Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 283 tahun 2009 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Enam orang tamu undangan akan dijemput dengan mobil yang masing-masing berkapasitas 4 orang. Banyak cara penempatan orang pada mobil adalah ...
$\spadesuit \, $ Dibagi menjadi beberapa kasus :
Kasus 1 : 4 orang MI dan 2 orang M2, cara = $C_4^6.C_2^2 = 15$
Kasus 2 : 3 orang MI dan 3 orang M2, cara = $C_3^6.C_3^3 = 20$
Kasus 3 : 2 orang MI dan 4 orang M2, cara = $C_2^6.C_4^4 = 15$
Total cara = 15 + 20 + 15 = 50 cara. Akan tetapi jawaban tidak ada.
Pejelasan :
Kasus 1 : $C_4^6.C_2^2 \, $ artinya memilih 4 orang dari 6 orang untuk ditempatkan pada mobil I ($C_4^6$) dan memilih 2 dari sisa yaitu 2 orang untuk ditempatkan pada mobil II ($C_2^2$). Sejenis penjelasannya dengan kasus yang lainnya. Sedangkan kombinasi digunakan karena urutan penempatan orang pada setiap mobil tidak berpengaruh (tidak memperhatikan urutan).

$\spadesuit \, $ Kemungkinan kasus yang diminta soal (soal kurang lengkap) adalah salah satu mobil harus penuh. Di soal ini juga tidak disebutkan ada berapa mobil yang digunakan. Berdasarkan kasus ini, ada dua kemungkinan yaitu :
Kasus 1 : 4 orang MI dan 2 orang M2, cara = $C_4^6.C_2^2 = 15$
Kasus 2 : 2 orang MI dan 4 orang M2, cara = $C_2^6.C_4^4 = 15$
Total cara = 15 + 15 = 30 cara
Jadi, cara penempatan orang pada mobil adalah 30 cara. $ \heartsuit $
Nomor 12
Pada suatu malam yang gelap, seorang berdiri sejauh 5 meter dari sebuah lampu jalan yang tingginya 6 meter. Jika panjang bayangan orang tersebut di daerah datar adalah $\frac{5}{3} $ meter, maka tinggi orang tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Gambar :
snmptn_matdas_k283_4_2009.png
$\clubsuit \, $ Konsep kesebangunan pada segitiga :
$\Delta$ADE sebangun dengan $\Delta$ABC
$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB} \rightarrow \frac{x}{6} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{20}{3}} \rightarrow x = \frac{3}{2} \, \text{m} = 150 \, \text{cm} $ .
Jadi, tinggi orang adalah 150 cm. $ \heartsuit $
Nomor 13
Banyaknya cara untuk menempatkan 3 anak laki-laki dan 2 anak prempuan duduk berjajar tanpa membedakan tiap anak adalah ...
$\spadesuit \, $ Karena tidak dibedakan, maka 3 anak laki-laki dianggap sama(identik/kembar), begitu juga 2 anak perempuan. Sehingga kasus ini adalah termasuk permutasi berulang dengan menyusun ulang huruf LLLPP .
Total cara = $\frac{5!}{3!.2!} = 10 $ cara.
Jadi, banyaknya cara penempatan ada 10 cara. $ \heartsuit $
Nomor 14
Fungsi $f$ dan $g$ disebut saling simetris jika grafik $f$ dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik $g$ terhadap sumbu X. Semua pasangan fungsi berikut saling simetris, KECUALI ...
$\clubsuit \, f \, $ diperoleh dari mencerminkan $g$ terhadap sumbu X, ini artinya $f$ adalah bayangan dari $g$.
$\clubsuit \, $ Pencerminan terhadap sumbu X :
$(x,y) \leftrightarrow (x^\prime, y^\prime) = (x, -y) $
$y=g(x) \leftrightarrow y^\prime = -y = - g(x) \, $ atau $\, f(x) = -g(x)$
Artinya $f(x)$ diperoleh dari perkalian -1 dengan $g(x)$ .
