dunia informa

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 586 tahun 2014 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Diketahui

$P \,$ dan

$Q \,$ suatu polinomial sehingga

$P(x) = Q(x)(a^2x^3+(a-1)x+2a). \,$ Jika

$P(x) \,$ dan

$Q(x) \,$ masing-masing memberikan sisa 9 dan 1 apabila masing-masing dibagi

$x-1 , \,$ maka

$P(x)Q(x)(a^2x^3+(a-1)x+2a) \,$ dibagi

$x - 1 \,$ bersisa ....

$\clubsuit \,$ Teorema sisa :

$\frac{f(x)}{x-a} \Rightarrow \text{sisa} = f(a)$
artinya : substitusi

$x=a\,$ ke

$f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya
Suatu fungsi habis dibagi, artinya sisanya = 0 .
Pembagian Polinomial :

$P(x) : (x-1), \,$ sisa = 9 , artinya

$P(1) = 9 \,$ ....pers(i)

$Q(x) : (x-1), \,$ sisa = 1 , artinya

$Q(1) = 1 \,$ ....pers(ii)

$\clubsuit \,$ Substitusi

$x = 1 \,$ ke

$P(x) = Q(x)(a^2x^3+(a-1)x+2a)$

$\begin{align} x = 1 \rightarrow P(x) & = Q(x)(a^2x^3+(a-1)x+2a) \\ P(1) & = Q(1)(a^2.1^3+(a-1).1+2a) \\ 9 & = 1.(a^2+(a-1)+2a) \\ (a^2+(a-1)+2a) & = 9 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Sisa pembagian

$P(x)Q(x)(a^2x^3+(a-1)x+2a) \,$ dengan

$x - 1$

$P(x)Q(x)(a^2x^3+(a-1)x+2a) : x - 1$
sisanya =

$P(1)Q(1)(a^2.1^3+(a-1).1+2a)$

$\begin{align} \text{Sisa } \, & = P(1)Q(1)(a^2.1^3+(a-1).1+2a) \\ & = 9.1.(a^2+(a-1)+2a) \\ & = 9.1.9 \\ \text{Sisa } \, & = 81 \end{align}$
Jadi, sisa pembagiannya adalah 81.

$\heartsuit$

Nomor 12

Jika

$3\sin x+4\cos y=5$ , maka nilai minimum

$3\cos x+4\sin y$ adalah ...

$\spadesuit \,$ Kuadratkan persamaan

$3sinx+4cosy=5$ :

$\begin{align} (3sinx+4cosy)^2&=5^2 \\ 9sin^2x+16cos^2y+24sinxcosy&=25 \, \, (sin^2z+cos^2z=1 )\\ 9(1-cos^2x)+16(1-sin^2y)+24sinxcosy&=25 \\ 9-9cos^2x+16-16sin^2y+24sinxcosy&=25 \\ 9cos^2x+16sin^2y&=24sinxcosy \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Misalkan

$f=3cosx+4siny$ , dikuadratkan:

$\begin{align} f^2&=(3cosx+4siny )^2 \\ f^2&=9cos^2x+16sin^2y+24cosxsiny \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Substitusi pers (i) ke pers(ii) :

$\begin{align} f^2&=9cos^2x+16sin^2y+24cosxsiny \\ &=24sinxcosy + 24cosxsiny \\ &=24(sinxcosy + cosxsiny) \\ f^2&=24sin(x+y) \end{align}$

$\spadesuit \,$ Nilai maksimum dari ,

$y=Asinf(x) \Rightarrow y_{max}=|A|$ :

$\begin{align} f^2&=24sin(x+y) \\ f^2&=|24| \\ f^2&=24 \\ f&=\pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6} \\ f_{min}&= - 2\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, nilai minimum dari

$3\cos x+4\sin y= - 2\sqrt{6}. \heartsuit$

Nomor 13

Diberitahukan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk

$3p , \,$ titik-titik P, Q, dan R masing-masing pada FB, FG, dan AD sehingga BP = GQ = DR =

$p . \,$ Jika

$\beta \,$ adalah irisan bidang yang melalui P, Q, dan R, maka tangen sudut antara bidang

$\beta \,$ dan bidang alas adalah ....

