Pembahasan Soal UMPTN Matematika Dasar tahun 2000 nomor 26 sampai 30


Nomor 26
Hasil kali matriks $ (BA)(B+A^{-1})B^{-1} = .... $
A). $ AB + I $
B). $ BA + I $
C). $ A + B^{-1} $
AD). $ A^{-1} + B $
E). $ AB + A $
$\spadesuit \, $ Konsep perkalian matriks
$ P.P^{-1} = P^{-1}.P = I, \, \, AI=IA=A \, \, $ dan $ PQ \neq QP $
dengan $ I \, $ adalah matriks identitas.
$\spadesuit \, $ Menentukan perkaliannya
$ \begin{align} (BA)(B+A^{-1})B^{-1} & = (BA.B + BA.A^{-1}).B^{-1} \\ & = (BAB + BI).B^{-1} \\ & = (BAB + B).B^{-1} \\ & = BAB.B^{-1} + B.B^{-1} \\ & = BA.I + I \\ & = BA + I \end{align} $
Jadi, diperoleh $ (BA)(B+A^{-1})B^{-1} = BA + I . \heartsuit $
Nomor 27
Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{x+1}{x}, \, x \neq 0 \, $ dan $ f^{-1} \, $ adalah invers $ f . \, $ Jika $ k \, $ adalah banyaknya faktor prima dari 210, maka $ f^{-1} (k) = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep invers : $ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1} (x) = \frac{-dx+b}{cx-a} $
Sehingga invers dari $ f(x) = \frac{x+1}{x} $
$ f(x) = \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x+0} \rightarrow f^{-1} (x) = \frac{0x+1}{x-1} = \frac{1}{x-1} $
diperoleh : $ f^{-1} (x) = \frac{1}{x-1} \rightarrow f^{-1} (k) = \frac{1}{k-1} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ k $
Faktor (pembagi bulat positif) dari 210 :
$ \{ 1, 2, 3, 5, 7, 6, 10, 14, 15, 21, 35, 30, 42, 70, 105, 210 \} $
Sehingga faktor primanya : $ \{ 2,3,5,7 \} $
$ k \, $ adalah banyak faktor prima dari 210, artinya $ k = 4 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ f^{-1} (k) $
$ \begin{align} k = 4 \rightarrow f^{-1} (k) & = \frac{1}{k-1} \\ f^{-1} (4) & = \frac{1}{4-1} \\ f^{-1} (4) & = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, $ k = 4 \, $ , sehingga nilai $ f^{-1} (k) = \frac{1}{3} . \heartsuit $
Nomor 28
Jika $ \left( \begin{matrix} 4^{x+2y} & 0 \\ 2 & 3x-2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 8 & 0 \\ 2 & 7 \end{matrix} \right) , \, $ maka $ x+y = .... $
$\spadesuit \, $ Dari persamaan matriks, diperoleh persamaan
$ 4^{x+2y} = 8 \, $ .....pers(i)
$ 3x-2 = 7 \, $ ......pers(ii)
$\spadesuit \, $ Konsep persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x \, $ dan $ y $
pers(ii) : $ 3x-2 = 7 \rightarrow 3x = 9 \rightarrow x = 3 $
pers(i) dan nilai $ x = 3 $
$\begin{align} 4^{x+2y} & = 8 \\ (2^2)^{3+2y} & = 2^3 \\ 2^{6+4y} & = 2^3 \\ \not{2}^{6+4y} & = \not{2}^3 \\ 6+4y & = 3 \\ 4y & = -3 \\ y & = - \frac{3}{4} \end{align}$
sehingga nilai $ x+ y = 3 +(-\frac{3}{4}) = \frac{12}{4} - \frac{3}{4} = \frac{9}{4} $
Jadi, nilai $ x + y = \frac{9}{4} . \heartsuit $
Nomor 29
Bilangan terdiri dari tiga angka disusun dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9. Banyaknya bilangan dengan angka-angka yang berlainan dan yang lebih kecil dari 400 adalah ....
$\clubsuit \,$ Angka-angka yang berlainan artinya angka yang sudah dipakai tidak boleh digunakan lagi.
$\clubsuit \,$ Menentukan banyak susunan angkanya
Pilihan angka : 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 , artinya ada 6 pilihan angka.
*). Ratusan : agar nilainya kurang dari 400, maka ratusannya harus angka 2 atau 3, yang artinya ada 2 pilihan.
*). Puluhan : Satu angka sudah dipakai untuk ratusan, sehingga puluhannya tersisa 5 pilihan angka.
*). Satuan : untuk satuan menggunakan sisa angka yang ada yaitu 4 pilihan karena dua angka sudah dipakai untuk ratusan dan puluhan.
Sehingga total angka yang terbentuk : $ 2 \times 5 \times 4 = 40 $
Jadi, banyaknya bilangan tiga angka kurang dari 400 adalah 40 angka. $ \heartsuit $
Nomor 30
Pendapatan rata-rata karyawan suatu perusahaan Rp 300.000 per bulan. Jika pendapatan rata-rata karyawan pria Rp 320.000 dan karyawan wanita Rp 285.000, maka perbandingan jumlah karyawan pria dengan karyawan wanita adalah .....
$\spadesuit \, $ Konsep rata-rata gabungan $(\overline{X}_{gb})$
$ \overline{X}_{gb} = \frac{n_p . \overline{X}_p + n_w.\overline{X}_w}{n_p + n_w } $
keterangan :
$ \overline{X}_{gb} = \, $ rata-rata gabungan
$ \overline{X}_p = \, $ rata-rata karyawan pria
$ n_p = \, $ banyaknya karyawan pria
Diketahui pada soal :
$ \overline{X}_{gb} = 300.000 , \, \overline{X}_p=320.000, \, \overline{X}_w=285.000 $
$\spadesuit \, $ Menentukan perbandingan pria dan wanita $(n_p : n_w)$
$\begin{align} \overline{X}_{gb} & = \frac{n_p . \overline{X}_p + n_w.\overline{X}_w}{n_p + n_w } \\ 300000 & = \frac{n_p . 320000 + n_w.285000}{n_p + n_w } \\ 300000(n_p+n_w) & = 320000n_p + 285000n_w \, \, \, \, \text{(bagi 1000)} \\ 300(n_p+n_w) & = 320n_p + 285n_w \\ 300n_p+300n_w & = 320n_p + 285n_w \\ 300n_w - 285n_w & = 320n_p - 300n_p \\ 15n_w & = 20n_p \\ \frac{15}{20} & = \frac{n_p}{n_w} \\ \frac{3}{4} & = \frac{n_p}{n_w} \end{align}$
Jadi, perbandingan pria dan wanita adalah 3 : 4. $ \heartsuit $

Cara II :
$\spadesuit \, $ Konsep rata-rata gabungan $(\overline{X}_{gb})$
$ \overline{X}_{gb} = \frac{n_p . \overline{X}_p + n_w.\overline{X}_w}{n_p + n_w } $
dari rumus dasar di atas bisa dimodifikasi menjadi : $ \frac{n_p}{n_w} = \left| \frac{ \overline{X}_{gb} - \overline{X}_w}{\overline{X}_{gb} - \overline{X}_p} \right| $
keterangan :
$ \overline{X}_{gb} = \, $ rata-rata gabungan
$ \overline{X}_p = \, $ rata-rata karyawan pria
$ n_p = \, $ banyaknya karyawan pria
Diketahui pada soal :
$ \overline{X}_{gb} = 300.000 , \, \overline{X}_p=320.000, \, \overline{X}_w=285.000 $
$\spadesuit \, $ Menentukan perbandingan pria dan wanita $(n_p : n_w)$
$\begin{align} \frac{n_p}{n_w} & = \left| \frac{ \overline{X}_{gb} - \overline{X}_w}{\overline{X}_{gb} - \overline{X}_p} \right| \\ & = \left| \frac{ 300000 - 285000}{300000-320000} \right| \\ & = \left| \frac{ 15000}{-20000} \right| = \frac{ 15000}{20000} = \frac{ 3}{4} \end{align}$
Jadi, perbandingan pria dan wanita adalah 3 : 4. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 619 tahun 2015 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $ A = \left[ \begin{matrix} 2a & a \\ 4 & a \end{matrix} \right] \, $ merupakan matriks yang mempunyai invers, maka hasil kali semua nilai $ a \, $ yang mungkin sehingga $ det(A^2) = -8 det \left( A^{-1} \right) \, $ adalah .....
