Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 586 tahun 2014 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Diketahui $ P \, $ dan $ Q \, $ suatu polinomial sehingga $ P(x) = Q(x)(a^2x^3+(a-1)x+2a). \, $ Jika $ P(x) \, $ dan $ Q(x) \, $ masing-masing memberikan sisa 9 dan 1 apabila masing-masing dibagi $ x-1 , \, $ maka $ P(x)Q(x)(a^2x^3+(a-1)x+2a) \, $ dibagi $ x - 1 \, $ bersisa ....
$\clubsuit \, $ Teorema sisa : $\frac{f(x)}{x-a} \Rightarrow \text{sisa} = f(a)$
artinya : substitusi $x=a\, $ ke $f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya
Suatu fungsi habis dibagi, artinya sisanya = 0 .
Pembagian Polinomial :
$ P(x) : (x-1), \, $ sisa = 9 , artinya $ P(1) = 9 \, $ ....pers(i)
$ Q(x) : (x-1), \, $ sisa = 1 , artinya $ Q(1) = 1 \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Substitusi $ x = 1 \, $ ke $ P(x) = Q(x)(a^2x^3+(a-1)x+2a) $
$\begin{align} x = 1 \rightarrow P(x) & = Q(x)(a^2x^3+(a-1)x+2a) \\ P(1) & = Q(1)(a^2.1^3+(a-1).1+2a) \\ 9 & = 1.(a^2+(a-1)+2a) \\ (a^2+(a-1)+2a) & = 9 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Sisa pembagian $ P(x)Q(x)(a^2x^3+(a-1)x+2a) \, $ dengan $ x - 1 $
$ P(x)Q(x)(a^2x^3+(a-1)x+2a) : x - 1 $
sisanya = $ P(1)Q(1)(a^2.1^3+(a-1).1+2a) $
$\begin{align} \text{Sisa } \, & = P(1)Q(1)(a^2.1^3+(a-1).1+2a) \\ & = 9.1.(a^2+(a-1)+2a) \\ & = 9.1.9 \\ \text{Sisa } \, & = 81 \end{align}$
Jadi, sisa pembagiannya adalah 81. $ \heartsuit $
Nomor 12
Jika $3\sin x+4\cos y=5$, maka nilai minimum $3\cos x+4\sin y$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Kuadratkan persamaan $3sinx+4cosy=5$:
$\begin{align} (3sinx+4cosy)^2&=5^2 \\ 9sin^2x+16cos^2y+24sinxcosy&=25 \, \, (sin^2z+cos^2z=1 )\\ 9(1-cos^2x)+16(1-sin^2y)+24sinxcosy&=25 \\ 9-9cos^2x+16-16sin^2y+24sinxcosy&=25 \\ 9cos^2x+16sin^2y&=24sinxcosy \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Misalkan $f=3cosx+4siny$, dikuadratkan:
$\begin{align} f^2&=(3cosx+4siny )^2 \\ f^2&=9cos^2x+16sin^2y+24cosxsiny \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers (i) ke pers(ii) :
$\begin{align} f^2&=9cos^2x+16sin^2y+24cosxsiny \\ &=24sinxcosy + 24cosxsiny \\ &=24(sinxcosy + cosxsiny) \\ f^2&=24sin(x+y) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Nilai maksimum dari , $y=Asinf(x) \Rightarrow y_{max}=|A|$ :
$\begin{align} f^2&=24sin(x+y) \\ f^2&=|24| \\ f^2&=24 \\ f&=\pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6} \\ f_{min}&= - 2\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, nilai minimum dari $3\cos x+4\sin y= - 2\sqrt{6}. \heartsuit $
Nomor 13
Diberitahukan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ 3p , \, $ titik-titik P, Q, dan R masing-masing pada FB, FG, dan AD sehingga BP = GQ = DR = $ p . \, $ Jika $ \beta \, $ adalah irisan bidang yang melalui P, Q, dan R, maka tangen sudut antara bidang $ \beta \, $ dan bidang alas adalah ....
