Nomor 6
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \left| \frac{2x-1}{x+5} \right| \geq 6 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $ |x|^2 = x^2 \, $ dan $ \, p^2 - q^2 = (p-q)(p+q) $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x \, $ dengan pengkuadratan
$\begin{align} \left| \frac{2x-1}{x+5} \right|^2 & \geq 6^2 \\ \left( \frac{2x-1}{x+5} \right)^2 - 6^2 & \geq 0 \\ \left( \frac{2x-1}{x+5} - 6 \right) \left( \frac{2x-1}{x+5} + 6 \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{2x-1}{x+5} - \frac{6(x+5)}{x+5} \right) \left( \frac{2x-1}{x+5} + \frac{6(x+5)}{x+5} \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{-4x-31}{x+5} \right) \left( \frac{8x+29}{x+5} \right) & \geq 0 \\ x = \frac{-31}{4} , \vee \, x = \frac{-29}{8} , \vee \, x & = -5 \end{align}$
Jadi, Solusinya $ HP = \{ \frac{-31}{4} \leq x < -5 \vee -5 < x \leq \frac{-29}{8} \} . \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x \, $ dengan pengkuadratan
$\begin{align} \left| \frac{2x-1}{x+5} \right|^2 & \geq 6^2 \\ \left( \frac{2x-1}{x+5} \right)^2 - 6^2 & \geq 0 \\ \left( \frac{2x-1}{x+5} - 6 \right) \left( \frac{2x-1}{x+5} + 6 \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{2x-1}{x+5} - \frac{6(x+5)}{x+5} \right) \left( \frac{2x-1}{x+5} + \frac{6(x+5)}{x+5} \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{-4x-31}{x+5} \right) \left( \frac{8x+29}{x+5} \right) & \geq 0 \\ x = \frac{-31}{4} , \vee \, x = \frac{-29}{8} , \vee \, x & = -5 \end{align}$
Jadi, Solusinya $ HP = \{ \frac{-31}{4} \leq x < -5 \vee -5 < x \leq \frac{-29}{8} \} . \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui $ \, A = \left( \begin{matrix} px & x \\ x & q \end{matrix} \right) \, $ dan $ \, B = \left( \begin{matrix} x & q \\ q & p \end{matrix} \right) . \, $
Jika $ x_1 \, $ dan $ \, x_2 \, $ memenuhi persamaan det(A) = 3 det(B) , maka $ \, x_1 + (x_1.x_2) + x_2 = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
Determinan : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow Det(A)=|A| = a.d - b.c $
PK : $ ax^2 + bx + c = 0 \rightarrow x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ \, x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$\clubsuit \, $ Menentukan persamaan kuadrat dari determinan
$\begin{align} det(A) & = 3 det(B) \\ px.q - x.x & = 3(x.p - q.q) \\ -x^2 + pqx & = 3px - 3q^2 \\ x^2 + 3px - pqx - 3q^2 & = 0 \\ x^2 + (3p-pq)x - 3q^2 & = 0 \end{align}$
PK : $ x^2 + (3p-pq)x - 3q^2 = 0 \, $ akar-akarnya $ x_1 \, $ dan $ \, x_2 \, $
$ x_1+x_2 = \frac{-(3p-pq)}{1} = pq - 3p \, $ dan $ \, x_1.x_2 = \frac{-3q^2}{1} = -3q^2 $
Sehingga nilai :
$ \, x_1 + (x_1.x_2) + x_2 = (x_1 + x_2) + (x_1.x_2) $
$ = pq - 3p -3q^2 $
Jadi, nilai $ x_1 + (x_1.x_2) + x_2 = pq - 3p -3q^2 . \heartsuit$
Catatan : Tidak ada pilihan yang memenuhi.
