Cara 3 Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} = .... $
A). $ 27 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Limit bentuk tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} $ dapat diselesaikan dengan turunan.
*). Penerapan turunan pada limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \rightarrow \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^{-1}(x)}{g^{-1}(x)} $
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} $
$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $
*). Sifat limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to a } \sqrt[n]{f{x}} = \sqrt[n]{ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt[3]{ \frac{ 9x-9}{ \sqrt[3]{x}-1 } } \\ & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ 9x-9}{ x^\frac{1}{3} -1 } } \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ 9 }{ \frac{1}{3}x^\frac{-2}{3} } } = \sqrt[3]{ \frac{ 9 }{ \frac{1}{3}.1^\frac{-2}{3} } } \\ & = \sqrt[3]{ \frac{ 9 }{ \frac{1}{3} } } = \sqrt[3]{ 9 \times 3 } = \sqrt[3]{ 27} = 3 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 3 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} = .... $
A). $ 27 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Limit bentuk tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} $ dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran.
*). Bentuk pemfaktoran :
$ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} $
$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $
*). Sifat limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to a } \sqrt[n]{f{x}} = \sqrt[n]{ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). memfaktorkan :
Bentuk $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $
Bentuk $ x = \left( x^\frac{1}{3} \right)^3 = \left( \sqrt[3]{x} \right)^3 $
$\begin{align} x - 1 & = (\sqrt[3]{x} )^3 - 1^3 \\ & = (\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} . 1 + 1^2) \\ & = (\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 ) \end{align} $
*). Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt[3]{ \frac{ 9x-9}{ \sqrt[3]{x}-1 } } = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ 9x-9}{ \sqrt[3]{x}-1 } } \\ & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ 9(x-1)}{ (\sqrt[3]{x}-1) } } \\ & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ 9(\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 ) }{ (\sqrt[3]{x}-1) } } \\ & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ 9 (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 ) }{ 1} } \\ & = \sqrt[3]{ 9 (\sqrt[3]{1} )^2 + \sqrt[3]{1} + 1 ) } \\ & = \sqrt[3]{ 9 (3 ) } = \sqrt[3]{ 27 } = 3 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} = .... $
A). $ 27 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Limit bentuk tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} $ dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran.
*). Bentuk pemfaktoran :
$ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} $
$ \sqrt[n]{a.b} = \sqrt[n]{a} . \sqrt[n]{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). memfaktorkan :
Bentuk $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $
Bentuk $ x = \left( x^\frac{1}{3} \right)^3 = \left( \sqrt[3]{x} \right)^3 $
$\begin{align} x - 1 & = (\sqrt[3]{x} )^3 - 1^3 \\ & = (\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} . 1 + 1^2) \\ & = (\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 ) \end{align} $
*). Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9(x-1)}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(x-1)}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 )}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x} - 1)}.\sqrt[3]{( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 )}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} - 1}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 }} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 }} {1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 } \\ & = \sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{1} )^2 + \sqrt[3]{1} + 1 } \\ & = \sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{3 } = \sqrt[3]{9.3} = \sqrt[3]{27} = 3 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Invers Fungsi UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan fungsi $ f(x) = \frac{2x-1}{x+1} $. Nilai $(f^{-1}\circ f^{-1})(\frac{1}{2}) $ adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Komposisi fungsi :