$\clubsuit \, $ Opsi A yang tidak memenuhi karena $f(x)$ seharusnya
$f(x) = - g(x) = - (x^2+1) \rightarrow f(x) = -x^2 - 1$ .
Jadi, fungsi yang tidak simetris ada di opsi A . $\heartsuit $
Nomor 15
Berdasarkan penelitian diketahui bahwa populasi hewan A berkurang menjadi setengahnya tiap 10 tahun. Pada tahun 2000 populasinya tinggal 1 juta. Banyak populasi hewan A pada tahun 1960 sekitar ...
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $U_n = a.r^{n-1}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai unsur-unsurnya :
* $a=U_1 \, $ menyatakan suku pertama pada tahun 1960.
* Setiap 10 tahun berkurang setengahnya, artinya rasio : $r = \frac{1}{2}$
* tahun 2000 dari tahun 1960 ada 5 suku (perubahan setiap 10 tahun) yaitu 1960, 1970, 1980, 1990, 2000.
* Tahun 2000 populasinya 1 juta, artinya $U_5 = 1$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $a$ :
$\begin{align} U_5 & = ar^{5-1} \\ 1 & = a \times \left( \frac{1}{2} \right)^4 \\ 1 & = a \times \left( \frac{1}{16} \right) \\ a & = 16 \end{align}$
Jadi, populasi tahun 1960 sebesar 16 juta. $\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 283 tahun 2009 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Diketahui matriks-matriks berikut $ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{matrix} \right], \, B = \left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right], \, C= \left[ \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right]$
Serta $B^T $ dan $C^{-1} $ berturut-turut menyatakan transpose matriks $B $ dan invers matriks $C$ . Jika det$(AB^T)$ = $k$ det$(C^{-1})$ , dengan det$(A)$ menyatakan determinan matriks $A$ , maka nilai $k$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Sifat determinan : $|C^{-1}| = \frac{1}{|C|} $
$B^T = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] $
$A.B^T = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{matrix} \right] . \left[ \begin{matrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -2 & 0 \end{matrix} \right] $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $k$
$\begin{align*} |AB^T| & = k.|C^{-1}| \\ \left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -2 & 0 \end{matrix} \right| & = k. \frac{1}{|C|} \\ k & = |AB^T| . |C| \\ k & = \left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -2 & 0 \end{matrix} \right| . \left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right| \\ k & = (2 \times 0 - (-2) \times 1 ) . (2 \times 3 - 1 \times 2) \\ k & = (0 + 2 ) . ( 6 - 2) = 2 \times 4 = 8 \end{align*}$
Jadi, nilai $k=8 . \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui bilangan $a \geq b $ yang memenuhi persamaan $a^2+b^2 = 31 $ dan $ab = 3$ . Nilai $a-b $ adalah ...
$\begin{align} (a-b)^2 & = a^2 + b^2 - 2ab \\ a-b & = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab} \\ & = \sqrt{31 - 2.3} \\ & = \sqrt{31 - 6} \\ & = \sqrt{25} \\ a-b & = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $a-b= 5. \heartsuit$
Nomor 8
Kelas XIIA terdiri dari 10 murid laki-laki dan 20 murid perempuan. Setengah dari jumlah murid laki-laki dan setengah dari jumlah murid perempuan berambut keriting. Apabila seorang murid dipilih secara acak untuk mengerjakan soal, maka peluang bahwa murid yang terpilih itu laki-laki atau berambut keriting adalah ...
$\spadesuit \, $ Ada 10L dan 20P , sehingga $n(S) = 10 + 20 = 30 $
$\spadesuit \, $ Setengah berambut keriting :
Laki-laki keriting $L_k = 5$ orang dan perempuan keriting $P_k = 10$ orang
Total keriting , $K= 5 + 10 = 15$ orang
Laki-laki sekaligus keriting , $L\cap K = 5$ orang
$\spadesuit \, $ Harapannya : laki-laki atau keriting ($L\cup K$)
$\begin{align*} n(L\cup K ) & = n(L) + n(K) - n(L\cap K) \\ & = 10 + 15 - 5 \\ & = 20 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang :
$\begin{align*} P(L\cup K ) & = \frac{n(L\cup K)}{n(S)} \\ & = \frac{20}{30} \end{align*}$
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{20}{30}. \heartsuit$
Nomor 9
Rata-rata sekelompok bilangan adalah 40. Ada bilangan yang sebenarnya adalah 60, tetapi terbaca 30. Setelah dihitung kembali, ternyata rata-rata yang benar adalah 41. Banyak bilangan dalam kelompok itu adalah ...