$\spadesuit \, $ sifat-sifat determinan
$ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \, $ dan $ |A^n| = |A|^n $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai determinan A
$ A = \left[ \begin{matrix} 2a & a \\ 4 & a \end{matrix} \right] $
$ det(A) = |A| = 2a.a - 4.a = 2a^2-4a $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} det(A^2) & = -8 det \left( A^{-1} \right) \\ |A^2| & = -8 | A^{-1} | \\ |A|^2 & = -8 . \frac{1}{|A|} \\ |A|^3 & = -8 \\ |A| & = -2 \\ 2a^2-4a & = -2 \\ 2a^2-4a + 2 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ a^2 - 2a + 1 & = 0 \\ (a-1)(a-1) & = 0 \\ a_1=1 \vee a_2 & = 1 \end{align}$
hasil kali nilai $ a \, $ adalah $ a_1.a_2 = 1.1 =1 $
atau gunakan operasi akar-akar :
$ a^2 - 2a + 1 = 0 \rightarrow a_1.a_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1 $
Jadi, hasil kali semua nilai $ a \, $ adalah 1. $ \heartsuit $
Nomor 12
Jika semua akar persamaan $ x^2 + 7x + t = 0 \, $ merupakan bilangan bulat negatif, maka jumlah semua nilai $ t \, $ yang mungkin adalah ....
$\clubsuit \, $ Persamaan kuadrat : $ x^2 + 7x + t = 0 $
$ a = 1, \, b = 7 , \, $ dan $ c = t \, $ dengan akar-akar bulat negatif
$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-7}{1} = -7 \, $ ....pers(i)
$ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{qt}{1} = t \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ t \, $ dari pers(i) dan pers(ii) dengan $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ bilangan bulat negatif.
$ x_1 + x_2 = -7 \, $ dan $ x_1.x_2 = t $
*). $ x_1 = -1, \, x_2 = -6 \rightarrow q = x_1.x_2 = -1.-6 = 6 $
*). $ x_1 = -2, \, x_2 = -5 \rightarrow q = x_1.x_2 = -2.-5 = 10 $
*). $ x_1 = -3, \, x_2 = -4 \rightarrow q = x_1.x_2 = -3.-4 = 12 $
Sehingga jumlah semua nilai $ t \, $ yang mungkin :
Jumlah = 6 + 10 + 12 = 28.
Jadi, jumlah semua nilai $ t \, $ adalah 28. $ \heartsuit $
Nomor 13
Jika garis $ x - 2y = 3 \, $ tidak memotong maupun menyinggung kurva $ y = x^2 + ax - \frac{15}{16} , \, $ maka ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar hubungan garis dan parabola
Syarat garis dan parabola tidak berpotongan maupun menyinggung : $ D < 0 $ . dengan $ D \, $ adalah nilai Diskriminan , rumus : $ D = b^2-4ac $
$\spadesuit \, $ Substitusi parabola ke garis
$\begin{align} x-2y & = 3 \\ x-2(x^2 + ax - \frac{15}{16}) & = 3 \\ x-2x^2 - 2ax + \frac{15}{8}) & = 3 \, \, \, \, \text{(kali -8)} \\ -8x + 16x^2 + 16ax - 15 & = -24 \\ 16x^2 +8(2a-1)x + 9 & = 0 \\ a = 16, \, b = 8(2a-1), \, c & = 9 \\ \text{ Syarat : } D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ [8(2a-1)]^2 - 4.16.9 & < 0 \\ 64(4a^2 - 4a + 1) - 64.9 & < 0 \, \, \, \, \text{(bagi 64)} \\ (4a^2 - 4a + 1) - 9 & < 0 \\ 4a^2 - 4a - 8 & < 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ a^2 - a - 2 & < 0 \\ (a+1)(a-2) & < 0 \\ a = -1 \vee a & = 2 \end{align}$
sbmptn_matdas_3_k619_2015.png
Jadi, garis dan parabola tidak berpotongan maupun meninggung ketika $ \{ -1 < a < 2 \} . \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui rata-rata dari 9 nilai pengamatan sama dengan dua kali mediannya. Jika jumlah nilai pengamatan yang lebih kecil daripada median adalah 106 dan jumlah nilai pengamatan yang lebih besar daripada median adalah 200, maka rata-rata dari 9 nilai pengamatan tersebut adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep rata-rata $ (\overline{X}) $
$ \overline{X} = \frac{\text{jumlah semua data}}{\text{banyak data}} $
$\clubsuit \, $ Misalkan datanya : $ a_1, a_2, a_3,a_4, x, b_1, b_2, b_3, b_4 $
dengan $ x \, $ sebagai nilai median dan
$ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 106 \, $ serta $ b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 200 $
$\begin{align} \overline{X} & = \frac{\text{jumlah semua data}}{\text{banyak data}} \\ \overline{X} & = \frac{(a_1+a_2+a_3+a_4)+x+(b_1+b_2+b_3+b_4)}{9} \\ \overline{X} & = \frac{(106)+x+(200)}{9} \\ \overline{X} & = \frac{306+x}{9} \end{align} $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} \text{rata-rata } & = 2 \times \text{ median} \\ \overline{X} & = 2x \\ \frac{306+x}{9} & = 2x \\ 306 + x & = 18x \\ 17x & = 306 \\ x & = \frac{306}{17} = 18 \end{align} $
Sehingga nilai rata-ratanya : $ \overline{X} = 2x = 2. 18 = 36 $
Jadi, rata-ratanya adalah 36. $ \heartsuit $
Nomor 15
Empat buku berjudul Kombinatorik dan dua buku berjudul Statistika akan disusun di lemari buku dalam satu baris. Misalkan C adalah kejadian susunan buku sehingga terdapat tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Jika buku dengan judul yang sama tidak dibedakan, maka peluang kejadian C adalah ....
$\spadesuit \, $ Pada kasus ini menggunakan Permutasi Berulang.
Misalkan kata "BAHAGIA" akan disusun ulang, maka banyaknya kata baru (tidak harus bermakna) yang diperoleh adalah $\frac{\text{total huruf}}{\text{huruf yang sama}} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \, $ kata, di sini huruf yang sama hanya huruf A sebanyak 3.
Contoh lain, kata "MATEMATIKA" disusun ulang, kata baru sebanyak $ \frac{10!}{2!\times 3! \times 2!} \, $ kata (total huruf = 10, yang sama : M = 2, A = 3, T = 2).
$\spadesuit \, $ Konsep peluang komplemen
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \, $ dan $ P(A^c) = 1 - P(A) $
$ P(A^c) \, $ adalah komplemen(kebalikan) dari peluang $ P(A) $
pada soal ini kita misalkan :
$ A = \, $ kejadian tidak terdapat tiga atau lebih buku tersusun berurutan.
$ A^c = \, $ kejadian terdapat tiga atau lebih buku tersusun berurutan.
$\spadesuit \, $ Misal : K = Kombinatorik dan S = Statistika
Ada 4M 2S , artinya $ n(S) = \frac{6!}{4!.21} = 3.5 = 15 $
$ n(S) \, $ adalah ruang sampel (semua susunan yang mungkin)
$\spadesuit \, $ Menentukan $ n(A) \, $
Agar tidak terdapat tiga atau lebih buku yang sama tersusun berurutan, kita kelompokkan menjadi lima bagian dengan tiga kemungkinan, yaitu :
*). Kemungkinan I : sbmptn_matdas_4_k619_2015.png
KI = $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ susunan : KKSSKK, KKSKSK, KKSKKS
*). Kemungkinan II : sbmptn_matdas_4a_k619_2015.png
ada $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ susunan : KKSSKK, KSKSKK, SKKSKK
hanya saja ada satu susunan buku (KKSSKK) sudah ada pada kemungkinan I,
sehingga, KII = 3 - 1 = 2 susunan
*). Kemungkinan III , 2K ada ditengah yaitu : KSKKSK
diperoleh KIII = 1 susunan
Sehingga semua kemungkinan kejadian A :
$ n(A) = KI + KII + KIII = 3 + 2 + 1 = 6 $
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang [$ P(A^c) $ ]
$ \begin{align} P(A^c) & = 1 - P(A) \\ & = 1 - \frac{2}{5} \\ & = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \end{align} $
Jadi, peluang terdapat tiga atau lebih buku yang sama tersusun berurutan adalah $ \frac{3}{5}. \heartsuit $

Keterangan kemungkinan yang ada :
Kemungkinan I :
sbmptn_matdas_4_k619_2015.png
*). Kita bagi menjadi 5 kelompok yaitu 2K, S, S, K, dan K dengan 2K dan S posisinya pasti tetap di depan.
*). Tiga kelompok terakhir (S, K, K) kita acak posisinya dengan banyak susunan $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ cara.
Sehingga semua susunan kemungkinan I ada $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ cara yaitu KKSSKK, KKSKSK dan KKSKKS
Hal yang sama juga untuk kemungkinan II, hanya saja S dan 2K posisinya tetap dibelakang.