$\spadesuit \, $ Gambar
sbmptn_4_mat_ipa_k586_2014.png
Bidang irisannya adalah bidang yang berwarna hijau. Sudut yang terbentuk antara bidang irisan dan bidang alas adalah sudut XYW. panjang $ XY = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2}3p\sqrt{2} = \frac{3p}{\sqrt{2}} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai tangen sudut XYW
$\begin{align} \tan XYW & = \frac{XW}{XY} \\ & = \frac{3p}{\frac{3p}{\sqrt{2}}} = 3p . \frac{\sqrt{2}}{3p} \\ \tan XYW & = \sqrt{2} \end{align}$
Jadi, nilai tangennya adalah $ \sqrt{2} . \heartsuit $
Nomor 14
Jika $A$ adalah matriks berukuran 2 x 2 dan $\left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] = 5x^2-8x+1 $, maka matriks $A$ yang mungkin adalah ...
$\spadesuit \, $ Misalkan matriks $A=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \, $:
$\begin{align} \left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= 5x^2-8x+1 \\ \left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= 5x^2-8x+1 \\ \left[ \begin{matrix} ax+c & bx+d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= 5x^2-8x+1 \\ ax^2+(b+c)x+d&= 5x^2-8x+1 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Diperoleh $a=5,d=1, \, $ dan $b+c=-8 $
Jadi, kemungkinan matriks $A$: $\, \, A=\left[ \begin{matrix} 5 & -3 \\ -5 & 1 \end{matrix} \right]\, \vee A=\left[ \begin{matrix} 5 & -8 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \, \heartsuit $
Catatan : Mungkin ada kesalahan pada pengetikan pilihan (optionnya).
Nomor 15
Misalkan $A(t)$ menyatakan luas daerah di bawah kurva $y=bx^2 , 0\leq x \leq t$. Jika titik $P(x_0,0)$ sehingga $A(x_0):A(1)=1:8$, maka perbandingan luas trapesium $ABPQ:DCPQ=...$
sbmptn_5_mat_ipa_k586_2014.png
$\spadesuit \, $ Menentukan $A(t)$:
$\begin{align*} A(t)&=\int_0^t bx^2 dx = \left[ \frac{b}{3}x^3 \right]_0^t = \frac{b}{3} (t^3-0^3) =\frac{b}{3} t^3 \\ t=x_0 \rightarrow A(x_0)&=\frac{b}{3} (x_0)^3 \\ t=1 \rightarrow A(1)&=\frac{b}{3} (1)^3 = \frac{b}{3} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $x_0 \, $ dari $A(x_0):A(1)=1:8$
$\begin{align*} \frac{A(x_0)}{A(1)}&=\frac{1}{8} \Rightarrow \frac{\frac{b}{3} (x_0)^3}{\frac{b}{3}}=\frac{1}{8} \Rightarrow x_0^3=\frac{1}{8} \Rightarrow x_0= \frac{1}{2} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik A, Q, dan D dengan menggunakan $y=bx^2$
titik A : $x=-1 \Rightarrow y=b(-1)^2 = b. \,$ Jadi titik A(-1, b)
titik Q : $x=\frac{1}{2} \Rightarrow y=b\left( \frac{1}{2} \right)^2 = b.\,$ Jadi titik Q(1/2, b/4)
titik D : $x=1 \Rightarrow y=b(1)^2 = b.\,$ Jadi titik D(1, b)
sbmptn_6_mat_ipa_k586_2014.png
$\spadesuit \, $ Menentukan perbandingan luas $ABPQ:DCPQ$
$\frac{L.ABPQ}{L.DCPQ}=\frac{\frac{1}{2}(AB+PQ).BP}{\frac{1}{2}(CD+PQ).CP}=\frac{(b+\frac{b}{4}).\frac{3}{2}}{(b+\frac{b}{4}).\frac{1}{2}} = \frac{3}{1} $
Jadi, perbandingan luas $\frac{L.ABPQ}{L.DCPQ}=\frac{3}{1}. \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Diposting oleh Tidak ada komentar:

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 586 tahun 2014 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Tiga pria dan empat wanita, termasuk Sinta, duduk berjajar pada tujuh kursi. Banyaknya susunan agar pria dan wanita duduk selang-seling dengan Sinta selalu di pinggir adalah ....