$\spadesuit \,$ Gambar

Bidang irisannya adalah bidang yang berwarna hijau. Sudut yang terbentuk antara bidang irisan dan bidang alas adalah sudut XYW. panjang

$XY = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2}3p\sqrt{2} = \frac{3p}{\sqrt{2}}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai tangen sudut XYW

$\begin{align} \tan XYW & = \frac{XW}{XY} \\ & = \frac{3p}{\frac{3p}{\sqrt{2}}} = 3p . \frac{\sqrt{2}}{3p} \\ \tan XYW & = \sqrt{2} \end{align}$
Jadi, nilai tangennya adalah

$\sqrt{2} . \heartsuit$

Nomor 14

Jika

$A$ adalah matriks berukuran 2 x 2 dan

$\left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] = 5x^2-8x+1$ , maka matriks

$A$ yang mungkin adalah ...

$\spadesuit \,$ Misalkan matriks

$A=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \,$ :

$\begin{align} \left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= 5x^2-8x+1 \\ \left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= 5x^2-8x+1 \\ \left[ \begin{matrix} ax+c & bx+d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= 5x^2-8x+1 \\ ax^2+(b+c)x+d&= 5x^2-8x+1 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Diperoleh

$a=5,d=1, \,$ dan

$b+c=-8$
Jadi, kemungkinan matriks

$A$ :

$\, \, A=\left[ \begin{matrix} 5 & -3 \\ -5 & 1 \end{matrix} \right]\, \vee A=\left[ \begin{matrix} 5 & -8 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \, \heartsuit$
Catatan : Mungkin ada kesalahan pada pengetikan pilihan (optionnya).

Nomor 15

Misalkan

$A(t)$ menyatakan luas daerah di bawah kurva

$y=bx^2 , 0\leq x \leq t$ . Jika titik

$P(x_0,0)$ sehingga

$A(x_0):A(1)=1:8$ , maka perbandingan luas trapesium

$ABPQ:DCPQ=...$

$\spadesuit \,$ Menentukan

$A(t)$ :

$\begin{align*} A(t)&=\int_0^t bx^2 dx = \left[ \frac{b}{3}x^3 \right]_0^t = \frac{b}{3} (t^3-0^3) =\frac{b}{3} t^3 \\ t=x_0 \rightarrow A(x_0)&=\frac{b}{3} (x_0)^3 \\ t=1 \rightarrow A(1)&=\frac{b}{3} (1)^3 = \frac{b}{3} \end{align*}$

$\spadesuit \,$ Menentukan

$x_0 \,$ dari

$A(x_0):A(1)=1:8$

$\begin{align*} \frac{A(x_0)}{A(1)}&=\frac{1}{8} \Rightarrow \frac{\frac{b}{3} (x_0)^3}{\frac{b}{3}}=\frac{1}{8} \Rightarrow x_0^3=\frac{1}{8} \Rightarrow x_0= \frac{1}{2} \end{align*}$

$\spadesuit \,$ Menentukan titik A, Q, dan D dengan menggunakan

$y=bx^2$
titik A :

$x=-1 \Rightarrow y=b(-1)^2 = b. \,$ Jadi titik A(-1, b)
titik Q :

$x=\frac{1}{2} \Rightarrow y=b\left( \frac{1}{2} \right)^2 = b.\,$ Jadi titik Q(1/2, b/4)
titik D :

$x=1 \Rightarrow y=b(1)^2 = b.\,$ Jadi titik D(1, b)

