Pembahasan Trigonometri Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \cos A = \frac{3}{5} \, $ dan $ \pi < A < 2\pi , \, $ maka nilai $ \frac{\sin A }{\cos A } - \frac{1}{\sin A } = ..... $
A). $ -\frac{1}{2} \, $ B). $ -\frac{1}{12} \, $ C). $ \frac{1}{12} \, $ D). $ \frac{4}{5} \, $ E). $ 2 $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Untuk menyelesaikan soal Trigonometri UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 kode 571 tidaklah terlalu sulit karena kita cukup mengingat rumus perbandingan dasar pada trogonometri dan kuadran. Langkah-langkah pengerjaannya yaitu kita buat nilai perbandingan $ \cos A = \frac{3}{5} \, $ pada segitiga dan letak sudut A di kuadran berapa, hal ini akan memudahkan kita untuk menentukan nilai trigonometri yang lainnya seperti sin A dan tan A. Setelah itu tinggal kita menghitung hasil yang diinginkan.

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku
$ \text{Sin A} = \frac{depan}{miring}, \, \text{Cos A} = \frac{samping}{miring}, \, \text{Tan A} = \frac{depan}{samping}$
dan $ \text{Tan A} = \frac{\text{Sin A}}{\text{Cos A}} $
*). Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran :
Kuadran III sudutnya antara $ \pi \, $ sampai $ \, \frac{3}{2}\pi $
Kuadran IV sudutnya antara $ \frac{3}{2}\pi \, $ sampai $ \,2\pi $
Kuadran III, nilai tan positif (begitu juga cot) artinya yang lainnya negatif
Kuadran IV, nilai cos positif (begitu juga sec) artinya yang lain negatif.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui nilai $\cos A = \frac{3}{5} \, $ dan $ \pi < A < 2\pi , \, $ artinya sudut A terletak antara dikuadran III dan kuadran IV. Namun, nilai Cos A positif, sehingga sudut A terletak dikuadran IV yang artinya nilai Sin A negatif dan nilai Tan A juga negatif.
*). Membuat segitiga siku-siku dari $\cos A = \frac{3}{5} \, $
$\cos A = \frac{3}{5} = \frac{smping}{miring} \, $ artinya samping = 3 dan miring = 5, dengan phytagoras kita peroleh panjang depannya = 4.
 

gambar segitiga siku-sikunya.
Sehingga nilai sin A dan tan A yaitu :
Sin A = $ -\frac{de}{mi} = - \frac{4}{5} $
dan Tan A = $ -\frac{de}{sa} = - \frac{4}{3} $
*). Menentukan hasil dari $ \frac{\sin A }{\cos A } - \frac{1}{\sin A } $
$ \begin{align} \frac{\sin A }{\cos A } - \frac{1}{\sin A } & = \tan A - \frac{1}{\sin A } \\ & = - \frac{4}{3} - \frac{1}{- \frac{4}{5}} \\ & = - \frac{4}{3} + \frac{5}{4} \\ & = - \frac{16}{12} + \frac{15}{12} \\ & = \frac{-16 + 15}{12} \\ & = \frac{-1}{12} \end{align} $
Jadi, nilai dari $ \frac{\sin A }{\cos A } - \frac{1}{\sin A } = - \frac{1}{12}. \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Dalam pengerjaan soal Trigonometri UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 kode 571 ini, kita janganlah langsung berfikir bahwa soal ini akan sulit untuk kita kerjakan walaupun memang trigonometri itu rumus-rumusnya banyak sekali. Cobalah dengan sesuatu yang mendasar, siapa tau kita bisa mengerjakannya seperti soal ini. Untuk memudahkan mengerjakan soal-soal yang terkait dengan trigonometri, kuncinya adalah sering berlatih untuk berbagai tipe soal. !!!^_^!!!



Pembahasan Matriks Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jika matriks $ A = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & -4 \end{matrix} \right) \, $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 57 & -15 \\ 15 & -3 \end{matrix} \right) \, $ serta $ A^{-1} \, $ menyatakan invers matriks $ A , \, $ maka $ (A^{-1})^3 + B = .... $
A). $ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \, $
C). $ \left( \begin{matrix} 61 & 0 \\ 0 & -59 \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} 61 & -30 \\ 30 & -59 \end{matrix} \right) \, $
E). $ \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Untuk menyelesaikan soal Matriks UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 kode 571 yang melibatkan materi invers matriks, pertama kita tentukan dulu invers dari matriks A yaitu A$^{-1}$. Setelah itu baru kita menyelesaikan bentuk $(A^{-1})^3 \, $ yang artinya A$^{-1}$ hasilnya dipangkatkan tiga. Langkah terakhir adalah menentukan hasil akhirnya.