$\spadesuit \, $ Ada dua kemungkinan agar selang-seling :
sbmptn_2_mat_ipa_k586_2014.png
Keterangan :
*) Kemungkinan I : Sinta ada di pinggir kiri,
pengisian kotak wanita :
kotak pertama ada satu pilihan (hanya Sinta saja), kotak ketiga ada 3 pilihan wanita karena Sinta sudah duduk, kotak kelima ada 2 pilihan wanita karena 2 wanita sudah duduk di kotak sebelumnya, dan sisanya 1 pilihan wanita untuk duduk di kotak ketujuh.
pengisian kotak pria :
kotak kedua ada 3 pilihan pria, kotak keempat ada 2 pilihan pria karena satu sudah duduk di kotak sebelumnya, dan sisanya ada 1 pilihan pria untuk duduk di kotak keenam.
total cara I = 1.3.3.2.2.1.1 = 36
**) Kemungkinan II : Sinta ada di pinggir kanan,
caranya hampir sama dengan kemungkinan I. Sehingga total cara II = 36.
Total cara duduk = cara I + cara II = 36 + 36 = 72.
Jadi, banyak susunan duduk ada 72 cara. $ \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui $ f(x) \, $ dan $ g(x) \, $ memenuhi :
$ f(x) + 3g(x) = x^2 + x + 6 $
$ 2f(x) + 4g(x) = 2x^2 + 4 $
untuk semua $ x . \, $ Jika $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ memenuhi $ f(x) = g(x) \, $ , maka nilai $ x_1x_2 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ PK : $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ , perkalian akarnya $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$\spadesuit \, $ Eliminasi kedua persamaan
$\begin{array}{c|c|cc} f(x) + 3g(x) = x^2 + x + 6 & \times 2 & 2f(x) + 6g(x) = 2x^2 + 2x + 12 & \\ 2f(x) + 4g(x) = 2x^2 + 4 & \times 1 & 2f(x) + 4g(x) = 2x^2 + 4 & - \\ \hline & & 2g(x) = 2x + 8 & \\ & & g(x) = x + 4 & \end{array} $
$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi $ f(x) \, $ dari pers(i)
$\begin{align} f(x) + 3g(x) & = x^2 + x + 6 \\ f(x) + 3(x + 4) & = x^2 + x + 6 \\ f(x) & = x^2 -2x -6 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x_1.x_2 \, $ dari $ f(x) = g(x) $
$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ x^2 -2x -6 & = x + 4 \\ x^2 - 3x -10 & = 0 \\ x_1.x_2 & = \frac{c}{a} = \frac{-10}{1} = -10 \end{align}$
Jadi, nilai $ x_1 x_2 = -10 . \heartsuit$
Nomor 8
Penyelesaian pertidaksamaan $ {}^\frac{1}{x^2+1} \log \left( \frac{x}{2} \right) > 1 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar logaritma
Syarat logaritma , $ {}^a \log b \, $ syaratnya : $ a > 0 , a \neq 1, b > 0 $
Pertidaksamaan :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ memiliki solusi bergantung nilai $ a \, $ (basisnya)
Solusinya :
untuk $ a > 1 , \, $ maka $ f(x) > g(x) \, $ (tanda ketaksamaan tetap)
untuk $ 0 < a < 1 , \, $ maka $ f(x) < g(x) \, $ (tanda ketaksamaan dibalik)
$\clubsuit \, $ Menentukan syarat dari $ {}^\frac{1}{x^2+1} \log \left( \frac{x}{2} \right) $
*) $ \frac{x}{2} > 0 \rightarrow x > 0 $
**) $ \frac{1}{x^2+1} > 0 \rightarrow x \in R \, $ (semua nilai $ x \, $ memenuhi)
Dari kedua syarat di atas, maka syarat yang memenuhi keduanya adalah $ HP1 = \{ x > 0 \} $
dan untuk $ x > 0 \, $ , maka nilai $ \frac{1}{x^2+1} \, $ adalah $ 0 < \frac{1}{x^2+1} < 1 \, $
karena nilai $ 0 < \frac{1}{x^2+1} < 1 \, $ (basisnya) , maka tanda ketaksamaan dibalik.