$\spadesuit \,$ Menentukan perbandingan luas

$ABPQ:DCPQ$

$\frac{L.ABPQ}{L.DCPQ}=\frac{\frac{1}{2}(AB+PQ).BP}{\frac{1}{2}(CD+PQ).CP}=\frac{(b+\frac{b}{4}).\frac{3}{2}}{(b+\frac{b}{4}).\frac{1}{2}} = \frac{3}{1}$
Jadi, perbandingan luas

$\frac{L.ABPQ}{L.DCPQ}=\frac{3}{1}. \, \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 586 tahun 2014 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Tiga pria dan empat wanita, termasuk Sinta, duduk berjajar pada tujuh kursi. Banyaknya susunan agar pria dan wanita duduk selang-seling dengan Sinta selalu di pinggir adalah ....

$\spadesuit \,$ Ada dua kemungkinan agar selang-seling :

Keterangan :
*) Kemungkinan I : Sinta ada di pinggir kiri,
pengisian kotak wanita :
kotak pertama ada satu pilihan (hanya Sinta saja), kotak ketiga ada 3 pilihan wanita karena Sinta sudah duduk, kotak kelima ada 2 pilihan wanita karena 2 wanita sudah duduk di kotak sebelumnya, dan sisanya 1 pilihan wanita untuk duduk di kotak ketujuh.
pengisian kotak pria :
kotak kedua ada 3 pilihan pria, kotak keempat ada 2 pilihan pria karena satu sudah duduk di kotak sebelumnya, dan sisanya ada 1 pilihan pria untuk duduk di kotak keenam.
total cara I = 1.3.3.2.2.1.1 = 36
**) Kemungkinan II : Sinta ada di pinggir kanan,
caranya hampir sama dengan kemungkinan I. Sehingga total cara II = 36.
Total cara duduk = cara I + cara II = 36 + 36 = 72.
Jadi, banyak susunan duduk ada 72 cara.

$\heartsuit$

Nomor 7

Diketahui

$f(x) \,$ dan

$g(x) \,$ memenuhi :

$f(x) + 3g(x) = x^2 + x + 6$

$2f(x) + 4g(x) = 2x^2 + 4$
untuk semua

$x . \,$ Jika

$x_1 \,$ dan

$x_2 \,$ memenuhi

$f(x) = g(x) \,$ , maka nilai

$x_1x_2 \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ PK :

$ax^2 + bx + c = 0 \,$ , perkalian akarnya

$x_1.x_2 = \frac{c}{a}$

$\spadesuit \,$ Eliminasi kedua persamaan

$\begin{array}{c|c|cc} f(x) + 3g(x) = x^2 + x + 6 & \times 2 & 2f(x) + 6g(x) = 2x^2 + 2x + 12 & \\ 2f(x) + 4g(x) = 2x^2 + 4 & \times 1 & 2f(x) + 4g(x) = 2x^2 + 4 & - \\ \hline & & 2g(x) = 2x + 8 & \\ & & g(x) = x + 4 & \end{array}$

$\spadesuit \,$ Menentukan fungsi

$f(x) \,$ dari pers(i)

$\begin{align} f(x) + 3g(x) & = x^2 + x + 6 \\ f(x) + 3(x + 4) & = x^2 + x + 6 \\ f(x) & = x^2 -2x -6 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$x_1.x_2 \,$ dari

$f(x) = g(x)$

$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ x^2 -2x -6 & = x + 4 \\ x^2 - 3x -10 & = 0 \\ x_1.x_2 & = \frac{c}{a} = \frac{-10}{1} = -10 \end{align}$
Jadi, nilai

$x_1 x_2 = -10 . \heartsuit$

Nomor 8

Penyelesaian pertidaksamaan

${}^\frac{1}{x^2+1} \log \left( \frac{x}{2} \right) > 1 \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep dasar logaritma
Syarat logaritma ,

${}^a \log b \,$ syaratnya :

$a > 0 , a \neq 1, b > 0$
Pertidaksamaan :