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 619 tahun 2015 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \frac{x-2}{x+1} > 1 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaan
$\begin{align} \frac{x-2}{x+1} & > 1 \\ \frac{x-2}{x+1} - 1 & > 0 \\ \frac{x-2}{x+1} - \frac{x+1}{x+1} & > 0 \\ \frac{(x-2)-(x+1)}{x+1} & > 0 \\ \frac{-3}{x+1} & > 0 \end{align}$
Agar $ \frac{-3}{x+1} > 0 \, $ (positif) , maka penyebutnya harus bernilai negatif :
diperoleh : $ x + 1 < 0 \rightarrow x < -1 $
Jadi, solusinya $ HP = \{ x < -1 \} . \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui suatu fungsi $ f \, $ bersifat $ f(-x) = -f(x) \, $ untuk setiap bilangan real $ x . \, $ Jika $ f(3) = -5 \, $ dan $ f(-5) = 1, \, $ maka $ f(f(-3)) = .... $
$\clubsuit \, $ Diketahui $ f(-x) = -f(x) \, $ ....pers(i)
berlaku juga : $ f(x) = - f(-x) \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Diketahui nilai : $ f(3) = -5 \, $ dan $ f(-5) = 1 $
$ f(-3) = -f(3) = -(-5) = 5 \, $ ....dari pers(i)
$ f(5) = -f(-5) = - (1) = -1 \, $ ....dari pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} f(f(-3)) & = f(5) \, \, \, \, \text{....[ dengan } f(-3) = 5 ] \\ & = -1 \end{align}$
Jadi, nilai $ f(f(-3)) = -1 . \heartsuit$
Nomor 8
Diketahui sistem persamaan $ \left\{ \begin{array}{c} \frac{x+2}{2} - \frac{x-y}{3}=1, \\ \frac{x+y}{3} - \frac{y+1}{2}=2. \end{array} \right. $
Nilai $ x + y \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan sistem persamaan
$\begin{align} \frac{x+2}{2} - \frac{x-y}{3} & = 1 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 3(x+2) - 2(x-y) & = 6 \\ x + 2y & = 0 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ \frac{x+y}{3} - \frac{y+1}{2} & =2 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 2(x+y) - 3(y+1) & = 12 \\ 2x - y & = 15 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} x + 2y = 0 & \times 1 & x + 2y = 0 & \\ 2x - y = 15 & \times 2 & 4x - 2y = 30 & + \\ \hline & & 5x = 30 & \\ & & x = 6 & \end{array} $
pers(i) : $ x + 2y = 0 \rightarrow 6 + 2y = 0 \rightarrow y = -3 $
Sehingga nilai $ x + y = 6 + (-3) = 3 $
Jadi, nilai $ x + y = 3 . \heartsuit$
Nomor 9
Empat orang siswa akan mengikuti suatu perlombaan karya inovatif. Untuk itu, diperlukan biaya Rp 900.000,00. Karena masing-masing memiliki kondisi keuangan yang berbeda, besar kontribusi masing-masing siswa tidak sama. Siswa A memberikan kontribusi setengah dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Siswa B memberikan kontribusi sepertiga dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Siswa C memberikan kontribusi seperempat dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Besar kontribusi siswa D adalah Rp ....
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan
$\begin{align} A = \frac{1}{2}(B+C+D) \rightarrow 2A & = B+C+D \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ B = \frac{1}{3}(A+C+D) \rightarrow 3B & = A+C+D \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \\ C = \frac{1}{4}(A+B+D) \rightarrow 4C & = A+B+D \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \\ A + B + C + D & = 900.000 \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iv) ke semua persamaan
$\begin{align} \text{pers(i) : } 2A & = B+C+D \\ 2A & = 900.000 - A \\ 3A & = 900.000 \\ A & = 300.000 \\ \text{pers(ii) : } 3B & = A+C+D \\ 3B & = 900.000 - B \\ 4B & = 900.000 \\ B & = 225.000 \\ \text{pers(iii) : } 4C & = A+B+D \\ 4C & = 900.000 - C \\ 5C & = 900.000 \\ C & = 180.000 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai D
$\begin{align} A + B + C + D & = 900.000 \\ 300.000 + 225.000 + 180.000 + D & = 900.000 \\ D & = 195.000 \end{align}$
Jadi, besarnya kontribusi siswa D adalah Rp 195.000,00. $ \heartsuit $
Nomor 10
Jika $ f(x-2) = \frac{1}{2+5x} , \, $ maka $ f^{-1} (x) = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep invers : $ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1} (x) = \frac{-dx+b}{cx-a} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan fungsinya
Misal : $ p = x - 2 \rightarrow x = p + 2 $
Substitusi bentuk $ p = x - 2 $
$\begin{align} f(x-2) & = \frac{1}{2 + 5x} \\ f(p) & = \frac{1}{2 + 5(p+2)} \\ f(p) & = \frac{1}{5p+12} \end{align}$
sehingga : $ f(x) = \frac{1}{5x+12} $
$\spadesuit \, $ Menentukan inversnya berdasarkan konsep invers
$\begin{align} f(x) & = \frac{1}{5x+12} \, \, \, \, \text{(modifikasi)} \\ f(x) & = \frac{0x+1}{5x+12} \, \, \, \, \text{(konsep invers)} \\ f^{-1}(x) & = \frac{-12x+1}{5x-0} \\ f^{-1}(x) & = \frac{1-12x}{5x} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ f^{-1}(x) = \frac{1-12x}{5x} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 619 tahun 2015


Nomor 1
Diketahui $ a \, $ dan $ b \, $ adalah bilangan real positif. Jika $ \frac{(a-\sqrt{b})\sqrt{b} + (a-\sqrt{b})a}{a^2 - b} = c \, $ , maka nilai $ c \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ c $
$\begin{align} \frac{(a-\sqrt{b})\sqrt{b} + (a-\sqrt{b})a}{a^2 - b} & = c \, \, \, \, \text{(distributif)} \\ \frac{(a-\sqrt{b})[a+\sqrt{b}] }{a^2 - b} & = c \\ \frac{ a^2 - b }{a^2 - b} & = c \\ 1 & = c \end{align}$
Jadi, nilai $ c = 1 . \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ k \, $ adalah bilangan real positif, serta $ 2k+1, \, 10, \, $ dan $ 2k+7 \, $ adalah berturut-turut suku ketiga, keempat, dan kelima suatu barisan aritmetika, maka jumlah dua suku pertama barisan tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan aritmetika :
$ u_n = a + (n-1)b \, $ dan $ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
$\spadesuit \, $ Diketahui : $ u_3 = 2k+1, \, u_4= 10, \, u_5 = 2k+7 $
Selisih sama :
$\begin{align} u_4 - u_3 & = u_5 - u_4 \\ 2u_4 & = u_5 + u_3 \\ 2.(10) & = (2k+7) + (2k+1) \\ 20 & = 4k + 8 \\ 4k & = 12 \\ k & = 3 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b $
$ u_3 = 2k+1 = 2.3 + 1 = 7 $
$ b = u_4 - u_3 = 10 - 7 = 3 $
$ u_4 = 10 \rightarrow a+3b = 10 \rightarrow a + 3.3 = 10 \rightarrow a = 1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan jumlah dua suku pertama ($s_2$)
$\begin{align} s_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ s_2 & = \frac{2}{2}(2.1 + (2-1).3) \\ s_2 & = (2 + 3) \\ s_2 & = 5 \end{align} $
Jadi, jumlah dua suku pertamanya adalah 5. $ \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui persegi panjang ABCD. Jika panjang BE = panjang EF = panjang FC = 5 cm dan panjang DG = panjang GH = panjang HC = 3 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$
sbmptn_matdas_1_k619_2015.png
$\clubsuit \, $ gambarnya
sbmptn_matdas_1a_k619_2015.png
$\clubsuit \, $ Konsep Luas segitiga
Apapun bentuk segitiganya, luas adalah setengah kali alas kali tinggi.
Tinggi segitiga adalah jarak alas ke titik sudut paling atas segitiga yang tegaklurus.
$\clubsuit \, $ Menentukan luas arsiran
$\begin{align} L_{\Delta AEF} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.EF.AB \\ & = \frac{1}{2}.5.9 = \frac{45}{2} \\ L_{\Delta AGH} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.GH.AD \\ & = \frac{1}{2}.3.15 = \frac{45}{2} \\ L_\text{arsiran} & = L_{\Delta AEF} + L_{\Delta AGH} \\ & = \frac{45}{2} + \frac{45}{2} \\ & = 45 \end{align}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 45. $ \heartsuit $
Nomor 4
Jika $ xy = 90 \, $ dan $ \log x - \log y = 1 , \, $ maka $ x - y = .... $
$\spadesuit \, $ konsep logaritma :
*). Definisi : $ {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c $
*). Sifat : $ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan
$ xy = 90 \, $ .....pers(i)
$\begin{align} \log x - \log y & = 1 \\ {}^{10} \log \frac{x}{y} & = 1 \\ \frac{x}{y} & = 10^1 \\ \frac{x}{y} & = 10 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Kalikan kedua persamaan dan sederhanakan
$\begin{align} (xy)\times \left( \frac{x}{y} \right) & = 90 \times 10 \\ (x\not{y})\times \left( \frac{x}{\not{y}} \right) & = 90 \times 10 \\ x^2 & = 900 \\ x & = \sqrt{900} = 30 \end{align}$
Pers(i) : $ xy = 90 \rightarrow 30.y = 90 \rightarrow y = 3 $
sehingga nilai $ x - y = 30 - 3 = 27 $
Jadi, nilai $ x - y = 27 . \heartsuit $
Nomor 5
Diagram di bawah ini menyajikan data (dalam bilangan bulat) nilai sementara dan nilai ujian ulang mahasiswa peserta kuliah Matematika. Ujian ulang diikuti hanya oleh peserta kuliah tersebut dengan nilai sementara lebih kecil daripada 6. Jika yang dinyatakan lulus kuliah adalah mahasiswa yang memperoleh nilai sementara tidak lebih kecil daripada 6 atau nilai ujian ulangnya adalah 6, maka rata-rata nilai mahasiswa yang lulus mata kuliah tersebut adalah .....
sbmptn_matdas_2_k619_2015.png
$\clubsuit \, $ Yang lulus adalah nilai sementaranya tidak lebih kecil dari 6 atau nilai ujian ulangnya 6.
