Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2003 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Garis $g \, $ melalui titik $(-2, -1) \, \, $ dan menyinggung kurva $ K : \, \, y = 2\sqrt{x}. \, \, $ Jika titik singgung garis $g \, $ dan kurva $ K \, $ adalah $(a, \, b) \, $ , maka $a+b = .... $
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_matdas_6_2003.png
Substitusi titik $(a,b) \, $ ke kurva
$y=2\sqrt{x} \rightarrow b = 2\sqrt{a} \rightarrow \sqrt{a} = \frac{b}{2} \rightarrow a = \frac{b^2}{4} \, \, \, $ ...pers(i)
(nilai $b \, $ positif karena $\sqrt{a} \, $ selalu positif)
$\spadesuit \, $ Gradien garis $g \, \, $ melalui titik A dan B
$m_g = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{b-(-1)}{a-(-2)} = \frac{b+1}{a+2} $
$\spadesuit \, $ Gradien garis singgung $g \, \, $ di titik B$(a,b) \, $ : $ m_g = f^\prime (a) $
$y = 2\sqrt{x} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{\sqrt{x}} $
$ m_g = f^\prime (a) \rightarrow m_g = \frac{1}{\sqrt{a}} $
$\spadesuit \, $ Gradien sama, dan gunakan pers(i)
$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{a}} & = \frac{b+1}{a+2} \\ \frac{1}{\frac{b}{2}} & = \frac{b+1}{\frac{b^2}{4}+2} \\ \frac{2}{b} & = \frac{b+1}{\frac{b^2}{4}+2} \\ b^2+2b-8 & = 0 \\ (b-2)(b+4) & = 0 \\ b=2 & \vee b = -4 \end{align}$
yang memenuhi $ b = 2 \, \, $ karena positif
$b = 2 \rightarrow a = \frac{b^2}{4} = \frac{2^2}{4} = 1 $
Jadi, nilai $ a + b = 1 + 2 = 3. \heartsuit $
Nomor 12
$\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{\sin \left( x - \frac{\pi}{2} \right) }{\sqrt{\frac{x}{2}} - \sqrt{\frac{\pi}{4}}} = .... $
$\clubsuit \, $ Rumus dasar : $\displaystyle \lim_{x \to k } \frac{a\sin f(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ dengan $ \, f(k) = 0 $
$\clubsuit \, $ Merasionalkan penyebut
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{\sin \left( x - \frac{\pi}{2} \right) }{\sqrt{\frac{x}{2}} - \sqrt{\frac{\pi}{4}}} & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{\sin \left( x - \frac{\pi}{2} \right) }{\sqrt{\frac{x}{2}} - \sqrt{\frac{\pi}{4}}} . \frac{\sqrt{\frac{x}{2}} + \sqrt{\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{\frac{x}{2}} + \sqrt{\frac{\pi}{4}}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{\sin \left( x - \frac{\pi}{2} \right) . \left( \sqrt{\frac{x}{2}} + \sqrt{\frac{\pi}{4}} \right)}{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{\left( \sqrt{\frac{x}{2}} + \sqrt{\frac{\pi}{4}} \right)}{\frac{1}{2}} . \frac{\sin \left( x - \frac{\pi}{2} \right)}{\left( x - \frac{\pi}{2} \right)} \\ & = \frac{\left( \sqrt{\frac{\frac{\pi}{2}}{2}} + \sqrt{\frac{\pi}{4}} \right)}{\frac{1}{2}} . \frac{1}{1} \\ & = 2 \left( 2 \sqrt{\frac{\pi}{4}} \right) = 2\sqrt{\pi} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ 2\sqrt{\pi} . \heartsuit $
Nomor 13
Jika BC = CD, maka $\cos B = .... $
spmb_matdas_1_2003.png
$\spadesuit \, $ Segitiga ACD
$\tan x = \frac{AD}{CD} \rightarrow AD = CD. \tan x $
$\spadesuit \, $ Segitiga ABC
$\tan B = \frac{AD}{BD} = \frac{CD. \tan x}{2.CD} = \frac{\tan x}{2} $
spmb_matdas_7_2003.png
Jadi, nilai $ \cos B = \frac{2}{\sqrt{4+\tan ^2 x}} . \heartsuit $
Nomor 14
Grafik fungsi $f(x) = x\sqrt{x-2} \, \, $ naik untuk nilai $x \, $ yang memenuhi .....