Determinan : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow Det(A)=|A| = a.d - b.c $
PK : $ ax^2 + bx + c = 0 \rightarrow x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ \, x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$\clubsuit \, $ Menentukan persamaan kuadrat dari determinan
$\begin{align} det(A) & = 3 det(B) \\ px.q - x.x & = 3(x.p - q.q) \\ -x^2 + pqx & = 3px - 3q^2 \\ x^2 + 3px - pqx - 3q^2 & = 0 \\ x^2 + (3p-pq)x - 3q^2 & = 0 \end{align}$
PK : $ x^2 + (3p-pq)x - 3q^2 = 0 \, $ akar-akarnya $ x_1 \, $ dan $ \, x_2 \, $
$ x_1+x_2 = \frac{-(3p-pq)}{1} = pq - 3p \, $ dan $ \, x_1.x_2 = \frac{-3q^2}{1} = -3q^2 $
Sehingga nilai :
$ \, x_1 + (x_1.x_2) + x_2 = (x_1 + x_2) + (x_1.x_2) $
$ = pq - 3p -3q^2 $
Jadi, nilai $ x_1 + (x_1.x_2) + x_2 = pq - 3p -3q^2 . \heartsuit$
Catatan : Tidak ada pilihan yang memenuhi.
Nomor 8
Jika $ \, {}^{18} \log 2 = a \, $ dan $ \, {}^{10} \log 2 = b , \, $ maka $ \, {}^{18} \log 45 = .... $
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat logaritma
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a}, \, {}^a \log b = \frac{{}^p \log b }{{}^p \log a} $
$ {}^a \log (b.c) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan logaritmanya
bentuk pertama :
$\begin{align} {}^{18} \log 2 = a \rightarrow {}^{2} \log 18 & = \frac{1}{a} \\ {}^{2} \log (2.9) & = \frac{1}{a} \\ {}^{2} \log 2 + {}^{2} \log 9 & = \frac{1}{a} \\ 1 + {}^{2} \log 9 & = \frac{1}{a} \\ {}^{2} \log 9 & = \frac{1}{a} - 1 \end{align}$
bentuk kedua :
$\begin{align} {}^{10} \log 2 = b \rightarrow {}^{2} \log 10 & = \frac{1}{b} \\ {}^{2} \log (2.5) & = \frac{1}{b} \\ {}^{2} \log 2 + {}^{2} \log 5 & = \frac{1}{b} \\ 1 + {}^{2} \log 5 & = \frac{1}{b} \\ {}^{2} \log 5 & = \frac{1}{b} - 1 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} {}^{18} \log 45 & = \frac{{}^{2} \log 45}{{}^{2} \log 18} = \frac{{}^{2} \log (9.5)}{{}^{2} \log 18} = \frac{{}^{2} \log 9 + {}^{2} \log 5}{{}^{2} \log 18} \\ & = \frac{ \frac{1}{a} - 1 + \frac{1}{b} - 1 }{ \frac{1}{a} } \\ & = \frac{ \frac{1}{a} - 1 + \frac{1}{b} - 1 }{ \frac{1}{a} } . \frac{a}{a} \\ & = \frac{1-a+ \frac{a}{b} - a }{1} = 1-2a+ \frac{a}{b} \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^{18} \log 45 = 1-2a+ \frac{a}{b} . \heartsuit$
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a}, \, {}^a \log b = \frac{{}^p \log b }{{}^p \log a} $
$ {}^a \log (b.c) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan logaritmanya
bentuk pertama :
$\begin{align} {}^{18} \log 2 = a \rightarrow {}^{2} \log 18 & = \frac{1}{a} \\ {}^{2} \log (2.9) & = \frac{1}{a} \\ {}^{2} \log 2 + {}^{2} \log 9 & = \frac{1}{a} \\ 1 + {}^{2} \log 9 & = \frac{1}{a} \\ {}^{2} \log 9 & = \frac{1}{a} - 1 \end{align}$
bentuk kedua :
$\begin{align} {}^{10} \log 2 = b \rightarrow {}^{2} \log 10 & = \frac{1}{b} \\ {}^{2} \log (2.5) & = \frac{1}{b} \\ {}^{2} \log 2 + {}^{2} \log 5 & = \frac{1}{b} \\ 1 + {}^{2} \log 5 & = \frac{1}{b} \\ {}^{2} \log 5 & = \frac{1}{b} - 1 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} {}^{18} \log 45 & = \frac{{}^{2} \log 45}{{}^{2} \log 18} = \frac{{}^{2} \log (9.5)}{{}^{2} \log 18} = \frac{{}^{2} \log 9 + {}^{2} \log 5}{{}^{2} \log 18} \\ & = \frac{ \frac{1}{a} - 1 + \frac{1}{b} - 1 }{ \frac{1}{a} } \\ & = \frac{ \frac{1}{a} - 1 + \frac{1}{b} - 1 }{ \frac{1}{a} } . \frac{a}{a} \\ & = \frac{1-a+ \frac{a}{b} - a }{1} = 1-2a+ \frac{a}{b} \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^{18} \log 45 = 1-2a+ \frac{a}{b} . \heartsuit$
Nomor 9
Fungsi $ f $ dan $ g $ yang memenuhi $ f \circ g = g \circ f = x \, $ adalah ....