$\clubsuit \, $ Banyak yang lulus :
*). Nilai sementara
Nilai 6 ada 1 orang
Nilai 7 ada 4 orang
Nilai 8 ada 3 orang
*). Nilai ujian ulang
Nilai 6 ada 2 orang
$\clubsuit \, $ Menentukan rata-ratanya $(\overline{x})$
$\begin{align} \overline{x} & = \frac{6.1+7.4+8.3+6.2}{1+4+3+2} \\ & = \frac{70}{10} = 7 \end{align}$
Jadi, yang lulus ujian memiliki rata-rata 7,00. $ \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 618 tahun 2015 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 2a \\ a & 9 \end{matrix} \right] \, $ merupakan matriks yang mempunyai invers, maka hasil kali semua nilai $ a \, $ yang mungkin sehingga $ det(A) = det \left( A^{-1} \right) \, $ adalah .....
$\spadesuit \, $ sifat-sifat determinan : $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai determinan A
$ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 2a \\ a & 9 \end{matrix} \right] $
$ det(A) = |A| = 1.9 - a.2a = 9-2a^2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} det(A) & = det \left( A^{-1} \right) \\ |A| & = | A^{-1} | \\ |A| & = \frac{1}{|A|} \\ |A|^2 & = 1 \\ |A| & = \pm 1 \\ \text{pertama : } \, |A| & = 1 \\ (9-2a^2) & = 1 \\ 2a^2 & = 8 \\ a^2 & = 4 \rightarrow a = \pm 2 \\ a_1 = 2 \vee a_2 & = -2 \\ \text{kedua : } \, |A| & = -1 \\ (9-2a^2) & = -1 \\ 2a^2 & = 10 \\ a^2 & = 5 \rightarrow a = \pm \sqrt{5} \\ a_3 = \sqrt{5} \vee a_4 & = -\sqrt{5} \end{align}$
hasil kali semua nilai $ a \, $ adalah
hasil kali = $ 2.(-2).\sqrt{5}.(-\sqrt{5}) = 4.5 = 20 $
Jadi, hasil kali semua nilai $ a \, $ adalah 20. $ \heartsuit $

Cara II : Operasi akar-akar persamaan polinomial
$\spadesuit \, $ Suku banyak (polinomial) : $ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 $
Hasil kali semua akar-akarnya : $ x_1.x_2.x_3.x_4 = \frac{e}{a} $
$\spadesuit \, $ sifat-sifat determinan : $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai determinan A
$ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 2a \\ a & 9 \end{matrix} \right] $
$ det(A) = |A| = 1.9 - a.2a = 9-2a^2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} det(A) & = det \left( A^{-1} \right) \\ |A| & = | A^{-1} | \\ |A| & = \frac{1}{|A|} \\ |A|^2 & = 1 \\ (9-2a^2)^2 & = 1 \\ (9-2a^2)^2 & = 1 \\ 81 - 36a^2 + 4a^4 & = 1 \\ 4a^4 - 36a^2 + 81 & = 0 \\ a_1.a_2.a_3.a_4 & = \frac{80}{4} = 20 \end{align}$
Jadi, hasil kali semua nilai $ a \, $ adalah 20. $ \heartsuit $
Nomor 12
Jika semua akar persamaan $ x^2 - 99x + p = 0 \, $ merupakan bilangan prima, maka nilai $ p \, $ adalah .....
$\clubsuit \, $ Persamaan kuadrat : $ x^2 - 99x + p = 0 $
$ a = 1, \, b = -99 , \, $ dan $ c = p $
$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-99)}{1} = 99 \, $ ....pers(i)
$ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{p}{1} = p \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Analisa (Akar-akarnya bilangan prima)
Jumlah kedua akarnya ganjil (99), agar penjumlahannya ganjil maka dua bilangan tersebut haruslah genap dan ganjil. Sementara bilangan prima yang genap hanyalah 2, sehingga salah satu akarnya adalah 2 (misal $ x _1 = 2 \, $ ).
$ x_1 + x_2 = 99 \rightarrow 2 + x_2 = 99 \rightarrow x_2 = 97 $
dimana 97 juga bilangan prima.
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ p \, $ dengan $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 97 $
$ x_1.x_2 = p \rightarrow p = 2. 97 \rightarrow p = 194 $
Jadi, nilai $ p = 194. \heartsuit $
Nomor 13
Jika grafik parabola $ y = x^2 - 3x + a \, $ digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh 2 satuan sehingga melalui titik (0,0), maka nilai $ a \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Teknik Menggeser
Jika grafik $ y = f(x) \, $ digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh $ b , \, $ maka grafik barunya adalah $ y = f(x+b) $
$\spadesuit \, $ Grafik $ y = f(x) = x^2 - 3x + a \, $ digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh 2, grafik barunya : $ y = f(x+2) $
$\begin{align} \text{grafik awal : } y & = x^2 - 3x + a \\ \text{grafik baru : } y & = f(x+2) \\ y & = (x+2)^2 -3(x+2) + a \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi titik (0,0) ke fungsi barunya
$\begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow y & = (x+2)^2 -3(x+2) + a \\ 0 & = (0+2)^2 -3(0+2) + a \\ 0 & = 4 - 6 + a \\ 0 & = -2 + a \\ a & = 2 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 2 . \heartsuit $

Cara II : Menggunakan transformasi geometri
$\spadesuit \, $ Konsep transformasi, khususnya translasi(pergeseran)
*). Grafik digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh b, artinya matriks translasinya $ T = \left( \begin{matrix} -b \\ 0 \end{matrix} \right) $
*). pada soal ini, nilai $ b = 2 , \, $ sehingga $ T = \left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menentukan bayangannya
$ \begin{align} \text{byangannya } & = \text{ Matriks } + \text{ awalnya} \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 + x \\ y \end{matrix} \right) \\ x & = x^\prime + 2 \\ y & = y^\prime \end{align}$
*). awalnya : $ y = x^2 - 3x + a $
*). bayangannya : $ y^\prime = (x^\prime + 2)^2 - 3(x^\prime + 2) + a $
artinya setelah digeser terbentuk grafik yang baru yaitu : $ y = (x + 2)^2 - 3(x + 2) + a $
$\spadesuit \, $ Substitusi titik (0,0) ke fungsi barunya
$\begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow y & = (x+2)^2 -3(x+2) + a \\ 0 & = (0+2)^2 -3(0+2) + a \\ 0 & = 4 - 6 + a \\ 0 & = -2 + a \\ a & = 2 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 2 . \heartsuit $
Nomor 14
Suatu perusahaan memproduksi dua jenis produk. Penjualan produk tersebut dilakukan oleh agen yang telah ditunjuk. Untuk penjualan produk A terdapat 20 agen, sedangkan untuk penjualan produk B ada 40 agen. Total keuntungan semua agen dalam satu bulan terakhir sebesar 360 juta rupiah. Jika rata-rata keuntungan agen yang menjual produk A adalah sebesar dua kali rata-rata keuntungan agen yang menjual produk B, maka rata-rata keuntungan agen yang menjual produk A adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep rata-rata
*). Rata-rata $(\overline{X}) \, = \frac{\text{jumlah semua data}}{\text{banyak data}} $
Diketahui : keuntungan total = 360 juta, ada total 60 agen
sehingga rata-ratanya : $ \overline{X} = \frac{360}{60} $
*). Rata-rata gabungan : $ \overline{X}_{gb} = \frac{n_A . \overline{X}_A + n_B.\overline{X}_B}{n_A + n_B} $
Rata-rata gabungan adalah rata-rata keseluruhan, sehingga $ \overline{X}_{gb} = \frac{360}{60} $
Diketahui : $ n_A = 20, \, n_B = 40 $
$ \overline{X}_A = 2\overline{X}_B \rightarrow \overline{X}_B = \frac{1}{2} \overline{X}_A $
$\clubsuit \,$ Menentukan rata-rata A $(\overline{X}_A)$
$\begin{align} \overline{X}_{gb} & = \frac{n_A . \overline{X}_A + n_B.\overline{X}_B}{n_A + n_B} \\ \frac{360}{60} & = \frac{20 . \overline{X}_A + 40.(\frac{1}{2}\overline{X}_A)}{20 + 40} \\ \frac{360}{\not{60}} & = \frac{20 \overline{X}_A + 20\overline{X}_A}{\not{60}} \\ 360 & = 40\overline{X}_A \\ \overline{X}_A & = \frac{360}{40} = 9 \end{align} $
Jadi, keuntungan rata-rata produk A adalah 9 juta rupiah. $ \heartsuit $
Nomor 15
Seorang siswa sedang melakukan percobaan statistika dengan cara menggunakan 6 bola bilyar berturut-turut bernomor 3, 4, 5, 6, 6, dan 7. Semua bola tersebut dimasukkan ke dalam kotak. Selanjutnya, diambil tiga bola secara acak dan dicatat angka yang muncul sehingga membentuk bilangan. Angka pada bola yang muncul pertama dicatata sebagai ratusan, angka pada bola kedua sebagai puluhan, dan angka pada bola ketiga sebagai satuan. Jika bilangan yang sama dianggap sebagai satu ejadian dan peluang setiap kejadian adalah sama, maka peluang untuk mendapatkan bilangan yang lebih kecil daripada 700 adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep peluang komplemen
*). $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \, $ dan $ P(A^c) = 1 - P(A) $
$ P(A^C) \, $ adalah peluang komplemen(lawan/kebalikan) dari $ P(A) $
Pada soal ini kita misalkan :
$ A \, $ = kejadian bilangan lebih besar sama dengan 700
$ A^c \, $ = kejadian bilangan lebih kecil daripada 700
$\spadesuit \, $ ada 6 angka yaitu 3, 4, 5, 6, 6, dan 7.