$\clubsuit \,$ Konsep turunan : $ f = U.V \rightarrow f^\prime = U^\prime . V + U . V^\prime $
$\clubsuit \,$ Menentukan turunan $f(x)$
$f(x) = x\sqrt{x-2} \rightarrow f^\prime (x) = \sqrt{x-2} + x. \frac{1}{2\sqrt{x-2}} $
$f^\prime (x) = \frac{3x-4}{2\sqrt{x-2}} $
$\clubsuit \,$ Syarat fungsi naik : $ f^\prime (x) > 0 $
$ f^\prime (x) > 0 \rightarrow \frac{3x-4}{2\sqrt{x-2}} > 0 $
$ x = \frac{4}{3} \vee x = 2 $
spmb_matdas_8_2003.png
$HP_1 = \{ x < \frac{4}{3} \vee x > 2 \} $
$\clubsuit \,$ Syarat akar
$ \sqrt{x-2} \geq 0 \rightarrow x - 2 \geq 0 \rightarrow x \geq 2 \, \, \, $ ...(HP2)
sehingga, $ HP = HP_1 \cap HP_2 = \{ x > 2 \} $
Jadi, fungsi naik pada interval $ \{ x > 2 \} . \heartsuit $
Nomor 15
Nilai $x \, $ yang memenuhi persamaan : $\left( {}^4 \log x \right)^2 - {}^2 \log \sqrt{x} - \frac{3}{4} = 0 \, \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Sifat logaritma : $ {{}^a}^n \log b^n = {}^a \log b $
Misalkan : $ p = {}^4 \log x $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk log
$\begin{align} \left( {}^4 \log x \right)^2 - {}^2 \log \sqrt{x} - \frac{3}{4} & = 0 \\ \left( {}^4 \log x \right)^2 - {{}^2}^2 \log (\sqrt{x})^2 - \frac{3}{4} & = 0 \\ \left( {}^4 \log x \right)^2 - {}^4 \log x - \frac{3}{4} & = 0 \\ p^2 - p - \frac{3}{4} & = 0 \, \, \text{(kali 4)} \\ 4p^2 - 4p - 3 & = 0 \\ (2p+1)(2p-3) & = 0 \\ p=-\frac{1}{2} \rightarrow & \, \, {}^4 \log x = -\frac{1}{2} \rightarrow x = (4)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \\ p=\frac{3}{2} \rightarrow & \, \, {}^4 \log x = \frac{3}{2} \rightarrow x = (4)^\frac{3}{2} = 8 \end{align}$
Jadi, nilai $x \, $ yang memenuhi adalah 8 dan $ \frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2003 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika matriks $A = \left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) \, \, \, $ dan $ I = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \, \, $ memenuhi persamaan $A^2 = pA + qI , \, \, $ maka $ p - q = .... $
$\spadesuit \, $ Substitusi matriksnya
$\begin{align} A^2 & = pA + qI \\ \left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) & = p\left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) + q\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 9 & 16 \\ 8 & 17 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} p & 4p \\ 2p & 3p \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} q & 0 \\ 0 & q \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 9 & 16 \\ 8 & 17 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} p+q & 4p \\ 2p & 3p + q \end{matrix} \right) \end{align}$
$ 2p = 8 \rightarrow p = 4 $
$ p + q = 9 \rightarrow 4 + q = 9 \rightarrow q = 5 $
sehingga , $ p - q = 4 - 5 = -1 $
Jadi, nilai $ p- q = -1. \heartsuit $
Nomor 7
$\displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( \sqrt{(x+p)(x+q)} - x \right) = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
$\displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^2+bx+c} - \sqrt{ax^2+mx+n} = \frac{b-m}{2\sqrt{a}} $
$\clubsuit \, $ Memodifikasi soal
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( \sqrt{(x+p)(x+q)} - x \right) & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( \sqrt{x^2+(p+q)x+pq} - \sqrt{x^2} \right) \\ & = \frac{b-m}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{(p+q)-0}{2\sqrt{1}} \\ & = \frac{1}{2} (p+q) \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ \, \frac{1}{2} (p+q). \heartsuit$
Nomor 8
Jika ${}^4 \log 6 = m+1 , \, \, $ maka $ {}^9 \log 8 = ..... $
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat logaritma
${}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c , \, \, {}^a \log b = \frac{{}^p \log b }{{}^p \log a } $
$ {}^a \log b^ n = n. {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan ${}^4 \log 6 = m+1 $