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaannya
$\begin{align} {}^\frac{1}{x^2+1} \log \left( \frac{x}{2} \right) & > 1 \\ {}^\frac{1}{x^2+1} \log \left( \frac{x}{2} \right) & > {}^\frac{1}{x^2+1} \log \left( \frac{1}{x^2+1} \right) \\ \frac{x}{2} & < \frac{1}{x^2+1} \\ \frac{x}{2} - \frac{1}{x^2+1} & < 0 \\ \frac{x(x^2+1) - 2}{2(x^2+1)} & < 0 \\ \frac{x^3 + x - 2}{2(x^2+1)} & < 0 \\ \frac{(x-1)(x^2+x+2)}{2(x^2+1)} & < 0 \\ \frac{(x-1)}{2} & < 0 \\ x-1 & < 0 \\ x & < 1 \, \, \, \, \text{....(HP2)} \end{align}$
Sehingga solusinya :
HP = HP1 $ \cap $ HP2 = $ \{ 0 < x < 1 \} $
Catatan: bentuk $ x^2+x+2 \, $ dan $ x^2+1 \, $ adalah definit positif (syaratnya : $ D <0 , \, $ dan $ a > 0 \, $ ) , sehingga bisa dicoret karena dianggap konstanta yang nilainya selalu positif.
Jadi, penyelesaiannya adalah $ HP = \{ 0 < x < 1 \} . \heartsuit $
Nomor 9
sbmptn_1_mat_ipa_k586_2014.png
Diberikan segi-4 sembarang ABCD dengan X dan Y adalah masing-masing titik tengah diagonal AC dan BD. Jika $ u = \vec{AB} , \, v = \vec{AC} , \, w = \vec{AD} , \, $ maka $ \vec{XY} = .... $
$\clubsuit \, $ Gambar
sbmptn_3_mat_ipa_k586_2014.png
$\clubsuit \, $ Menentukan vektor $ \vec{AY} \, $ pada gambar II
$\begin{align} \vec{AY} & = \frac{|DY|\vec{AB} + |YB|\vec{AD} }{ |DY| + |YB| } \\ & = \frac{1.u + 1.w }{ 1 + 1 } \\ & = \frac{u + w }{ 2} \\ \vec{AY} & = \frac{1}{2}u + \frac{1}{2}w \end{align}$
vektor $ \vec{AX} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}v $
sehingga vektor $ \vec{XA} = - \vec{AX} = -\frac{1}{2}v $
$\clubsuit \, $ Menentukan vektor $ \vec{XY} \, $ dari gambar I pada segitiga AXY
$\begin{align} \vec{XY} & = \vec{XA} + \vec{AY} \\ & = -\frac{1}{2}v + ( \frac{1}{2}u + \frac{1}{2}w ) \\ \vec{XY} & = \frac{1}{2}u -\frac{1}{2}v + \frac{1}{2}w \end{align}$
Jadi, vektor $ \vec{XY} = \frac{1}{2}u -\frac{1}{2}v + \frac{1}{2}w . \heartsuit$
Nomor 10
Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis $x=-2$, dan garis singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis $4x+y=4$. Titik puncak parabola tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Misalkan persamaan fungsinya , $y=f(x)=ax^2+bx+c$. Dengan titik puncak $(x_p,y_p) \, \,$ : $x_p=-\frac{b}{2a}$ dan $y_p=f(x_p)$ , serta $f^\prime(x)=2ax+b$.
$\spadesuit \, $ Sumbu simetrinya $x=-2 \,$ dengan $ x=x_p$ :
$x=x_p \Leftrightarrow -2=-\frac{b}{2a} \Leftrightarrow b=4a \, $ ...pers(i)
$\spadesuit \, $ Garis singgung di (0,1) , artinya titik (0,1) dilalui parabola, substitusi (0,1) ke persamaan parabola:
$y=ax^2+bx+c \Leftrightarrow 1=a.0^2+b.0+c \Leftrightarrow c=1$
sehingga persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=ax^2+bx+1$
$\spadesuit \, $ Gradien garis singgung sejajar dengan garis $4x+y=4$, artinya gradiennya sama dengan gradien garis $4x+y=4\, $ yaitu $m=-4$.
$\spadesuit \, $ Menentukan gradien garis singgung di titik (0,1):
$m=f^\prime(x) \Leftrightarrow -4=f^\prime(0) \Leftrightarrow -4=2a.0+b \Leftrightarrow b=-4.$
Pers(i) : $b=4a \Leftrightarrow -4=4a \Leftrightarrow a=-1$ .
Persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=-x^2-4x+1$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik puncak:
$x_p=-2 \Rightarrow y_p=f(x_p)=f(-2)=-(-2)^2-4.(-2)+1=5$.