Menentukan semua tiga angka yang terbentuk [$n(S)$] dengan membagi menjadi dua kasus :
*). Kemungkinan I : Ratusan memuat angka 6
sbmptn_matdas_3_k618_2015.png
ratusannnya angka 6 sehingga ratusannya ada satu pilihan, dan sisanya angka 3, 4, 5, 6, 7 digunakan untuk mengisi angka puluhan dan satuannya. Puluhannya ada lima pilihan angka (3,4,5,6,7), dan satuannya ada empat pilihan angka tersisa.
sehingga KI = $ 1 \times 5 \times 4 = 20 $
*). Kemungkinan II : Ratusan tidak memuat angka 6
Misal ratusannya angka 3, untuk puluhannya dibagi menjadi dua kasus yaitu memuat angka 6 atau tidak
sbmptn_matdas_3a_k618_2015.png
puluhan memuat angka 6 : ratusannya angka 3 ada 1 pilihan, puluhannya angka 6 ada 1 pilihan dan satuannya ada 4 pilihan (4,5,6,7)
puluhan tidak memuat angka 6 : ratusannya angka 3 ada 1 pilihan, puluhannya ada 3 pilihan (4,5,7) dan satuannya ada 3 pilihan (angka 6 dan sisanya)
sehingga untuk ratusannya angka 3 ada $ 1 \times 1 \times 4 + 1 \times 3 \times 3 = 4 + 9 = 13 $
Sementara untuk ratusannya selain angka 3 bisa juga angka lain seperti 4,5,7 , artinya ada 4 kemungkinan ratusan yang tidak memuat angka 6.
KII = $ 4 \times 13 = 52 $
Diperoleh : $ n(S) = KI + KII = 20 + 52 = 72 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ n(A) \, $ [bilangan $ \geq 700 $ ]
Agar bilangannya lebih besar sama dengan 700, maka ratusannya harus angka 7, kemudian angka puluhannya dibagi menjadi dua kasus yaitu memuat angka 6 atau tidak.
sbmptn_matdas_3b_k618_2015.png
ratusan angka 7 ada 1 pilihan, puluhan angka 6 ada 1 pilihan, satuan ada 4 pilihan (3,4,5,6).
ratusan angka 7 ada 1 pilihan, puluhan tidak memuat angka 6 ada 3 pilihan (3,4,5), satuan ada 3 pilihan sisanya.
Sehingga $ n(A) = 1.1.4 + 1.3.3 = 4 + 9 = 13 $
Peluang kejadian A :
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{13}{72} $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ P(A^c) \, $ [peluang bilangan kurang 700]
$ \begin{align} P(A^c) & = 1 - P(A) \\ & = 1 - \frac{13}{72} \\ & = \frac{72}{72} - \frac{13}{72} \\ & = \frac{59}{72} \end{align} $
Jadi, peluang terbentuknya bilangan lebih kecil daripada 700 adalah $ \frac{59}{72} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 618 tahun 2015 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \frac{x-1}{x+1} < 1 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaan
$\begin{align} \frac{x-1}{x+1} & < 1 \\ \frac{x-1}{x+1} - 1 & < 0 \\ \frac{x-1}{x+1} - \frac{x+1}{x+1} & < 0 \\ \frac{(x-1)-(x+1)}{x+1} & < 0 \\ \frac{-2}{x+1} & < 0 \end{align}$
Agar $ \frac{-2}{x+1} < 0 \, $ (negatif) , maka penyebutnya harus bernilai positif :
diperoleh : $ x + 1 > 0 \rightarrow x > -1 $
Jadi, solusinya $ HP = \{ x > -1 \} . \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui suatu fungsi $ f \, $ bersifat $ f(-x) = -f(x) \, $ untuk setiap bilangan real $ x . \, $ Jika $ f(3) = -5 \, $ dan $ f(-5) = 1, \, $ maka $ f(f(-3)) = .... $
$\clubsuit \, $ Diketahui $ f(-x) = -f(x) \, $ ....pers(i)
berlaku juga : $ f(x) = - f(-x) \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Diketahui nilai : $ f(3) = -5 \, $ dan $ f(-5) = 1 $
$ f(-3) = -f(3) = -(-5) = 5 \, $ ....dari pers(i)
$ f(5) = -f(-5) = - (1) = -1 \, $ ....dari pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} f(f(-3)) & = f(5) \, \, \, \, \text{....[ dengan } f(-3) = 5 ] \\ & = -1 \end{align}$
Jadi, nilai $ f(f(-3)) = -1 . \heartsuit$
Nomor 8
Diketahui sistem persamaan $ \left\{ \begin{array}{c} \frac{2x+1}{3} - \frac{2-3y}{2}=3, \\ \frac{4x+y}{6} + \frac{x+y}{3}=2. \end{array} \right. $
Nilai $ x + y \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan sistem persamaan
$\begin{align} \frac{2x+1}{3} - \frac{2-3y}{2} & = 3 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 2(2x+1) - 3(2-3y) & = 18 \\ 4x + 9y & = 22 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ \frac{4x+y}{6} + \frac{x+y}{3} & = 2 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ (4x+y) + 2(x+y) & = 12 \\ 6x + 3y & = 12 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 4x + 9y = 22 & \times 1 & 4x + 9y = 22 & \\ 6x + 3y = 12 & \times 3 & 18x + 9y = 36 & - \\ \hline & & -14x = -14 & \\ & & x = 1 & \end{array} $
pers(ii) : $ 6x + 3y = 12 \rightarrow 6.1 + 3y = 12 \rightarrow y = 2 $
Sehingga nilai $ x + y = 1 + 2 = 3 $
Jadi, nilai $ x + y = 3 . \heartsuit$
Nomor 9
Empat orang siswa akan mengikuti suatu perlombaan karya inovatif. Untuk itu, diperlukan biaya Rp 900.000,00. Karena masing-masing memiliki kondisi keuangan yang berbeda, besar kontribusi masing-masing siswa tidak sama. Siswa A memberikan kontribusi setengah dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Siswa B memberikan kontribusi sepertiga dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Siswa C memberikan kontribusi seperempat dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Besar kontribusi siswa D adalah Rp ....