$\clubsuit \, $ Permisalan :
Banyak bilangan ada $n$ bilangan dan total jumlah ($n-1$) bilangan ($x_1+x_2+...+x_{(n-1)} = A $ ) adalah $A$
penyelesaian dibagi menjadi dua kasus :
$\clubsuit \, $ Kasus salah
nilai salah = 30 dan rata-rata salah = 40 .
$\overline{x} = \frac{\text{Jumlah total nilai}}{\text{banyak bilangan}} \rightarrow 40 = \frac{A+30}{n} \rightarrow 40n=A+30$ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Kasus benar
nilai benar = 60 dan rata-rata benar = 41 .
$\overline{x} = \frac{\text{Jumlah total nilai}}{\text{banyak bilangan}} \rightarrow 41 = \frac{A+60}{n} \rightarrow 41n=A+60$ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} 41n=A+60 & \\ 40n=A+30 & - \\ \hline n = 30 & \end{array}$
Jadi, banyak bilangan ada 30 bilangan. $\heartsuit $

Cara II
$\clubsuit \, $ Untuk kasus seperti ini, berlaku rumus :
$n=\frac{x_b-x_s}{\overline{x_b}-\overline{x_s}} \, $ atau $ \, n=\frac{x_s-x_b}{\overline{x_s}-\overline{x_b}} $
Jika hasilnya negatif, beri tanda mutlak agar hasilnya selalu positif.
Keterangan :
$n \rightarrow $ banyak bilangan atau orang (data)
$\overline{x_b} \rightarrow $ rata-rata benar
$\overline{x_s} \rightarrow $ rata-rata salah
$x_b \rightarrow $ nilai benar
$x_s \rightarrow $ nilai salah
$\clubsuit \, $ Menentukan banyak bilangan
$n=\frac{x_b-x_s}{\overline{x_b}-\overline{x_s}} = \frac{60-30}{41-40} = \frac{30}{1}=30$
Jadi, banyak bilangan ada 30 bilangan. $\heartsuit $
Nomor 10
Jika $x$ adalah peubah pada himpunan bilangan real, nilai $x$ yang memenuhi agar pernyataan "Jika $x^2-2x-3=0 , $ maka $x^2-x < 5 $ " bernilai SALAH adalah ...
$\spadesuit \, $ Bentuk implikasi $P_1 \Rightarrow P_2 $ akan bernilai SALAH jika memenuhi $B \Rightarrow S $ .
Artinya : $P_1$ harus Benar dan $P_2$ harus Salah.
