Pembahasan Terapan Turunan UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) = x^3 + 3kx^2 - 9k^2x - 4 $ turun dalam selang $ -2 < x < 6 $ jika $ k = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ turun dengan syarat $ f^\prime (x) < 0 $
*). Pertidaksamaan $ g(x) < 0 $ memiliki solusi $ a < x < b $, artinya $ x = a $ dan $ x = b $ adalah akar-akar dari $ g(x) = 0 $ sehingga $ g(a) = g(b) = 0 $.
*). Operasi akar-akar persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ f(x) = x^3 + 3kx^2 - 9k^2x - 4 $
$ f^\prime (x) = 3x^2 + 6kx - 9k^2 $
*). Fungsi $ f(x) $ turuna pada interval $ -2 < x < 6 $, artinya $ f^\prime (x) < 0 $ memiliki solusi $ -2 < x < 6 $ sehingga $ f^\prime (-2) = f^\prime (6) = 0 $ atau bisa kita sebut $ x_1 = -2 $ dan $ x_2 = 6 $ yang merupakan akar-akar dari $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Menentukan nilai $ k $ dengan operasi akar-akar :
$ f^\prime (x) = 3x^2 + 6kx - 9k^2 = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 = -2 $ dan $ x_2 = 6 $
$ \begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ -2 + 6 & = \frac{-6k}{3} \\ 4 & = -2k \\ k & = -2 \end{align} $
Jadi, nilai $ k = -2 . \, \heartsuit $


Pembahasan Barisan Aritmetika UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
Sebuah deret dengan suku ke-$n$ adalah $ a_n$ mempunyai jumlah $ n $ suku pertama $ 5n^2+3n$. Nilai $ a_1 + a_5 + a_8 + ... + a_{20} = .... $
A). $ 726 \, $ B). $ 736 \, $ C). $ 746 \, $ D). $ 756 \, $ E). $ 766 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Aritmetika
*). Rumus suku ke-$n$ : $ u_n = a + (n-1)b $
*). Rumus Jumlah $ n $ suku pertama :
$ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
Jika $ s_n = pn^2 + qn \rightarrow b = 2p $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$ \begin{align} s_n & = 5n^2 + 3n \rightarrow b = 2.5 = 10 \\ a & = u_1 = s_1 = 5.1^2 + 3.1 = 5 + 3 = 8 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a_1 , a_2 , .... $ :
$ \begin{align} a_2 & = u_2 = a + b = 8 + 10 = 18 \\ a_5 & = u_5 = a + 4b = 8 + 4.10 = 48 \end{align} $
*). Jumlah yang diinginkan :
$ \begin{align} a_2 + a_5 + a_8 + ... + a_{20} \end{align} $
Yaitu penjumlah 7 suku pertama $ s_7 $ dengan suku pertama $ a_2 $ dan beda yaitu $ b = a_5 - a_2 = 48 - 18 = 30 $.
*). Menentukan nilai $ s_7 $ :
$ \begin{align} s_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ s_7 & = \frac{7}{2}(2.18 + (7-1).30) \\ & = \frac{7}{2}(36 + 180) \\ & = \frac{7}{2}(216) = 7 . 108 = 756 \end{align} $
Jadi, nilai $ a_2 + a_5 + a_8 + ... + a_{20} = 756 . \, \heartsuit $


Pembahasan Eksponen UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ akar-akar persamaan $ 2^{x+1} + \frac{1}{2^{x-3}} = 17 $ , maka $ x_1^2 + x_2^2 = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 13 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Eksponen :
1). $ a^{m+n} = a^m . a^n $
2). $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $
3). $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^f(x) = a^c \rightarrow f(x) = c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kita misalkan : $ 2^x = p $
$ \begin{align} 2^{x+1} + \frac{1}{2^{x-3}} & = 17 \\ 2^{x}. 2^1 + \frac{1}{\frac{2^x}{2^3}} & = 17 \\ 2.2^{x} + \frac{2^3}{2^x} & = 17 \\ 2.p + \frac{8}{p} & = 17 \, \, \, \, \, \, \text{(kali p)} \\ 2p^2 + 8 & = 17p \\ 2p^2 -17p + 8 & = 0 \\ (2p-1)(p-8) & = 0 \\ p = \frac{1}{2} \vee p & = 8 \\ p = \frac{1}{2} \rightarrow 2^x & = 2^{-1} \rightarrow x_1 = -1 \\ p = 8 \rightarrow 2^x & = 2^3 \rightarrow x_2 = 3 \\ \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x_1^2 + x_2^2 $ :
$ \begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ x_1^2 + x_2^2 = 10 . \, \heartsuit $


