Pembahasan Peluang UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Sembilan motor terdiri dari 4 Honda, 3 Yamaha, dan 2 Suzuki akan diparkir membentuk suatu barisan. Jika setiap merk motor tidak boleh terpisah dari barisan tersebut, maka banyaknya barisan yang dapat terbentuk adalah ....
A). $ 188 \, $ B). $ 376 \, $ C). $ 864 \, $ D). $ 1728 \, $ E). $ 3556 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Kaidah Pencacahan :
*). Jika ada $ p $ cara kejadian pertama dan $ q $ cara pada kejadian kedua, maka total cara adalah $ p \times q $ cara.
*). Faktorial :
$ n! = n.(n-1). (n-2)...3.2.1 $
Contoh :
$ 4! = 4.3.2.1 = 24 $
$ 2! = 2.1 = 2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Agar setiap merk motor tidak terpisah, maka kita blok (kelompokkan) masing-masing merk sehingga ada tiga kelompok yang dapat disusun dengan $ 3! $ cara.
*). Setiap merk yang di blok bisa kita acak lagi :
Honda ada $ 4! $ cara,
Yamaha ada $ 3! $ cara,
Suzuki ada $ 2! $ cara,
Sehingga total cara :
$ = 3!.4!.3!.2! = 1728 \, $ cara.
Jadi, ada 1728 barisan yang terbentuk $ . \, \heartsuit $


Pembahasan Suku Banyak UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a $ dan $ b $ adalah hasil pembagian $ f(x) = x^3 - 4x + 1 $ dan $ g(x) = 2x^3 + 5x^2 - 8 $ oleh $ x + 2 $, maka sisa hasil pembagian $ f(x) - g(x) $ oleh $ ( x-a-b) $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema Sisa pada Suku Banyak :
$ f(x) $ dibagi $ ( x + a) $ memberikan sisa $ = f(-a) $
(substitusikan akar dari pembaginya).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ f(x) $ dibagi $ x + 2 $ bersisa $ a $ :
$ \begin{align} \text{Sisa } & = f(-2) \\ a & = (-2)^3 - 4.(-2) + 1 \\ & = -8 + 8 + 1 = 1 \end{align} $
*). $ g(x) $ dibagi $ x + 2 $ bersisa $ b $ :
$ \begin{align} \text{Sisa } & = g(-2) \\ b & = 2(-2)^3 + 5(-2)^2 - 8 \\ & = -16 + 20 - 8 = -4 \end{align} $
Sehingga nilai :
$ x - a - b = x - 1 - (-4) = x + 3 $
*). Sisa pembagian $ f(x) - g(x) $ oleh $ x - a - b = x + 3 $ :
$ \begin{align} \text{Sisa } & = f(-3) - g(-3) \\ & = [(-3)^3 - 4.(-3) + 1]- [2(-2)^3 + 5(-2)^2 - 8] \\ & = [-14] - [-17] = 3 \end{align} $
Jadi, sisanya adalah $ 3 . \, \heartsuit $


Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika persamaan $ x^2 - 4x + k - 1 = 0 $ mempunyai akar-akar real $ \alpha $ dan $ \beta $, maka nilai $ k $ yang memenuhi $ \frac{1}{\alpha ^2}+ \frac{1}{\beta ^2 } < 1 $ adalah ....
A). $ k < -\sqrt{17} \, $ atau $ k > \sqrt{17} $
B). $ k < -\sqrt{17} \, $ atau $ \sqrt{17} < k < 5 $
C). $ k < -\sqrt{18} \, $ atau $ k > \sqrt{18} $
D). $ k < -\sqrt{18} \, $ atau $ \sqrt{18} < k < 5 $
E). $ \sqrt{17} < k < 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK) :
*). Misalkan PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar-akar $ \alpha $ dan $ \beta $
*). Operasi akar-akar :
$ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} \, $ dan $ \alpha.\beta = \frac{c}{a} $
$ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 - 4x + k - 1 = 0 $
$ a = 1, b = -4 , c = k -1 \, $ dengan akar-akar $ \alpha $ dan $ \beta $
*). Operasi akar-akar :
$ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} = \frac{-(-4)}{1} = 4 $
$ \alpha . \beta = \frac{c}{a} = \frac{k - 1}{1} = k - 1 $
$ \begin{align} \alpha^2 + \beta^2 & = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta \\ & = (4)^2 - 2(k-1) \\ & = 16 - 2k + 2 \\ & = 18 - 2k \\ \alpha^2 . \beta^2 & = (\alpha . \beta )^2 \\ & = (k-1)^2 \end{align} $
*). Menyelesaikan Soalnya :
$ \begin{align} \frac{1}{\alpha ^2}+ \frac{1}{\beta ^2 } & < 1 \\ \frac{\alpha ^2 + \beta ^2}{\alpha ^2. \beta ^2 } & < 1 \\ \frac{18 - 2k}{(k-1)^2} & < 1 \\ \frac{18 - 2k}{(k-1)^2} - 1 & < 0 \\ \frac{18 - 2k}{(k-1)^2} - \frac{(k-1)^2}{(k-1)^2} & < 0 \\ \frac{18 - 2k}{(k-1)^2} - \frac{k^2 - 2k + 1}{(k-1)^2} & < 0 \\ \frac{-k^2 + 17}{(k-1)^2} & < 0 \end{align} $
Akar-akar pembilang dan penyebutnya :
$ -k^2 + 17 = 0 \rightarrow k = \pm \sqrt{17} $
$ (k-1)^2 = 0 \rightarrow k = 1 $
Garis bilangannya :
 

Karena yang diminta $ < 0 $ , maka solusinya :
$ k < -\sqrt{17} \, $ atau $ k > \sqrt{17} $ .
Jadi, HPnya $ k < -\sqrt{17} \, $ atau $ k > \sqrt{17} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Eksponen UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Pertaksamaan $ 3^{x^2-3x+k} \geq \left( \frac{1}{27}\right)^{2x-2x^2} \, $ mempunyai penyelesaian $ -1 \leq x \leq \frac{8}{5} $ jika $ k = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ -8 \, $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Konsep Eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
*). Konsep Pertidaksamaan :
Misal ada $ f(x) \geq g(x) $ memiliki solusi (himpunan penyelesaian) $ a \leq x \leq b $ , artinya $ a $ dan $ b $ adalah akar-akar dari $ f(x) = g(x) $ , sehingga nilai $ a $ dan $ b $ bisa kita substitusi ke pertaksamaan dan tanda ketaksamaan berubah menjadi sama dengan saja.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Himpunan penyelesaiannya adalah $ -1 \leq x \leq \frac{8}{5} $, artinya $ -1 $ dan $ \frac{8}{5} $ adalah akar-akarnya sehingga bisa kita substitusi ke pertidaksamaannya dengan mengubah tanda ketaksamaan menjadi sama dengan.
*). Substitusi $ x = -1 $ ke pertidaksamaan :
$ \begin{align} 3^{x^2-3x+k} & \geq \left( \frac{1}{27}\right)^{2x-2x^2} \\ 3^{(-1)^2-3.(-1)+k} & = \left( \frac{1}{27}\right)^{2.(-1)-2.(-1)^2} \\ 3^{1 + 3 +k} & = \left( 3 ^{-3} \right)^{-2-2} \\ 3^{4+k} & = \left( 3 ^{-3} \right)^{-4} \\ 3^{4+k} & = 3 ^{12} \\ 4 + k & = 12 \\ k & = 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ k = 8 . \, \heartsuit $