$\spadesuit $ Konsep Dasar Matriks
*). Operasi pada matriks :
silahkan langsung ikuti link operasi pada matriks.
*). Determinan dan invers matriks
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
inversnya yaitu : $ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan A$^{-1}$
$ \begin{align} A = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & -4 \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} & = \frac{1}{ad-bc}\left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{0.(-4) - (-1).1}\left( \begin{matrix} -4 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{1}\left( \begin{matrix} -4 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan $(A^{-1})^3$, kerjakan perkalian $ A^{-1} . A^{-1} \, $ yang didepan dulu
$ \begin{align} (A^{-1})^3 & = A^{-1} . A^{-1} . A^{-1} \\ & = \left( \begin{matrix} -4 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -4 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -4 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 15 & -4 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -4 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -56 & 15 \\ -15 & 4 \end{matrix} \right) \\ \end{align} $
*). Menentukan hasil $ (A^{-1})^3 + B $
$ \begin{align} (A^{-1})^3 + B & = \left( \begin{matrix} -56 & 15 \\ -15 & 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 57 & -15 \\ 15 & -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ (A^{-1})^3 + B = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Untuk pengerjaan soal Matriks UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 kode 571, kita butuh ketelitian tingkat tinggi karena melibatkan banyak angka dan banyak perhitungan. Jangan sampai salah perhitungan di awal, ini pasti akan berpengaruh pada hasil akhir yang tentunya akan salah, dan akan membuat kita harus mengulanginya lagi dari awal, tentu teman-teman tidak mau kan mengulanginya lagi!!!



Pembahasan Barisan Geometri dan Logaritma Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah logaritma dari lima suku pertama suatu deret geometri adalah $ \, 5 \log 3 \, $ . Bila suku ke-4 deret tersebut adalah 12, maka suku ke-6 deret tersebut adalah ....
A). $ 192 \, $ B). $ 96 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 2 $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Pada Pembahasan Barisan Geometri dan Logaritma Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571 ini, yang agak sulit kita cerna adalah kalimat pertama pada soal yaitu Jumlah logaritma dari lima suku pertama suatu deret geometri adalah $ \, 5 \log 3 \, $. Apakah yang dimaksud $ \log u_1 + log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 = 5\log 3 \, $ atau $ \, \log (u_1+u_2+u_3+u_4+u_5) = 5\log 3 $. Manakah yang benar ? Untuk memudahkan membedakannya, langsung saja perhatikan bentuk berikut :
Jumlah logaritma artinya $ \log u_1 + \log u_2 + \log u_3 + .... $
Logaritma jumlah sukunya adalah $ \log (u_1 + u_2 + u_3 + ...) $
Sehingga yang dimaksud pada soal barisan geometri dan logaritma UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571 adalah $ \log u_1 + log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 = 5\log 3 \, $.

         Langkah kedua adalah kita menyusun persamaan yang ada yaitu akan terbentuk dua persamaan yang kita peroleh dengan menggunakan konsep logaritma dan barisan geometri. Langkah berikutnya adalah menentukan nilai suku pertama ($a$) dan rasio ($r$) dengan substitusi atau eliminasi kedua persamaan yang sudah terbentuk. Dan terakhir, menentukan nilai suku keenamnya.