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
*). Definisi invers fungsi :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(x) $
*). Invers bentuk :
$ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1}{x} = \frac{-dx+b}{cx-a} $
Atau
$ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1}{x} = \frac{dx-b}{-cx+a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan invers dari fungsi $ f(x) = \frac{2x-1}{x+1} $ :
$\begin{align} y & = \frac{2x-1}{x+1} \\ xy + y & = 2x - 1 \\ xy - 2x & = -y - 1 \\ x(y-2) & -y - 1 \\ x & = \frac{-y-1}{y-2} \\ f^{-1}(y) & = \frac{-y-1}{y-2} \\ f^{-1}(x) & = \frac{-x-1}{x-2} \end{align} $
-). Bisa juga menggunakan rumus berikut :
$ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1}{x} = \frac{-dx+b}{cx-a} $
$ f(x) = \frac{2x-1}{x+1} \rightarrow f^{-1}(x) = \frac{-x -1}{x - 2} $
*). Menentukan nilai $ (f^{-1}\circ f^{-1})(\frac{1}{2}) $ :
$\begin{align} (f^{-1}\circ f^{-1})(\frac{1}{2}) & = f^{-1} \left( f^{-1} (\frac{1}{2}) \right) \\ & = f^{-1} \left( \frac{-(\frac{1}{2}) -1}{(\frac{1}{2}) - 2} \right) \\ & = f^{-1} \left( \frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{3}{2}} \right) \\ & = f^{-1} \left( 1 \right) \\ & = \frac{-1 -1}{1 - 2} \\ & = \frac{-2}{-1} = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ (f^{-1}\circ f^{-1})(\frac{1}{2}) = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Perbandingan jumlah pegawai tetap dan pegawai tidak tetap di suatu perusahaan adalah $ 1 : 9 $. Jika penghasilan rata-rata tahunan pegawi tetap Rp2,4 juta dan penghasilan tahunan rata-rata pegawai tidak tetap Rp1,8 juta, maka penghasilan tahunan rata-rata seluruh pegawai adalah Rp.... juta
A). $ 1,82 \, $ B). $ 1,84 \, $ C). $ 1,86 \, $ D). $ 1,88 \, $ E). $ 1,90 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus rata-rata gabungan :
$ \, \, \, \, \, \overline{X}_{gb} = \frac{n_1.\overline{x}_1 + n_2.\overline{x}_2 + ...}{n_1+n_2+...} $
keterangan :
$ \overline{X}_{gb} = \, $ rata-rata gabungan
$ \overline{x}_{1} = \, $ rata-rata kelompok pertama
$ \overline{x}_{2} = \, $ rata-rata kelompok kedua
$ n_1 = \, $ banyak orang kelompok pertama
$ n_2 = \, $ banyak orang kelompok kedua
*). Jika ada bentuk perbandingan, maka boleh dikalikan aljabar tertentu.
Misalkan :
$ a : b = 3 : 2 \, $ sama dengan $ a : b = 3x : 2x $, artinya $ a = 3x $ dan $ b = 2x $.
(perbandingannya dikalikan $ x $ semuanya)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ a \, $ menyatakan pegawai tetap, dan $ b \, $ menyatakan pegawai tidak tetap . Kita peroleh permisalan lengkapnya :
$ \overline{X}_{gb} = \, $ rata-rata gaji seluruhnya
$ \overline{x}_{a} = \, $ rata-rata gaji pegawai tetap
$ \overline{x}_{b} = \, $ rata-rata gaji pegawai tidak tetap
$ n_a = \, $ banyak orang pegawai tetap
$ n_b = \, $ banyak orang pegawai tidak tetap
*). Diketahui : Perbandingan jumlah pegawai tetap dan pegawai tidak tetap di suatu perusahaan adalah $ 1 : 9 $ , dapat kita tulis $ n_a : n_b = 1 : 9 $ atau $ n_a + n_b = x : 9x $ , yang artinya $ n_a = x $ dan $ n_b = 9x $. Diketahui juga $ \overline{x}_{a} = 2,4 $ dan $ \overline{x}_{b} = 1,8 $
*). Menentukan rata-rata gabungan :
$\begin{align} \overline{X}_{gb} & = \frac{n_a.\overline{x}_a + n_b.\overline{x}_b}{n_a+n_b} \\ & = \frac{x. 2,4 + 9x. 1,8}{x + 9x} \\ & = \frac{2,4x + 16,2x}{10x} \\ & = \frac{18,6x}{10x} = 1,86 \end{align} $
Jadi, rata-rata keseluruhannya adalah $ 1,86 . \, \heartsuit $