Cara 2 Pembahasan Integral UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 $ dan garis $ y = (2m-1)x $ adalah $ 4\frac{1}{2} $ , maka $ m = .... $
A). $ 1\frac{1}{2} \, $ atau $ -\frac{1}{2} $
B). $ 2 \, $ atau $ -1 $
C). $ 2\frac{1}{2} \, $ atau $ -1\frac{1}{2} $
D). $ 3 \, $ atau $ -2 $
E). $ 3\frac{1}{2} \, $ atau $ -2\frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral Tanpa Menggambar (Rumus Cepat)
*). Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh dua kurva yaitu parabola dan parabola atau parabola dan garis adalah :
Luas $ = \frac{a}{6}|x_2-x_1|^ 3 $
dengan $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah titik potong garis dan kurva
*). sifat bentuk mutlak :
$ |f(x)| = k \rightarrow f(x) = \pm k $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : Rumus Langsung
*). Samakan kedua fungsi
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 & = (2m-1)x \\ x^2 - (2m-1)x & = 0 \rightarrow a = 1 \\ x[x-(2m-1)] & = 0 \\ x_1 = 0 \vee x_2 & = 2m - 1 \end{align} $
*). Luas daerah yang diarsir adalah $ 4\frac{1}{2} $ :
$\begin{align} \text{Luas } & = 4\frac{1}{2} \\ \frac{a}{6}|x_2-x_1|^ 3 & = \frac{9}{2} \\ \frac{1}{6}|(2m-1) - 0 |^ 3 & = \frac{9}{2} \\ \frac{1}{6}|2m-1 |^ 3 & = \frac{9}{2} \\ |2m-1 |^ 3 & = 27 \\ |2m-1 | & = 3 \\ 2m-1 & = \pm 3 \\ 2m-1 = 3 \vee 2m - 1 & = - 3 \\ m = 2 \vee m = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ m = 2 $ atau $ m = -1 . \, \heartsuit $

Catatan :
Rumus $ \frac{a}{6}|x_2-x_1|^ 3 $ diperoleh dari penurunan rumus $ L = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $ dengan $ D = b^2 - 4ac $ , sehingga sebenarnya kedua rumus tersebut sama saja.


Pembahasan Integral UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 $ dan garis $ y = (2m-1)x $ adalah $ 4\frac{1}{2} $ , maka $ m = .... $
A). $ 1\frac{1}{2} \, $ atau $ -\frac{1}{2} $
B). $ 2 \, $ atau $ -1 $
C). $ 2\frac{1}{2} \, $ atau $ -1\frac{1}{2} $
D). $ 3 \, $ atau $ -2 $
E). $ 3\frac{1}{2} \, $ atau $ -2\frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $ dan $ \int k \, dx = kx + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ seperti gambar berikut ini :
gambar 1.
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas kurang kurva bawah)

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 : Konsep Luas Menggunakan Integral
*). Ilustrasi Gambar :
 

Garis $ y = (2m-1)x $ ada dua kemungkinan sehingga daerah yang terbentuk juga ada dua kemungkinan seperti gambar di atas.
*). Titik Potong Kedua Kurva
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 & = (2m-1)x \\ x^2 - (2m-1)x & = 0 \\ x[x-(2m-1)] & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 2m - 1 \end{align} $
*). Luas daerah yang diarsir adalah $ 4\frac{1}{2} $ :
Luas daerah dari gambar (a) :
$\begin{align} \text{Luas } & = 4\frac{1}{2} \\ \int \limits_{0}^{2m - 1} \, ( 2m-1)x - x^2 \, dx & = \frac{9}{2} \\ [\frac{1}{2}( 2m-1)x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{2m - 1} & = \frac{9}{2} \\ \frac{1}{2}( 2m-1)(2m-1)^2 - \frac{1}{3}(2m-1)^3 & = \frac{9}{2} \\ \frac{1}{6}(2m-1)^3 & = \frac{9}{2} \\ (2m-1)^3 & = 27 \\ (2m-1) & = 3 \\ m & = 2 \end{align} $
Luas daerah dari gambar (b) :
$\begin{align} \text{Luas } & = 4\frac{1}{2} \\ \int \limits_{2m - 1}^{0} \, ( 2m-1)x - x^2 \, dx & = \frac{9}{2} \\ [\frac{1}{2}( 2m-1)x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{2m - 1}^{0} & = \frac{9}{2} \\ [0] -[\frac{1}{2}( 2m-1)(2m-1)^2 - \frac{1}{3}(2m-1)^3 ] & = \frac{9}{2} \\ -[\frac{1}{6}(2m-1)^3] & = \frac{9}{2} \\ (2m-1)^3 & = - 27 \\ (2m-1) & = -3 \\ m & = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ m = 2 $ atau $ m = -1 . \, \heartsuit $