Pembahasan Garis Singgung SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 141

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui garis singgung $ f(x) = \frac{x^2 \sin x}{\pi} $ di titik $ x = \frac{\pi}{2} $ berpotongan dengan garis $ y = 3x - \pi $ di titik $ (a,b) $ , maka $ a + b = .... $
A). $ \pi \, $ B). $ \frac{3}{4}\pi \, $ C). $ \frac{1}{2}\pi \, $ D). $ \frac{1}{4}\pi \, $ E). $ \frac{1}{8}\pi \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $(x_1,y_1)$ memiliki gradien $ m = f^\prime (x_1) $ adalah $ y - y_1 = m(x - x_1) $
*). Turunan fungsi perkalian :
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U . V^\prime $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi $ x_1 = \frac{\pi}{2} $ ke fungsinya :
$ \begin{align} y & = \frac{x^2 \sin x}{\pi} \rightarrow y = \frac{(\frac{\pi}{2})^2 \sin \frac{\pi}{2}}{\pi} = \frac{\frac{\pi ^2}{4}. 1}{\pi} = \frac{\pi}{4} \end{align} $
*). Titik singgungnya adalah $ (x_1,y_1) = \left( \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4} \right) $
*). Menentukan turunan dan gradien garis singgungnya di $ x_1 = \frac{\pi}{2} $ :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{x^2 \sin x}{\pi} = \frac{1}{\pi}(x^2 \sin x) \\ f^\prime (x) & = \frac{1}{\pi}(2x \sin x + x^2. \cos x) \\ m & = f^\prime (\frac{\pi}{2}) \\ m & = \frac{1}{\pi}(2. \frac{\pi}{2} \sin \frac{\pi}{2} + (\frac{\pi}{2})^2. \cos \frac{\pi}{2} ) \\ & = \frac{1}{\pi}(\pi . 1 + \frac{\pi ^2}{4} . 0 ) = 1 \end{align} $
*). Menyusun PGS nya :
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - \frac{\pi}{4} & = 1.(x - \frac{\pi}{2}) \\ y & = x - \frac{\pi}{4} \end{align} $
*). Menentukan titik potong kedua garis yaitu $ y_2 = x - \frac{\pi}{4} $ dan $ y_1 = 3x - \pi $ dengan cara substitusi :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ 3x - \pi & = x - \frac{\pi}{4} \\ 2x & = \frac{3\pi}{4} \\ x & = \frac{3\pi}{8} \end{align} $
*). Substitusi $ x = \frac{3\pi}{8} $ ke $ y = x - \frac{\pi}{4} $ :
$ \begin{align} y & = x - \frac{\pi}{4} \\ y & = \frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{4} \\ y & = \frac{3\pi}{8} - \frac{2\pi}{8} \\ y & = \frac{\pi}{8} \end{align} $
Sehingga titik potong kedua garis adalah $ (a,b) = \left( \frac{3\pi}{8} ,\frac{\pi}{8} \right) $
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$ \begin{align} a + b & = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = \frac{\pi}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 141

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \cot x $ dan $ g(x) = \sec x $ , maka $ \frac{d(g \circ f)}{dx} = ....... $
A). $ \frac{-\sin (\cot x)}{\cos ^2 (\cot x) . \sin ^2 x } \, $
B). $ \frac{\sin (\cot x)}{\cos ^2 (\sec x) . \sin ^2 x } \, $
C). $ \frac{\sin (\cot x)}{\cos ^2 (\cot x) . \cos ^2 x } \, $
D). $ \frac{\sin (\sec x)}{\cos ^2 (\sec x) . \cos ^2 x } \, $
E). $ \frac{\cos (\sec x)}{\cos ^2 (\sec x) . \cos ^2 x } $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \sec g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) \sec g(x) \tan g(x) $.
$ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $.
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sec A = \frac{1}{\cos A} $ , $ \csc A = \frac{1}{\sin A} $ , dan $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} $
*). Komfosisi fungsi :
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
*). Lambang turunan : $ y = (g \circ f)(x) \rightarrow y^\prime = \frac{d(g \circ f)(x)}{dx} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ (g \circ f)(x) $ dengan $ f(x) = \cot x $ dan $ g(x) = \sec x $ :
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\cot x) = \sec ( \cot x) $
*). Menentukan turunan dari $ y = \sec ( \cot x) $ :
Misalkan $ h(x) = \cot x \rightarrow h^\prime (x) = - \csc ^2 x $
$\begin{align} y & = \sec ( \cot x) \\ y & = \sec h(x) \\ y^\prime & = h^\prime (x) \sec h(x) \tan h(x) \\ & = - \csc ^2 x. \sec h(x) \tan h(x) \\ & = - \frac{1}{\sin ^2 x} . \frac{1}{\cos h(x) } \frac{\sin h(x)}{ \cos h(x) } \\ & = \frac{-\sin h(x) }{\cos ^2 h(x) . \sin ^2 x} \\ & = \frac{-\sin ( \cot x) }{\cos ^2 ( \cot x) . \sin ^2 x} \end{align} $
Jadi, $ y^\prime = \frac{-\sin ( \cot x) }{\cos ^2 ( \cot x) . \sin ^2 x} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 141