$\begin{align} {}^4 \log 6 & = m+1 \\ \frac{{}^2 \log 6 }{{}^2 \log 4 } & = m+1 \\ \frac{{}^2 \log 3 + {}^2 \log 2 }{2} & = m+1 \\ {}^2 \log 3 + 1 & = 2m + 2 \\ {}^2 \log 3 & = 2m + 1 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} {}^9 \log 8 & = \frac{{}^2 \log 8 }{{}^2 \log 9 } = \frac{{}^2 \log 2^3 }{{}^2 \log 3^2 } = \frac{3.{}^2 \log 2 }{2.{}^2 \log 3 } \\ & = \frac{3.1 }{2.(2m + 1) } = \frac{3 }{4m+2} \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^9 \log 8 = \frac{3 }{4m+2} . \heartsuit $
Nomor 9
Dalam $\Delta$ ABC , AC = 5, AB = 8, dan $\angle$CAB = $60^\circ$ . Jika $\gamma = \angle BCA, \, $ maka $ \cos \gamma = .... $
$\clubsuit \, $ Gambar
spmb_matdas_5_2003.png
$\clubsuit \, $ Aturan cosinus pada sudut A
$\begin{align*} BC^2 & = AB^2+AC^2 - 2. AB.AC . \cos A \\ & = 8^2+5^2 - 2. 8.A5 . \cos 60^\circ \\ & = 64 + 25 - 80. \frac{1}{2} \\ BC^2 & = 49 \rightarrow BC = 7 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Aturan cosinus pada sudut C
$\begin{align*} AB^2 & = CA^2+CB^2 - 2. CA.CB . \cos C \\ \cos C & = \frac{CA^2+CB^2-AB^2}{2.CA.CB} \\ & = \frac{5^2+7^2-8^2}{2.5.7} \\ \cos C & = \frac{1}{7} \end{align*}$
Jadi, nilai $ \cos \gamma = \frac{1}{7} . \heartsuit$
Nomor 10
Jika $a, \, b, \, $ dan $c \, $ membentuk barisan geometri, maka $ \log a, \, \log b, \, \log c \, $ adalah ....
A. Barisan aritmetika bengan beda $ \log \frac{c}{b} $
B. Barisan aritmetika bengan beda $ \frac{c}{b} $
C. Barisan geometri dengan rasio $ \log \frac{c}{b} $
D. Barisan geometri dengan rasio $ \frac{c}{b} $
E. Bukan barisan aritmetika dan bukan barisan geometri
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $a, \, b, \, $ dan $c \, $
Rasio sama : $ r = \frac{b}{a} = \frac{c}{b} $
Cek barisan $ \log a, \, \log b, \, \log c \, $
$\spadesuit \, $ apakah barisan aritmetika ?
Selisih sama :
$S_1 = \log b - \log a = \log \frac{b}{a} = \log r $
$S_2 = \log c - \log b = \log \frac{c}{b} = \log r $
sehingga $ S_1 = S_2 \, \, $ (selisis dua suku sama)
karena selisihnya sama, maka barisan terebut termasuk barisan aritmetika.
$\spadesuit \, $ apakah barisan geometri ?
Rasio sama :
$R_1 = \frac{\log b}{\log a} = {}^a \log b $
$R_2 = \frac{\log c}{\log b} = {}^b \log $
sehingga $ R_1 \neq R_2 \, \, $ (Rasio dua suku tidak sama)
karena rasio tidak sama, maka barisan terebut bukan barisan geometri.
Jadi, $ \log a, \, \log b, \, \log c \, \, $ adalah barisan aritmetika dengan beda $ \log \frac{c}{b} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2003


Nomor 1
Nilai dari : $(\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+\sqrt{5})(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+2-\sqrt{5})(\sqrt{10}+2\sqrt{3})= .... $
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar : $(p+q)(p-q)=p^2-q^2$
$\begin{align} & (\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+\sqrt{5})(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+2-\sqrt{5}) \\ & = ([2+\sqrt{3}]+[\sqrt{2}+\sqrt{5}])([2+\sqrt{3}]-[\sqrt{2}+\sqrt{5}]) \\ & = (2+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2}+\sqrt{5})^2 \\ & = (4+4\sqrt{3}+3) - (2+2\sqrt{10}+5) \\ & = 4\sqrt{3} - 2\sqrt{10} \\ & = 2(2\sqrt{3} - \sqrt{10}) \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} & (\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+\sqrt{5})(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+2-\sqrt{5})(\sqrt{10}+2\sqrt{3}) \\ & = 2(2\sqrt{3} - \sqrt{10})(2\sqrt{3}+\sqrt{10}) \\ & = 2 [(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{10})^2 ] \\ & = 2[12-10] \\ & = 2.2 = 4 \end{align}$
Jadi, hasilnya adalah 4. $ \heartsuit $
Nomor 2
Grafik hasil produksi suatu pabrik per tahun merupakan suatu garis lurus. Jika produksi pada tahun pertama 110 unit dan pada tahun ketiga 150 unit, maka produksi tahun ke-15 adalah ....
