Pembahasan Program Linier UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Nilai minimum dari $ 3x + 2y - 1 $ untuk $ x $ dan $ y $ yang memenuhi $ 2x + y \geq 4 $ , $ y - x \leq 1 $ , $ 2y - x \geq -4 $ , $ x \leq 6 $ , dan $ y \geq 0 $ adalah ...
A). $ 5 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 11 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Program Linear :
*). Langkah-langkah menentukan nilai maksimum atau minimum :
1). Menentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP),
2). Menentukan titik pojok DHP nya,
3). Substitusikan semua titik pojok ke fungsi tujuan, lalu pilih nilai terkecil sebagai nilai minimum.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Daerah himpunan penyelesaian (DHP) :
Garis I : $ 2x + y \geq 4 \rightarrow (0,4) , \, (2,0) $
Garis II : $ y - x \leq 1 \rightarrow (0,1), \, (-1,0) $
Garis III : $ 2y - x \geq -4 \rightarrow (0,-2), \, (4,0) $
Garis IV : $ x \leq 6 \rightarrow \, $ garis $ x = 6 $
Garis V : $ y \geq 0 \rightarrow \, $ sumbu X
 

*). Menentukan titik pojok A, B, C , D dan E :
-). Titik $ A(2,0) $ , $ B (4,0) $
-). Titik C, substitusi $ x = 6 $ ke pers III :
$ 2y - x = -4 \rightarrow 2y - 6 = -4 \rightarrow y = 1 $
Sehingga titik $ C ( 6,1 ) $.
-). Titik D, substitusi $ x = 6 $ ke pers II :
$ y - x = 1 \rightarrow y - 6 = 1 \rightarrow y = 7 $
Sehingga titik $ D ( 6,7 ) $.
-). Titik E, eliminasi pers(I) dan pers(II) :
$ \begin{array}{cc} 2x + y = 4 & \\ y - x = 1 & - \\ \hline 3x = 3 & \\ x = 1 & \end{array} $
Pers(II): $ y - x = 1 \rightarrow y - 1 = 1 \rightarrow y = 2 $
Sehingga titik $ E (1,2) $.
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi $ f(x,y) = 3x + 2y -1 $ :
$ \begin{align} A(2,0) \rightarrow f & = 3.2 + 2.0 -1 = 5 \\ B(4,0) \rightarrow f & = 3.4 + 2.0 -1 = 11 \\ C(6,1) \rightarrow f & = 3.6 + 2.1 -1 = 19 \\ D(6,7) \rightarrow f & = 3.6 + 2.7 -1 = 31 \\ E(1,2) \rightarrow f & = 3.1 + 2.2 -1 = 6 \end{align} $.
Jadi, nilai minimumnya adalah $ 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan semua nilai $ x $ yang memenuhi $ \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2x-1}} \geq 1 $ adalah $ \{ x|x \in R , a < x < b \} $ . Nilai $ ab = ...$
A). $ -2 \, $ B). $ -\frac{1}{2} $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{5}{2} \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Untuk pertidaksamaan pecahan, tidak dikalikan silang karena akan menghilangkan akar-akar penyebutnya.
*). syarat bentuk pecahan : akar penyebut selalu tidak ikut.
$ \frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow g(x) \neq 0 $
*). Syarat bentuk akar :
$ \sqrt{f(x)} \rightarrow f(x) \geq 0 $
*). Sifat bentuk akar :
$ \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \right)^2 = \frac{a}{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Syarat bentuk akar dan pecahan : $ \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2x-1}} \geq 1 $
$ x + 1 \geq 0 \rightarrow x \geq -1 $
$ 2x - 1 > 0 \rightarrow x > \frac{1}{2} $
Syarat yang memenuhi keduanya (irisan) adalah
$ HP_1 = \{ x > \frac{1}{2} \} $
*). Menyelesaikan pertidaksamaan dengan dikuadratkan :
$\begin{align} \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2x-1}} & \geq 1 \\ \left( \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2x-1}} \right)^2 & \geq 1^2 \\ \frac{x+1}{2x-1} & \geq 1 \\ \frac{x+1}{2x-1} - 1 & \geq 0 \\ \frac{x+1}{2x-1} - \frac{2x-1}{2x-1} & \geq 0 \\ \frac{-x+2}{2x-1} & \geq 0 \\ \end{align} $
akar pembilangnya : $ -x + 2 = 0 \rightarrow x = 2 $
akar penyebutnya : $ 2x - 1 = 0 \rightarrow x = \frac{1}{2} $
gari bilangannya :
 