Pembahasan Logaritma UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ {}^a \log \frac{b}{c} = p $ dan $ {}^a \log bc^2 = q $, maka $ {}^a \log b = .... $
A). $ \frac{q-p}{3} \, $ B). $ \frac{q-2p}{3} $ C). $ \frac{q+p}{3} $
D). $ \frac{q + 2p}{3} \, $ E). $ \frac{p-2q}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Logaritma :
1). $ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
2). $ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
3). $ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kita misalkan :
$ {}^a \log b = x $ dan $ {}^a \log c = y $
*). Mengubah bentuk soal :
$ \begin{align} \text{pertama : } {}^a \log \frac{b}{c} & = p \\ {}^a \log b - {}^a \log c & = p \\ x - y & = p \\ y & = x - p \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ \text{kedua : } {}^a \log bc^2 & = q \\ {}^a \log b + {}^a \log c^2 & = q \\ {}^a \log b + 2 {}^a \log c & = q \\ x + 2y & = q \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align} x + 2y & = q \\ x + 2(x - p) & = q \\ x + 2x - 2p & = q \\ 3x & = q + 2p \\ x & = \frac{q + 2p}{3} \end{align} $
Kita peroleh $ x = \frac{q + 2p}{3} \rightarrow {}^a \log b = \frac{q + 2p}{3} $
Jadi, bentuk $ {}^a \log b = \frac{q + 2p}{3} . \, \heartsuit $


Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
Grafik fungsi $ f(x) = (3-m)x^2 + (1-m)x - 2m $ memotong sumbu Y di titik A dan mempunyai sumbu simetri garis $ x = -1 $. Gradien garis melalui titik puncak kurva dan titik A adalah ....
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $
-). Persamaan sumbu simetrinya : $ x = \frac{-b}{2a} $
-). Titik puncaknya : $(x_p,y_p) $ dengan $ x_p = \frac{-b}{2a} $ dan $ y_p = f(x_p) $
*). Gradien garis melalui dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ x_2,y_2) $ :
$ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1} $
*). Untuk mencari titik potong sumbu Y, maka substitusi $ x = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi kuadrat : $ f(x) = (3-m)x^2 + (1-m)x - 2m $
dengan $ a = 3 - m , \, b = 1 - m , \, c = -2m $
*). Menentukan nilai $ m $ dengan sumbu simetri $ x = -1 $ :
$ \begin{align} x & = -1 \\ \frac{-b}{2a} & = -1 \\ b & = 2a \\ 1-m & = 2(3-m) \\ 1-m & = 6 - 2m \\ 2m - m & = 6 - 1 \\ m & = 5 \end{align} $
Sehingga fungsi kuadratnya menjadi :
$ f(x) = (3-m)x^2 + (1-m)x - 2m = (3-5)x^2 + (1-5)x - 2.5 $
$ f(x) = -2x^2 - 4x - 10 $
*). Menentukan titik A, substitusi $ x = 0 $ :
$ y = f(0) = -2.0^2 - 4.0 - 10 = -10 $
Sehingga titik $ A (0,-10) $.
*). Menentukan titik puncak $(x_p,y_p) $ :
$ \begin{align} x_p & = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4}{2.(-2)} = -1 \\ y_p & = f(x_p) = f(-1) \\ & = -2.(-1)^2 - 4.(-1) - 10 = -2 + 4 - 10 = -8 \end{align} $
Sehingga titik puncaknya $ (x_p,y_p) = (-1,-8) $
*). Menentukan gradien garis melalui dua titik
$ (x_1,y_1) = (0,-10) $ dan $ (x_2,y_2) = (-1,-8) $
$ \begin{align} m & = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1} = \frac{-8 - (-10)}{-1 - 0} \\ & = \frac{2}{-1} = -2 \end{align} $
Jadi, gradiennya adalah $ -2 . \, \heartsuit $