${}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \,$ memiliki solusi bergantung nilai

$a \,$ (basisnya)
Solusinya :
untuk

$a > 1 , \,$ maka

$f(x) > g(x) \,$ (tanda ketaksamaan tetap)
untuk

$0 < a < 1 , \,$ maka

$f(x) < g(x) \,$ (tanda ketaksamaan dibalik)

$\clubsuit \,$ Menentukan syarat dari

${}^\frac{1}{x^2+1} \log \left( \frac{x}{2} \right)$
*)

$\frac{x}{2} > 0 \rightarrow x > 0$
**)

$\frac{1}{x^2+1} > 0 \rightarrow x \in R \,$ (semua nilai

$x \,$ memenuhi)
Dari kedua syarat di atas, maka syarat yang memenuhi keduanya adalah

$HP1 = \{ x > 0 \}$
dan untuk

$x > 0 \,$ , maka nilai

$\frac{1}{x^2+1} \,$ adalah

$0 < \frac{1}{x^2+1} < 1 \,$
karena nilai

$0 < \frac{1}{x^2+1} < 1 \,$ (basisnya) , maka tanda ketaksamaan dibalik.

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan pertidaksamaannya

$\begin{align} {}^\frac{1}{x^2+1} \log \left( \frac{x}{2} \right) & > 1 \\ {}^\frac{1}{x^2+1} \log \left( \frac{x}{2} \right) & > {}^\frac{1}{x^2+1} \log \left( \frac{1}{x^2+1} \right) \\ \frac{x}{2} & < \frac{1}{x^2+1} \\ \frac{x}{2} - \frac{1}{x^2+1} & < 0 \\ \frac{x(x^2+1) - 2}{2(x^2+1)} & < 0 \\ \frac{x^3 + x - 2}{2(x^2+1)} & < 0 \\ \frac{(x-1)(x^2+x+2)}{2(x^2+1)} & < 0 \\ \frac{(x-1)}{2} & < 0 \\ x-1 & < 0 \\ x & < 1 \, \, \, \, \text{....(HP2)} \end{align}$
Sehingga solusinya :
HP = HP1

$\cap$ HP2 =

$\{ 0 < x < 1 \}$
Catatan: bentuk

$x^2+x+2 \,$ dan

$x^2+1 \,$ adalah definit positif (syaratnya :

$D <0 , \,$ dan

$a > 0 \,$ ) , sehingga bisa dicoret karena dianggap konstanta yang nilainya selalu positif.
Jadi, penyelesaiannya adalah

$HP = \{ 0 < x < 1 \} . \heartsuit$

Nomor 9

Diberikan segi-4 sembarang ABCD dengan X dan Y adalah masing-masing titik tengah diagonal AC dan BD. Jika

$u = \vec{AB} , \, v = \vec{AC} , \, w = \vec{AD} , \,$ maka

$\vec{XY} = ....$

$\clubsuit \,$ Gambar

$\clubsuit \,$ Menentukan vektor

$\vec{AY} \,$ pada gambar II

$\begin{align} \vec{AY} & = \frac{|DY|\vec{AB} + |YB|\vec{AD} }{ |DY| + |YB| } \\ & = \frac{1.u + 1.w }{ 1 + 1 } \\ & = \frac{u + w }{ 2} \\ \vec{AY} & = \frac{1}{2}u + \frac{1}{2}w \end{align}$
vektor

$\vec{AX} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}v$
sehingga vektor

$\vec{XA} = - \vec{AX} = -\frac{1}{2}v$

$\clubsuit \,$ Menentukan vektor

$\vec{XY} \,$ dari gambar I pada segitiga AXY

$\begin{align} \vec{XY} & = \vec{XA} + \vec{AY} \\ & = -\frac{1}{2}v + ( \frac{1}{2}u + \frac{1}{2}w ) \\ \vec{XY} & = \frac{1}{2}u -\frac{1}{2}v + \frac{1}{2}w \end{align}$
Jadi, vektor

$\vec{XY} = \frac{1}{2}u -\frac{1}{2}v + \frac{1}{2}w . \heartsuit$

Nomor 10

Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis

$x=-2$ , dan garis singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis

$4x+y=4$ . Titik puncak parabola tersebut adalah ...