$\spadesuit \, $ Cek kebenaran $P_1 : x^2-2x-3=0 $
$\begin{align} x^2-2x-3 & =0 \\ (x+1)(x-3) & = 0 \\ x=-1 \, & \vee \, x =3 \end{align}$
$P_1$ Benar untuk $x=-1 \, \vee \, x =3 $
$\spadesuit \, $ Cek kebenaran $P_2 : x^2-x < 5 \, $ dengan substitusi nilai $\, x=-1 \, \vee \, x =3 $
$\begin{align} x=-1 \rightarrow (-1)^2-(-1) & < 5 \\ 2 & < 5 \, \, \text{(Benar)} \\ x=3 \rightarrow (3)^2-(3) & < 5 \\ 6 & < 5 \, \, \text{(Salah)} \end{align}$
$P_2$ Salah untuk $x=3$
Jadi, pernyataan di atas salah saat $x=3. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 283 tahun 2009


Nomor 1
Jika $1+\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}=0 $ , maka $\frac{3}{x} $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $x$
$\begin{align} 1+\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2} & = 0 \, \, \text{(kali } \, x^2 ) \\ x^2 + 6x + 0 & = 0 \\ (x+3)^2 & = 0 \\ x & = -3 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $\frac{3}{x}$
$\frac{3}{x} = \frac{3}{-3} = -1 $
Jadi, nilai $\frac{3}{x} = -1 .\heartsuit $
Nomor 2
Pernyataan yang setara (ekivalen) dengan $|4x-5| < 13 $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Rumus Dasar : $|f(x)| < a \Rightarrow -a < f(x) < a $
$\begin{align} |4x-5| & < 13 \\ -13 < & 4x-5 < 13 \, \, \text{(tambah 5)} \\ -13 + 5 < & 4x-5 + 5 < 13 + 5 \\ -8 < & 4x < 18 \, \, \text{(bagi 4)} \\ \frac{-8}{4} < & \frac{4x}{4} < \frac{18}{4} \\ -2 < & x < \frac{9}{2} \, \, \text{(kali 6)} \\ -12 < & 6x < 27 \end{align}$
Jadi, setara dengan $ -12 < 6x < 27 . \heartsuit $
Nomor 3
Satuan ukuran televisi adalah inci yang diukur pada diagonal layarnya. Jika panjang layar dibanding lebarnya adalah 4 : 3, maka televisi berukuran 30 inci memiliki panjang horizontal ...
$\clubsuit \, $ Perbandingannya :
$\frac{p}{l}=\frac{4x}{3x} \Rightarrow \text{artinya} \, p=4x \, \text{dan} \, l=3x$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $x$
snmptn_matdas_k283_1_2009.png
Diagonal layarnya 30.
$5x = 30 \rightarrow x = 6 $
Sehingga panjangnya : $4x = 4 \times 6 = 24 $
Jadi, panjangnya adalah 24 inci. $ \heartsuit $
Nomor 4
Jumlah 101 bilangan genap berurutan adalah 13130. Jumlah 3 bilangan terkecil yang pertama dari bilangan-bilangan genap itu adalah ...
$\spadesuit \, $ Rumus dasar : $S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $a$ (suku pertamanya)
Barisan bilangan genap, nilai bedanya = 2.
$\begin{align*} S_{101} & = \frac{101}{2}(2a+(101-1).2) \\ 13130 & = \frac{101}{\not{2}}(\not{2}a+100.\not{2}) \\ 13130 & = 101(a+100) \\ 130 & = a + 100 \\ a & = 30 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Jumlah 3 suku pertama
$\begin{align*} S_{3} & = \frac{3}{2}(2a+(3-1).2) \\ & = \frac{3}{\not{2}}(\not{2}.30+2.\not{2}) \\ & = 3.(30+2) \\ & = 96 \end{align*}$
Jadi, jumlah 3 suku pertamanya adalah 96. $ \heartsuit$
Nomor 5
Diketahui $f(x)=(x-a)(x-b) $ dengan $a$ , $b$, dan $x$ bilangan real dan $a < b $ . Pernyataan berikut yang benar adalah ...
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan fungsi dan sketsa gambarnya
$f(x)=(x-a)(x-b) = x^2 - (a+b)x+ab $
karena koefisien $x^2$ positif ($a>0$) , maka kurva terbuka ke atas dengan titik potong sumbu X di $x=a$ dan $x=b$
snmptn_matdas_k283_2_2009.png
Catatan :
* karena $a < b $ , maka letak $a$ selalu di kiri $b$ .
* Nilai $a$ dan $b$ bisa positif juga negatif, sehingga sketsanya ada berbagai macam berikut ini
snmptn_matdas_k283_3_2009.png
$\clubsuit \, $ Analisa grafiknya
Untuk interval $x$ atara $a$ dan $b$ , maka nilai fungsinya negatif (kurva ada di bawah sumbu X).
Sehingga disimpulkan :
jika $ a < x < b$ , maka $f(x) < 0 $ dan jika $x < a $ atau $x > b $ , maka $ f(x) > 0 $
Jadi, jika $ a < x < b$ , maka $f(x) < 0 . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15