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan geometri dan Logaritma
*). Suku ke-$n$ barisan geometri : $U_n = ar^{n-1} $
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) \, $ dan $ \, n{}^a \log b = {}^a \log b^n $
*). Persamaan logaritma : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui besar angsuran tiap bulan adalah
Persamaan pertama :
$ \begin{align} \text{Jumlah logaritma lima suku pertama } & = 5 \log 3 \\ \log u_1 + log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 & = 5 \log 3 \\ \log (u_1.u_2.u_3.u_4.u_5) & = \log 3^5 \\ \log (a.ar.ar^2.ar^3.ar^4) & = \log 3^5 \\ a^5r^{10} & = 3^5 \\ (ar^2)^5 & = 3^5 \\ ar^2 & = 3 \\ a & = \frac{3}{r^2} \end{align} $
kita peroleh persaman (i) yaitu $ a = \frac{3}{r^2} $
Persamaan kedua :
$ \begin{align} u_4 = 12 \rightarrow ar^3 = 12 \, \, \, \, \, ......\text{pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align} ar^3 & = 12 \\ \frac{3}{r^2} \times r^3 & = 12 \\ 3r & = 12 \\ r & = \frac{12}{3} = 4 \end{align} $
Dari pers(i) : $ a = \frac{3}{r^2} = \frac{3}{4^2} $
*). Menentukan nilai suku ke-6 :
$ \begin{align} u_6 = ar^5 = \frac{3}{4^2} \times 4^5 = 3 \times 4^3 = 192 \end{align} $
Jadi, nilai suku keenam adalah 192. $ \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Soal barisan geometri dan logaritma UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571 ini akan membuat kita kesulitan dalam mengerjakannya karena soal ini langsung menggunakan tiga konsep yaitu barisan geometri, logaritma, dan perpangkatan (eksponen).



Pembahasan Deret Aritmetika Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Bila pembayaran pinjaman sebesar Rp8.800.000,00 diangsur berturut-turut tiap bulan sebesar Rp250.000,00 , Rp270.000,00 , Rp290.000,00, Rp310.000,00 , ...., dan seterusnya, maka pinjaman akan lunas pada pembayaran bulan ke- ....
A). $ 17 \, $ B). $ 18 \, $ C). $ 19 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 21 $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Untuk menyelesaikan soal deret aritmetika UM UGM tahun 2016 kode 571 ini butuh kecermatan karena soalnya masih dalam bentuk soal cerita. Pertama kita harus memahami bahwa soal ini membentuk barisan dan deret aritmetika karena jumlah pembayarannya memiliki selisih yang sama untuk dua bulan yang berdekatan yang biasa kita sebut sebagai bedanya (b). Kedua, kita harus memahami bahwa yang diketahui pada soal adalah jumlah keseluruhan menjadi Rp8.800.000 setelah beberapa bulan pertama pembayaran, ini artinya yang diketahui adalah $ S_n \, $ nya. Dan yang ketiga, kita akan menentukan besarnya $ n \,$ yaitu lamanya melakukan pembayaran sekaligus sebagai bulan terakhir pembayaran.

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Aritmetika
Rumus jumlah $ n $ suku pertama ($S_n$) :
$ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui besar angsuran tiap bulan adalah
250.000, 270.000, 290.000, .....
Kita peroleh :
suku pertama : $ a = 250.000 $ dan
beda : $ b = u_2 - u_1 = 270.000 - 250.000 = 20.000 $
*). Menentukan $ n $ dengan diketahui jumlah seluruh angsuran = 8.800.000
$ \begin{align} S_n & = 8.800.000 \\ \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) & = 8.800.000 \\ \frac{n}{2}(2 \times 250.000 + (n-1)\times 20.000) & = 8.800.000 \, \, \, \, \, \text{(bagi 10.000)} \\ \frac{n}{2}(2 \times 25 + (n-1)\times 2) & = 880 \\ \frac{n}{2}(50 + 2n - 2) & = 880 \\ n \frac{(50 + 2n - 2)}{2} & = 880 \\ n (25 + n - 1) & = 880 \\ n (n+24) & = 880 \\ n^2 + 24n - 880 & = 0 \\ (n+44)(n-20) & = 0 \\ n = -44 \vee n & = 20 \end{align} $
Karena banyaknya bulan pengansuran positif, maka yang memenuhi adalah $ n = 20 $, artinya pinjaman lunas pada pembayaran ke-20.
Jadi, pinjaman lunas pada pembayaran bulan ke-20. $ \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Soal Deret Aritmetika UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571 ini sebenarnya menarik karena tidak murni langsung dalam bentuk deret, melainkan dalam bentuk soal cerita, yang sebagaian orang mungkin akan kesulitan dalam memecahkan soal-soal dalam bentuk cerita. Tapi yakinlah teman-teman, dengan banyak latihan mengerjakan soal-soal cerita maka kita pasti akan terbiasa nantinya.