(A) $ \, f(x) = 1 \, $ dan $ \, g(x) = x $
(B) $ \, f(x) = x^2 \, $ dan $ \, g(x) = \sqrt{x} $
(C) $ \, f(x) = \frac{1}{x} \, $ dan $ \, g(x) = x^2 $
(D) $ \, f(x) = 3-x \, $ dan $ \, g(x) = x-3 $
(E) $ \, f(x) = 5-x \, $ dan $ \, g(x) = 5+x $
(A) $ \, f(x) = 1 \, $ dan $ \, g(x) = x $
(B) $ \, f(x) = x^2 \, $ dan $ \, g(x) = \sqrt{x} $
(C) $ \, f(x) = \frac{1}{x} \, $ dan $ \, g(x) = x^2 $
(D) $ \, f(x) = 3-x \, $ dan $ \, g(x) = x-3 $
(E) $ \, f(x) = 5-x \, $ dan $ \, g(x) = 5+x $
$\clubsuit \, $ Suatu fungsi memenuhi $ f \circ g = g \circ f = x \, $ adalah fungsi yang saling invers karena
$ f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = x \, $
Sehingga dari pilihan, fungsi yang saling invers adalah opsi B yaitu $ x^2 \, $ dan $ \, \sqrt{x} $
Cek komposisinya :
$ f \circ g = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 = x $
$ g \circ f = g(f(x)) = g(x^2) = \sqrt{x^2} = x $
sehingga terbukti : $ f \circ g = g \circ f = x \, $
Jadi, fungsi yang memenuhi adalah $ \, f(x) = x^2 \, $ dan $ \, g(x) = \sqrt{x} .\heartsuit $
Sehingga dari pilihan, fungsi yang saling invers adalah opsi B yaitu $ x^2 \, $ dan $ \, \sqrt{x} $
Cek komposisinya :
$ f \circ g = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 = x $
$ g \circ f = g(f(x)) = g(x^2) = \sqrt{x^2} = x $
sehingga terbukti : $ f \circ g = g \circ f = x \, $
Jadi, fungsi yang memenuhi adalah $ \, f(x) = x^2 \, $ dan $ \, g(x) = \sqrt{x} .\heartsuit $
Nomor 10
Jika persamaan kuadrat $ \, 2x^2 + 5px + 50 = 0 \, $ mempunyai akar real kembar, maka salah satu nilai $ p \, $ yang mungkin adalah ....
$\spadesuit \, $ PK : $ \, 2x^2 + 5px + 50 = 0 \rightarrow a = 2, b = 5p, c = 50 $
Syarat akar-akar kembar adalah $ \, D = 0 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ p \, $ dengan syarat $ D = 0 $
$\begin{align} D = 0 \rightarrow b^2 - 4ac & = 0 \\ (5p)^2 - 4.2.50 & = 0 \\ 25p^2 - 8 . 50 & = 0 \, \, \text{(bagi 25)} \\ p^2 - 8. 2 & = 0 \\ p^2 & = 16 \\ p & = \pm 4 \end{align}$
Jadi, nilai $ p = -4 \vee p = 4 . \heartsuit $
Syarat akar-akar kembar adalah $ \, D = 0 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ p \, $ dengan syarat $ D = 0 $
$\begin{align} D = 0 \rightarrow b^2 - 4ac & = 0 \\ (5p)^2 - 4.2.50 & = 0 \\ 25p^2 - 8 . 50 & = 0 \, \, \text{(bagi 25)} \\ p^2 - 8. 2 & = 0 \\ p^2 & = 16 \\ p & = \pm 4 \end{align}$
Jadi, nilai $ p = -4 \vee p = 4 . \heartsuit $
