Pembahasan Garis Singgung UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = ax^2 + bx + 4 $. Jika gradien garis singgung kurva di $ x = 2 $ adalah $ -1 $ dan di $ x = 1 $ adalah $ 3 $, maka $ a + b = ..... $
A). $ 9 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Gradien garis singgung di titik $ (x_1,y_1) $ pada kurva $ y = f(x) $ adalah $ m = f^\prime (x_1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ f(x) = ax^2 + bx + 4 \rightarrow f^\prime (x) = 2ax + b $.
*). Menyusun persamaan yang diketahu gradiennya :
-). Pertama, $ m = -1 $ untuk $ x_1 = 2 $ :
$\begin{align} f^\prime (x_1 ) & = m \\ f^\prime (2 ) & = -1 \\ 2a.2 + b & = -1 \\ 4a + b & = -1 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Kedua, $ m = 3 $ untuk $ x_1 = 1 $ :
$\begin{align} f^\prime (x_1 ) & = m \\ f^\prime (1 ) & = 3 \\ 2a.1 + b & = 3 \\ 2a + b & = 3 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{cc} 4a + b = -1 & \\ 2a + b = 3 & - \\ \hline 2a = -4 & \\ a = -2 & \end{array} $
Pers(ii): $ 2a + b = 3 \rightarrow 2.(-2) + b = 3 \rightarrow b = 7 $.
Sehingga nilai $ a + b = -2 + 7 = 5 $.
Jadi, nilai $ a + b = 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika fungsi $ f(x) = x^3 + px^2 - 9x $ hanya didefinisikan untuk nilai-nilai $ x $ yang memenuhi $ -6 \leq x \leq 0 $ dan mencapai nilai maksimum pada saat $ x = -3 $ , maka nilai $ p $ adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ maksimum di $ x = p $ pada saat $ f^\prime (p) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ f(x) = x^3 + px^2 - 9x \rightarrow f^\prime (x) = 3x^2 + 2px - 9 $.
*). FUngsi $ f(x) = x^3 + px^2 - 9x $ maksimum pada saat $ x = -3 $, artinya $ f^\prime (-3) = 0 $ :
*). Menentukan nilai $ p $ dengan $ f^\prime (-3) = 0 $ :
$\begin{align} f^\prime (x) & = 3x^2 + 2px - 9 \\ f^\prime (-3) & = 0 \\ 3.(-3)^2 + 2p.(-3) - 9 & = 0 \\ 27 -6p - 9 & = 0 \\ 18 -6p & = 0 \\ 6p & = 18 \\ p & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Takhingga UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( \sqrt{2x^2+5x+6} - \sqrt{2x^2 + 2x - 1} \right) = .... $
A). $ \frac{3}{2}\sqrt{2} \, $ B). $ \frac{3}{4}\sqrt{2} \, $ C). $ -\frac{3}{\sqrt{2}} \, $ D). $ -\frac{3}{4}\sqrt{2} \, $ E). $ 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus limit tak hingga fungsi aljabar :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}) = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( \sqrt{2x^2+5x+6} - \sqrt{2x^2 + 2x - 1} \right) \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} = \frac{5-2}{2\sqrt{2}} \\ & = \frac{3}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3}{4}\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{3}{4}\sqrt{2} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Limit UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{1-\cos (x+3)}{x^2 + 6x + 9 } = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ -\frac{1}{2} \, $ E). $ \frac{1}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus cepat trigonometri untuk limit tak tentu:
$ 1 - \cos A = \frac{1}{2}A^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{1-\cos (x+3)}{x^2 + 6x + 9 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{ \frac{1}{2}(x+3)^2}{(x+3)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -3} \, \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{1-\cos (x+3)}{x^2 + 6x + 9 } = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ -\frac{1}{2} \, $ E). $ \frac{1}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit fungsi trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{\sin a f(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} $ dengan syarat $ f(k) = 0 $.