$ HP_2 = \{ \frac{1}{2} < x \leq 2 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ x > \frac{1}{2} \} \cap \{ \frac{1}{2} < x \leq 2 \} \\ & = \{ \frac{1}{2} < x \leq 2 \} \end{align} $
*). Solusi $ \{ \frac{1}{2} < x \leq 2 \} $ sama dengan $ \{ a < x < b \} $ sehingga $ a = \frac{1}{2} $ dan $ b = 2 $.
Nilai $ a.b = \frac{1}{2} . 2 = 1 $
Jadi, nilai $ ab = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah semua nilai $ x $ yang memenuhi $ y - \frac{15}{x} = -(x+2) $ dan $ x-y-3=0 $ adalah ...
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ \frac{5}{2} \, $ E). $ \frac{7}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan bisa menggunakan metode substitusi.
*). Persamaan Kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ x-y-3 = 0 \rightarrow y = x - 3 $
*). Substitusi $ y = x - 3 $ ke $ y - \frac{15}{x} = -(x+2) $ :
$\begin{align} y - \frac{15}{x} & = -(x+2) \\ (x-3) - \frac{15}{x} & = -(x+2) \, \, \, \, \, \, \text{(kali } x) \\ x^2 - 3x - 15 & = -x^2 - 2x \\ 2x^2 - x - 15 & = 0 \\ x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ & = \frac{-(-1)}{2} = \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, jumlah semua nilai $ x $ adalah $ \frac{1}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan kuadrat $ 3x^2 + 8x - c = 0 $ mempunyai akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ dengan $ x_1 = -\frac{1}{x_2} $ . Jika $ x_1 > x_2 $ , maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $ \frac{1}{x_1+1} $ dan $ \frac{1}{x_2 - 2} $ adalah ...
A). $ 10x^2 - 11x - 3 = 0 \, $
B). $ 10x^2 + 11x + 3 = 0 \, $
C). $ 20x^2 - 11x - 3 = 0 \, $
D). $ 20x^2 + 11x + 3 = 0 \, $
E). $ 20x^2 - 11x + 3 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan Kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Menyusun persamaan kuadrat :
$ \, \, \, \, \, x^2 - (HJ)x + (HK) = 0 $
dengan HJ = Hasil Jumlah dan HK = Hasil Kali

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ 3x^2 + 8x - c = 0 $ mempunyai akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ dengan $ x_1 = -\frac{1}{x_2} $ dengan $ x_1 > x_2 $ :
*). Menentukan nilai $ c $ :
$\begin{align} x_1 & = -\frac{1}{x_2} \\ x_1.x_2 & = -1 \\ \frac{c}{a} & = -1 \\ \frac{-c}{3} & = -1 \\ c & = 3 \end{align} $
Sehingga PK nya menjadi : $ 3x^2 + 8x - 3 = 0 $
*). Menentukan akar-akar dari $ 3x^2 + 8x - 3 = 0 $ :
$\begin{align} 3x^2 + 8x - 3 & = 0 \\ (3x-1)(x+3) & = 0 \\ x_1 = \frac{1}{3} \vee x_2 & = -3 \end{align} $
*). Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar $ \frac{1}{x_1+1} $ dan $ \frac{1}{x_2 - 2} $ :
$ \frac{1}{x_1+1} = \frac{1}{\frac{1}{3}+1} = \frac{3}{4} $
$ \frac{1}{x_2 - 2} = \frac{1}{-3 - 2} = -\frac{1}{5} $
*). Menyusun PK dengan akar-akar $ \frac{1}{x_1+1} $ dan $ \frac{1}{x_2 - 2} $ atau $ \frac{3}{4} $ dan $ -\frac{1}{5} $ :
$\begin{align} x^2 - (HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 - \left( \frac{3}{4} + (-\frac{1}{5}) \right) x + \left( \frac{3}{4}.(-\frac{1}{5}) \right) & = 0 \\ x^2 - \left( \frac{15-4}{20} \right) x + \left( - \frac{3}{20} \right) & = 0 \, \, \, \, \, \, (\times 20) \\ 20x^2 - 11 x - 3 & = 0 \end{align} $
Jadi, PK nya adalah $ 20x^2 - 11 x - 3 = 0 . \, \heartsuit $