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan
$\begin{align} A = \frac{1}{2}(B+C+D) \rightarrow 2A & = B+C+D \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ B = \frac{1}{3}(A+C+D) \rightarrow 3B & = A+C+D \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \\ C = \frac{1}{4}(A+B+D) \rightarrow 4C & = A+B+D \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \\ A + B + C + D & = 900.000 \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iv) ke semua persamaan
$\begin{align} \text{pers(i) : } 2A & = B+C+D \\ 2A & = 900.000 - A \\ 3A & = 900.000 \\ A & = 300.000 \\ \text{pers(ii) : } 3B & = A+C+D \\ 3B & = 900.000 - B \\ 4B & = 900.000 \\ B & = 225.000 \\ \text{pers(iii) : } 4C & = A+B+D \\ 4C & = 900.000 - C \\ 5C & = 900.000 \\ C & = 180.000 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai D
$\begin{align} A + B + C + D & = 900.000 \\ 300.000 + 225.000 + 180.000 + D & = 900.000 \\ D & = 195.000 \end{align}$
Jadi, besarnya kontribusi siswa D adalah Rp 195.000,00. $ \heartsuit $
Nomor 10
Jika $ f(x+2) = \frac{1}{5x+2} , \, $ maka $ f^{-1} (x) = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep invers : $ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1} (x) = \frac{-dx+b}{cx-a} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan fungsinya
Misal : $ p = x + 2 \rightarrow x = p - 2 $
Substitusi bentuk $ p = x + 2 $
$\begin{align} f(x+2) & = \frac{1}{5x+2} \\ f(p) & = \frac{1}{5(p-2)+2} \\ f(p) & = \frac{1}{5p-8} \end{align}$
sehingga : $ f(x) = \frac{1}{5x-8} $
$\spadesuit \, $ Menentukan inversnya berdasarkan konsep invers
$\begin{align} f(x) & = \frac{1}{5x-8} \, \, \, \, \text{(modifikasi)} \\ f(x) & = \frac{0x+1}{5x-8} \, \, \, \, \text{(konsep invers)} \\ f^{-1}(x) & = \frac{8x+1}{5x-0} \\ f^{-1}(x) & = \frac{8x+1}{5x} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ f^{-1}(x) = \frac{8x+1}{5x} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 618 tahun 2015


Nomor 1
Diketahui $ a, \, b , \, $ dan $ c \, $ adalah bilangan real positif . Jika $ \frac{\sqrt{bc}}{\sqrt[4]{ab^3}} = ab , \, $ maka nilai $ c \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat eksponen
$ \sqrt[n]{a} = (a)^\frac{1}{n}, \, \, (a^m)^n = a^{m.n} \, $ dan
$ (ab)^m = a^m .b^m, \, \, a^m=b^n \rightarrow a = b^\frac{n}{m} $
$\clubsuit \, $ Persamaan dipangkatkan 4
$\begin{align} \frac{\sqrt{bc}}{\sqrt[4]{ab^3}} & = ab \\ \sqrt{bc} & = (ab) . \sqrt[4]{ab^3} \\ (bc)^\frac{1}{2} & = (ab) . (ab^3)^\frac{1}{4} \\ [(bc)^\frac{1}{2}]^4 & = [(ab) . (ab^3)^\frac{1}{4}]^4 \\ (bc)^2 & = (ab)^4 . (ab^3) \\ b^2.c^2 & = (ab)^4 . (ab^3) \, \, \, \, \text{ [bagi } \, b^2 ] \\ c^2 & = (ab)^4 . (ab) \\ c^2 & = (ab)^5 \\ c & = (ab)^\frac{5}{2} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ c = (ab)^\frac{5}{2} . \heartsuit $
Nomor 2
Diketahui suatu barisan aritmetika dengan beda $ k + 1 \, $ untuk suatu $ k > 0 \, $ dan suku pertama adalah $ k^2. \, $ Jika suku ketujuh adalah 33, maka suku kesepuluh barisan tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan aritmetika : $ u_n = a + (n-1)b $
sehingga : $ u_7 = a + (7-1)b = a + 6b $
Diketahui : $ a = k^2 \, $ dan $ b = k + 1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ k $
$\begin{align} U_7 & = 33 \\ a+6b & = 33 \\ k^2+6(k+1) & = 33 \\ k^2+6k - 27 & = 0 \\ (k-3)(k+9) & = 0 \\ k=3 \vee k & = -9 \end{align} $
karena $ k > 0, \, $ nilai $ k = 3 \, $ yang memenuhi.
Sehingga :
$ a = k^2 = 3^2 = 9 \, $ dan $ b = k + 1 = 3 + 1 = 4 $
$\spadesuit \, $ Menentukan suku kesepuluh
$\begin{align} U_{10} & = a + (10-1)b \\ & = 9 + 9.4 \\ & = 9 + 36 \\ & = 45 \end{align} $
Jadi, suku kesepuluhnya adalah 45. $ \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui persegi panjang ABCD. Jika panjang BE = panjang EF = panjang FC = 5 cm dan panjang DG = panjang GH = panjang HC = 3 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$
sbmptn_matdas_1_k618_2015.png
$\clubsuit \, $ gambarnya
sbmptn_matdas_1a_k618_2015.png
$\clubsuit \, $ Konsep Luas segitiga
Apapun bentuk segitiganya, luas adalah setengah kali alas kali tinggi.
Tinggi segitiga adalah jarak alas ke titik sudut paling atas segitiga yang tegaklurus.
$\clubsuit \, $ Menentukan luas arsiran
$\begin{align} L_{\Delta AEF} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.EF.AB \\ & = \frac{1}{2}.5.9 = \frac{45}{2} \\ L_{\Delta AGH} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.GH.AD \\ & = \frac{1}{2}.3.15 = \frac{45}{2} \\ L_\text{arsiran} & = L_{\Delta AEF} + L_{\Delta AGH} \\ & = \frac{45}{2} + \frac{45}{2} \\ & = 45 \end{align}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 45. $ \heartsuit $
Nomor 4
Diketahui $ {}^2 \log p = \frac{1}{3} \, $ dan $ {}^3 \log q = \frac{1}{2}. \, $ Jika $ x = p^2 \, $ dan $ y = q^3, \, $ maka $ {}^y \log x = ..... $
$\spadesuit \, $ Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c $
Sifat logaritma : $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Sifat Eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soalnya
$\begin{align} {}^2 \log p & = \frac{1}{3} \rightarrow p = 2^\frac{1}{3} \\ {}^3 \log q & = \frac{1}{2} \rightarrow q = 3^\frac{1}{2} \\ x & = p^2 = (2^\frac{1}{3})^2 =2^\frac{2}{3} \\ y & = q^3 = (3^\frac{1}{2})^3 = 3^\frac{3}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} {}^y \log x & = {{}^3}^\frac{3}{2} \log 2^\frac{2}{3} \\ & = (\frac{2}{3} : \frac{3}{2}) . {}^3 \log 2 \\ & = (\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}) . {}^3 \log 2 \\ & = \frac{4}{9}. {}^3 \log 2 \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^y \log x = \frac{4}{9} ({}^3 \log 2) . \heartsuit $
Nomor 5
Diagram di bawah ini menyajikan data (dalam bilangan bulat) nilai sementara dan nilai ujian ulang mahasiswa peserta kuliah Matematika. Ujian ulang diikuti hanya oleh peserta kuliah tersebut dengan nilai sementara lebih kecil daripada 6. Jika yang dinyatakan lulus kuliah adalah mahasiswa yang memperoleh nilai sementara tidak lebih kecil daripada 6 atau nilai ujian ulangnya adalah 6, maka rata-rata nilai mahasiswa yang lulus mata kuliah tersebut adalah .....
sbmptn_matdas_2_k618_2015.png
$\clubsuit \, $ Yang lulus adalah nilai sementaranya tidak lebih kecil dari 6 atau nilai ujian ulangnya 6.