Jadi, titik puncaknya adalah $(x_p,y_p)=(-2,5). \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Diposting oleh Tidak ada komentar:

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 586 tahun 2014


Nomor 1
Jika $ f(x+y) = f(x) + f(y) + x^2y + xy^2 \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{x} = 3 \, , $ maka $ f^\prime (0) = .... $
$\clubsuit \, $ Menghitung nilai limitnya
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{x} & = 3 \\ \frac{f(0)}{0} & = 3 \\ \infty & \neq 3 \end{align}$
Setelah disubstitusi $ x = 0 \, $ diperoleh nilai limitnya tidak sama dengan 3. Agar nilai limitnya sama dengan 3, maka bentuk limitnya harus bentuk tak tentu ( $ \frac{0}{0} $ ) sehingga bisa diproses lagi salah satunya dengan turunan.
$\clubsuit \, $ Konsep penerapan turunan pada limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \rightarrow \displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f^ \prime (x)}{g^\prime (x)} $
sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan limit dengan turunan
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{x} & = 3 \, \, \, \text{(pembilang dan penyebut diturunkan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f^\prime (x)}{1} & = 3 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } f^\prime (x) & = 3 \\ f^\prime (0) & = 3 \end{align}$
Jadi, nilai $ f^\prime (0) = 3 . \heartsuit $
Catatan : Bentuk fungsi $ f(x+y) = f(x) + f(y) + x^2y + xy^2 \, $ tidak berpengaruh pada soal ini.
Nomor 2
Misalkan suatu lingkaran dan persegi masing-masing mempunyai luas $ L \, $ dan $ P \, . $ Jika keliling keduanya sama, maka $ L = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan jari-jari dan panjang sisi dari luasnya
Lingkaran , luas = $ L \, $
$\begin{align} \text{ Luas lingkaran } & = L \\ \pi r^2 & = L \\ r^2 & = \frac{L}{\pi} \\ r & = \sqrt{\frac{L}{\pi}} \end{align}$
Persegi, luas = $ P \, $
$\begin{align} \text{ Luas persegi } & = P \\ s^2 & = P \\ s & = \sqrt{P} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hubungan $ L \, $ dan $ P $
$\begin{align} \text{ Keliling lingkaran } & = \text{ Keliling persegi } \\ 2\pi r & = 4 s \\ 2\pi \sqrt{\frac{L}{\pi}} & = 4 \sqrt{P} \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \pi \sqrt{\frac{L}{\pi}} & = 2 \sqrt{P} \, \, \, \text{(kuadratkan kedua ruas)} \\ \pi ^2 . \frac{L}{\pi} & = 4 . P \\ \pi . L & = 4P \\ L & = \frac{4P}{\pi} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ L = \frac{4P}{\pi} . \heartsuit $
Nomor 3
Agar $ a, \, 4a^2 - 2, \, $ dan $ 8a^2 + 6 \, $ masing-masing merupakan suku ke-3, suku ke-5, dan suku ke-9 suatu barisan aritmetika, maka beda barisan tersebut adalah ....
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika, misalkan suku pertamanya $ p \, $ (agar tidak rancu dengan $ a\, $ yang diketahui pada soal) dan bedanya $ b \, $ .
Rumus suku ke-$n\,$ : $ u_n = u_1 + (n-1) b \, \rightarrow u_n = p + (n-1)b $
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan dengan $ u_n = p + (n-1)b $
$ u_3 = a \rightarrow p + 2b = a \, $ ....pers(i)
$ u_5 = 4a^2 - 2 \rightarrow p + 4b = 4a^2 - 2 \, $ ....pers(ii)
$ u_9 = 8a^2 + 6 \rightarrow p + 8b = 8a^2 + 6 \, $ ....pers(iii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} p + 4b = 4a^2 - 2 & \\ p + 2b = a & - \\ \hline 2b = 4a^2 - a - 2 \end{array} $