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan garis yang melalui titik
$(x_1,y_1) = (1, \, 110) \, \, $ dan $ \, \, (x_2,y_2) = (3, \, 150) $
$\begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-110}{150-110} & = \frac{x-1}{3-1} \\ \frac{y-110}{40} & = \frac{x-1}{2} \\ 2(y-110) & = 40(x-1) \\ y-110 & = 20(x-1) \\ y & = 20x + 90 \end{align}$
Sehingga pada tahun ke-15, artinya $ \, x = 15 $
$y = 20x + 90 \rightarrow y= 20. 15 + 90 = 300 + 90 = 390 $
Jadi, produksi tahun ke-15 adalah 390. $ \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Karena berbentuk garis lurus, maka kenaikannya akan sama sehingga bisa dianggap sebagai barisan aritmetika
$\spadesuit \, $ Barisan aritmetika : $U_n = a+(n-1)b $
tahun ke-1 $ \, \rightarrow U_1 = a = 110 $
tahun ke-3 $ \, \rightarrow U_3 = 150 $
$ U_3 = 150 \rightarrow a+2b = 150 \rightarrow 110 + 2b = 150 \rightarrow b = 20 $
Sehingga tahun ke-15
$ U_{15} = a+14b = 110 + 14. 20 = 110 + 280 = 390 $
Jadi, produksi tahun ke-15 adalah 390. $ \heartsuit $
Nomor 3
Jika $a=\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} \, \, $ dan $ b = \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}, \, \, $ maka $ a + b = .... $
$\clubsuit \, $ Jumlahkan dan samakan penyebutnya
$\begin{align*} a+ b & = \frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} + \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} \\ & = \frac{(1-\sqrt{3})(1-\sqrt{3}) + (1+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} \\ & = \frac{(1-2\sqrt{3}+3) + (1+2\sqrt{3}+3)}{1-3} \\ & = \frac{8}{-2} = -4 \end{align*}$
Jadi, hasilnya adalah -4. $ \heartsuit $
Nomor 4
Garis $h \, $ memotong sumbu X positif di A dan sumbu Y positif di B. Jika O adalah titik pangkal sistem koordinat, OA = 3, dan OB = 4, maka persamaan garis $g \, $ yang melalui O dan tegak lurus pada $h \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_matdas_3_2003.png
$\spadesuit \, $ Gradien garis $h$
$m_h = \frac{-y}{x} = \frac{-4}{3} $
$\spadesuit \, $ Garis $g \, $ tegak lurus garis $\, h $
$m_g.m_h = -1 \rightarrow m_g = \frac{-1}{m_h} = \frac{-1}{\frac{-4}{3}} = \frac{3}{4} $
$\spadesuit \, $ Persamaan garis $g \, $ melalui titik (0,0) dengan gradien $ \frac{3}{4} $
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y- 0 & = \frac{3}{4}.(x-0) \\ y & = \frac{3}{4}x \end{align}$
Jadi, persamaan garis $g \, $ adalah $ y = \frac{3}{4}x . \heartsuit $
Nomor 5
Jika $ \sin \theta = - \frac{1}{4} \, \, $ dan $ \tan \theta > 0 , \, \, $ maka $ \cos \theta = ....$
$\clubsuit \, $ Karena $\sin \theta \, $ negatif dan $\tan \theta \, $ positif, maka $ \theta \, $ di kuadran III sehingga nilai $\cos \theta \, $ juga negatif
$\clubsuit \, $ Buat segitiga
spmb_matdas_4_2003.png
sehingga, $\cos \theta = - \frac{\sqrt{15}}{4} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = - \frac{\sqrt{15}}{4} . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25