$\clubsuit \, $ Banyak yang lulus :
*). Nilai sementara
Nilai 6 ada 1 orang
Nilai 7 ada 4 orang
Nilai 8 ada 3 orang
*). Nilai ujian ulang
Nilai 6 ada 2 orang
$\clubsuit \, $ Menentukan rata-ratanya $(\overline{x})$
$\begin{align} \overline{x} & = \frac{6.1+7.4+8.3+6.2}{1+4+3+2} \\ & = \frac{70}{10} = 7 \end{align}$
Jadi, yang lulus ujian memiliki rata-rata 7,00. $ \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2013 Kode 262 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Diketahui polinomial $ f(x) \, $ habis dibagi $ x - 1. \, $ Jika $ f^\prime (x) \, $ dibagi $ x - 1 \, $ bersisa $ a^2 \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{f(x)}{x-1} = 2a-1 \, $ maka $ a = .... $
$\spadesuit \, $ Teorema sisa : $\frac{f(x)}{x-a} \Rightarrow \text{sisa} = f(a)$
artinya : substitusi $x=a\, $ ke $f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai fungsi
$ f(x) : (x-1), \, $ habis dibagi, sisa = 0 , artinya $ f(1) = 0 $
$ f^\prime (x) : (x-1), \, $ sisa = $ a^2 $ , artinya $ f^\prime (1) = a^2 $
$\spadesuit \, $ Penerapan turunan pada limit (L'Hospital)
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} , \, $ solusinya $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
diturunkan terus sampai hasil limitnya tidak $ \frac{0}{0} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dengan $ f(1) = 0 \, $ dan $ f^\prime (1) = a^2 $
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{f(x)}{x-1} & = \frac{f(1)}{1-1} = \frac{0}{0} \\ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{f(x)}{x-1} & = 2a-1 \, \, \, \, \text{(limitnya diturunkan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{f^\prime (x)}{1} & = 2a-1 \\ \frac{f^\prime (1)}{1} & = 2a-1 \\ f^\prime (1) & = 2a-1 \\ a^2 & = 2a-1 \\ a^2 - 2a + 1 & = 0 \\ (a-1)^2 & = 0 \\ a & = 1 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 1 . \heartsuit $
Nomor 12
Jika sudut lancip $ x \, $ memenuhi
$ 1 = {}^2 \log 16 + {}^2 \log (\sin x) + {}^2 \log (\cos x) + {}^2 \log (\cos 2x) \, $
maka $ x = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
Persamaan logaritma : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \Leftrightarrow f(x) = g(x) $
Sifat logaritma : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
Trigonometri : $ \sin px . \cos px = \frac{1}{2}. \sin 2px $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} {}^2 \log 16 + {}^2 \log (\sin x) + {}^2 \log (\cos x) & + {}^2 \log (\cos 2x) = 1 \\ {}^2 \log (16.\sin x .\cos x .\cos 2x) & = {}^2 \log 2 \\ 16.\sin x .\cos x .\cos 2x) & = 2 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 8.(\sin x .\cos x) .\cos 2x) & = 1 \\ 8.(\frac{1}{2}.\sin 2 x ) .\cos 2x) & = 1 \\ 4(\sin 2 x .\cos 2x) & = 1 \\ 4(\frac{1}{2}.\sin 4 x ) & = 1 \\ 2\sin 4 x & = 1 \\ \sin 4 x & = \frac{1}{2} \\ \sin 4 x & = \sin 30^\circ \\ \sin 4 x & = \sin \frac{\pi}{6} \\ 4 x & = \frac{\pi}{6} \\ x & = \frac{\pi}{24} \end{align}$
Jadi, nilai $ x = \frac{\pi}{24} . \heartsuit $
Nomor 13
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos ^3 x}{x\tan x } = ..... $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
*). Trigonometri :
$ \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x \, $ dan $ \cos x = 1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} x $
Penjabaran bentuk :
$ 1 - \cos ^3 x = 1 - \cos x (\cos ^2 x) = 1 - \cos x (1-\sin ^2 x) $
$ = (1-\cos x) + \cos x \sin ^2 x $
*). Limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax }{bx} = \frac{a}{b} \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan limitnya
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos ^3 x}{x\tan x } & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos x) + \cos x \sin ^2 x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x\tan x } + \frac{\cos x \sin ^2 x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-(1-2\sin ^2 \frac{1}{2} x )}{x\tan x } + \frac{\cos x \sin ^2 x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2\sin ^2 \frac{1}{2} x }{x\tan x } + \frac{\cos x \sin ^2 x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2\sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x }{x\tan x } + \frac{\cos x . \sin x .\sin x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2\sin \frac{1}{2} x }{x} . \frac{\sin \frac{1}{2} x }{\tan x } + \cos x . \frac{\sin x }{x} \frac{\sin x}{\tan x } \\ & = \frac{2. \frac{1}{2}}{1} . \frac{\frac{1}{2}}{1} + \cos 0 . \frac{1}{1} . \frac{1}{1} \\ & = \frac{1}{2} + 1 \\ & = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{3}{2}. \heartsuit $

Cara II :
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
*). Trigonometri pada limit : $ 1 - \cos ^3 px = \frac{3}{2}(px)^2 $
Sehingga : $ 1 - cos ^3 x = \frac{3}{2} (1x)^2 = \frac{3}{2}x^2 $
*). Limit trigonometri : $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan limitnya
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos ^3 x}{x\tan x } & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x^2}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x}{\tan x } \\ & = \frac{\frac{3}{2}}{1} = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{3}{2}. \heartsuit $
Nomor 14
Jika kurva $ f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \, $ mempunyai titik ekstrem (1, -5), maka kurva tersebut naik pada ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). Titik ekstrim (titik balik) :
Titik ekstrim (titik balik) suatu fungsi $ f(x) \, $ diperoleh dari turunan pertama sama dengan nol. Misalkan titik ekstrimnya $(m,n) \, $ artinya nilai $ x = m \, $ diperoleh pada saat $ f^\prime (x) = 0 \, $ atau $ f^\prime (m) = 0 $
*). Fungsi $ f(x) \, $ naik syaratnya : $ f^\prime (x) > 0 $
$\spadesuit \, $ Fungsi $ f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \, $ mempunyai titik ekstrim (1,-5) , artinya $ f^\prime (1) = 0 \, $ dan $ f(1) = -5 $
$ f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 3ax^2 + 2bx $
Substitusi bentuk $ f^\prime (1) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (1) & = 0 \rightarrow f^\prime (x) = 3ax^2 + 2bx \\ 3a.1^2 + 2b.1 & = 0 \\ 3a + 2b & = 0 \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi titik ekstrimnya ke fungsi
$\begin{align} f(1) & = -5 \rightarrow f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \\ a.1^3 + b.1^2 + 1 & = -5 \\ a+ b & = -6 \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 3a + 2b = 0 & \times 1 & 3a + 2b = 0 & \\ a + b = -6 & \times 2 & 2a + 2b = -12 & - \\ \hline & & a = 12 & \end{array} $
pers(ii) : $ a + b = -6 \rightarrow 12 + b = -6 \rightarrow b = -18 $
Sehingga fungsinya :
$ f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \rightarrow f(x) = 12x^3 - 18x^2 + 1 $
Turunannya : $ f^\prime (x) = 36x^2 - 36x $
$\spadesuit \, $ Menentukan syarat fungsi $ f(x) \, $ naik
$\begin{align} f^\prime (x) & > 0 \\ 36x^2 - 36x & > 0 \\ 36x(x-1) & > 0 \\ x = 0 \vee x & = 1 \end{align}$
um_ugm_9_mat_ipa-2013.png
Jadi, $ f(x) \, $ naik pada interval $ \{ x < 0 \vee x > 1 \} . \heartsuit $
Nomor 15
Dari 15 anak yang terdiri atas laki-laki dan perempuan akan diambil 2 anak secara bersamaan. Jika banyak kemungkinan terambil laki-laki dan perempuan adalah 26, maka selisih jumlah laki-laki dan perempuan adalah ....
$\clubsuit \, $ Ada 15 anak laki-laki dan perempuan, akan diambil 2 anak bersamaan. Banyaknya kemungkinan terambil laki-laki dan perempuan adalah 26, sehingga :
$\begin{align} C_1^p . C_1^l & = 26 \\ p.l & = 26 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
Dimana banyaknya laki-laki ($l$) dan perempuan ($p$) adalah bilangan bulat. Banyaknya laki-laki dan perempuan yang memenuhi persamaan (i) dan jumlahnya 15 adalah $ p = 2 \, $ dan $ l = 13 \, $
Sehingga selisihnya : selisih = 13 - 2 = 11
Jadi, selisih jumlah laki-laki dan perempuan adalah 11. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2013 Kode 262 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Suku banyak $ P(x) \, $ dibagi $ x^2 - x- 2 \, $ mempunyai hasil bagi $ Q(x) \, $ dan sisa $ x + 2. \, $ Jika $ Q(x) \, $ dibagi $ x+2 \, $ mempunyai sisa 3, maka sisa $ P(x) \, $ dibagi $ x^2+3x+2 \, $ adalah ....