$\spadesuit \,$ Misalkan persamaan fungsinya ,

$y=f(x)=ax^2+bx+c$ . Dengan titik puncak

$(x_p,y_p) \, \,$ :

$x_p=-\frac{b}{2a}$ dan

$y_p=f(x_p)$ , serta

$f^\prime(x)=2ax+b$ .

$\spadesuit \,$ Sumbu simetrinya

$x=-2 \,$ dengan

$x=x_p$ :

$x=x_p \Leftrightarrow -2=-\frac{b}{2a} \Leftrightarrow b=4a \,$ ...pers(i)

$\spadesuit \,$ Garis singgung di (0,1) , artinya titik (0,1) dilalui parabola, substitusi (0,1) ke persamaan parabola:

$y=ax^2+bx+c \Leftrightarrow 1=a.0^2+b.0+c \Leftrightarrow c=1$
sehingga persamaan parabolanya menjadi :

$f(x)=ax^2+bx+1$

$\spadesuit \,$ Gradien garis singgung sejajar dengan garis

$4x+y=4$ , artinya gradiennya sama dengan gradien garis

$4x+y=4\,$ yaitu

$m=-4$ .

$\spadesuit \,$ Menentukan gradien garis singgung di titik (0,1):

$m=f^\prime(x) \Leftrightarrow -4=f^\prime(0) \Leftrightarrow -4=2a.0+b \Leftrightarrow b=-4.$
Pers(i) :

$b=4a \Leftrightarrow -4=4a \Leftrightarrow a=-1$ .
Persamaan parabolanya menjadi :

$f(x)=-x^2-4x+1$

$\spadesuit \,$ Menentukan titik puncak:

$x_p=-2 \Rightarrow y_p=f(x_p)=f(-2)=-(-2)^2-4.(-2)+1=5$ .
Jadi, titik puncaknya adalah

$(x_p,y_p)=(-2,5). \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 586 tahun 2014

Nomor 1

Jika

$f(x+y) = f(x) + f(y) + x^2y + xy^2 \,$ dan

$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{x} = 3 \, ,$ maka

$f^\prime (0) = ....$

$\clubsuit \,$ Menghitung nilai limitnya

$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{x} & = 3 \\ \frac{f(0)}{0} & = 3 \\ \infty & \neq 3 \end{align}$
Setelah disubstitusi

$x = 0 \,$ diperoleh nilai limitnya tidak sama dengan 3. Agar nilai limitnya sama dengan 3, maka bentuk limitnya harus bentuk tak tentu (

$\frac{0}{0}$ ) sehingga bisa diproses lagi salah satunya dengan turunan.

$\clubsuit \,$ Konsep penerapan turunan pada limit :

$\displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \rightarrow \displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f^ \prime (x)}{g^\prime (x)}$
sampai hasilnya tidak

$\frac{0}{0}$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan limit dengan turunan

$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{x} & = 3 \, \, \, \text{(pembilang dan penyebut diturunkan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f^\prime (x)}{1} & = 3 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } f^\prime (x) & = 3 \\ f^\prime (0) & = 3 \end{align}$
Jadi, nilai

$f^\prime (0) = 3 . \heartsuit$
Catatan : Bentuk fungsi

$f(x+y) = f(x) + f(y) + x^2y + xy^2 \,$ tidak berpengaruh pada soal ini.

