(x-x_2) $
$\spadesuit \, $fungsi kuadrat melalui titik (-1,0) , (2,0) : $x_1=-1 , x_2=2$
Persamaan :
$y=a(x-x_1)(x-x_2) $
$ \Rightarrow y=a(x-(-1))(x-2) \Rightarrow y=a(x+1)(x-2)\, $ ...pers(i)
$\spadesuit \, $ Substitusi (0,2) ke pers(i) untuk menentukan nilai $a$ :
$y=a(x+1)(x-2) \Rightarrow 2=a(0+1)(0-2) \Rightarrow 2 = -2a \Rightarrow a=-1.$
Sehingga fungsi kuadratnya : $f(x) = -(x+1)(x-2) $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $f(7)$ :
$f(x) = -(x+1)(x-2) $
$\Rightarrow f(7) = -(7+1)(7-2) \Rightarrow f(7) = -(8).(5) \Rightarrow f(7) = -40$
Jadi, nilai $f(7) = -40. \heartsuit $
Nomor 5
Semua nilai $x$ yang memenuhi $(x+1)(x+2)\geq (x+2)$ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan akar-akar pertidaksamaan
$\begin{align*} (x+1)(x+2) & \geq (x+2) \\ (x+1)(x+2) - (x+2) & \geq 0 \\ (x+2)[(x+1)-1] & \geq 0 \\ (x+2)x & \geq 0 \\ x=-2 \, & \vee \, x=0 \end{align*}$
snmptn_matdas_k122_3_2012.png
Sehingga solusinya : HP = $ \{ x \leq -2 \vee x \geq 0 \}$
Jadi, HP = $ \{ x \leq -2 \vee x \geq 0 \}. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15