(A). $ -11x-10 $
(B). $ -10x - 11 $
(C). $ 11x - 10 $
(D). $ 10x+11 $
(E). $ 11x + 10 $
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar suku banyak (polinomial)
*). Teorema sisa : $\frac{f(x)}{x-a} \Rightarrow \text{sisa} = f(a)$
artinya : substitusi $x=a\, $ ke $f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya
*). $ P(x) \, $ dibagi $ K(x) \, $ hasilnya $ Q(x) \, $ dan sisanya $ S(x) $
Berlaku : $ P(x) = K(x). Q(x) + S(x) $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan
$ Q(x) : (x+2), \, $ sisa = 3 , artinya $ Q(-2) = 3 \, $ ...pers(i)
*). $ P(x) \, $ dibagi $ x^2 - x - 2 \, $ sisanya $ x+2 \, $ dan hasil baginya $ Q(x) $
Berlaku : $ P(x) = (x^2 - x - 2).Q(x) + (x+2) \, \, $ atau
difaktorkan : $ P(x) = (x+1)(x-2).Q(x) + (x+2) \, $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $ x = -1 \, $ dan $ x = -2 $ ke pers(ii)
Persamaan (i) : $ P(x) = (x+1)(x-2).Q(x) + (x+2) $
$ \begin{align} x = -1 \rightarrow P(-1) & = (-1+1)(-1-2).Q(-1) + (-1+2) \\ P(-1) & = 0.Q(-1) + 1 \\ P(-1) & = 1 \\ x = -2 \rightarrow P(-2) & = (-2+1)(-2-2).Q(-2) + (-2+2) \\ P(-2) & = (-1).(-4).3 + 0 \\ P(-2) & = 12 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan sisa pembagian
$ P(x) \, $ dibagi $ x^2+3x+2 = (x+1)(x+2) \, $ , misalkan sisanya $ ax+b \, $ dan hasilnya $ K(x) $
berlaku : $ P(x) = (x+1)(x+2).K(x) + (ax+b) \, $ ...pers(iii)
Substitusi nilai $ x = -1 \, $ dan $ x = -2 \, $ ke pers(iii) dan gunakan $ P(-1) = 1 \, $ dan $ P(-2) = 12 $
$\begin{align} x = -1 \rightarrow P(-1) & = (-1+1)(-1+2).K(-1) + (a(-1) + b ) \\ 1 & = -a + b \, \, \, \, \text{....pers(1) } \\ x = -2 \rightarrow P(-1) & = (-2+1)(-2+2).K(-2) + (a(-2) + b ) \\ 12 & = -2a + b \, \, \, \, \text{....pers(2) } \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(1) dan pers(2)
$ \begin{array}{cc} -a + b = 1 & \\ -2a + b = 12 & - \\ \hline a = -11 & \end{array} $
pers(1) : $ -a + b = 1 \rightarrow -(-11) + b = 1 \rightarrow b = -10 $
Sehingga sisa pembagiannya : $ ax + b = -11x - 10 $
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ -11x - 10 . \heartsuit $
Nomor 7
Jumlah $ n \, $ suku pertama suatu deret aritmetika dinotasikan dengan $ S_n . \, $ Jika suku pertama deret tersebut tak nol dan $ S_4, \, S_8 \, $ dan $ S_{16} \, $ membentuk barisan geometri, maka $ \frac{S_8}{S_4} = ..... $
$\clubsuit \, $ Barisan Aritmetika : $ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
$ S_4, \, S_8, \, S_{16} \, $ adalah barisan geometri
rasionya sama , diperoleh :
$\begin{align} \frac{S_8}{S_4} & = \frac{S_{16}}{S_8} \\ (S_8)^2 & = S_4. S_{16} \\ \left[ \frac{8}{2}(2a + (8-1)b) \right]^2 & = \left[ \frac{4}{2}(2a + (4-1)b) \right] . \left[ \frac{16}{2}(2a + (16-1)b) \right] \\ \left[ 4(2a + 7b) \right]^2 & = \left[ 2(2a + 3b) \right] . \left[ 8(2a + 15b) \right] \\ 16(4a^2 + 28ab + 49b) & = 16(4a^2 + 36ab + 45b^2) \\ 4b^2 -8ab & = 0 \\ 4b(b-2a) & = 0 \\ b = 0 \vee b & = 2a \end{align}$
Yang memenuhi adalah $ b = 2a $
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} \frac{S_8}{S_4} & = \frac{\frac{8}{2}(2a + (8-1)b)}{\frac{4}{2}(2a + (4-1)b)} \\ & = \frac{4(2a + 7b)}{2(2a + 3b)} \\ & = \frac{2(2a + 7.(2a))}{(2a + 3.(2a))} \\ & = \frac{2(16a)}{(8a)} \\ & = 4 \end{align}$
Jadi, nilai $ \frac{S_8}{S_4} = 4 . \heartsuit $
Nomor 8
Garis $ g \, $ merupakan garis singgung kurva $ y = 2x^2 - x - 1 \, $ dengan gradien $ m. \, $ Jika garis $ g \, $ membentuk sudut $ 45^\circ \, $ terhadap garis $ 2x-y+4=0, \, $ dan $ 0 < m < 2, \, $ maka persamaan $ g \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Gambar
um_ugm_8_mat_ipa-2013.png
Misalkan, garik k : $ 2x - y + 4 = 0 , \, $ gradiennya $ m_k = \frac{-x}{y} = \frac{-2}{-1} = 2 $
$\spadesuit \, $ Konsep Gradien melibatkan sudut :
Gradien garis g : $ m_g = \tan \theta $
Gradien garis k : $ m_k = \tan (45^\circ + \theta ) $
Rumus Trigonometri : $ \tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1-\tan A . \tan B} $
$\spadesuit \, $ Menentukan gradien garis g
$\begin{align} m_k & = \tan (45^\circ + \theta ) \\ 2 & = \frac{\tan 45^\circ + \tan \theta}{1-\tan 45^\circ . \tan \theta} \\ 2 & = \frac{1 + \tan \theta}{1-1 . \tan \theta} \\ 2 & = \frac{1 + \tan \theta}{1- \tan \theta} \\ 2 - 2\tan \theta & = 1 + \tan \theta \\ 3\tan \theta & = 1 \\ \tan \theta & = \frac{1}{3} \end{align}$
artinya gradien garis g : $ m_g = \tan \theta = \frac{1}{3} $
$\spadesuit \, $ Garis g menyinggung kurva $ y = 2x^2 - x - 1 $
gradien = turunan kurvanya , $ \, y^\prime = 4x - 1 $
$ m_g = y^\prime \rightarrow \frac{1}{3} = 4x-1 \rightarrow x = \frac{1}{3} $
Menentukan titik singgung dengan substitusi $ x = \frac{1}{3} \, $ ke kurva
$ x = \frac{1}{3} \rightarrow y = 2(\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} - 1 = -\frac{10}{9} $
Diperoleh titik singgungnya : $ (x_1,y_1)=(\frac{1}{3},-\frac{10}{9}) \, $ dengan $ m = \frac{1}{3} $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan garis g
$\begin{align} y-y_1 & = m (x-x_1) \\ y-(-\frac{10}{9}) & = \frac{1}{3}(x-\frac{1}{3}) \\ y+\frac{10}{9} & = \frac{1}{3}x-\frac{1}{9} \, \, \, \, \text{(kali 9)} \\ 9y + 10 & = 3x - 1 \\ -3x + 9y + 11 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan garis g adalah $ -3x + 9y + 11 = 0 . \heartsuit $
Catatan : Sebenarnya nilai gardien garis g ada dua kemungkinan yaitu $ \frac{1}{3} \, $ atau $ -\frac{1}{3} \, $ , artinya garis g ada dua kemungkinan yaitu naik (gradien positif) atau turun (gradien negatif). Hanya saja syaratnya $ 0 < m < 2 \, $ yang artinya gradien $ \frac{1}{3} \, $ yang memenuhi.
Nomor 9
Nilai $ x \, $ yang memenuhi pertaksamaan $ \sqrt{(625)^{x-2}} > (\sqrt{(125)^x})(\sqrt[3]{(25)^{6x}}) \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Eksponen (perpangkatan)
*). Sifat : $ \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} \, $ ; $ (a^m)^n = a^{m.n} \, $ dan $ a^m.a^n = a^{m+n} $
*). Pertidaksamaan : $ a^{f(x)} > a^{g(x)} \Rightarrow f(x) > g(x) , \, $ dengan $ a > 1 $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaan
$\begin{align} \sqrt{(625)^{x-2}} & > (\sqrt{(125)^x})(\sqrt[3]{(25)^{6x}}) \\ (5^4)^\frac{x-2}{2} & > ((5^3)^\frac{x}{2})((5^2)^\frac{6x}{3}) \\ (5)^{2(x-2)} & > (5)^\frac{3x}{2}.(5)^{4x} \\ 5^{2x-4} & > (5)^{\frac{3x}{2} + 4x } \\ 2x-4 & > \frac{3x}{2} + 4x \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 4x- 8 & > 3x + 8x \\ -7x & > 8 \, \, \, \, \text{(bagi -7, tanda dibalik)} \\ x & < - \frac{8}{7} \end{align}$
Jadi, solusinya adalah $ \{ x < -\frac{8}{7} \} . \heartsuit $
Nomor 10
Himpunan semua $ x \, $ yang memenuhi $ |x-2| - 1 \geq x \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar nilai mutlak
$|f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $
Sehingga bentuk $ |x-2| \, $ bisa dijabarkan menjadi :
$|x-2| = \left\{ \begin{array}{cc} x-2 & , \text{ untuk } x - 2 \geq 0 \leftrightarrow x \geq 2 \\ -(x-2) & , \text{ untuk } x-2 < 0 \leftrightarrow x < 2 \end{array} \right. $
Artinya bentuk $ |x-2| \, $ dijabarkan berdasarkan batas nilai $ x $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal berdasarkan batas $ x $
*). untuk $ x \geq 2 , \, $ bentuk $ |x-2| = x-2 $
$\begin{align} |x-2| - 1 & \geq x \\ (x-2) - 1 & \geq x \\ -3 & \geq 0 \, \, \, \, \text{(salah)} \end{align}$
untuk kasus $ x \geq 2 , \, $ tidak ada nilai $ x \, $ yang memenuhi.
*). untuk $ x < 2 , \, $ bentuk $ |x-2| = -(x-2) $
$\begin{align} |x-2| - 1 & \geq x \\ -(x-2) - 1 & \geq x \\ -x+2 - 1 & \geq x \\ -2x & \geq -1 \, \, \, \, \text{(bagi -2, tanda dibalik)} \\ x & \leq \frac{1}{2} \end{align}$
Nilai $ x \leq \frac{1}{2} \, $ memenuhi syarat $ x < 2 , \, $ artinya memenuhi solusi.
Jadi, solusinya adalah $ \{ x \leq \frac{1}{2} \} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15