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \, \frac{x\cot ^2 x}{1 - \sin x} = .... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{\pi}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
dimana $ 1 - \sin ^2 x = (1 - \sin x)(1+ \sin x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \, \frac{x\cot ^2 x}{1 - \sin x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \, \frac{x \frac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x} }{1 - \sin x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \, \frac{x \cos ^2 x }{(1 - \sin x).\sin ^2 x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \, \frac{x (1 - \sin x)(1 + \sin x) }{(1 - \sin x).\sin ^2 x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \, \frac{x (1 + \sin x) }{ \sin ^2 x } \\ & = \frac{\frac{\pi}{2} . (1 + \sin \frac{\pi}{2}) }{ \sin ^2 \frac{\pi}{2} } \\ & = \frac{\frac{\pi}{2} . (1 + 1) }{ 1 } = \frac{\pi}{2} . 2 = \pi \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \pi . \, \heartsuit $

Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 141

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan salah satu asimtot dari hiperbola
$ 4y^2 - x^2 + 16y + 6x + 3 = 0 $ adalah .....
A). $ x + 2y + 5 = 0 \, $
B). $ x - 2y + 1 = 0 \, $
C). $ x - 2y + 7 = 0 \, $
D). $ x + 2y + 1 = 0 \, $
E). $ x + 2y - 1 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Hiperbola
*). Persamaan hiperbola :
$ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{a}{b} (x-p) $
atau persamaan asimtotnya juga dapat dicari dengan mengganti 1 dengan 0 :
$ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 0 $
*). Kuadrat sempurna :
$ x^2 - bx = (x - \frac{b}{a})^2 - (\frac{b}{2})^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaannya :
$\begin{align} 4y^2 - x^2 + 16y + 6x + 3 & = 0 \\ -(x^2 - 6x) + 4(y^2 + 4y) & = -3 \\ -[(x-3)^2 - 9] + 4[(y+2)^2 - 4] & = -3 \\ - (x-3)^2 + 9 + 4 (y+2)^2 - 16 & = -3 \\ - (x-3)^2 + 4 (y+2)^2 & = -3 - 9 + 16 \\ - (x-3)^2 + 4 (y+2)^2 & = 4 \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ \frac{-(x - 3)^2}{4} + \frac{4(y+2)^2}{4} & = \frac{4}{4} \\ -\frac{(x - 3)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{1} & = 1 \\ -\frac{(x - 3)^2}{2^2} + \frac{(y+2)^2}{1^2} & = 1 \\ \end{align} $
Artinya : $ p = 3, q = -2, a = 1, b = 2 $.
*). Menyusun persamaan asimtotnya :
$\begin{align} y-q & = \pm \frac{a}{b} (x-p) \\ y- (-2) & = \pm \frac{1}{2} (x-3) \\ y+2 & = \pm \frac{1}{2} (x-3) \\ y+2 = \frac{1}{2} (x-3) & \vee y+2 = -\frac{1}{2} (x-3) \\ 2y+4 = x - 3 & \vee 2y+ 4 = -x + 3 \\ x - 2y - 7 = 0 & \vee x + 2y + 1 = 0 \end{align} $
Sehingga persamaan asimtotnya adalah :
$ 4x - 3y = -2 $ atau $ 4x + 3y = 10 $ .
Jadi, yang ada di option adalah $ 4x - 3y = -2 . \, \heartsuit $

Catatan :
-). Jika teman-teman lupa dengan rumus persamaan asimtotnya, maka dari persamaan hiperbola bakunya, kita ganti 1 dengan 0.
-). Persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} -\frac{(x - 3)^2}{2^2} + \frac{(y+2)^2}{1^2} & = 1 \\ -\frac{(x - 3)^2}{2^2} + \frac{(y+2)^2}{1^2} & = 0 \\ \frac{(y+2)^2}{1} & = \frac{(x - 3)^2}{4} \\ (y+2)^2 & = \frac{1}{4}(x - 3)^2 \\ y + 2 & = \pm \sqrt{\frac{1}{4}(x - 3)^2 } \\ y + 2 & = \pm \frac{1}{2}(x - 3) \end{align} $
(hasilnya sama dengan asimtot di atas).