Nomor 2

Misalkan suatu lingkaran dan persegi masing-masing mempunyai luas

$L \,$ dan

$P \, .$ Jika keliling keduanya sama, maka

$L = ....$

$\spadesuit \,$ Menentukan jari-jari dan panjang sisi dari luasnya
Lingkaran , luas =

$L \,$

$\begin{align} \text{ Luas lingkaran } & = L \\ \pi r^2 & = L \\ r^2 & = \frac{L}{\pi} \\ r & = \sqrt{\frac{L}{\pi}} \end{align}$
Persegi, luas =

$P \,$

$\begin{align} \text{ Luas persegi } & = P \\ s^2 & = P \\ s & = \sqrt{P} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan hubungan

$L \,$ dan

$P$

$\begin{align} \text{ Keliling lingkaran } & = \text{ Keliling persegi } \\ 2\pi r & = 4 s \\ 2\pi \sqrt{\frac{L}{\pi}} & = 4 \sqrt{P} \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \pi \sqrt{\frac{L}{\pi}} & = 2 \sqrt{P} \, \, \, \text{(kuadratkan kedua ruas)} \\ \pi ^2 . \frac{L}{\pi} & = 4 . P \\ \pi . L & = 4P \\ L & = \frac{4P}{\pi} \end{align}$
Jadi, diperoleh

$L = \frac{4P}{\pi} . \heartsuit$

Nomor 3

Agar

$a, \, 4a^2 - 2, \,$ dan

$8a^2 + 6 \,$ masing-masing merupakan suku ke-3, suku ke-5, dan suku ke-9 suatu barisan aritmetika, maka beda barisan tersebut adalah ....

$\clubsuit \,$ Barisan aritmetika, misalkan suku pertamanya

$p \,$ (agar tidak rancu dengan

$a\,$ yang diketahui pada soal) dan bedanya

$b \,$ .
Rumus suku ke-

$n\,$ :

$u_n = u_1 + (n-1) b \, \rightarrow u_n = p + (n-1)b$

$\clubsuit \,$ Menyusun persamaan dengan

$u_n = p + (n-1)b$

$u_3 = a \rightarrow p + 2b = a \,$ ....pers(i)

$u_5 = 4a^2 - 2 \rightarrow p + 4b = 4a^2 - 2 \,$ ....pers(ii)

$u_9 = 8a^2 + 6 \rightarrow p + 8b = 8a^2 + 6 \,$ ....pers(iii)

$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)

$\begin{array}{cc} p + 4b = 4a^2 - 2 & \\ p + 2b = a & - \\ \hline 2b = 4a^2 - a - 2 \end{array}$
diperoleh

$2b = 4a^2 - a - 2 \rightarrow b = \frac{4a^2 - a - 2}{2} \,$ ....pers(iv)

$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(ii) dan pers(iii)

$\begin{array}{cc} p + 8b = 8a^2 + 6 & \\ p + 4b = 4a^2 - 2 & \\ \hline 4b = 4a^2 + 8 \end{array}$
diperoleh

$4b = 4a^2 + 8 \,$ ....pers(v)

$\clubsuit \,$ Substitusi pers(iv) ke pers(v)

$\begin{align} 4b & = 4a^2 + 8 \\ 4. \left( \frac{4a^2 - a - 2}{2} \right) & = 4a^2 + 8 \\ 2 (4a^2 - a - 2) & = 4a^2 + 8 \\ 4a^2 -2a - 12 & = 0 \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 2a^2 - a - 6 & = 0 \\ (2a + 3) (a - 2) & = 0 \\ a = -\frac{3}{2} \vee a & = 2 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Substitusi nilai

$a \,$ ke pers(iv)

$\begin{align} a = -\frac{3}{2} \rightarrow b & = \frac{4a^2 - a - 2}{2} \\ b & = \frac{4.(-\frac{3}{2})^2 - (-\frac{3}{2}) - 2}{2} \\ b & = \frac{4.(\frac{9}{4}) + (\frac{3}{2}) - 2}{2} \\ b & = \frac{17}{4} \\ a = 2 \rightarrow b & = \frac{4a^2 - a - 2}{2} \\ b & = \frac{4.(2)^2 - 2 - 2}{2} \\ b & = \frac{12}{2} \\ b & = 6 \end{align}$
Jadi, bedanya adalah