*). RUmus dasar trigonometri :
$ 1 - \cos A = 2 \sin \frac{1}{2}A . \sin \frac{1}{2} A $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{1-\cos (x+3)}{x^2 + 6x + 9 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{2\sin \frac{1}{2}(x+3) . \sin \frac{1}{2}(x+3)}{(x+3)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -3} \, 2 . \frac{\sin \frac{1}{2}(x+3) }{(x+3)} . \frac{\sin \frac{1}{2}(x+3) }{(x+3)} \\ & = 2 . \frac{ \frac{1}{2} }{1} . \frac{ \frac{1}{2} }{1} = \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Trigonometri UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Untuk $ -\pi \leq x \leq \pi $ , nilai $ x $ yang memenuhi
$ 4 \cos ^2 x - 4\sin \left( \frac{\pi}{2} + x \right) - 3 = 0 $ adalah ....
A). $ -\frac{2}{3}\pi \, $ atau $ \frac{\pi}{2} $
B). $ -\frac{\pi}{2} \, $ atau $ \frac{\pi}{2} $
C). $ -\frac{\pi}{3} \, $ atau $ \frac{\pi}{3} $
D). $ -\frac{2}{3}\pi \, $ atau $ \frac{2}{3}\pi $
E). $ -\frac{\pi}{3} \, $ atau $ \frac{2}{3}\pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sudut komplemen :
$ \sin (90^\circ + x ) = \cos x $
*). Sudut negatif : $ \cos ( -x ) = \cos x $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} 4 \cos ^2 x - 4\sin \left( \frac{\pi}{2} + x \right) - 3 & = 0 \\ 4 \cos ^2 x - 4\cos x - 3 & = 0 \\ (2\cos x + 1 )(2\cos x - 3) & = 0 \\ \cos x = -\frac{1}{2} \vee \cos x & = \frac{3}{2} \end{align} $
*). Karena nilai $ \cos x $ paling besar adalah 1, maka yang memenuhi adalah $ \cos x = - \frac{1}{2} $.
*). Untuk $ \cos x = -\frac{1}{2} $ , nilai $ x $ yang memenuhi adalah $ x = 120^\circ = \frac{2}{3}\pi $ dan $ x = - 120^\circ = - \frac{2}{3}\pi $ karena $ \cos (- 120^\circ) = \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} $ dimana nilai $ x $ ini ada pada interval $ -\pi \leq x \leq \pi $ .
Jadi, nilai $ x $ adalah $ - \frac{2}{3}\pi \, $ atau $ \frac{2}{3}\pi . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan segitiga PQR dengan panjang sisi PQ = 3 cm dan PR = 4 cm. Sedangkan sudut $ P = 60^\circ $ . Maka cosinus R adalah ....
A). $ \frac{5}{26}\sqrt{13} \, $ B). $ \frac{5}{39}\sqrt{13} \, $ C). $ \frac{5}{52}\sqrt{13} \, $ D). $ \frac{5}{6}\sqrt{13} \, $ E). $ \frac{1}{5}\sqrt{13} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aturan cosinus pada segitiga PQR :
$ p^2 = q^2 + r^2 - 2qr \cos P $
atau $ QR^2 = PR^2 + PQ^2 - 2.PR.PQ.\cos P $
dengan : $ p = QR , q = PR, $ dan $ r = PQ $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan panjang $ QR^2 $ :
$\begin{align} QR^2 & = PR^2 + PQ^2 - 2.PR.PQ.\cos P \\ & = 4^2 + 3^2 - 2.4.3.\cos 60^\circ \\ & = 16 + 9 - 24.\frac{1}{2} \\ QR^2 & = 25 - 12 = 13 \\ QR & = \sqrt{13} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \cos R $ :
$\begin{align} PQ^2 & = PR^2 + QR^2 - 2.PR.QR. \cos R \\ 3^2 & = 4^2 + 13 - 2.4.\sqrt{13}. \cos R \\ 9 & = 16 + 13 - 8\sqrt{13}. \cos R \\ 9 & = 29 - 8\sqrt{13}. \cos R \\ 8\sqrt{13}. \cos R & = 29 - 9 \\ 8\sqrt{13}. \cos R & = 20 \\ \cos R & = \frac{20}{8\sqrt{13}} \\ & = \frac{5}{2\sqrt{13}} \times \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} \\ & = \frac{5\sqrt{13}}{2. 13} = \frac{5}{26} \sqrt{13} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos R = \frac{5}{26} \sqrt{13} . \, \heartsuit $