diperoleh $ 2b = 4a^2 - a - 2 \rightarrow b = \frac{4a^2 - a - 2}{2} \, $ ....pers(iv)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(ii) dan pers(iii)
$\begin{array}{cc} p + 8b = 8a^2 + 6 & \\ p + 4b = 4a^2 - 2 & \\ \hline 4b = 4a^2 + 8 \end{array} $
diperoleh $ 4b = 4a^2 + 8 \, $ ....pers(v)
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iv) ke pers(v)
$\begin{align} 4b & = 4a^2 + 8 \\ 4. \left( \frac{4a^2 - a - 2}{2} \right) & = 4a^2 + 8 \\ 2 (4a^2 - a - 2) & = 4a^2 + 8 \\ 4a^2 -2a - 12 & = 0 \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 2a^2 - a - 6 & = 0 \\ (2a + 3) (a - 2) & = 0 \\ a = -\frac{3}{2} \vee a & = 2 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi nilai $ a \, $ ke pers(iv)
$\begin{align} a = -\frac{3}{2} \rightarrow b & = \frac{4a^2 - a - 2}{2} \\ b & = \frac{4.(-\frac{3}{2})^2 - (-\frac{3}{2}) - 2}{2} \\ b & = \frac{4.(\frac{9}{4}) + (\frac{3}{2}) - 2}{2} \\ b & = \frac{17}{4} \\ a = 2 \rightarrow b & = \frac{4a^2 - a - 2}{2} \\ b & = \frac{4.(2)^2 - 2 - 2}{2} \\ b & = \frac{12}{2} \\ b & = 6 \end{align}$
Jadi, bedanya adalah $ b = \frac{17}{4} \vee b = 6 . \heartsuit $
Nomor 4
Jika $ f(x) = 2x + \sin 2x \, $ untuk $ -\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4} , \, $ maka $ f^\prime (x) = .... $
(A) $ 4 \displaystyle \sum_{i=0}^\infty ( \tan x )^i $
(B) $ 4 ( 1 - \cos ^2 x ) $
(C) $ 4 \displaystyle \sum_{i=0}^\infty (-1)^i ( \tan x )^{2i} $
(D) $ 4 \displaystyle \sum_{i=0}^\infty ( - \sin x )^{2i} $
(E) $ 4 \cos 2x $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
turunan : $ y = \sin [g(x)] \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) \cos [g(x)] $
Trigonometri : $ \cos 2x = 2\cos ^2 x - 1 $
$ 1 + \tan ^2 x = \sec ^2 x \, $ dan $ \cos x = \frac{1}{\sec x} $
Deret tak hingga : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
sehingga , $ \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = 1 + (-x^2) + x^4 + (-x^6) + .... $
Notasi sigma : $ \displaystyle \sum_{i=0}^\infty a^i = a^0 + a^1 + a^2 + a^3 + a^4 + ..... $
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan dan memodifikasinya
$\begin{align} f(x) & = 2x + \sin 2x \\ f^\prime (x) & = 2 + 2 \cos 2x \\ f^\prime (x) & = 2(1 + \cos 2x ) \\ & = 2(1 + 2\cos ^2 x \, - 1 ) \\ & = 4\cos ^2 x \\ & = 4. \frac{1}{\sec ^2 x} \\ & = 4. \frac{1}{1 + \tan ^2 x} \\ & = 4. \frac{1}{1 - (- \tan ^2 x) } \\ & = 4 ( 1 + (-\tan ^2 x) + (\tan ^4 x ) + (-\tan ^6 x ) + .... \\ & = 4 ( 1 -\tan ^2 x + \tan ^4 x -\tan ^6 x + .... \\ & = 4 ( (-1)^0(\tan x)^{2.0} + (-1)^1(\tan x)^{2.1} + (-1)^2(\tan x)^{2.2} + .... \\ & = 4 \displaystyle \sum_{i=0}^\infty (-1)^i ( \tan x )^{2i} \end{align}$
Jadi, turunannya adalah $ f^\prime (x) = 4\displaystyle \sum_{i=0}^\infty (-1)^i ( \tan x )^{2i} . \heartsuit $
Nomor 5
Banyaknya akar real $f(t)=t^9-t$ adalah ... buah.
$\clubsuit \, $ Bentuk pemfaktoran :
$p^2-q^2=(p-q)(p+q)\, $ atau $\, p^n-1=(p^{n/2}-1)(p^{n/2}+1)$
dengan $n$ genap
$\clubsuit \, $ Untuk menentukan akar-akarnya, maka $f(t)=0$
$\begin{align} f(t)&=0 \\ t^9-t&=0 \\ t(t^8-1)&=0 \\ t(t^4-1)(t^4+1)&=0 \\ t(t^2-1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \\ t(t-1)(t+1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Sehingga akar-akarnya:
$t=0,t=1,t=-1$ dan $t^2=-1$ (tidak real) serta $t^4=-1$ (tidak real).
Jadi, akar-akar realnya ada tiga yaitu 0, 1, dan -1. $ \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)