$b = \frac{17}{4} \vee b = 6 . \heartsuit$

Nomor 4

Jika

$f(x) = 2x + \sin 2x \,$ untuk

$-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4} , \,$ maka

$f^\prime (x) = ....$
(A)

$4 \displaystyle \sum_{i=0}^\infty ( \tan x )^i$
(B)

$4 ( 1 - \cos ^2 x )$
(C)

$4 \displaystyle \sum_{i=0}^\infty (-1)^i ( \tan x )^{2i}$
(D)

$4 \displaystyle \sum_{i=0}^\infty ( - \sin x )^{2i}$
(E)

$4 \cos 2x$

$\spadesuit \,$ Konsep dasar
turunan :

$y = \sin [g(x)] \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) \cos [g(x)]$
Trigonometri :

$\cos 2x = 2\cos ^2 x - 1$

$1 + \tan ^2 x = \sec ^2 x \,$ dan

$\cos x = \frac{1}{\sec x}$
Deret tak hingga :

$s_\infty = \frac{a}{1-r}$
sehingga ,

$\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = 1 + (-x^2) + x^4 + (-x^6) + ....$
Notasi sigma :

$\displaystyle \sum_{i=0}^\infty a^i = a^0 + a^1 + a^2 + a^3 + a^4 + .....$

$\spadesuit \,$ Menentukan turunan dan memodifikasinya

$\begin{align} f(x) & = 2x + \sin 2x \\ f^\prime (x) & = 2 + 2 \cos 2x \\ f^\prime (x) & = 2(1 + \cos 2x ) \\ & = 2(1 + 2\cos ^2 x \, - 1 ) \\ & = 4\cos ^2 x \\ & = 4. \frac{1}{\sec ^2 x} \\ & = 4. \frac{1}{1 + \tan ^2 x} \\ & = 4. \frac{1}{1 - (- \tan ^2 x) } \\ & = 4 ( 1 + (-\tan ^2 x) + (\tan ^4 x ) + (-\tan ^6 x ) + .... \\ & = 4 ( 1 -\tan ^2 x + \tan ^4 x -\tan ^6 x + .... \\ & = 4 ( (-1)^0(\tan x)^{2.0} + (-1)^1(\tan x)^{2.1} + (-1)^2(\tan x)^{2.2} + .... \\ & = 4 \displaystyle \sum_{i=0}^\infty (-1)^i ( \tan x )^{2i} \end{align}$
Jadi, turunannya adalah

$f^\prime (x) = 4\displaystyle \sum_{i=0}^\infty (-1)^i ( \tan x )^{2i} . \heartsuit$

Nomor 5

Banyaknya akar real

$f(t)=t^9-t$ adalah ... buah.

$\clubsuit \,$ Bentuk pemfaktoran :

$p^2-q^2=(p-q)(p+q)\,$ atau

$\, p^n-1=(p^{n/2}-1)(p^{n/2}+1)$
dengan

$n$ genap

$\clubsuit \,$ Untuk menentukan akar-akarnya, maka

$f(t)=0$

$\begin{align} f(t)&=0 \\ t^9-t&=0 \\ t(t^8-1)&=0 \\ t(t^4-1)(t^4+1)&=0 \\ t(t^2-1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \\ t(t-1)(t+1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Sehingga akar-akarnya:

$t=0,t=1,t=-1$ dan

$t^2=-1$ (tidak real) serta

$t^4=-1$ (tidak real).
Jadi, akar-akar realnya ada tiga yaitu 0, 1, dan -1.

$\, \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pages - Menu

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 586 tahun 2014 nomor 11 sampai 15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 586 tahun 2014 nomor 6 sampai 10

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 586 tahun 2014