Pembahasan Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 141

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya solusi yang memenuhi $ \sec x. \csc x - 3\sec x + 2 \tan x = 0 $ adalah ......
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sec x = \frac{1}{\cos x} $ , $ \csc x = \frac{1}{\sin x} $ , $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
*). Persamaan trigonometri :
bentuk $ \sin x = \sin \theta $ memiliki solusi :
$ x = \theta + 2k\pi \, $ dan $ x = (180^\circ - \theta) + 2k\pi $
dengan $ k $ bilangan bulat.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \sec x. \csc x - 3\sec x + 2 \tan x & = 0 \\ \frac{1}{\cos x}. \frac{1}{\sin x} - 3. \frac{1}{\cos x} + 2 . \frac{\sin x}{\cos x} & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali } \sin x \cos x) \\ 1 - 3\sin x + 2 \sin ^2 x & = 0 \\ (2\sin x - 1 )(\sin x - 1 ) & = 0 \\ \sin x = \frac{1}{2} \vee \sin x & = 1 \end{align} $
-). Untuk $ \sin x = 1 \rightarrow x = \frac{\pi}{2} $
$ x = \frac{\pi}{2} $ tidak memenuhi syarat karena $ \cos \frac{\pi}{2} = 0 $ sementara pada soal ada bentuk $ \frac{1}{\cos x } = \frac{1}{0} \, $ tidak terdefinisi (tidak boleh per nol).
-). Untuk $ \sin x = \frac{1}{2} \rightarrow \sin x = \sin 30^\circ $ memiliki solusi
$ x = \theta + 2k\pi \rightarrow x = 30^\circ + 2k\pi \, $ dan
$ x = (180^\circ - \theta) + 2k\pi \rightarrow x = 150^\circ + 2k\pi $
*). Dari bentuk $ x = 30^\circ + 2k\pi $ dan $ x = 150^\circ + 2k\pi $, maka solusinya ada sebanyak tak hingga karena $ k $ bisa kita ganti dengan semua bilangan bulat. Namun, pada optionnya tidak ada jawaban sebanyak tak hingga, artinya soal ini masih kurang lengkap, seharusnya $ x $ ada pada interval tertentu, kita misalkan $ 0 \leq x \leq 2\pi $, sehingga solusi yang memenuhi adalah $ x = 30^\circ $ dan $ x = 150^\circ $.
Jadi, ada dua solusi yang memenuhi untuk $ 0 \leq x \leq 2\pi . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 141

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor $ \vec{a} = (4, 6) $ , $ \vec{b} = (3, 4) $ , dan $ \vec{c}=(p,0)$. Jika $ \vec{c} - \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $ , maka kosinus sudut $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ adalah ......
A). $ \frac{1}{13}\sqrt{13} \, $ B). $ \frac{2}{13}\sqrt{13} \, $ C). $ \frac{10}{13}\sqrt{13} \, $ D). $ \frac{3}{13} \, $ E). $ \frac{10}{13} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Diketahui $ \vec{a} = (a_1,a_2) $ dan $ \vec{b} = (b_1, b_2) $ .
*). Perkalian dot :
$ \vec{a}.\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 $
$ \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha \rightarrow \cos \alpha = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} $
*). Panjang vektor $ \vec{a} $, simbol $ |\vec{a}| $ :
$ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 } $
*). Syarat vektor $ \vec{p} $ tegak lurus $ \vec{q} $ yaitu : $ \vec{p}. \vec{q} = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ \vec{c} - \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $ :
$\begin{align} (\vec{c} - \vec{a}).\vec{b} & = 0 \\ [(p, 0 ) - (4, 6)]. (3,4) & = 0 \\ (p-4, -6). (3,4) & = 0 \\ 3(p-4) + (-6).4 & = 0 \\ 3p - 12 - 24 & = 0 \\ 3p & = 36 \\ p & = 12 \end{align} $
sehingga vektor $ \vec{c} = (12,0) $
*). Menentukan nilai kosinus sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ :
$\begin{align} \cos \alpha & = \frac{\vec{a}.\vec{c}}{|\vec{a}||\vec{c}|} \\ & = \frac{(4,6). (12,0) }{\sqrt{4^2 + 6^2} . \sqrt{12^2 + 0^2} } \\ & = \frac{48 + 0 }{\sqrt{52} . \sqrt{144} } = \frac{48}{2\sqrt{13} . 12 } \\ & = \frac{2}{\sqrt{13} } = \frac{2}{13 }\sqrt{13} \end{align} $
Jadi, nilai kosinusnya adalah $ \frac{2}{13 }\sqrt{13} . \, \heartsuit $